TD Méca5 : - Physique en PCSI

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Physique
TD Méca5 : THEOREME DU MOMENT CINETIQUE
Applications directes du cours
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6. Un satellite, assimilé à son centre d’inertie, de masse
m = 1 tonne , décrit une trajectoire elliptique autour de la
Terre. Ce satellite n’est soumis qu’à la force d’interaction
gravitationnelle F dirigée vers le centre O de la Terre. Le
référentiel d’étude ℜ g est supposé galiléen. A l’instant
représenté (point S ), la vitesse du satellite dans ce référentiel
est v = 14650km.h −1 .
Donnée : rayon de la Terre RT = 6400km .
1. a. Exprimer le moment de la force F d’intensité F = F
par rapport au point O , par rapport à l’axe ( O, −ez ) et
enfin par rapport à l’axe ( O, ez ) .
b. Si la force F se déplace sur sa droite d’action, son
moment par rapport à l’axe orienté est-il modifié ?
a. Calculer le moment cinétique du satellite en O dans
ℜg .
b. A l’aide du théorème du moment cinétique, donner la
valeur de la vitesse du satellite :
a. à son apogée A (point de la trajectoire le plus éloigné de la Terre).
b. à son périgée P (point de la trajectoire le plus près de la Terre).
2. « Si un point matériel M 1 exerce sur un autre point matériel M 2 une force F1→2 , alors le point matériel M 2
exerce sur le point matériel M 1 la force F2→1 = − F1→2 ». Cette équation, à elle seule, traduit-elle le principe
des actions réciproques ?
3. Un point M ( m ) est en mouvement dans le plan
xOy . Déterminer en coordonnées polaires son
moment cinétique en O , son moment cinétique par
rapport à l’axe ( O, −ez ) , son moment cinétique en
par rapport à l’axe ( O, ez ) .
7. Un enfant assimilé à un point matériel G de masse
m = 40kg glisse sur un toboggan décrivant une trajectoire
r = 2,5m
depuis
la
circulaire
de
rayon
position θ = θ 0 = 15° où il possède une vitesse nulle jusqu’à
la position θ = 90° où il quitte le toboggan. On néglige
tous les frottements. On suppose le référentiel lié à la Terre
galiléen.
4. Déterminer l’aire hachurée en fonction des vecteurs A et B .
a. Etablir l’équation différentielle du mouvement de l’enfant à l’aide du théorème du moment cinétique.
b. En déduire l’expression de la vitesse v de l’enfant en fonction de sa position repérée par θ .
c. Calculer la vitesse maximale atteinte par l’enfant. Commenter.
5. Une masse m ponctuelle est attachée par deux fils en deux points A et B d’un axe horizontal ( ∆ ) . Elle se
trouve dans un champ de pesanteur uniforme dont l’accélération est g . Chaque brin de fil, de longueur ℓ ,
fait un angle θ constant avec l’axe ( ∆ ) . La position de la masse m est repérée par l’angle φ que fait le
plan des deux brins de fil avec le plan vertical.
φ
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8 : La luge.(*)
Une luge assimilée à un point matériel G de masse m arrive au
niveau d’un profil circulaire avec une vitesse horizontale v0 .
Tant que la luge suit ce profil, elle décrit une trajectoire
circulaire de rayon R = 5m et est repérée par l’angle θ . On
néglige tous les frottements. On suppose le référentiel lié à la
Terre galiléen.
1.
2.
a. Calculer le moment cinétique par rapport à l’axe ( ∆ ) du point P ( m ) .
3.
4.
c. En déduire l’équation différentielle du mouvement du pendule satisfaite par φ (t ) .
5.
b. Calculer les moments par rapport à l’axe ( ∆ ) de toutes les forces appliquées à la masse m .
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2007-2008
Ecrire l’équation différentielle du mouvement à l’aide du
théorème du moment cinétique.
En déduire l’expression de θɺ en fonction de la position
repérée par θ et v0 .
Déterminer l’expression de la réaction du sol.
Déterminer l’angle limite au-delà duquel la luge quitte le
profil circulaire (en fonction de v0 ).
Montrer qu’il existe une valeur limite de v0 au-delà de laquelle la luge ne suit pas du tout le profil
circulaire.
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9 : Pendules reliés par un ressort.
1.
Oscillations d’un pendule (**)
Un point matériel M ( m ) est relié à un fil inextensible de longueur L = O1M
et de masse négligeable et à un ressort horizontal de raideur k et de longueur à
vide l0 . Le fil est vertical lorsque le point matériel se trouve au repos en O1 ' .
On envisage des petites oscillations quasi horizontales du point M , telles que
O1 ' M ≪ L .
La position de M est repérée par l’angle θ entre le fil et la verticale.
a. Etablir l’équation du mouvement en utilisant le théorème du moment
cinétique.
b. En déduire la période T0 des petites oscillations.
2.
Couplage entre deux pendules (***)
Deux pendules simples identiques, de masse m , et de longueur
L = O1M 1 = O2 M 2 , sont reliés par un ressort horizontal de raideur k et de
longueur à vide l0 = O1 ' O2 ' = O1O2 .
Les points M1 et M2 sont au repos dans les positions O1 ' et O2 ' lorsque les
deux fils sont verticaux.
On considère des petites oscillations quasi horizontales des points M 1 et
M 2 , telles que O1 ' M 1 ≪ L et O2 ' M 2 ≪ L .
Les positions de M 1 et M 2 sont repérées par les angles θ1 et θ 2 entre les fils et la verticale.
a. Déterminer les équations différentielles couplées satisfaites par θ1 et θ 2 , à partir du théorème du
moment cinétique.
g k
k
On posera : ω0 2 = +
et Ω0 2 = .
L m
m
b. On note S = θ1 + θ 2 et D = θ1 − θ 2 .
Quelles sont les équations différentielles vérifiées par S et D ?
En déduire θ1 et θ 2 en faisant intervenir des constantes d’intégration. Comment déterminer ces
constantes ?
10 : Au bout du fil.(**)
Un cylindre d’axe de révolution Oz et de rayon R , repose
sur un plan horizontal et est fixe par rapport au référentiel
galiléen d’étude.
On attache une extrémité d’un fil inextensible et de masse
négligeable à la base du cylindre, en I0 . L’autre extrémité
( )
1 A∧ B .
2
( )
6 : a. L O = m CS vez . b.i. vA =
( )
( )
g
sin φ = 0 .
l sin θ
SC
SC
v = 5915 km.h -1 . b.ii. vP =
v = 3, 628.104 km.h -1 .
R T + AA'
R T + PP'
g
7 : a. θɺɺ − cos θ = 0 . b. v 2 = 2 gR (sin θ − sin θ0 ) . 3. vmax = 21,7 km.h -1 .
r

v 2 2g
v2 v2 
g
1
ɺɺ
8 : 1. θ = sin θ . 2. θɺ 2 = 02 + (1− cos θ ) . 3. R N = m  g (3cos θ − 2) − 0  e r . 4. cos θlim = 2 + 0  . 5. v02max = gR .



r
R
R
R
gR
3




g k 
mL
. 2.a. θɺɺ1 + ω 02 θ1 = Ω 02 θ2 . b. θɺɺ2 + ω 02 θ2 = Ω 02 θ1 .
9 : 1.a. θɺɺ +  +  θ = 0 . b. T0 = 2π
 L m 
mg + kL
ɺɺ + (ω 2 + Ω2 ) D = 0 . θ = 1  A cos (ω t + ϕ ) + A cos (ω t + ϕ ) ;
2. Sɺɺ + (ω02 −Ω02 ) S = 0 ; D
0
0
1
S
S
S
D
D
D 
2
1
g
θ2 =  AS cos (ω St + ϕS ) − AD cos (ω D t + ϕ D ) avec ω S = ω 02 −Ω 02 =
et ω D = ω 02 + Ω 02 .
2
L
mv02
10 : 1. L 0 = L + Rθ . 5. T =
.
L20 − 2 Rvo t
r
L20 − 2 Rv0t
L0
−
.
R
R
5. Déterminer la tension T du fil en fonction de m, L 0 , R, v0 et t .
6. Expliquer pourquoi le fil cassera avant de s’enrouler complètement sur le cylindre.
4. Déduire des questions précédentes que θ (t ) =
3
( )
5 : a. L∆ = ml 2 sin 2 (θ )φɺ . b. M ∆ P = −mgl sin θ sin φ ; M ∆ TA = M ∆ TB = 0 .c. φɺɺ +
3. Montrer que la vitesse (en norme) du point M reste constante au cours du temps.
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( )
4 : Aire =
du fil est fixée à une particule M ( m ) astreinte à glisser sans
frottement sur le plan horizontal.
La longueur du fil non enroulée sur le cylindre à un instant
t est L ( t ) .
A l’instant t = 0 , on communique à M une vitesse v0
horizontale, perpendiculaire à I0 M = L 0 .
On suppose que le fil reste tendu au cours du mouvement.
1. Relier L 0 ,L, R et θ .
2. Montrer que v (M) = −(L − Rθ )θɺe .
0
Réponses ou éléments de réponses :
1 : a. M O F = −bF ez , M (O ,−ez ) F = bF , M (O ,ez ) F = −bF . b. non.
3 : LO ( M )ℜ = mr 2 θɺ ez , L(O ,−ez ) ( M )ℜ = −mr 2 θɺ , L(O ,ez ) ( M )ℜ = mr 2 θɺ .
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