distribution du TD EM1

PC
2014-2015
Electromagnétisme
Electrostatique
1
1.1
Exercices de raisonnement
Champ électrostatique (d’après Oral CCP)
On considère les cartes de lignes de champ représentées sur la figure 1. On précise que les
cartes sont invariantes par translation perpendiculairement au plan de la figure.
Figure 1 – Cartes de lignes de champ
Lesquelles peuvent décrire un champ électrostatique ? Pour les cartes acceptables, donner
l’allure des équipotentielles.
1.2
Déviation d’un jet d’eau
On réalise l’expérience suivante : on frotte un tube en PVC avec un morceau de laine puis
on approche le tube d’un filet d’eau coulant du robinet. Le filet d’eau est dévié vers le tube.
Expliquer. Le signe des charges portées par la règle a-t-il une influence ?
1.3
Dépoussiérage électrostatique
Pour dépoussiérer les fumées émises par une cheminée d’usine, on peut utiliser un procédé
électrostatique qui repose sur la polarisabilité des poussières. On place par exemple un fil uniformément chargé avec une densité linéique λ sur l’axe vertical de la cheminée.
Expliquer.
2
Exercices d’entraînement
2.1
Ensemble de trois charges
Deux charges identiques −q distantes de 2a sont alignés suivant un axe (Oz). Une troisième
charge +2q est placé en un point O au milieu des deux autres charges. Cette distribution peut
par exemple modéliser une molécule de CO2 .
Figure 2 – Trois charges ponctuelles.
Déterminer l’expression du champ électrostatique créé par les trois charges en un point M ,
distinct du point O, de l’axe (Ox) orthogonal à (Oz).
2.2
Topographie du champ électrostatique et du potentiel
On considère un doublet de charges qA et qB placées respectivement aux points A(−1, 0) et
B(+1, 0) du plan (Oxy).
Figure 3 – Carte de champ et équipotentielles créées par deux charges ponctuelles.
Sur la carte de champ (figure 3), les lignes courbes correspondent aux équipotentielles (régulièrement réparties en valeurs de potentiel) et les flèches indiquent la direction du champ
électrostatique local.
1. Tracer l’allure des lignes de champ.
2. Quels sont les signes des charges qA et qB ?
3. Quelle est en valeur absolue la charge la plus grande ?
4. Sachant que le rapport des valeurs absolues des charges est égal à 2, montrer que l’équipotentielle V = 0 correspond dans le plan (Oxy) à un cercle C dont on déterminera son
rayon R et son centre C.
2.3
Piège électrostatique
Les techniques d’analyse de la matière par spectrométrie de masse occupent une place grandissante, notamment dans l’étude de composés biologiques. Après ionisation, la matière est injectée
dans un système analyseur, capable de séparer les composants élémentaires en fonction de leurs
masses. L’objet de cette partie est la présentation et l’étude d’un type d’analyseur : l’analyseur
à piège à ions.
Figure 4 – Piège de Paul
Le principe repose sur le piégeage de la matière ionisée au voisinage d’une position d’équilibre
stable.
Le composant principal est un piège de Paul, mis au point dans les années 1950 par le
physicien allemand Wolfgang Paul (Prix Nobel 1989).
Le piège de Paul, dont le schéma est représenté sur la figure 4, est constitué de trois électrodes.
Deux électrodes en forme de coupelles qui sont reliées à la masse d’un générateur et une électrode
en forme d’anneau qui est portée au potentiel électrique U > 0. Le potentiel créé en un point de
l’espace est de la forme :
V = U (ax2 + ay 2 + bz 2 + αx + βy + γz + δxy + λyz + µzx)
1. Justifier que tous les coefficients sont nuls sauf a et b.
2. De quelles équations aux dérivées partielles V est-il solution ?
3. On place dans ce potentiel une particule de charge q < 0. Possède-t-elle une position
d’équilibre stable. Que peut-on déduire quant à la possibilité de piéger une particule chargée
dans ce dispositif ?
2.4
Energie réticulaire d’un cristal ionique à une dimension
La cohésion d’un cristal ionique est assurée par les interactions électrostatiques entre les ions,
la répulsion entre les nuages électroniques imposant une distance minimale entre voisins. La
disposition des ions sur le réseau réalise l’énergie potentielle minimale du système appelée énergie
réticulaire. On modélise ce phénomène par le modèle de Born-Landé : à l’énergie potentielle
d’interaction électrostatique, on associe un terme d’énergie potentielle répulsive de la forme rBn .
n est le facteur de Born, il s’agit d’un nombre compris entre 5 et 12, déterminé théoriquement
ou expérimentalement par la mesure de compressibilité du solide. Pour N aCl, on a n = 8.
On se place dans le cas d’un cristal à une dimension constitué d’une chaîne alternée infinie
d’ions monoatomiques N a+ et Cl− distants de d = 0, 28 nm.
1. Ecrire l’expression de l’énergie totale du réseau.
2. Déterminer l’énergie molaire réticulaire d’un cristal ionique (N a+ , Cl− )
3. Expérimentalement, on trouve Ereticulaire = −787 kJ.mol−1 . Commenter.
2.5
Câble coaxial cylindrique
Un câble coaxial cylindrique, est formé de deux cylindres conducteurs très longs, d’axe Oz,
séparés par le vide. Le premier, plein de rayon r1 , au potentiel V1 , porte la charge linéique λ1 ;
le second, au potentiel V2 inférieur à V1 , est creux et de rayon intérieur r2 .
→
−
1. Le champ électrique E est nul en un point intérieur d’un conducteur. Justifier. Que peut-on
en déduire pour le potentiel à l’intérieur et sur la surface ? pour la répartition de charge ?
2. Quel est le signe de λ1 ?
3. L’ensemble étant en équilibre, quelle est la charge linéique λ2 de la face interne du cylindre
externe ?
→
−
4. On suppose le câble coaxial infiniment long. Quelle est la direction de E entre les deux
conducteurs ? L’évaluer et en déduire la capacité C1 par unité de longueur définie par
1
C1 = V1λ−V
puis calculer numériquement C1 .
2
Application numérique :
– r1 = 1 mm ;
– r2 = 3 mm ;
– permittivité diélectrique du vide 0 = 8, 85.10−12 SI.
2.6
Caractéristiques électrostatiques au voisinage de la Terre
On observe à la surface de la terre par temps clair, un champ électrostatique vertical descen−−→
dant Esol de l’ordre de 100 V.m−1 et on a mis en évidence l’existence d’une couche conductrice
de l’atmosphère, l’ionosphère, à partir d’une altitude h ≈ 70 km, ce qui conduit à modéliser de
façon simplifiée l’état électrique de l’atmosphère par un condensateur sphérique dont la surface
de la Terre et la base de l’ionosphère, appelée électrosphère, sont les armatures respectivement
négative et positive. On suppose que la surface de la Terre et l’électrosphère sont des surfaces
sphériques portant des charges opposés uniformément réparties (respectivement −Q et Q avec
Q > 0). On donne le rayon moyen de la Terre RT = 6400 km et on suppose que la permittivité
relative de l’air est 1.
1. Déterminer le champ électrique régnant en tout point de l’espace compris entre les armatures. En déduire la valeur de Q et la densité surfacique de charge σ au niveau du sol
terrestre.
2. Calculer le potentiel dans la même région. En déduire la différence de potentiel entre la
surface de la Terre et l’électrosphère. Commenter.
3. On envisage désormais le cas plus réaliste où la charge de l’électrosphère est répartie entre
les altitudes h1 = 60 km et h2 = 70 km. Dans l’hypothèse d’une répartition uniforme,
déterminer le champ électrique et le potentiel à une distance r du centre de la Terre
compris entre RT et R2 = RT + h2 . Donner leurs allures en fonction de r.
2.7
Champ de gravitation
1. On considère une planète assimilée à une sphère homogène de masse volumique ρ, de centre
O1 et de rayon R1 .
(a) Déterminer l’expression du champ gravitationnel g(r) créé par cette planète en un
point M distant de r. On distinguera les cas r ≥ R1 et r ≤ R1 .
(b) Cette planète est percée d’une cavité assimilée à une sphère de centre O2 et de rayon
R2 . Déterminer le champ gravitationnel en un point M de la cavité.
2. Distribution de masse inhomogène
En réalité, ce modèle n’est pas valable pour la Terre. Le champ gravitationnel a pour
expression, dans le domaine 0 ≤ r ≤ RT :
−g0 Rr1 pour0 ≤ r ≤ R1
g(r) =
−g0
pourR1 ≤ r ≤ RT
avec R1 = 3480 km. En déduire la loi de variation de la masse volumique ρ(r). Tracer le
profil obtenu. Commenter.
2.8
Un modèle d’écrantage
Ce problème traite, de manière simplifiée, le phénomène d’écrantage dans un électrolyte
faiblement concentré : lorsqu’on plonge un conducteur chargé dans l’eau, la répartition des ions
au voisinage est modifiée et le champ électrostatique global est atténué. Données :
– permittivité diélectrique du vide 0 = 8, 85.10−12 F.m−1 ;
– charge électrique élementaire e = 1, 6.10−19 C ;
L’espace est repéré au moyen de coordonnées cartésiennes (x, y, z) et d’un repère (e~x , e~y , e~z )
associé.
On assimile le volume d’un conducteur au demi-espace défini par x < 0, et la surface de ce
conducteur au plan défini par x = 0. Le demi-espace x > 0 est vide. La surface du conducteur
métallique parfait porte une charge surfacique uniforme positive égale à σ. Le champ électrique
régnant à l’intérieur du volume du conducteur est nul.
Au voisinage du conducteur métallique, se trouve une distribution volumique uniforme de
charge, dont la densité volumique de charge est notée ρ. La distribution volumique de charge
est répartie dans la tranche comprise entre les valeurs x = 0 et x = L, où L est une épaisseur
caractéristique que l’on se propose de déterminer ultérieurement. La charge volumique ρ est de
signe opposé à la charge surfacique σ et ne perturbe pas celle-ci. La charge volumique est nulle
pour toute valeur x > L.
Figure 5 – Ecrantage
−−→
1. Déterminer par des arguments de symétrie, la direction du champ Etot en considérant à la
fois les distributions de charge surfacique σ et volumique ρ.
Par application du théorème de Gauss, déterminer la valeur du champ électrostatique
−−→
Etot (x) en tout point x appartenant à l’intervalle [0, L].
−−→
Montrer que Etot (x) est uniforme pour toute valeur x > L.
2. On dit que la distribution de charge volumique écrante la distribution surfacique de charge
−−→
lorsque le champ Etot (x) s’annule pour tout x > L. Cela signifie que pour tout observateur
situé à une distance supérieure à L, la surface métallique apparaît non chargée.
Donner la relation, portant sur σ, ρ et L, pour laquelle la condition d’écrantage, ou d’électroneutralité, est satisfaite.
−−→
3. On suppose la condition d’électroneutralité satisfaite, le champ Etot est donc nul pour
toute valeur x > L. Donner l’expression du potentiel électrostatique Vtot (x) en tout point
du demi-espace x > 0. On distinguera les intervalles 0 < x ≤ L et x > L, et on choisira
conventionnellement Vtot (L) = 0.
−−→ 4. Représenter graphiquement l’allure de l’amplitude Etot (x) en fonction de x, pour x > 0.
Tracer également l’allure de Etot 2 (x).
2.9
Caractère ionique d’une liaison covalente
1. Une molécule diatomique homonucléaire , comme H − H ou Cl − Cl possède-t-elle un
moment dipolaire ?
2. À quel caractère des atomes d’une molécule de type A−B peut-on relier le moment dipolaire
de cette molécule ?
3. Le moment dipolaire expérimental de la molécule H − F est p = 1, 82 D ; la distance entre
les atome est d = 91, 8 pm. Quel serait le moment dipolaire pi si la liaison était purement
ionique (H + − F − ) ? On définit le caractère ionique de la liaison par ppi . Ce rapport est
compris entre 0 (liaison purement covalente) et 1 (liaison purement ionique). Que vaut-il
pour la molécule HF ?
4. On donne pour la molécule HCl : p = 1, 08 D et d = 127, 4 pm, et pour la molécule HI :
p = 0, 44 D et d = 160, 8 pm. Calculer le caractère ionique pour ces molécules. On donne
les électronégativités des éléments : χH = 2, 2, χF = 4, 0, χC l = 3, 2 et χI = 2, 7.Quel lien
peut-on faire avec le caractère ionique des molécules correspondantes ?
2.10
Moment dipolaire du méthanal
On considère la molécule de méthanal CH2 O. Le moment dipolaire de la liaison C − H vaut
0, 40 D et celui de la liaison C = O vaut 2, 30 D. On rappelle : 1 D = 13 10−29 C.m.
1. Donner la formule développée du méthanal.
\ =
2. Quelle est la valeur théorique du moment dipolaire de cette molécule. On donne HCH
116°.
3. On place en M (r, θ) un cation portant une charge +Q = +e. Quelle est l’énergie potentielle
de l’ion dans le champ du dipôle ?
4. Quelle est l’énergie potentielle du dipôle rigide dans le champ créé par la cation ? Si l’on
suppose l’ion fixe et le dipôle mobile, quel est le mouvement du dipôle dans ces conditions ?

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