Conducteurs électriques et transfert de charges

Conducteurs électriques et transfert de charges
Sommaire
I)
Outils mathématiques en théorie des champs....................2
A. Utilité de la description par champs...............................................2
B. Quelques définitions.......................................................................2
C. Quelques propriétés.......................................................................4
II)
Etude des conducteurs électriques.....................................5
A. Qu’est ce qu’un conducteur électrique ?........................................5
B. Champs usuels dans un conducteur électrique..............................7
C. Le conducteur électrique ohmique.................................................9
III)
Bilan de charges...............................................................11
A. Transfert de charges.....................................................................11
B. Conservation de la charge............................................................12
C. Cas particulier du régime statique...............................................14
IV)
Vision énergétique...........................................................15
A. Notion de résistance électrique...................................................15
B. Puissance électrique.....................................................................15
C. Effet Joule.....................................................................................15
James Prescott Joule
Physicien britannique
24 Décembre 1818 – 11 Octobre 1889
Culard Mélanie
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Cours de physique
I)
Outils mathématiques en théorie des champs :
A. Utilité de la description par champs
Echelle mésoscopique :
L’échelle mésoscopique est une échelle intermédiaire entre l’échelle microscopique (qui
caractérise les atomes et les molécules, de taille caractéristique l) et l’échelle
macroscopique (qui caractérise les corps dans leur ensemble, de taille caractéristique L) :
 C’est dans cette échelle que nous étudierons les champs.
 Par exemple, un morceau de cuivre est vu dans sa globalité à l’échelle du mètre :
, et est vu à l’échelle atomique lorsque
.
Dans ce cas, on a
.
Pourquoi décrire en utilisant des champs ?
La description par champs nous permettra de décrire l’évolution d’un système à la fois en
fonction de sa position et en fonction de l’instant.
On aura donc une grandeur du type
, avec M et t indépendants.
Définition :
Un champ est la donnée, pour chaque point de l’espace-temps, de la valeur d’une
grandeur physique.
 Cette grandeur peut être scalaire ou vectorielle.
 La notion de champ est plus particulièrement adaptée à l’étude des milieux continus.
B. Quelques définitions
Indépendance selon l’une des variables :
Un champ est uniforme s’il ne dépend pas de l’espace :
Un champ est stationnaire s’il ne dépend pas du temps :
 Un champ peut être à la fois stationnaire et uniforme, dans ce cas, il ne dépend ni de
l’espace ni du temps. On le note alors
.
Exemples de champs :
On peut citer le champ gravitationnel (vectoriel), le champ de température, le champ de
pression (scalaires)…
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Cours de physique
Définition de nabla :
On définit un nouvel opérateur vectoriel, nabla, utile en théorie des champs :
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
où :
→ est un champ vectoriel quelconque
Définition de la divergence :
On définit un nouvel opérateur vectoriel, la divergence, utile en théorie des champs :
⃗
⃗ ⃗⃗
où :
→ est un champ vectoriel quelconque
Définition du gradient :
On définit un nouvel opérateur vectoriel, le gradient, utile en théorie des champs :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
où :
→ est un champ vectoriel quelconque
Définition du rotationnel :
On définit un nouvel opérateur vectoriel, le rotationnel, utile en théorie des champs :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗
⃗
(
) ⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗
(
(
) ⃗⃗⃗⃗
où :
→ est un champ vectoriel quelconque
Définition du flux d’un champ vectoriel :
Le flux d’un champ vectoriel
à travers une surface fermée est donné par :
∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Définition de la circulation d’un champ vectoriel :
Pour un contour fermé C définissant une surface élémentaire ⃗⃗⃗⃗ , la circulation d’un champ
vectoriel est donnée par :
∮
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⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
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Cours de physique
C. Quelques propriétés
Compositions utiles :
Le rotationnel d’un gradient est toujours nul :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ⃗
La divergence d’un rotationnel est toujours nulle :
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
 Ainsi, la divergence d’un champ vectoriel est nulle ssi ce champ dérive d’un
rotationnel et le rotationnel d’un champ vectoriel est nul ssi ce champ dérive d’un gradient.
Volume connexe :
Un volume connexe est un volume « en un seul morceau », c'est-à-dire un volume tel que,
pour tous points A et B de ce volume, on puisse trouver une ligne continue reliant A et B.
Théorème de Green Ostrogradski :
Ce théorème a pour but de transformer une somme sur une surface fermée en somme sur
un volume connexe de la manière qui suit :
∯ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∭
⃗⃗
où :
→ est une expression vectorielle quelconque
→ S représente la surface fermée (i.e. délimitant un volume connexe) de volume V
 Attention, la surface fermée doit être orientée vers l’extérieur.
 Mathématiquement, il faut que soit à dérivées continues sur ce volume, donc de
classe
Théorème de Stokes :
Ce théorème a pour but de transformer une somme sur une ligne fermée (délimitant une
surface S) en une somme sur une surface de la manière qui suit :
∮
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⃗ ⃗⃗⃗⃗
∬ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
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II)
Etude des conducteurs électriques :
A. Qu’est ce qu’un conducteur électrique ?
Définition :
Un conducteur électrique est un matériau dans lequel des charges, que l’on appellera
charges libres, sont libres de se déplacer.
 En l’absence de force mésoscopique, ces charges sont animées d’un mouvement
aléatoire très rapide.
Courant électrique :
Sous l’action d’une force mésoscopique, on observe un mouvement d’ensemble des
charges libres d’un conducteur électrique, c’est le courant électrique.
Exemples :
Milieu conducteur Nature des charges libres
Solide
Electrons de conduction
Solutions ioniques
Ions
plasmas
Gaz d’électrons
Charges liées :
Les charges liées sont les charges non libres restant proches de leurs noyaux à l’échelle
atomique (l’Angstroem).
Densité volumique de charges :
On définit, à l’échelle mésoscopique, une densité volumique de charges contenues dans un
conducteur, en
:
∑
où :
→
est une portion mésoscopique du volume étudié
→ les sont les chages contenues dans ce volume
Autre expression de la densité volumique de charges :
∑
où :
→ est la concentration ou densité volumique (en
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) de chaque type de charges.
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Application au cuivre :
1) Donner la configuration électronique du cuivre. Un réarrangement final conduit à la
structure
. Combien d’électrons chaque atome de cuivre va-t-il libérer
dans la liaison métallique ?
2) Dans un champ statique et uniforme, calculer le nombre d’électrons libres par unité
de volume
puis la densité volumique de charges
.
3) Donner la densité totale de charges n ainsi que .
4) En déduire la densité volumique de charges non libres
.
 Résolution :
1) La configuration électronique du cuivre est :
La configuration réelle du cuivre est une exception à la règle de Klechkowski :
Le dernier électron de cet arrangement s’appelle l’électron libre du cuivre, ou l’électron de
conduction. Il sera mis en jeu lors de la liaison métallique avec un autre atome de cuivre.
]
2) [
On a :
est une concentration que l’on supposera uniforme.
Dans le volume V, on a la masse :
On a donc :
Finalement, le nombre d’entités présentes dans le cuivre est :
Le nombre d’électrons libres présents dans le cuivre est :
D’où :
Puis :
On a de plus :
Donc :
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3) On a de plus, par neutralité électronique :
4) Finalement, on trouve :
B. Champs usuels dans un conducteur électrique
Champ de vitesses des charges libres :
Le champ de vitesses des charges libres dans un référentiel R est défini comme étant la
moyenne mésoscopique des vitesses des entités dans un volume fixe voisin de M :
∑ ⃗⃗⃗⃗
⃗
où :
→ les ⃗⃗⃗⃗ sont les vitesses des particules k
→ N est le nombre d’entités
Courant local de charges libres :
On pose le courant local de charges libres, en
∑
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
:
Vecteur densité surfacique de courant électrique :
Dans le cas usuel où on ne considère qu’un seul type de charges, on a :
⃗
⃗
où :
→ est la vitesse d’ensemble des porteurs de charges en
→ est la densité particulaire de ce porteur de charge
→ q est la charge d’un porteur
→ est la charge volumique correspondant au porteur
 Globalement, seules les charges libres ont une vitesse, on peut donc écrire :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
Lien avec l’intensité du courant électrique :
On se place dans un cas simple et fréquent : un fil conducteur d’axe
et de section S
contient n porteurs de charges par unité de volume. Chaque porteur contient la charge q et
le conducteur est soumis à un champ électrique stationnaire porté par ⃗⃗⃗ .
Alors, la quantité de charges qui traverse la section S orientée est appelée intensité du
courant électrique et vaut :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
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 Preuve :
⃗⃗⃗
⃗
On a, d’après ce qui précède :
Chaque charge libre q subit la force
Donc
est dirigé par ⃗ .
Enfin :
⃗⃗⃗⃗⃗
Donc :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ , donc se déplace dans le sens de ⃗ .
⃗
⃗
est colinéaire et de même sens que ⃗⃗ , quel que soit le signe de q.
Pour qu’une charge traverse la section entre t et
dans le cylindre de section S et de hauteur
.
Le nombre de charges qui conviennent est :
, il faut quelle se trouve à l’instant t
La charge dQ transférée est :
On a :
(orienté positivement car est dans le sens de ).
Donc :
Ainsi, on retrouve bien la formule :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Définitions :
→ Les lignes du champ
sont appelées lignes de courant.
→ Un volume délimité par des lignes de courant s’appelle un tube de champ.
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C. Le conducteur électrique ohmique
Loi phénoménologique d’Ohm :
De nombreux conducteurs soumis à un champ électrique vérifient la loi expérimentale
suivante, appelée loi d’Ohm locale :
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
où :
→ est une constante réelle positive appelée conductivité électrique du matériau, et
s’exprime en
 Attention, on ne peut appliquer cette loi que sous certaines conditions :
→ On se place dans le référentiel attaché au matériau
→ Le champ électrique ne doit pas varier trop vite dans le temps
→ Il n’y a pas de champ magnétique fort, i.e.
Modèle limite de conducteur parfait :
On appelle conducteur parfait un matériau possédant une conductivité infinie.
Modèle limite d’isolant parfait :
On appelle isolant parfait un matériau possédant une conductivité nulle.
Résultats expérimentaux :
→ La conductivité du cuivre est approximativement de :
→ Le transfert mésoscopique des charges libres est proportionnel au champ électrique.
→ Dans les métaux, la conductivité augmente quand la température diminue.
Application au cuivre :
1) On suit un électron libre k dans son mouvement. Dans un modèle de collision,
exprimer sa vitesse après sa dernière collision qui a lieu à l’instant .
2) Moyenner sur tous les électrons libres présents dans un volume mésoscopique.
3) En notant n la densité volumique de charges libres, montrer que ce modèle conduit
à la loi d’Ohm locale et exprimer la conductivité électrique.
4) Quelle valeur de conductivité ce modèle prévoit il pour un métal pur et parfait à
?
5) Par hypothèse ergodique, en posant
(durée moyenne entre deux
collisions successives d’un même électron), évaluer .
6) A quelle condition ce modèle reste il valide lorsque le champ électrique varie dans
l’espace et dans le temps ?
 On devrait normalement utiliser une approche quantique, mais nous n’avons pas les
outils nécessaires pour le faire.
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 Résolution :
1) Dans le référentiel du matériau, on a :
⃗⃗⃗⃗
⃗
En intégrant, on obtient donc :
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
2) Dans un modèle de champ de vitesses, on a :
⃗
On pose :
⃗⃗⃗⃗
On obtient alors le champ de vitesses des particules libres :
⃗
⃗
3) On a, par définition :
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
On retrouve bien l’équation recherchée, avec
4) A
:
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
, pour un métal pur et parfait, on a :
Donc :
On obtient un matériau supraconducteur.
5) On a directement, en effectuant une application numérique :
On obtient :
6) D’après l’équation de la première question, en supposant que le champ électrique est
constant, il faudrait que la période de variation de ⃗ soit très grande devant , soit :
On obtient deux conditions peu restrictives :
→ ⃗⃗
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⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ à l’échelle microscopique
→
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III)
Bilan de charges :
A. Transferts de charges
Surface de contrôle :
Une surface de contrôle est définie de la manière suivante :
→ fixe dans le temps et dans le référentiel d’étude
→ peut être traversée par de la matière, et donc par des charges
→ n’est pas nécessairement réelle physiquement
Expression globale de l’intensité électrique :
Globalement, l’intensité électrique traversant une surface macroscopique orientée est, en
A:
∫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Expression globale de la charge électrique :
Globalement, la charge électrique contenue dans un volume de contrôle V est, en C :
∫
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B. Conservation de la charge
Une loi fondamentale de la physique :
La charge se conserve : il est impossible de créer ou de détruire une charge. Localement,
cela se traduit par l’équation suivante :
où :
→ est la densité volumique de charges
→ est la densité surfacique de courant en volume
 Preuve :
• Système :
Considérons un volume V quelconque et faisons un bilan de
charges entre les instants et
.
Commençons par écrire, comme pour tout bilan, que la
variation temporelle de charges est égale à l’échange à
travers la surface plus la création en volume.
Or, d’après ce qui précède, il est impossible de créer une
charge, le terme de création en volume est donc nul, soit :
• Variation temporelle :
A un instant t quelconque, la charge
contenue dans le volume V s’écrit, par extensivité :
∭
∭
La variation du nombre de particules s’écrit donc, en passant par un développement limité :
Avec l’expression de
, on obtient :
(∭
)
Et comme le domaine d’intégration V ne dépend pas du temps, il est possible de rentrer la
dérivée sous le signe intégrale, ce qui nous amène à :
∭
Finalement, la variation dans le temps vaut :
∭
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• Echange surfacique :
L’extensivité de la charge échangée permet d’écrire :
∯
Regardons comment s’écrit
. Pour ce faire, on considère une surface dS et on regarde
la charge qui la traverse pendant dt :
Afin de simplifier le raisonnement, considérons que :
→ Il n’y a qu’un type de porteur de charge
→ Chaque porteur contient la charge q
→ Tous les porteurs ont la même vitesse
→ La densité particulaire de porteurs vaut
Dans ces conditions, les seuls porteurs qui pourront traverser notre élément de surface seront
ceux compris dans le cylindre de longueur
ci-dessous :
Le nombre de porteurs qui passe est :
Avec :
Donc :
Donc :
⃗⃗⃗⃗
En comptant la charge reçue, nous avons donc :
∯
⃗⃗⃗⃗
En utilisant le théorème d’Ostrogradski :
∭
Finalement, l’échange à travers la surface vaut :
∭
• Rassemblement :
En rassemblant les deux égalités, nous obtenons tout d’abord :
∭
∭
Comme le volume d’intégration V est le même pour les deux sommes, nous pouvons les
regrouper :
∭
(
)
Comme le résultat est nul quel que soit le volume d’intégration V, alors l’intégrande est
nulle :
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Cas particulier du transfert unidimensionnel cartésien :
Lors d’un transfert de charges unidimensionnel cartésien, on a :
 Preuve :
On étudie un transfert unidimensionnel cartésien dans un fil d’axe z et avec les dépendances
suivantes :
̅
⃗⃗⃗
L’intensité I traversant une section S à la côte z du fil orienté selon ⃗⃗⃗ est donnée par :
∫ ⃗⃗⃗⃗
∫ ̅
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
∫ ̅
A l’instant t, le volume V compris entre et
̅
∫
̅
contient la charge mobile :
Pendant la durée dt, le courant électrique est responsable de la variation de la charge, soit :
(
)
Donc :
Ainsi, on obtient bien l’équation recherchée :
Conservation de la charge, version globale :
Globalement, le théorème précédent de conservation de la charge se traduit comme suit :
où :
→
est la charge contenue dans le volume V
→ I est l’intensité circulant dans V, respectivement entrante ou sortant du volume
Propriété importante :
L’intensité électrique (flux de charges) est toujours spatialement continue.
C. Cas particulier du régime statique
Conservation de la charge statique :
En régime statique, on retrouve la loi des nœuds :
 On dit que est à flux conservatif.
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IV)
Vision énergétique :
A. Notion de résistance électrique
Loi d’Ohm globale :
Lorsque les charges étudiées ne sont transférées que dans la direction , que les champs
étudiés ne dépendent que de z, que le courant I est orienté d’un point A vers un point B, on
a la relation suivante (en convention récepteur) :
où :
→ V est le potentiel du point considéré
Résistance électrique :
Pour le même type de conducteur étudié précédemment, i.e. pour un conducteur dans
lequel la loi d’Ohm s’applique, on peut définir une résistance électrique, donnée par :
où :
→ R est la résistance électrique en Ω
→ L est la longueur du conducteur en m
→ S est la section du conducteur en
→ est la conductivité du matériau étudié en
B. Puissance électrique
Puissance volumique :
On définit la puissance volumique algébriquement reçue par la matière de la manière
suivante, en
:
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 Qualitativement, on peut dire que lorsque l’on soumet un matériau conducteur à un
champ électrique, les charges libres se mettent en mouvement, accélérées par la force
électrique. Ces charges gagnent de l’énergie : il y a transfert d’énergie du champ
électromagnétique vers la matière.
C. Effet Joule
Effet Joule local dans un matériau ohmique :
Localement, dans un matériau ohmique, on a la relation suivante (en
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):
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Effet Joule global dans un matériau ohmique :
Globalement, dans un matériau ohmique, on a la relation suivante (en W) :
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