Régulation électromécanique
par
Ahmed RACHID
Professeur des Universités, Laboratoire des Systèmes Automatiques,
Université de Picardie
1.
1.1
1.5
1.6
Éléments moteurs ....................................................................................
Moteurs à courant continu..........................................................................
1.1.1 Moteur à commande d’induit ............................................................
1.1.2 Moteurs à commande d’inducteur....................................................
Moteurs à courant alternatif .......................................................................
Embrayages .................................................................................................
1.3.1 Embrayage à particules magnétiques ..............................................
1.3.2 Embrayage à hystérésis .....................................................................
1.3.3 Embrayage à frottement ....................................................................
1.3.4 Embrayage à courants de Foucault...................................................
Amortisseurs................................................................................................
1.4.1 Amortisseur visqueux ........................................................................
1.4.2 Amortisseur à inertie..........................................................................
Ressorts ........................................................................................................
Choix d’un moteur.......................................................................................
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Système asservi en position .................................................................
Calcul de la puissance requise ...................................................................
Choix du moteur ..........................................................................................
Répartition des divers étages d’engrenages .............................................
Réduction du jeu des engrenages..............................................................
Retour tachymétrique..................................................................................
Influence du couple perturbateur...............................................................
—
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—
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—
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—
6
6
6
7
7
7
7
3.
3.1
Machine asynchrone ...............................................................................
Modélisation ................................................................................................
3.1.1 Équations électriques .........................................................................
3.1.2 Équations mécaniques .......................................................................
Commande...................................................................................................
3.2.1 Commande en flux orienté ................................................................
3.2.2 Linéarisation entrée-sortie .................................................................
3.2.3 Modèle discret du moteur asynchrone.............................................
Variateurs industriels...................................................................................
—
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—
—
—
—
—
—
8
8
8
12
12
13
14
15
16
Moteur pas à pas......................................................................................
Modélisation ................................................................................................
4.1.1 Modèle physique complet .................................................................
4.1.2 Transformation DQ .............................................................................
4.1.3 Modèle simplifié .................................................................................
Commande...................................................................................................
4.2.1 Régulateur PD .....................................................................................
4.2.2 Linéarisation et commande par retour d’état...................................
4.2.3 Approche par les fonctions de Lyapunov .........................................
—
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—
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—
16
17
17
17
18
18
18
19
19
Perspectives ..............................................................................................
—
22
1.2
1.3
1.4
3.2
3.3
R 7 540
6 - 1997
4.
4.1
4.2
5.
Pour en savoir plus...........................................................................................
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© Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle
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Doc. R 7 540
R 7 540 − 1
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a régulation électromécanique est le plus souvent associée aux systèmes
impliquant un travail mécanique, par exemple pointer de façon continue une
antenne de radar vers un satellite, diriger un canon vers une cible, actionner les
diverses parties d’un robot mobile ou d’un bras manipulateur. Dans tous ces systèmes, l’ingénieur doit d’abord évaluer, à partir des contraintes ou spécifications
imposées et des charges ou masses à déplacer, la puissance requise, pour choisir
un organe moteur et une transmission adaptés à la charge.
Cet article traite des méthodes modernes de l’automatique qui ont été spécifiquement développées pour la régulation des moteurs électriques les plus
répandus : moteur à courant continu, moteur asynchrone, moteur pas à pas.
Ces techniques se basent sur les modèles, souvent non linéaires, de ces
moteurs. Par conséquent, les outils qui seront utilisés sont ceux de l’automatique non linéaire : commande par flux orienté, linéarisation par retour de
sortie, synthèse par les fonctions de Lyapunov... Les résultats seront exposés
avec le minimum de prérequis mathématiques.
Avec les progrès réalisés en électronique de puissance et dans les systèmes
à microprocesseurs, les méthodes avancées de l’automatique ont élargi les
champs d’application des différents moteurs et, de façon générale, ont permis
d’améliorer les performances, le rendement et la fiabilité des systèmes électromécaniques.
L
Les méthodes générales de synthèse des correcteurs sont étudiées dans le présent volume
Automatique, dans les articles Principes généraux de correction [R 7 405], Correction fréquentielle analogique [R 7 410], Méthodes de synthèse de correcteurs numériques [R 7 420].
1. Éléments moteurs
Tout système de régulation nécessite un organe moteur capable
de transformer le signal de commande en une force ou en un couple
mécanique d’amplitude suffisante pour exécuter le travail requis. Ce
travail consiste généralement dans le déplacement (plus ou moins
rapide), avec une précision spécifiée, d’une charge imposée ; celle-ci
peut être un canon, une antenne de radar, un téléscope, un rouleau
d’imprimante, etc.
Le choix de l’organe moteur et de son mode d’accouplement
incombent à l’ingénieur de projet qui doit d’abord calculer la puissance requise à partir des spécifications du cahier des charges. Les
organes moteurs comprennent les moteurs électriques à courant
continu, à courant alternatif, ainsi que les embrayages.
En ce qui concerne les moteurs, le lecteur se reportera utilement
à l’article [8] dans les Techniques de l’Ingénieur.
1.1 Moteurs à courant continu
Dans les applications où la puissance en jeu est inférieure à
quelques kilowatts, le moteur à courant continu à aimants permanents est très utilisé. C’est un moteur à excitation constante, où
la variable de commande est la tension appliquée à l’induit. Sa fonction de transfert est obtenue à partir des équations suivantes :
avec
V (V)
R a (Ω)
La (H)
R 7 540 − 2
V (s ) = (Ra + La S ) I a + K Φ s θ
(1)
CM = K Φ Ia
(2)
tension appliquée au moteur,
résistance de l’enroulement d’induit,
inductance de l’enroulement d’induit,
variable de Laplace,
courant circulant dans l’induit,
constante du moteur, et Φ étant le flux dans
l’entrefer :
— pour l’équation (1), K Φ (V · rad –1 · s)
tension induite ;
— pour l’équation (2), K Φ (N · m · A –1 )
couple développé par unité de courant,
θ (rad)
position angulaire de l’arbre,
C M (N · m) couple électromagnétique développé.
Dans le système international (SI), le terme K Φ est numériquement le même dans les deux équations (1) et (2).
La relation entre V et θ fait intervenir l’inertie, le frottement et le
couple de charge. Le moteur doit développer un couple suffisant
pour vaincre le couple total de la charge :
C M = J θs 2 + C f + Cc
J (kg · m 2) inertie totale ramenée à l’arbre moteur,
C f (N · m)
couple de frottement,
Cc (N · m)
couple de charge.
Si l’on ne prend pas en compte le couple de charge, ce qui est
souvent le cas dans un asservissement de position, nous avons :
avec
1.1.1 Moteur à commande d’induit
et
s
I a (A)
K
C M = K Φ I a = (Js 2 + fs ) θ
rad –1
(3)
· s) coefficient de frottement visqueux.
avec f (N · m ·
La substitution de l’expression (3) dans les équations (1) et (2)
permet d’obtenir la fonction de transfert entre θ et V :
θ
KΦ
1
----- ( s ) = --------------------------------------- ⋅ --------------------------------------------------------------------------------------------------------V
JL a
JR a + fL a
[ ( K Φ ) 2 + fR a ] 
- s + -------------------------------- s 2 s
1 + -------------------------------
( K Φ ) 2 + fR a
fR a + ( K Φ ) 2 
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Le dénominateur contient, entre parenthèses, une quantité qui est
sensiblement égale au produit des constantes de temps du moteur :
et
JR a
-------------------------------- constante de temps mécanique (en secondes)
( K Φ ) 2 + fR a
La
------- constante de temps électrique (en secondes)
Ra
Ces moteurs sont disponibles sur le marché et couvrent une
gamme de puissance qui s’étend de quelques watts jusqu’à quelques
kilowatts. Le tableau 1 indique les principales caractéristiques de
certains types. On notera que le courant pulsé (et le couple pulsé
qui lui est proportionnel) peut atteindre jusqu’à huit fois le courant
nominal. C’est ce qui rend ce moteur si intéressant dans les applications où une accélération très grande est requise.
1.1.2 Moteurs à commande d’inducteur
Dans le moteur à commande d’inducteur, la variable de commande
est la tension aux bornes de l’inducteur, alors que l’induit est parcouru par un courant sensiblement constant. Ici, la force contreélectromotrice n’a aucun effet sur la fonction de transfert, puisque
le courant dans l’induit est maintenu sensiblement constant par une
source de courant.
Les équations sont les suivantes :
Vf (s ) = (R f + Lf s ) I f
Généralement, ces moteurs utilisent un rotor à cage d’écureuil,
et les seules connexions électriques sont sur l’enroulement du stator.
La fonction de transfert s’établit à partir des caractéristiques couplevitesse fournies par le fabricant (figure 1).
Dans le cas des moteurs biphasés, une phase est alimentée à
tension et fréquence constantes, tandis que l’autre phase, l’enroulement de commande, est alimentée à la même fréquence, mais en
quadrature avec la première, et à tension variable en amplitude et
en polarité selon le signal de commande. Dans la figure 1, V i
représente la tension appliquée sur la phase de commande, la
phase de référence étant alimentée à tension nominale.
On peut linéariser les courbes autour d’un point de fonctionnement et poser :
C M = kV – αω
∆C
avec k =  --------- 
caractéristique de couple (N · m · V –1),
 ∆V  ω = Cte
∆C
α =  -------- 
caractéristique d’amortissement
∆ ω V = Cte (N · m · rad –1 · s).
Comme la vitesse à vide de tout moteur à induction tend vers la
vitesse synchrone quelle que soit la tension appliquée, il est facile
de vérifier que la constante α varie selon cette tension. On prend
généralement pour α la moitié de la pente de la caractéristique
obtenue lorsque V i est à tension nominale (tableau 2).
1.3 Embrayages
Φ = k If
C M = k Φ Ia [cf. relation (2)]
Le lecteur se reportera utilement à l’article [9] [10] des Techniques
de l’Ingénieur.
V f (V)
tension appliquée à l’inducteur,
R f (Ω)
résistance de l’enroulement inducteur,
L f (H)
inductance de l’enroulement inducteur,
I f (A)
courant inducteur,
Φ (Wb)
flux dans l’entrefer,
k (Wb/A) constante entre le flux magnétique et le courant.
La réduction des équations conduit à la fonction de transfert
suivante :
KkI
θ
1
------- ( s ) = -------------a- ⋅ ---------------------------------------------------------Lf
Vf
fR f 
J 
1 + ----- s 1 + ------- s s

f 
Rf 
Les embrayages sont des accouplements électromécaniques ou
électromagnétiques qui permettent de coupler un moteur tournant
à vitesse constante à une charge. Leur gros avantage est la possibilité
de développer des accélérations très élevées, puisque le moteur n’a
pas à accélérer sa propre inertie ; celle-ci contribue d’ailleurs, par
son énergie cinétique, à augmenter le transfert initial de puissance
entre le moteur et la charge.
Les principaux types d’embrayages sont décrits ci-après. Dans les
quatre types d’embrayages décrits, le couple développé est directement proportionnel au signal de commande et pratiquement indépendant du glissement ou de la vitesse relative de l’élément moteur
par rapport à celle de l’élément charge.
avec
J et f ayant été définis au paragraphe 1.1.1.
Il faut noter que la fréquence de coupure f /J est très faible, de
sorte que la fonction de transfert se rapproche de l’expression :
KkI
θ
1
------- ( s ) = -------------a- ⋅ --------------------------------Vf
Rf J 
Lf 
1 + ------- s s 2

Rf 
d’où la nécessité de compensation, même aux basses fréquences,
par suite de la présence d’un terme de double intégration.
1.2 Moteurs à courant alternatif
Les moteurs à courant alternatif, utilisés dans les applications où
la puissance ne dépasse pas quelques centaines de watts, ont aussi
tendance à être remplacés par les moteurs à aimants permanents,
excepté pour les applications à faible puissance dans des conditions
spéciales où la commutation pourrait causer des problèmes (interférence électromagnétique).
Figure 1 – Moteur biphasé : couple en fonction de la vitesse
(0)
(0)
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R 7 540 − 3
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Tableau 1 – Caractéristiques de quelques moteurs à courant continu à commande d’induit
Puissance
Vitesse
Couple
nominale nominal
K Tension Courant Courant Résistance Inductance
nominale nominal
pulsé
d’induit
d’induit
(W)
(tr/min)
(N · m)
(N · m · A–1
ou
V · rad –1 · s –1)
(V)
(A)
(A)
(Ω)
(µH)
15
54
37
250
250
1 800
1 700
3 400
3 900
2 500
2 750
2 000
0,039
0,176
0,091
0,98
0,84
8,82
0,02
0,027
0,021
0,13
0,108
0,42
12
9
12
36
36
83
2,7
8,0
7,0
9,3
10,0
25
20
35
50
55
80
100
0,9
0,5
0,4
0,6
0,4
0,5
200
10
100
60
100
100
Moment
d’inertie
(en 10 –5 kg · m 2)
3,11
2,1
2,45
40,0
53,9
590
Masse
(kg)
0,55
1,8
1,5
9,9
6,4
27,4
Couple
de
frottement
(N · m)
0,01
0,016
0,017 6
0,068
0,062 7
0,098
Tableau 2 – Caractéristiques de quelques moteurs biphasés à courant alternatif
Puissance nominale
Fréquence
Vitesse à vide
Couple au démarrage
Moment d’inertie
(W)
Tension nominale
sur chaque
enroulement
(V)
(Hz)
(tr/min)
(N · m)
(en 10 –6 kg · m 2)
35
25
10
4
25
50
5
115/115
115/115
115/115
115/115
115/115
115/115
115/115
60
60
60
60
400
400
400
3 600
3 600
3 600
3 600
8 000
8 000
8 000
0,318
0,201
0,082
0,049
0,121
0,339
0,016
32,0
15,4
4,06
4,06
10,6
39,3
1,71
1.3.1 Embrayage à particules magnétiques
Cet embrayage contient une poudre magnétique en suspension
dans un fluide entourant les éléments moteur et charge. Sous l’action
du courant de commande, la poudre magnétique s’oriente et crée
un lien mécanique semi-rigide entre les deux éléments, permettant
la transmission d’un couple.
1.3.2 Embrayage à hystérésis
la vitesse de l’arbre moteur, car un glissement est nécessaire pour
le développement d’un couple.
La caractéristique de couple est fonction du courant d’excitation
et du glissement : pour un glissement donné, le couple est directement proportionnel au courant d’excitation.
Cet embrayage est surtout utilisé dans les applications où le glissement est faible.
Dans tous les embrayages, il y a une dissipation de puissance non
négligeable : cette puissance est égale au produit du couple transmis
par la différence de vitesse entre l’arbre moteur et l’arbre de la
charge ; il faut prévoir un dispositif pour évacuer la chaleur produite.
Dans ce type d’embrayage, le fluide magnétique est remplacé par
un cylindre ou un disque ferromagnétiques à champ coercitif très
élevé. Les caractéristiques de fonctionnement (couple en fonction
du courant de commande) sont semblables à celles de l’embrayage
à particules magnétiques ; par rapport à ce dernier, l’embrayage à
hystérésis présente les avantages d’une vie utile plus longue et d’une
réponse plus uniforme en fonction du courant de commande. Un
échauffement trop intense risque de modifier les caractéristiques
magnétiques du cylindre et les paramètres de l’embrayage.
Normalement couplé à l’arbre d’un moteur, l’amortisseur est un
élément qui développe un couple de charge opposé au couple
moteur. Le but est la modification de la fonction de transfert.
1.3.3 Embrayage à frottement
1.4.1 Amortisseur visqueux
Cet embrayage utilise le frottement entre deux éléments pour
transmettre un couple. Ses caractéristiques principales sont :
rendement élevé et puissance dissipée très faible lorsqu’il est désengagé. Il est employé plutôt dans les applications où les accélérations
sont intermittentes, à cause de l’usure du matériau à friction.
L’amortisseur visqueux, développant un couple proportionnel à la
vitesse, est utilisé pour augmenter la bande passante d’un moteur
de système asservi. Il est plutôt employé dans les petits moteurs à
cause de la puissance qu’il consomme et est souvent réglable à l’aide
d’une vis placée à une extrémité du moteur. On peut noter l’influence
de l’amortissement en comparant les fonctions de transfert du
moteur seul et du moteur avec amortissement. Si l’on considère le
cas d’un système asservi de position où la seule charge est une
inertie, l’équation du couple, obtenue à partir de la caractéristique
couple-vitesse du moteur, peut s’écrire :
— moteur seul :
C M = kV – αω = Jω˙
1.3.4 Embrayage à courants de Foucault
Cet embrayage fonctionne selon le principe du moteur asynchrone. Le champ tournant est constitué de pôles réels solidaires
de l’arbre moteur. Le couple résulte de l’action sur les pôles des
courants de circulation dus aux tensions induites par le champ tournant. Il faut noter que l’arbre de la charge ne peut jamais atteindre
R 7 540 − 4
1.4 Amortisseurs
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— moteur avec amortissement visqueux :
1.5 Ressorts
C M = kV – αω = Jω˙ + f ω
Les fonctions de transfert correspondantes sont respectivement :
θ
k/ α
----- ( s ) = --------------------------------V
J

s 1 + ----- s

α 
θ
k/ ( α + f )
----- ( s ) = ----------------------------------------V
J

s 1 + ------------- s

α+f 
avec
C M (N · m)
k (N · m · V –1)
α (N · m · rad –1 · s)
J (kg · m 2)
couple moteur,
constante de couple,
pente de la courbe couple-vitesse,
f (N · m · rad –1 · s)
coefficient de frottement de l’amortisseur.
moment d’inertie total ramené à l’arbre
moteur,
La fréquence de coupure de la fonction de transfert a été augf+α
mentée dans le rapport ------------ .
α
Il faut cependant noter que cette augmentation s’accompagne
d’une diminution, dans le même rapport, du gain de la fonction de
transfert et de la vitesse à vide du moteur.
1.4.2 Amortisseur à inertie
L’amortisseur à inertie a été imaginé pour permettre d’atteindre
le même résultat que l’amortisseur visqueux, du point de vue de la
bande passante, sans diminuer le gain ni la vitesse à vide. Il est
constitué d’une inertie libre couplée à l’arbre moteur à travers un
accouplement visqueux (figure 2).
L’équation du couple est la suivante :
Le lecteur peut se reporter aux articles [11] dans les Techniques
de l’Ingénieur.
Un ressort peut quelquefois être utilisé pour éliminer le jeu des
engrenages dans les systèmes asservis de faible puissance, par
exemple dans le positionnement d’un petit miroir réfléchissant un
spot lumineux (figure 3).
La constante du ressort doit être suffisante pour que le couple de
rappel soit toujours supérieur au couple d’inertie de la charge dans
toute la gamme de fonctionnement du système. Le moteur fonctionne alors sous un couple de charge unidirectionnel faible
ramené au moteur, mais suffisant pour maintenir les engrenages
engagés dans le même sens en tout temps. Il faut noter que ce
couple n’influe pas sur la réponse dynamique du système.
1.6 Choix d’un moteur
Le choix d’un moteur est, en dernière analyse, fonction de l’application et de la source de puissance disponible.
Dans les machines-outils, qui sont maintenant souvent commandées numériquement, les moteurs pas à pas sont tout indiqués
lorsque la vitesse maximale requise est relativement faible, que le
couple est relativement constant et que l’avancement incrémental
en charge est faible (de l’ordre de la fraction de degré pour le moteur
lui-même).
Le moteur pas à pas peut très bien positionner, à travers un engrenage de réduction, la tête coupeuse ou le chariot. En revanche, dans
les applications impliquant un déplacement rapide avec variation
appréciable du couple, le moteur à aimants permanents est tout
indiqué. On peut citer comme applications les enregistreurs XY, les
imprimantes rapides, les magnétophones multipistes industriels.
Le moteur à courant continu à aimants permanents présente aussi
l’avantage d’un couple transitoire élevé, ce qui favorise les accélérations de démarrage et d’arrêts rapides.‘
C M = kV – αω = Jω˙ + f ( ω – ω f )
celle de l’amortisseur est :
f ( ω – ω f ) = J f ω˙ f
Après réduction, on obtient la fonction de transfert suivante :
Jf 
 1 + ------ s

f 
θ
k
----- ( s ) = ---- ⋅ -----------------------------------------------------------------------------------------V
α
Jf J
J
J
J
1 +  ----- + ------f- + ------f- s + ---------- s 2 s
α
αf
f
α
s
1 + ------ωf
k
= ---- ⋅ ------------------------------------------------α
s
s
s  1 + ------  1 + ------

ω 1 
ω 2
Figure 2 – Amortisseur à inertie : schéma
Les deux paramètres f et J f permettent de déterminer la fréquence
α+f
de coupure la plus haute (sensiblement égale à ------------ ) et la fréquence
J
f
correspondant au zéro de la fonction de transfert (égale à ------- ).
Jf
Figure 3 – Système à ressort
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R 7 540 − 5
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2. Système asservi
en position
2.2 Choix du moteur
Le lecteur pourra consulter l’article [12] des Techniques de
l’Ingénieur.
2.1 Calcul de la puissance requise
Dans un système asservi en position, il s’agit du déplacement
angulaire ou linéaire d’un élément ayant un moment d’inertie ou une
masse. Cet élément doit se déplacer avec une certaine accélération
et une certaine vitesse, qui peuvent être spécifiées directement ou
calculées à partir du cahier des charges et des contraintes imposées.
L’étude des spécifications et de la charge permet d’établir les paramètres et les grandeurs suivants :
J c (kg · m 2) inertie de la charge ;
α c (rad · s –2) accélération maximale requise à la charge ;
ω c (rad · s –1) vitesse angulaire maximale requise à la charge ;
C c (N · m) couple de charge maximal.
Dans ces conditions, la puissance maximale P requise peut être
évaluée par l’équation suivante :
P = C max ωc = [(Jc + k 2 J M ) αc + C c ] ωc
avec
P (W)
C max (N · m)
(Jc + k 2 J M ) (kg · m 2)
À partir de la figure 4, on peut faire un premier choix de moteur,
et tracer alors la caractéristique exacte correspondant au moteur
choisi.
La puissance disponible d’un moteur, sous tension nominale, peut
se calculer facilement à partir de la caractéristique couple-vitesse
fournie par le fabricant. Cette caractéristique a la forme générale
représentée figure 5. À partir de cette caractéristique on peut faire,
pour chaque vitesse, le produit du couple moteur par la vitesse du
moteur ; ce produit représente la puissance disponible au moteur.
On peut aussi, sur le même graphique, tracer la caractéristique de
la puissance disponible au moteur en fonction de la vitesse du
moteur.
L’abscisse de la figure 5 représente la vitesse du moteur.
Comme, pour l’application donnée, cette vitesse est directement
proportionnelle au rapport d’engrenage k, on peut faire un changement d’échelle et superposer la figure 5 à la figure 4 (voir figure 6).
S’il y a intersection entre les deux courbes, le moteur choisi est
suffisamment puissant, puisque, pour une certaine gamme de
valeurs de k, la puissance disponible est supérieure à la puissance
nécessaire. Si les deux courbes ne se rencontrent pas, il faut choisir un moteur plus puissant et recommencer les calculs. Dans le
cas où il y a intersection, la zone commune définit pour k un
domaine de valeurs possibles comprises entre k 1 et k 2 .
(4)
puissance requise calculée à l’arbre
moteur,
couple moteur maximal,
inertie du rotor et de la charge ramenée à l’arbre de la charge,
k
rapport de réduction d’engrenage
entre l’arbre moteur et la charge,
k 2 J M (kg · m 2)
inertie du moteur ramenée à l’arbre
de la charge.
Ces deux derniers paramètres, k et k 2 J M , sont inconnus, puisque
le moteur n’est pas encore choisi. Cependant, l’équation (4) permet
de tracer le début de la caractéristique de la puissance requise en
fonction de k et aussi d’indiquer l’allure de cette caractéristique
(figure 4).
Le calcul est fait en considérant la vitesse maximale de la charge
comme constante : il suppose que le couple de charge, l’accélération
et la vitesse sont maximaux en même temps. Le terme kωc représente
la vitesse du moteur nécessaire pour entraîner la charge à la vitesse
ωc . Cette vitesse est proportionnelle à k, puisque ωc est considérée
comme constante dans le calcul de la puissance requise.
Figure 5 – Puissance disponible en fonction de la vitesse
Figure 6 – Détermination du rapport d’engrenage k
Figure 4 – Puissance requise P en fonction du rapport de réduction
d’engrenage k
R 7 540 − 6
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Un choix voisin de k 1 présente les caractéristiques suivantes :
— coût et encombrement réduit pour la boîte d’engrenages ;
— gain minimal requis de l’amplificateur ;
— réserve de vitesse (le moteur pourra entraîner la charge à des
vitesses plus grandes que ωc ) ;
— pas de réserve de couple ;
— possibilité plus grande de mouvement saccadé aux vitesses
très basses ; ce dernier facteur perd de son importance lorsque l’on
utilise les moteurs à circuits imprimés, puisque le couple de réluctance n’existe pas dans ce type de moteur.
Une valeur de k voisine de k 2 présente les caractéristiques
opposées.
2.3 Répartition des divers étages
d’engrenages
La répartition doit être telle que l’inertie totale ramenée à l’arbre
moteur soit minimale. On peut facilement faire le calcul dans le cas
d’une boîte d’engrenages comprenant deux étages. Soit k le rapport
total, k a et k b respectivement les rapports des premier et second
étages (figure 7). Dans ce calcul, on suppose que les roues d’engrenage ont toutes la même épaisseur, qu’elles sont faites du même
matériau et que la roue d’entraînement, pour chaque étage de réduction, a le même rayon r 0 . L’inertie de chaque roue d’entraînement
est donnée par l’équation suivante :
4
r0
J 0 = ρ e π -----2
J 0 (kg · m 2) inertie de chaque roue de rayon r 0 ,
ρ (kg · m–3) masse volumique du matériau,
r 0 (m)
rayon moyen de la roue d’engrenage,
e (m)
épaisseur de la roue d’engrenage.
Comme l’inertie d’un disque est proportionnelle à la quatrième
puissance du rayon et que l’inertie ramenée à travers un étage de
réduction est proportionnelle à la deuxième puissance du rapport
de réduction, on peut exprimer l’inertie totale de la boîte d’engrenages, réfléchie au moteur, en fonction de k a et de k (total), par
l’expression suivante :
avec
1
1
k 4
4
J = J 0 + ------2- ( J 0 k a + J 0 ) + -----2- J 0  ----- 
 ka 
k
ka
En dérivant cette expression par rapport à ka et en annulant la
dérivée, on détermine la valeur de ka donnant l’inertie réfléchie
minimale. On peut procéder de façon semblable lorsque le nombre
d’étages est supérieur à deux ou utiliser les tables qui donnent
directement les différents étages en fonction du nombre d’étages
et du rapport total de réduction désiré.
2.4 Réduction du jeu des engrenages
Le jeu dans les engrenages ne peut être éliminé complètement ;
il est dû à l’imperfection des dents elles-mêmes et à la nonconcentricité des arbres et des roulements.
On peut cependant atténuer les effets du jeu des engrenages en
utilisant, au niveau des étages de sortie, des engrenages antijeu
(anti-backlash gears ) pour l’accouplement à la charge.
On peut aussi corriger le jeu en appliquant une précontrainte sur
l’arbre de sortie. Le couple de précontrainte doit être au moins égal
au couple maximal que le moteur aura à développer. Ce couple de
précontrainte peut provenir d’un ressort ou même d’un autre moteur,
selon les puissances en jeu.
Une autre méthode d’élimination du jeu, utilisable dans les
systèmes de faible puissance, consiste à utiliser une transmission
par courroie ou par friction.
2.5 Retour tachymétrique
Le retour tachymétrique est souvent utilisé en boucle intermédiaire pour stabiliser un système asservi en position. Dans les
applications où le gain et la bande passante sont élevés, il faut
s’assurer de la rigidité de l’accouplement mécanique entre le moteur
et le tachymètre pour éviter l’introduction d’un deuxième ordre
supplémentaire, dû à la torsion mécanique de la transmission et à
l’inertie du tachymètre : ce deuxième ordre introduit une pointe de
résonance qui peut rendre le système instable.
2.6 Influence du couple perturbateur
La valeur maximale de l’erreur de position due à une perturbation
en régime permanent fait normalement partie des spécifications de
l’avant-projet, et le gain de boucle est calculé en conséquence.
Cependant, la réponse transitoire du système à une perturbation est
aussi fonction des modes du système et du type de compensation.
Pour déterminer cette réponse, on peut utiliser les calculs déjà faits
pour déterminer la fonction de transfert sortie/entrée du système.
Ainsi (figure 8), la relation S /P peut être obtenue en faisant le produit
des deux fonctions de transfert S /E et E /P . Le calcul de la fonction
E /P est relativement simple, puisque seules les variables dirigées
vers l’amont, en partant du point d’application de la perturbation,
doivent être considérées. Dans le cas de la figure 8, la relation E /P
se résume à la fonction de transfert suivante :
1 1
E
----- = -----  ------- + F 2

K  F1
P
Figure 7 – Répartition des étages d’engrenages
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Avec les définitions suivantes :
: résistance d’une phase du stator (du rotor) ;
Rs (Rr )
s ( r )
: inductance propre d’une phase du stator (du rotor) ;
m s (m r )
: inductance mutuelle entre deux phases du stator (du
rotor) ;
m rs
: inductance mutuelle (maximale) entre une phase
du stator et une phase du rotor,
les flux sont reliés aux courants selon les relations :
 ϕ s = s i s + sr i r

 ϕ r = rs i s + r i r
(7)
avec :
Figure 8 – Point d’application de la perturbation
dans un système asservi
cos ( µ )
2π
sr = m rs cos  µ – --------
3
3. Machine asynchrone
4π
cos  µ – --------

3 
Le moteur asynchrone triphasé est utilisé dans la plupart des équipements industriels. Ceci est essentiellement dû à sa robustesse, son
faible coût, sa facilité d’utilisation pour un régime de fonctionnement
fixé donné (tension et fréquence constantes). Son champ d’application ne fait que s’accroître puisqu’il est de plus en plus considéré
comme une alternative au moteur à courant continu qui a, pendant
longtemps, constitué la seule source électromécanique pour la
vitesse variable.
Ces applications nécessitent un approfondissement théorique de
la machine asynchrone et l’élaboration de lois de commande appropriées [3] [4].
3.1 Modélisation
3.1.1.1 Équations des enroulements
v ra
v r = v rb
v rc
2π
cos  µ – --------

3 
cos ( µ )
où µ désigne l’angle électrique entre une phase du rotor et la phase
correspondante du stator et vérifie :
dµ /dt = p Ω
Ω étant la vitesse mécanique du moteur et p le nombre de paires
de pôles (figure 10).
s ms ms
r mr mr
s = ms s ms ,
r = mr r mr
ms ms s
mr mr r
La machine triphasée peut être transformée en une machine
biphasée équivalente à l’aide de la transformation de Concordia :
1
x αβ o = T x abc = --------3
2 – 1/ 2 – 1/ 2
0
1
3/2
1
–
(8)
dont l’inverse est donnée par :
ϕ sa
Rs 0 0
i sa
d ϕs
d
- + R s i s = -------- ϕ sb + 0 R s 0 i sb
= ----------dt
dt
ϕ sc
0 0 R s i sc
ϕ ra
(5)
d
 v s αβ o = R s i s αβ o + ------ [ s αβ o i s αβ o + sr αβ o i r αβ o ]
dt


d
v
= R r i r αβ o + ------- [ r αβ o i r αβ o + rs αβ o i s αβ o ]
 r αβ o
dt
Puisque αβ o = T T –1 , on en déduit :
s αβ o = T s T –1
Rr 0 0
dϕ
d
= ----------r- + R r i r = -------- ϕ rb + 0 R r 0
dt
dt
0 0 Rr
ϕ rc
i ra
i rb
(6)
i rc
=
Ls 0
0
0 Ls
0
0 0 2m s + s
Les notations a, b, c désignent les trois phases du moteur, s se
référant au stator et r au rotor. La tension est notée v, le courant i
et le flux ϕ.
R 7 540 − 8
3/2 x abc
1
Dans ce nouveau repère, les équations (5), (6) et (7) donnent :
Les six enroulements (figure 10) obéissent aux équations électriques suivantes :
v sc
4π
cos  µ – -------- , rs = ( sr ) T

3 
cos ( µ )
2
0
1
1
x abc = T T x αβ o = --------- – 1 / 2
3/2 1 x αβ o
3
– 1 / 2 – 3/2 1
3.1.1 Équations électriques
v s = v sb
2π
cos  µ – --------

3 
3.1.1.2 Transformation de Concordia
La figure 9 représente un moteur asynchrone type. Les hypothèses
traditionnelles permettant le développement des équations électromécaniques du moteur sont :
— les armatures magnétiques du stator et du rotor sont toutes
deux cylindriques, séparées par un entrefer constant, et munies
chacune d’un enroulement triphasé ;
— circuit magnétique non saturé et à perméabilité constante ;
— pertes ferromagnétiques, effet de peau et effet des encoches
négligeables.
v sa
4π
cos  µ – --------

3 
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(9)
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Figure 9 – Vue éclatée d’un moteur asynchrone (doc. Leroy Somer)
avec L s = s – m s .
De même on a :
sr αβ o = T sr T –1
r αβ o = T r T –1
=
Lr 0
0
0 Lr
0
0 0 2m r + r
avec L r = r – m r .
cos ( µ )
= M sin ( µ )
0
– sin ( µ )
cos ( µ )
0
0
0
0
3
avec M = ----- m sr .
2
Ls (respectivement Lr ) s’appelle inductance cyclique du stator (respectivement du rotor), et M représente l’inductance cyclique entre
le stator et le rotor.
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R 7 540 − 9
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Figure 11 – Repérage angulaire des systèmes d’axes
Figure 10 – Représentation des enroulements
de la machine asynchrone
Si on applique ces rotations à la première équation de (9) relative
au stator, on obtient :
3.1.1.3 Transformation de Park
d
v sdq = R s i sdq + L s P ( ρ s ) -------- [ P ( ρ s ) –1 i sdq ]
dt
(12)
d
+ P ( ρ s ) -------- [ sr αβ P –1 ( ρ r ) i rdq ]
dt
Pour simplifier davantage ces expressions et surtout pour que ne dépende plus de µ, on se limite aux axes α et β et l’on opère un
autre changement de repère. Pour cela, on considère la transformation de Park définie par :
P(ρ) =
cos ( ρ )
– sin ( ρ )
sin ( ρ )
cos ( ρ )
Par ailleurs, nous avons les relations fondamentales suivantes
(10)
et
dont l’inverse n’est autre que sa transposée :
P ( ρ ) –1 =
cos ( ρ )
sin ( ρ )
Cette transformation est une simple rotation d’angle ρ des axes
d’un repère. Deux propriétés importantes seront utilisées dans les
calculs :
P (ρ )–1 = P (– ρ)
P (ρ ) P (ρ’ ) = P (ρ + ρ’ )
3.1.1.4 Équations fondamentales du moteur asynchrone
Si l’on ne retient que les composantes α et β dans les relations (8)
et (9), elles se simplifient considérablement (I 2 désignant la matrice
unité de dimension 2) :
r αβ = L r I 2
sr αβ = M cos ( µ )
sin ( µ )
– sin ( µ )
cos ( µ )
(11)
On définit alors un nouveau repère dq (figure 11), et l’on considère
P (ρs ) (respectivement P (ρr )) la transformation permettant de faire
passer les grandeurs statoriques (respectivement rotoriques) du
repère αβ au repère dq. Autrement dit :
xsdq = P (ρs ) xs αβ
et
xrdq = P (ρr ) xr αβ
(14)
En utilisant les deux résultats suivants que l’on peut aisément
retrouver :
dP ( ρ ′ )

- = – ˙ρ ′ sin ( ρ + ρ ′ ) – cos ( ρ + ρ ′ )
 P ( ρ ) -------------------dt
cos ( ρ + ρ ′ )
sin ( ρ + ρ ′ )



d
0 –1
 P ( ρ s ) -------- [ sr αβ ] P –1 ( ρ r ) = M µ˙
dt

1 0
on obtient d’une part, en utilisant (11) et (13) :
d i sdq
d
P ( ρ s ) ------- [ P –1 ( ρ s ) i sdq ] = P ( ρ s ) P –1 ( ρ s ) -------------dt
dt
d i sdq
d
–
1
+ P ( ρ s ) ------- [ P ( ρ s ) ] i sdq = ------------- + ρ˙ s 0 – 1 i sdq
dt
dt
1 0
et d’autre part :
On remarque que sr αβ peut s’exprimer en fonction de la transformation de Park de façon très simple, en effet on a :
sr αβ = MP ( – µ )
(13)
où p désigne le nombre de paires de pôles et Ω la vitesse mécanique
du rotor.
– sin ( ρ ) = P ( ρ ) T
cos ( ρ )
s αβ = L s I 2 ,
µ = ρs – ρr
dµ
------- = p Ω
dt
d
d
P ( ρ s ) -------- [ sr αβ P –1 ( ρ r ) i rdq ] = MP ( ρ s ) -------- [ P ( – µ ) P ( – ρ r ) i rdq ]
dt
dt
d i rdq
d
= MP ( ρ s ) --------- [ P ( – µ – ρ r ) ] i rdq + MP ( ρ s ) P ( – µ – ρ r ) --------------dt
dt
= M ρ˙ s 0 – 1
1 0
d i rdq
i rdq + M --------------dt
Finalement, (12) devient :
d i sdq
v sdq = R s i sdq + L s ---------------- + ρ˙ s L s 0 – 1 i sdq + ρ˙ s M 0 – 1 i rdq
dt
1 0
1 0
d i rdq
+ M --------------dt
R 7 540 − 10
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(15)
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L’équation relative au rotor en découle immédiatement en remplaçant l’indice r par s et vice versa. Soit, en tenant compte du fait
que la tension du rotor est nulle (dans n’importe quel repère) :
v rdq
d i rdq
= 0 = R r i rdq + L r --------------- + ρ˙ r L r 0 – 1 i rdq + ρ˙ r M 0 – 1 i sdq
dt
1 0
1 0
(16)
d i sdq
+ M ---------------dt
Ces équations constituent les équations fondamentales du moteur
asynchrone et sont habituellement présentées sous la forme :
v sd
v sq
0
0
=
R s + L s ( d/dt )
– L s ρ˙ s
M ( d/d t )
– M ρ˙ s
i sd
L s ρ˙ s
R s + L s ( d/d t )
M ρ˙ s
M ( d/d t )
i sq
M ( d/dt )
– M ρ˙ r
R r + L r ( d/d t )
– L r ρ˙ r
i rd
M ρ˙ r
M ( d/d t )
L r ρ˙ r
Remarque : l’axe « o » n’intervient que dans le cas de dissymétrie de l’alimentation
statorique. Indiquons pour mémoire les équations correspondantes :
v so
v ro
=
Rs 0
i so
0 Rr
i ro
=
Rs 0
i so
0 Rr
i ro
d ϕ
+ ------- so
dt ϕ
ro
(23)
d L i
+ ------- so so
dt L i
ro ro
avec L so = s + 2m rs , L ro = r + 2m r .
3.1.1.5 Modèle d’état du moteur asynchrone
Les techniques modernes de commande des systèmes nécessitent
souvent un modèle sous forme d’état. En choisissant comme vecteur
d’état X les courants statoriques et les flux rotoriques, soit :
isq
X = [isd
(17)
ϕrd ϕrq ]T
et en utilisant les relations (17), (19) (20) (21) (22) et (23), on aboutit
aux équations d’état électriques :
R r + L r ( d/d t ) i rq
Remarque : la transformation de Park est souvent définie par la matrice A normalisée
suivante :
–γ
ρ˙ s
K / T r – ρ˙ r K
cos ( ρ )
2π
cos  ρ – ------- 

3 
4π
cos  ρ – ------- 

3 
– ˙ρ s
–γ
K ρ˙ r
K / Tr
sin ( ρ )
2π
sin  ρ – ------- 

3 
4π
sin  ρ – ------- 

3 
M / Tr
0
– 1/ T r
ρ˙ r
1
--------2
1
--------2
1
--------2
A =
2
----3
X˙ =
(18)
0
2
----- est choisi pour donner une expression invariante du couple élec3
tromagnétique à partir de la propriété A –1 = AT .
Le coefficient
Cette transformation permet de passer directement du repère abc au repère dq
(figure 12). Les axes αβ correspondent à ρ = 0 puisque, en effet, dans ce cas on retrouve
la transformation de Concordia (8).
Pour compléter l’exposé, nous donnons l’équivalent des équations (5), (6) et (7) dans le repère dq :
v sd
v sq
v rd
v rq
=
Rs 0
i sd
0 Rs
i sq
Rr 0
= 0 =
0
0 Rr
ϕ sd
ϕ rd
ϕ sq
ϕ rq
d ϕ
0 – ρ˙ s
+ ------- sd +
dt ϕ
ρ˙ s 0
sq
i rd
i rq
ϕ sd
ϕ sq
d ϕ
0 – ρ˙ r
+ ------- rd +
dt ϕ
˙
ρr 0
rq
=
Ls M
i sd
M Lr
i rd
=
Ls M
i sq
M Lr
i rq
ϕ rd
ϕ rq
(19)
avec
M / T r – ˙ρ r – 1/ T r
10
1 0 1 v sd
X + ----------σ Ls 0 0 v
sq
00
(24)
M
K = ----------------- ,
σ Ls Lr
Rs
Rr M 2
γ = ----------+ -----------------,
σ Ls σ L L2
s r
Lr
Tr = ------- ,
Rr
M2
σ = 1 – ------------Ls Lr
σ s’appelle coefficient de dispersion et Tr la constante de temps
rotorique.
Les autres grandeurs électriques sont obtenues à l’aide du
système :
(20)
i rd
i rq
ϕ sd
(21)
(22)
ϕ sq
–M
0
1 0
0
–M 0 1
1
= -----Lr σ Ls Lr 0 M 0
0
i sd
i sq
ϕ rd
(25)
σ Ls Lr 0 M ϕ
rq
Ces équations sont très générales et plusieurs choix de rotations
ρs et ρr sont possibles. Dans la pratique, trois types de référentiels
sont utilisés, le choix se faisant en fonction du problème étudié.
3.1.1.6 Choix des référentiels
■ Référentiel fixe par rapport au stator
Il se traduit par la condition ρs = 0. On en déduit d’après (13)
et (14) :
ρ˙ s = 0, ρ˙ r = – p Ω
(26)
C’est ce référentiel qui sera retenu pour la commande et l’observation du moteur asynchrone.
■ Référentiel fixe par rapport au rotor
Il se traduit par la condition ρr = 0. D’où :
ρ˙ r = 0, ρ˙ s = p Ω
Figure 12 – Décomposition de la transformation A
Ce référentiel peut être intéressant dans les problèmes de régimes
transitoires où la vitesse de rotation est considérée comme
constante.
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■ Référentiel fixe par rapport au champ tournant
Il se traduit par les conditions :
ρ˙ s = ω s , ρ˙ r = ω s – p Ω
où ωs désigne la pulsation statorique.
Dans ce référentiel, les grandeurs sinusoïdales en régime permanent dans le repère abc (courants et flux) deviennent des
grandeurs constantes.
Le premier crochet représente la variation par unité de temps de
l’énergie magnétique emmagasinée, le deuxième représente la puissance mécanique transformée en puissance électrique à l’intérieur
de la machine tandis que le troisième crochet représente les pertes
Joule au stator et au rotor. La puissance électromécanique s’écrit
donc, en utilisant (13) et (14) :
( ϕ sd i sq – ϕ sq i sd ) ( ρ˙ s – ρ˙ r ) = (ϕsd isq – ϕsq isd )p Ω
Le couple électromagnétique T s’obtient en divisant par Ω, soit :
En effet, si la machine est alimentée par un système de tensions
sinusoïdales, soit :
cos ( ω s t + θ s0 )
va
2π 

= V 2 cos  ω s t + θ s0 – ------3
vs = vb
4π
cos  ω s t + θ s0 – --------

3
vc
alors les transformations de Concordia [8] puis de Park [10], en supposant ρ s = ω s t + θ s 0 , donnent les deux tensions statoriques
(vsd , vsq ) :
v sd
= V 3
0
v sq
Typiquement, V = 220 V et ωs = 100 π rad/s.
Si on applique les tensions :
sin ( ω s t + θ s0 )
va
vs = vb
2π 

= V 2 sin  ω s t + θ s0 – ------3
4π
sin  ω s t + θ s0 – --------

3
vc
T = p (ϕsd isq – ϕsq isd )
Finalement, en utilisant (25), l’équation du mouvement mécanique
s’écrit :
pM
 T = ----------- ( ϕ rd i sq – ϕ rq i sd )
Lr

(27)

dΩ

J -------- = T – τ c – f Ω

dt
où J désigne l’inertie, f le coefficient de frottement visqueux et τc
le couple de charge.
Exemple de moteur asynchrone : pour les illustrations ultérieures,
on considérera une machine asynchrone tétrapolaire dont les caractéristiques nominales sont les suivantes :
puissance utile : 3 kW
couple : 20 N · m
tension par phase à 50 Hz : 220 V
Rs = 1 Ω, Rr = 1 Ω, Tr = 0,15 s, Ls = 0,25 H, σ = 0,066 (on en déduit
L r = 0,15 H et Lm = 0,187 H).
J = 0,07 kg · m 2.
3.2 Commande
Le moteur asynchrone peut être décrit dans un repère α – β fixe
du stator à l’aide des équations (électriques) suivantes :
on obtient :
 v sd = 0

 v sq = V 3
x˙ = A (Ω ) x + Bv
où x = [iα iβ ϕα ϕβ
et :
3.1.2 Équations mécaniques
Dans le cas le plus fréquent, une machine asynchrone fonctionne
en moteur, elle est alimentée au stator par une source triphasée, et
l’enroulement du rotor est fermé en court-circuit.
Le stator étant considéré comme générateur, et le rotor comme
récepteur, la puissance électrique P e fournie au milieu extérieur a
pour expression dans le repère abc :
]T ,
–γ
A(Ω) =
0
K
-------Tr
0
–γ
– pΩK
M
-------Tr
0
1
– ----Tr
0
M
------Tr
pΩ
Pe = vsa isa + vsb isb + vsc isc – vra ira – vrb irb – vrc irc
(28)
v = [vα , vβ ]T
pΩK
 1

 ----------- 0 
 σ Ls



1

,B=
-
 0 ---------σ Ls 


– pΩ
 0
0 


0 
1
 0
– -------Tr
K
-------Tr
qui s’écrit, en appliquant la transformation de Park normalisée :
que l’on peut écrire de façon compacte :
Pe = vsd isd + vsq isq + 2vso iso – vrd ird – vrq irq – 2vro iro
soit, en utilisant les relations (21), (22) et (23), il vient :
d ϕ sd
d ϕ sq
d ϕ so
d ϕ rd
d ϕ rq
d ϕ ro
P e = i sd ------------- + i sq ------------- + 2i so ------------- – i rd ------------ – i rq ------------ – 2i ro -----------dt
dt
dt
dt
dt
dt
+ [ ( ϕ sd i sq – ϕ sq i sd ) ρ˙ s + ( ϕ rq i rd – ϕ rd i rq ) ρ˙ r ]
2
2
2
2
2
2
+ [ R s ( i sd + i sq + 2i so ) + R r ( i rd + i rq + 2i ro ) ]
R 7 540 − 12


A (Ω) = 



– γ I2
M
------ I 2
Tr

K
------ I 2 – p Ω KJ 2 
Tr
 avec J = 0 – 1 et I = 1 0
2
2

01
1
1 0
– ------ I 2 + p Ω J 2 
Tr

Ces équations correspondent à (24) avec les conditions (26). Ici,
i α et i β représentent les courants statoriques, ϕ α et ϕ β les flux rotoriques et enfin v α et v β les tensions relatives au stator. Nous avons
omis les indices s et r par souci de simplification.
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_______________________________________________________________________________________________________ RÉGULATION ÉLECTROMÉCANIQUE
L’équation mécanique du moteur asynchrone s’écrit, en négligeant
le frottement :
τc
pM
dΩ
--------- = ---------- ( ϕ α i β – ϕ β i α ) – ----JL r
dt
J
Remarque : considérons F le module au carré du flux, c’est-à-dire :
F = Φ2 = ϕ α + ϕ β
2
alors, il est facile de voir que :
(29)
˙
2M
2
 F = – ------ F + --------- ( ϕ α i α + ϕ β i β )
Tr
Tr


τc
˙ = pM
Ω
--------(
ϕ
i
α
β – ϕ β i α ) – ----
JL r
J

où τ c désigne le couple de charge.
3.2.1 Commande en flux orienté
˙ = ϕ ϕ˙ + ϕ ϕ˙
ΦΦ
α α
β β
En remplaçant les ϕ˙ par leurs expressions dans (28), on obtient :
M
1
˙ = – ----- Φ + ----------- ( ϕ α i α + ϕ β i β )
Φ
Tr Φ
Tr
(30)
On considère alors la transformation DQ :

T DQ =  cos ρ
 – sin ρ
= T DQ
iα
iβ
,
ud
uq
= T DQ
et
ϕd
alors
ϕd = Φ et ϕq = 0
ϕq
= T DQ
vα
vβ
ϕα
ϕβ
(35)
On constate les avantages d’utiliser le carré du module F au lieu du module Φ :
— (35) est complètement linéaire contrairement à (32) ; ceci signifie que la régulation
du système (35) peut être réalisée en utilisant tout l’arsenal bien connu de la théorie de
la commande des systèmes linéaires ;
— la transformation (34) nécessite moins de calcul que (31) ;
— aucune singularité n’est engendrée par la relation (34) contrairement à (31).
■ Linéarisation
Ce système est non linéaire mais il est facile à linéariser à l’aide
d’une commande appropriée :
Avec ces nouvelles grandeurs, on obtient également :
ϕα iα + ϕβ iβ
ϕα iβ – ϕβ iα
i d = ------------------------------- et i q = ------------------------------Φ
Φ
(31)
Finalement, (28), (29) et (30) se mettent sous la forme :
˙
1
M
 Φ = – ------ Φ + ------ i d
Tr
Tr


τc
pM
˙
- Φ i q – ---- Ω = ---------JL r
J


M iq
 ρ˙ = p Ω + ----- -----
Tr Φ

˙
2
2M
 F = – ------ F + --------- v 1
Tr
Tr


τc
˙ = pM
Ω
--------v
–
----2

JL r
J

dΦ
1
M
 -------- = – ------ Φ + ------ i d
Tr
Tr
 dt

2
 d id
K
M i
1
 ---------- = – γ i d + ----- Φ + p Ω i q + ------ ----q- + ----------- u d
Tr
Tr Φ σ Ls
 dt

 d iq
M id iq
1
 ---------- = – γ i q – pK ΩΦ – p Ω i d – ------ ----------- + ----------- u q
Tr Φ
σ Ls
 dt

τc
pM
dΩ
- = ---------- Φ i q – ---- ------JL r
J
dt


M iq
ρ
d
------- = p Ω + ------ --- dt
Tr Φ

Introduisons les nouvelles variables :
id
(34)
Si on considère cette fois le système complet résultant de la transformation DQ, il vient :
sin ρ 

cos ρ 
ϕβ
avec ρ = tan ----ϕ α : position angulaire du flux,
ϕ
ϕ
et
cos ρ = -----α- , sin ρ = -----βΦ
Φ
iq
 v1 = ϕα iα + ϕβ iβ

 v2 = ϕα iβ – ϕβ iα
alors (33) devient :
2
Φ2 = ϕ α + ϕ β
alors
(33)
Définissons les nouvelles variables :
Le lecteur pourra se reporter à la référence [5] de la bibliographie.
Soit Φ le module du flux, c’est-à-dire :
2
2
(32)
Le « flux orienté » le plus répandu ne prend en compte que les
deux premières équations (Φ et Ω ). Le flux est alors régulé à une
valeur Φref de référence à l’aide de id (courant direct) tandis que la
vitesse est régulée à Ωref , valeur de référence, via le courant en quadrature iq , sous l’hypothèse que Φ est constant.
2

M iq K
 – p Ω i – -------- – ------ ϕ + v d
q

 ud 
Tr Φ Tr

 = σ Ls 

 uq 
M id iq
 pK ΩΦ + p Ω i d + ----- ----------- + v q
Tr Φ








Le système bouclé qui en résulte admet une structure assez simple
faisant apparaître deux sous-systèmes découplés (Φ, id ) et (Ω, iq ) :
 di d
 -------dt

 di q
 -------- dt

Φ
d
------- dt

dΩ
 ------- dt
= – γ id + vd
= – γ iq + vq
1
M
= – ------ Φ + ------ i d
Tr
Tr
τc
pM
= ---------- Φ i q – -----JL r
J
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R 7 540 − 13
RÉGULATION ÉLECTROMÉCANIQUE ________________________________________________________________________________________________________
On régule alors le flux en utilisant un correcteur PI du type :
v d = – K d1 ( Φ – Φ ref ) – K d2
La procédure de découplage consiste alors à résoudre ce système,
en u α , u β :
t
0
( Φ ( τ ) – Φ ref ) d τ
Lorsque le flux atteint la valeur fixe Φref désirée, les équations
dynamiques deviennent linéaires et la vitesse peut être régulée à
Ωref à l’aide de deux boucles PI imbriquées :
v q = – K q1 ( T – T ref ) – K q2
( T ( τ ) – T ref ( τ ) ) d τ
uα
uβ
t
0
( Ω ( τ ) – Ω ref ) d τ
1 – ϕβ ϕα
= ---F ϕ ϕ
α
β
Lr
-------- v + p Ω KF
pM 1
Tr
M 2
2
2 + KM
2
-------- v – ----- ( i + i ) + ----- ( ϕ α i α + ϕ β i β ) – ------------------ F
2 M 2 Tr α β
Tr
MT r
L’existence de cette loi de commande suppose F v 0.
pM
T = ---------- Φ i q
JL r
où
ce qui donne comme solution :
t
0
T ref = – K q3 ( Ω – Ω ref ) – K q4
T˙ = v 1
v2
F˙˙
■ Pour assurer la régulation de T à une valeur de Tref de couple désirée, il suffit de choisir :
v = – k (T – T ) + T˙ ref
1
a
ref
■ Si on souhaite asservir plutôt la vitesse à une valeur Ω ref , alors
l’expression de Tref est imposée par une relation du type :
3.2.2 Linéarisation entrée-sortie
Ici, nous reprenons les équations (28) et (29).
T ref = – k p Ω + k i
■ Choisissons comme sortie le couple moteur T soit :
t
0
( Ω ref – Ω ) ( ξ ) d ξ
pM
y 1 = T = ----------- ( ϕ α i β – ϕ β i α )
Lr
■ De même, la régulation de F à une référence Fref désirée (non
forcément constante) peut être réalisée à l’aide de la commande :
Pour faire apparaître la commande, c’est-à-dire les tensions vα et
v β , il est nécessaire de dériver T (voir (28)), ce qui donne :
v 2 = – kb1 (F – Fref ) – kb2 ( F˙ – F˙ref ) + F˙˙ref
Les constantes positives kp , ki , ka , k b1 et k b2 sont des paramètres
de synthèse.
pM
dT
1
------- = ----------- –  ----- + γ  ( ϕ α i β – ϕ β i α ) – p Ω ( ϕ α i α + ϕ β i β )
 Tr

Lr
dt
1
2
2
– p Ω K ( ϕ α + ϕ β ) + ---------- ( ϕ α v β – ϕ β v α )
σ Ls
(36)
■ Si l’on choisit comme sortie le module du flux soit :
2
2
y2 = F = Φ 2 = ϕ α + ϕ β
alors il est nécessaire de dériver deux fois y 2 pour faire apparaître la
commande, ce qui donne d’après (28) :
Le schéma bloc correspondant à la commande du système
découplé est celui de la figure 13.
Pour les simulations, il convient de prendre des valeurs initiales
non nulles pour les flux afin d’éviter les singularités. Les résultats
de la figure 14 correspondent aux valeurs suivantes :
kp = 6,
ki = 30,
ka = 80
k b1 = 25, k b2 = 10
1
M
y˙2
2
2
------ = ------ ( ϕ α i α + ϕ β i β ) – ------ ( ϕ α + ϕ β )
Tr
Tr
2
puis :
2M 2 2
2M
2 Mp Ω
2
3
- ( i α + i β ) – ---------  γ + ----- ( ϕ α i α + ϕ β i β ) + ----------------- ( ϕ α i β – ϕ β i α )
y˙˙ 2 = ---------2
Tr 
Tr
Tr 
Tr
(37)
4 + 2 KM
2M 1
2
2
- ( ϕ α + ϕ β ) + --------- ----------- ( ϕ α v α + ϕ β v β )
+ -------------------2
T
σ
L
r
s
Tr
■ En combinant les équations (36) et (37), on dispose d’un système
de deux équations à deux inconnues vα et v β , système très facile à
résoudre.
■ Découplage. Si l’on choisit :
1
1
v α = σ L s  u α – p Ω i β +  ------ + γ  i α et v β = σ L s  u β + p Ω i α +  ------ + γ  i β

 Tr
 

 Tr
 
alors (36) et (37) se simplifient et deviennent :
˙
T =


 F˙˙ =


pM
--------- [ – p Ω KF + ( ϕ α u β – ϕ β u α ) ]
Lr
Figure 13 – Boucles de régulation : (a ) de la vitesse, (b) du flux
4M
4 + 2KM
2M
2M 2 2
2
---------- ( i α + i β ) – -------2- ( ϕ α i α + ϕ β i β ) + ------------------- F + --------- ( ϕ α u α + ϕ β u β )
2
2
Tr
Tr
Tr
Tr
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Figure 15 – Vitesses continue et discrétisée : pas d’échantillonnage :
(a ) h = 1 ms (b) h = 0,5 ms (c ) h = 0,1 ms
(en c, les 2 courbes sont confondues)
avec Ac matrice constante et Av variable, fonction de la vitesse Ω :
Ac =
– γ I2
K
------ I 2
Tr
M
-----Tr
1
– ------ I 2
Tr
, Av = p Ω
02
– KJ 2
02
J2
avec 02 matrice nulle de dimension 2.
Quant à l’équation mécanique (29), et en tenant compte des frottements, sa discrétisation donne :
Figure 14 – Résultats de simulation pour la commande
en flux orienté
f
J
f
Ω k + 1 = exp  – ----- t Ω k – ----- exp  – ----- t – 1
J
f
J
pM
 ---------- ( ϕ α k i β k – ϕ β k i α k ) – τ c
 Lr

3.2.3 Modèle discret du moteur asynchrone
Dans la perspective d’une implémentation en temps réel, un
modèle discret correspondant à (28), (29) est requis.
■ La méthode de discrétisation la plus élémentaire est l’approximation d’Euler qui donne :
 x k + 1 = ( I 4 + hA ( Ω k ) ) x k + hBv k

Ωk
τ

pM
- ( ϕ αk i βk – ϕ βk i αk ) – hf -------- – h ----c Ω k + 1 = Ω k + h ---------J
J
JL
r

(38)
où h désigne la période d’échantillonnage et f le coefficient de frottement. Les résultats de simulation montrent que le comportement
du modèle discret est très satisfaisant pour h = 0,1 ms (figure 15).
■ Une discrétisation plus sophistiquée peut être utilisée de la façon
suivante. On réécrit le modèle (28) sous la forme :
x˙ = A v x + v
avec v = Ac x + Bv que l’on considère comme nouvelle entrée. On
a alors :
xk + 1 = Ad xk + B d (Ac xk + Bvk )
où :
A d = e hAv = –1 [ ( sI – A v ) ],
Bd = 

h
0
e Av τ d τ B

On aboutit finalement à la représentation d’état discrète :
xk + 1 =
F 11 F 12
F 21 F 22
I
1
x k + ---------- 2 v k
σ Ls 0
2
X˙ = (Ac + Av ) x + Bv
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RÉGULATION ÉLECTROMÉCANIQUE ________________________________________________________________________________________________________
où I2 (respectivement 0 2) représente la matrice unité (respectivement
nulle) de dimension 2.
F
 11


 F 12


F
 21


 F 22

1
1
d
1
= I 2 – ----------R s + ------  1 – ---- B 2
σ Ls
Tr 
σ
1 d
d
= K  I 2 – A 2 + ------ B 2 


Tr
M d
= ------ B 2
Tr
1 d
d
= A 2 – ------ B 2
Tr
avec :
d
A2 =
cos ( Ω h ) sin ( Ω h )
– sin ( Ω h ) cos ( Ω h )
— l’apparition dans les années 70 de dispositifs à extinction
contrôlable tels que le transistor bipolaire et le thyristor désamorçable par la gâchette (GTO : Gate Turn-Off thyristor ) ;
— l’émergence, dans les années 80, de dispositifs à commande
en tension (MOS) et l’introduction de fonctions « intelligentes » telles
que le contrôle et la protection.
Parmi les semi-conducteurs à commande en tension, c’est l’IGBT
(Insulated Gate Bipolar Transistor ) qui connaît actuellement le plus
grand succès de par ses nombreux avantages (commutations
rapides, performances en courants et tensions élevées, robustesse,
rendement, fiabilité). La société Mitsubishi Electric, par exemple, propose des modules de puissance très compacts, à des prix compétitifs,
avec une gamme allant de 10 A/600 V à 1 200 A/3 300 V. Ces dispositifs appelés IPM ( Intelligent Power Module ) permettent la
commande en puissance des moteurs asynchrones avec un très bon
rendement, à des fréquences de commutation typiques de 15 à
20 kHz tout en assurant de nombreuses fonctions de protection
(court-circuit, courant/température élevés, chute de tension
d’alimentation, etc.).
1
d
sin ( Ω h )
1 – cos ( Ω h )
B 2 = -----Ω – ( 1 – cos ( Ω h ) ) sin ( Ω h )
4. Moteur pas à pas
3.3 Variateurs industriels
Il existe une offre importante de convertisseurs de fréquence pour
entraînements à courant alternatif (Gamme ACS de ABB, ALTIVAR
de Télémécanique, Stephan de Brook Hansen, VLT de Danfoss...).
Ces convertisseurs utilisent le contrôle scalaire ou vectoriel.
■ En contrôle scalaire, la vitesse du moteur n’est pas mesurée et la
commande se fait en boucle ouverte. La vitesse est imposée par une
loi tension/fréquence (rapport U /f ) constant en fonction d’une référence en se basant essentiellement sur la caractéristique de fonctionnement statique du moteur asynchrone.
■ Le contrôle vectoriel fonctionne en boucle fermée et nécessite un
codeur. Il est plutôt utilisé pour des applications exigeant de hautes
performances dynamiques ou de grandes variations de vitesse ou
lorsque le couple doit être maîtrisé même à vitesse nulle.
Un profil de couple est souvent requis, par exemple :
— couple constant pour des mouvements de manutention,
convoyage... ;
— couple quadratique pour des applications intégrant une pompe,
un ventilateur, un compresseur centrifuge, etc.
Exemple : signalons le variateur ACS 600 et ABB qui utilise le principe du contrôle direct de couple et qui possède des performances
intéressantes puisqu’il permet le contrôle du couple jusqu’à la vitesse
nulle sans retour codeur pour des moteurs asynchrones de 2,2 à
315 kW. Associé à un moteur asynchrone tout à fait standard, l’ACS 600
peut être préconisé pour de nombreuses applications :
— enrouleuses-bobineuses où le couple-moteur doit être parfaitement maîtrisé ;
— mélangeurs où l’homogénéité du mélange doit être garantie malgré les variations instantanées de charge ;
— engins de levage qui nécessitent un couple-moteur élevé à vitesse
nulle ;
— extrudeuses, centrifugeuses, convoyeurs et bandes transporteuses, machines textiles,...
Pour développer son propre variateur et appliquer les stratégies
de commande présentées ici, il est nécessaire d’utiliser des modules
de puissance fiables. Des progrès considérables ont été réalisés en
matière de composants électroniques tant dans la physique des
semi-conducteurs de puissance que dans leur procédé de fabrication. Les principaux développements ont été marqués par :
— le thyristor dans les années 60 ;
R 7 540 − 16
Le moteur pas à pas (figure 16) reste pratiquement synonyme de
commande en boucle ouverte. Sa commande en boucle fermée ne
connaît pas le succès qu’elle mérite étant donné les nombreux avantages propres à cette méthode, qui fait que le système est régulé
donc moins sensible aux variations et perturbations extérieures. Ceci
est essentiellement dû au fait que le modèle de ce moteur est assez
complexe car non linéaire. Nous allons exposer une méthode très
simple pour la commande de ce type de moteur. Sa simplicité permet
d’envisager son implantation effective pour des applications industrielles [2].
Le moteur pas à pas est très léger, robuste et bon marché. Ses
applications sont très variées et devraient s’élargir si le marché
offre un produit pouvant réaliser une commande en boucle fermée.
Habituellement, le moteur pas à pas fonctionne en boucle ouverte
selon le principe schématisé par la figure 17.
L’unité de commande impose le sens de rotation et fournit des
impulsions dont la fréquence est proportionnelle à la vitesse de
rotation du moteur. Ces impulsions sont aiguillées par le séquenceur sur les différentes bobines du moteur.
Les moteurs pas à pas existent sous plusieurs structures. On distingue essentiellement 3 types :
— le moteur pas à pas à réluctance variable qui possède un rotor
et un stator dentés et qui utilise la loi du flux maximum ;
— le moteur pas à pas à aimant permanent dont le stator est denté
et le rotor aimanté ;
— le moteur pas à pas hybride qui combine les principes des deux
moteurs précédents. Dans ce qui suit, seul le moteur pas à pas
hybride à deux phases, qui est le plus répandu, sera considéré.
Il existe différents modes d’alimentation [12] des moteurs pas à
pas dont le plus général s’appelle micro-pas ou ministepping. L’utilisateur choisit l’un de ces modes « standard » en fonction de son
application. Les profils des courants se trouvent alors figés et la
vitesse de rotation est tout simplement réglée par la fréquence des
impulsions. Ceci confère au moteur pas à pas une grande souplesse d’utilisation mais limite son champ d’application car il est
souvent nécessaire d’adapter le courant en temps réel suite à une
variation brusque de la charge.
Ainsi, au lieu de fixer un mode d’alimentation, nous présenterons
des méthodes de commande qui permettent de calculer les tensions
de phases instantanées nécessaires pour l’asservissement de la
vitesse ou de la position ou pour la poursuite de trajectoires en temps
réel.
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4.1 Modélisation
Le dimensionnement du moteur pas à pas est généralement réalisé à l’aide de sa caractéristique statique couple/vitesse donnée par
le constructeur (figure 18).
Ici, nous aurons essentiellement besoin du modèle dynamique
du moteur pas à pas afin de développer une loi de commande
adaptée. Ce modèle dynamique peut être décrit par des équations
différentielles non linéaires faisant intervenir des paramètres physiques (résistance, inductance, inertie, charge...).
4.1.1 Modèle physique complet
Le modèle non linéaire complet du moteur pas à pas est donné
par les équations électromécaniques suivantes :
 di α
 L ------- dt

 di
β
 L -------dt

 dΩ
 J ------ dt


dθ
- =
 ----- dt
avec
= v α – Ri α + K i Ω sin ( N θ )
= v β – Ri β – K i Ω cos ( N θ )
= – K m i α sin ( N θ ) + K m i β cos ( N θ ) – f v Ω
– f c sign ( Ω ) – K d sin ( 4N θ ) – τ c
Ω
v α , v β (V)
i α , i β (A)
Ω (rad/s)
θ (rad)
tensions des phases α et β,
courants dans les phases α et β,
vitesse angulaire du rotor,
position du rotor,
f v (N · m · s)
(resp. f c (N · m)) coefficient de frottement
visqueux (resp. Coulomb),
(resp. L (H)) résistance (resp. l’inductance) des
enroulements dans les phases,
nombre de dents du rotor,
inertie du rotor,
constante du couple moteur,
constante du moteur (elle a même valeur que
Km mais les unités sont différentes),
constante du couple de détente,
couple de charge.
R (Ω )
Figure 16 – Moteur pas à pas
(39)
N
J (kg · m 2)
Km
Ki
Kd
τ c (N · m)
Exemple : des valeurs typiques des différentes grandeurs pour un
moteur pas à pas 200 pas/tour avec un courant nominal de 6 A et un
couple maximum de 1,42 N · m sont :
Figure 17 – Principe du moteur pas à pas
L = 0,001 5 H, R = 0,55 Ω, K m = 0,19 N · m/A
N = 50 , J = 4,5 · 10 –5 kg · m 2, Kd = 0,1 N · m
f v = 8 · 10 –4 N · m · s/rad , f c = 10 –3 N · m
4.1.2 Transformation DQ
À l’image de la transformation de Park présentée pour la machine
asynchrone, on définit la transformation DQ :
T DQ =
cos ( N θ ) sin ( N θ )
– sin ( N θ ) cos ( N θ )
Introduisons les nouvelles variables :
 id 
 i 
 v 
 v 

 = T DQ  α  et  d  = T DQ  α 
 iq 
 iβ 
 vq 
 vβ 
Figure 18 – Domaines de fonctionnement du moteur pas à pas
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On obtient alors le modèle équivalent dans le repère d-q , en négligeant les couples de frottement et de détente :
 di d
 L ------- dt
 di
 L -------q dt

 dΩ
 J ------dt

dθ
 ------- =
 dt
4.2 Commande
4.2.1 Régulateur PD
= v d – Ri d + NL Ω i q
= v q – Ri q – NL Ω i d – K i Ω
(40)
= Km iq – fv Ω – τc
Une structure de régulateur appropriée à la régulation de la fonction de transfert (42) est celle d’un correcteur à action proportionnelle-dérivée :
C (s ) = K p + K d s
induisant l’algorithme de commande :
vq = Kp (θd – θ ) + Kd ( θ˙d – Ω )
Ω
où θd désigne la position de référence désirée.
La fonction de transfert en boucle fermée du système simplifié
s’écrit :
4.1.3 Modèle simplifié
Dans le cas d’une commande en courant et en négligeant les
couples de frottement et de détente du modèle (39), on obtient les
deux dynamiques séparées suivantes :
— dynamique rapide (électrique) :
1
 i α = ---[ v + K i Ω sin ( N θ ) ]
R α


1
 i = ----[ v β – K i Ω cos ( N θ ) ]
β
R
— dynamique lente (mécanique) :
 θ˙ = Ω

˙
Km
Km
Km Ki 
τc
1
- Ω – -------- sin ( N θ ) v α + -------- cos ( N θ ) v β – ---- Ω = – ----  f v + -------------J
JR
JR
R 
J

b ( Kp + Kd s )
F ( s ) = ------------------------------------------------------------s 2 + ( a + bK d ) s + bK p
Le schéma bloc correspondant à cette synthèse est celui de la
figure 19.
Cette analyse permet à l’utilisateur de faire un choix simple des
paramètres de synthèse Kp et Kd . Toutefois, il est clair que des
simulations puis l’expérimentation sont nécessaires pour déterminer les valeurs exactes prenant en compte le système réel avec
toutes ses contraintes technologiques.
La figure 20 illustre le type de résultats que l’on peut obtenir en
utilisant cette méthode pour le moteur pas à pas dont les caractéristiques sont définies en § 4.1.1.
Si on utilise la transformation (DQ), la dynamique lente devient
x˙ = Ax + bvq + G
avec
où
x= θ ,
Ω
b=
Km
b 0 = -------,
JR
A= 0 1 ,
0 –a
et
0
,
b0
(41)
G= 0
g
Figure 19 – Schéma bloc de la régulation PD
τc
g = – ----J
Km Ki 
1
a = ----  f v + -------------J 
R 
On aboutit à un système linéaire soumis à la perturbation g. Sa
fonction de transfert s’écrit :
bv q ( s )
g
- + ---------------------θ ( s ) = --------------------s (s + a) s (s + a)
(42)
Avec les valeurs du moteur considéré en 4.1.1, on a :
a = 1 479,4 et b = 7 676,8
Remarque : le modèle simplifié (42) est monoentrée alors que le modèle complet (39)
admet deux entrées vα et v β . Se pose alors la question de déterminer vα et v β à partir de
vq qui constitue la nouvelle variable de commande de (42). Pour cela, on utilise la trans–1
formation inverse T DQ qui donne :
vα = cos (Nθ ) vd – sin (Nθ ) vq
et
vβ = sin (Nθ ) vd + cos (Nθ ) vq
et l’on choisit arbitrairement vd = 0, ce qui donne :
Figure 20 – Position désirée et position obtenue (en pointillés)
dans le cas du régulateur PD
 v α = – sin ( N θ ) v q

 v β = cos ( N θ ) v q
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4.2.2 Linéarisation et commande par retour d’état
On considère maintenant le problème de poursuite de trajectoires
de courants, de tensions, de vitesse et de position pour le moteur
pas à pas. On suppose que ces trajectoires vérifient les équations
du moteur par exemple sous la forme du modèle (40). Les trajectoires
de référence vérifient donc :
 di rd
 L --------- dt
 di
rq
 L --------- dt

 d Ωr
 J --------dt

 d θr
 --------- =
 dt
Le courant direct de référence est déterminé afin de maximiser
le couple à vitesse constante et en respectant la contrainte :
2
2
NLK i Ω r
i rd = – ------------------------------------R 2 + ( NL Ω r ) 2
(43)
= K m i rq – f v Ω r – τ c
Ωr
où l’indice r signifie référence. On verra plus loin comment l’utilisateur peut déterminer toutes les grandeurs de référence à partir
d’un cahier des charges comprenant les profils d’accélération
désirés.
Si on choisit la loi de commande :
Les trajectoires de référence vérifient le système d’équations (43).
Par conséquent, les tensions de référence sont données par :

di rd
 v rd = L ---------+ Ri rd – NL Ω r i rq
dt


di rq

+ Ri rq + NL Ω r i rd + K i Ω r
 v rq = L ---------dt

où les expressions des dérivées des courants sont obtenues par
simple dérivation, soit :
 v d = – NL Ω i q + v rd + NL Ω r i rq + Lu d

 v q = NL Ω i d + v rq – NL Ω r i rd + Lu q
2NLK i R 2 Ω r γ r
 di rd
 ---------- = – -------------------------------------------dt
(
R 2 + ( NL Ω r ) 2 ) 2


fv
 di rq
J ˙
- γ + --------γ
 ---------- = -------Km r Km r
 dt
alors l’erreur de poursuite :
Ω – Ωr
2
vd
NL Ω
------ ( Ω ) = – ------------vq
R
= v rq – Ri rq – NL Ω i rd – K i Ω r
iq – irq
2
On montre que le maximum correspond à :
= v rd – Ri rd + NL Ω r i rq
e = [id – i rd
2
vd+vq = va+vbV2
θ – θr
z ]T
admet l’équation dynamique linéaire suivante :
4.2.3 Approche par les fonctions de Lyapunov
e˙ = Ae + Bu
Ici, on suppose que l’on connaît les trajectoires de référence définissant les performances désirées et satisfaisant les équations dynamiques du moteur pas à pas sous la forme :
avec u = [ud uq ]T
– R/L
0
A=
0
– Ki / L
Km / J – fv / J
0
0
0
La variable z =
0
– R/L
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 ,
0
1
0
0
1
0
B= 0
0
0
0
1
0
0
0
t
0
( θ – θ r ) dt est relative à un intégrateur introduit
afin d’éliminer l’erreur statique sur la position θ.
Enfin, la commande est définie par u = – Ke , K étant le gain du
régulateur par retour d’état que l’on peut déterminer, par exemple,
par placement de pôles [6].
Calcul des grandeurs de référence
On part de la donnée d’un profil de vitesse Ωr désiré ainsi que
d’un profil d’accélération γ r connu. Les différentes grandeurs
(courants et tensions) de référence sont alors calculées comme suit :
L



L


J

di rd
---------- = v rd – Ri rd + NL Ω r i rq
dt
di rq
---------- = v rq – Ri rq – K i Ω r – NL Ω r i rd
dt
d Ωr
---------- = K m i rq – f v Ω r – τ c
dt
l’indice r désignant les grandeurs désirées.
Ainsi, les objectifs de poursuite sont définis en termes de références sur les courants, les tensions ainsi que sur la vitesse.
On définit alors les erreurs de poursuite :
 v d = v d – v rd

 v q = v q – v rq
et
 i d = i d – i rd

 i q = i q – i rq

 Ω = Ω – Ωr
fv
J
i rq = --------- γ r + --------- Ω r
Km
Km
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RÉGULATION ÉLECTROMÉCANIQUE ________________________________________________________________________________________________________
Les équations vérifiées par ces erreurs sont données par :
 di d
- = vd – Ri d + NL ( Ω i q – Ω r i rq )
 L ------dt

 di q
 L -------- = v
q – Ri q – K i Ω – NL ( Ω i d – Ω r i rd )
 dt
 dΩ
 J -------- = K i – f Ω
m q
v
 dt
Le problème de synthèse d’une loi de commande se formule alors
ainsi : déterminer vd et vq stabilisant la dynamique des erreurs de
poursuite. Ceci veut dire que vd et vq doivent faire tendre vers 0
les quantités i d , i q , et Ω .
Pour résoudre ce problème, on utilise les techniques de Lyapunov
en remarquant que :
 Ω i q – Ω r i rq = Ω i q + Ω i rq + Ω r i q

 Ω i d – Ω r i rd = Ω i d + Ω i rd + Ω r i d
Prenons alors la fonction de Lyapunov :
1 = --- { i d2 + i q2 + Ω 2 }
2
vd = ( λ – Ni rq ) L Ω
et :
Km Ki
v q = L  µ – ------- + ----- + Ni rd Ω


J
L
où λ 0 et µ 0 sont des paramètres de synthèse vérifiant
l’inégalité :
fv R R
λΩ i d + µΩ i q ---- i d2 + ---- i q2 + ----- Ω 2
L
L
J
ce qui équivaut au fait que la matrice suivante soit définie positive :
R
---L
0
0
R
---L
λ
----2
µ
– ----2
λ
– ----2
µ
– ----2
fv
----J
Soulignons que cette condition est vérifiée pour λ = 0 et µ = 0.
Remarque importante : cette loi de commande ne nécessite que la mesure de la vitesse
du moteur et non celle des courants id ou iq .
qui est définie positive ; alors on a :
Km Ki
R f ˙ = –R
---- i d2 – ---- i q2 – ----v- Ω 2 + N Ω i d i rq + Ω i q  ------
- – ------ – Ni rd
 J

J
L
L
L
1
1 + --- i d vd + --- i q v q
L
L
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˙ soit définie négative, il suffit de choisir les
Pour garantir que lois de commande définies par :
À titre d’exemple, reprenons le moteur pas à pas dont les caractéristiques sont données en § 4.1.1.
Le profil d’accélération souhaité est représenté par la figure 21a ;
la vitesse ainsi que la position correspondante sont illustrées par
les figures 21b et c. La figure 22 schématise les résultats obtenus.
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Figure 21 – Moteur pas à pas : profils désirés
Figure 22 – Moteur pas à pas : résultats obtenus
par la méthode de Lyapunov
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5. Perspectives
Il existe d’autres outils de l’automatique permettant des développements et des résultats intéressants et prometteurs, par exemple :
— la passivité basée sur des considérations physiques de dissipation d’énergie. Elle donne des lois de commande qui assurent le
suivi de trajectoires avec la mesure de la vitesse seule ;
— la commande floue, qui permet d’envisager un contrôle global
de l’association moteur-convertisseur ; en effet, en fonction des
erreurs sur le flux désiré et sur le couple de référence, il est possible
de fixer directement, pour le convertisseur, la position parmi 7 la
mieux appropriée ;
— la commande et l’observation par mode glissant, réputées
garantir de bonnes propriétés de robustesse, fort utiles dans la
pratique.
R 7 540 − 22
Au niveau des systèmes de motorisations, signalons le moteur à
réluctance variable qui connaît de nombreux développements
académiques et industriels. Il constitue une alternative souvent avantageuse par rapport aux moteurs à courant continu et aux moteurs
alternatifs :
— il est très robuste et sa construction est simple ;
— il ne nécessite aucun matériau spécial (à 99 % en fer et en
cuivre) ;
— il présente une puissance plus importante à volume et masse
identiques ;
— sa résistance est très faible et ses pertes thermiques sont
négligeables.
S’il est couramment utilisé aux USA, le moteur à réluctance
variable est assez peu répandu en Europe.
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P
O
U
R
Régulation électromécanique
par
E
N
Ahmed RACHID
Professeur des universités, Laboratoire des Systèmes Automatiques,
Université de Picardie
Références bibliographiques
Références
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(Lausanne, Suisse) (1986).
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non linéaire à haute performance pour moteur
pas à pas à aimant permanent). IEEE Trans. on
Control Systems Technology 1, no 1, p. 5-14
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CARON (J.P.) et HAUTIER (J.P.). – Modélisation
et commande de la machine asynchrone. Éditions Technip (1995).
MARINO (R.) et al. – Adaptative input-output
linearizing control of induction motors
(Commande adaptative d’un moteur asyn-
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chrone par linéarisation entrée-sortie). IEEE
Trans. Automatic Control 38, no 2, p. 208-221
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TRZYNADLOWSKI (A.M.). – The field orientation principle in control of induction motors
(Le principe du flux orienté dans la commande
des machines à induction). Kluwer Academic
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RACHID (A.) et MEHDI (D.). – Réalisation,
réduction et commande des systèmes
linéaires. Éditions Technip (1997).
RACHID (A.). – Coordonnateur. Systèmes de
régulation. Masson (1996).
Techniques de l’Ingénieur
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ALLANO (S.). – Petits moteurs électriques.
D 3 720, traité Génie électrique, juin 1995.
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LINDAS (R.). – Embrayages. Étude théorique
et constitution générale. B 5 850, traité Génie
mécanique, nov. 1987.
LINDAS (R.). – Embrayages. Étude technologique. B 5 851, traité Génie mécanique, fév.
1998.
DUCHEMIN (M.). – Ressorts. B 5 430 et suivants, traité Génie mécanique, sept. 1994.
LOUIS (J.P.), MULTON (B.) et LAVABRE (M.). –
Commande des machines à courant continu
à vitesse variable. D 3 610, traité Génie électrique, déc. 1988.
ABIGNOLI (M.) et GOELDEL (C.). – Moteurs
pas à pas. D 3 690, traité Génie électrique
mars 1991.
Constructeurs. Fournisseurs
Moteurs et convertisseurs
Moteurs à réluctance variable
ABB Industrie
Allenwest (Écosse)
Cegelec
Sicme Motori (Italie)
Crouzet
Maccon (Allemagne)
Eurotherm Drives
Radio-Énergie (France)
Leroy Somer
Circuits intégrés spécifiques
Portescap (API American Precision Industries)
Arcel
Radio-Énergie
Hewlett Packard
Socitec
International Rectifier
Télémécanique
Micro Linear
Mitsubishi Electric
Doc. R 7 540
6 - 1997
SGS Thomson
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Doc. R 7 540 − 1
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I
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P
L
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S

MVA902 - DM n 3

Devoir de Synthèse n°1

TD n°3 : intégrales de Riemann à paramètre

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Activité A

TP N°1: Mécanisme à Trois Bras

Contrôle n˚5 de Mathématiques

TD Méca5 : - Physique en PCSI

M4_TD - CPGE TSI Lycée Louis Vincent

EQUILIBREUSE DELTALAB

cours sur les machines asynchrones au format PDF