SLCI - Performance des systèmes - Les SII en PTSI PT

Sciences Industrielles
de l'ingénieur
CI 2 – SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES
LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS
CHAPITRE 6 – ÉTUDE DES PERFORMANCES DES SYSTÈMES COMPLEXES –
PRÉCISION – STABILITÉ
DMU 60 eVo Linear
Modélisation par schéma bloc
Centre d’usinage 5 axes continus[1]
d’un axe numérique asservi [2]
PROBLÉMATIQUE :
– La modélisation de systèmes multiphysiques donne lieu à des schémas bloc de plus en plus complexes. Comment
améliorer la performance de ces systèmes en vue d’améliorer la rapidité, la stabilité ou la précision ?
Ce document est en évolution permanente. Merci de signaler toutes erreurs ou coquilles.
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Étude du modèle sans perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
1
2
3
Entrée rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Entrée en accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Entrée échelon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Étude du système soumis a une perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Étude de la stabilité des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
6
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
4.1
Système d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Système d'ordre
1 Introduction
On s’intéresse à un système asservi classique. Les contraintes à respecter vis-à vis du cahier des charges sont des contraintes
de stabilité, rapidité et de précision.
2013 – 2014
Xavier PESSOLES
1
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Exemple
Pour modéliser l’axe asservi d’une machine outil la modélisation suivante :
On prendra K (p ) = 1, H (p ) une fonction de transfert du premier ordre de gain K M et de constante de temps τ, G (p ) =
K T permet de transformer la vitesse de rotation en une vitesse de translation. C (p ) est un correcteur de la forme
C (p ) = K C .
2 Étude du modèle sans perturbation
Dans ces conditions, exprimons la fonction de transfert
en boucle fermée, la fonction de transfert en boucle ouverte
et la précision du système :
F T B F (p ) =
S (p )
C (p )H (p )
=
E (p ) 1 + C (p )H (p )F (p )
F T B O (p ) = C (p ) · H (p ) · F (p )
Dans tous les cas, F T B O (p ) est une fraction rationnelle et peut s’écrire sous la forme suivante :
N (p ) K 1 + a 1 p + a 2 p 2 + ... + a m p m
F T B O (p ) =
=
D (p ) p α 1 + b1 p + b2 p 2 + ... + bn p n
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Remarque
"(p ) =
1
1
· E (p ) =
1 + F T B O (p )
1 + C (p ) · H (p ) · F (p )
La précision du système dépend des caractéristiques de la FTBO. On note K son gain et α sa classe.
Exprimons l’erreur du système :
lim "(t ) = lim p "(p ) = lim p
t →∞
p →0
p →0
1
· E (p ) = lim p
p →0
1 + F T B O (p )
1
1+
K
pα
· E (p ) = lim p
p →0
pα
pα + K
· E (p )
On considère la perturbation nulle. La fonction de transfert du moteur est de la forme H (p ) =
On a donc :
KM
.
1 + τp
KM
· KT
KC KM KT
1 + τp
F T B F (p ) =
=
KM
1
+
τp
+ KC KM KT
1 + KC ·
· KT
1 + τp
KC ·
F T B O (p ) = K C ·
"(p ) =
KM
· KT
1 + τp
1
1 + τp
· E (p ) =
· E (p )
KC KM KT
1 + τp + K C K M K T
1+
1 + τp
Exemple
1
1 + τp
1 + KC KM KT
"(p ) =
· E (p )
τ
1+
p
1 + KC KM KT
2.1 Entrée échelon
Dans ce cas :
"S = lim "(t ) = lim p
t →∞
p →0
pα
E0
E0 p α
·
= lim
p →0 p α + K
pα + K p
Ainsi :
E0
. Le système est donc plus précis lorsque le gain K de la FTBO augmente ;
1+K
– si α > 0 : "S = 0. L’écart statique est donc nul quel que soit K .
– si α = 0 : "S =
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Exemple
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1
1 + τp
1
1
1 + KC KM KT
· =
"S = lim "(t ) = lim p "(p ) = lim p
τ
t →∞
p →0
p →0
p
1
+
K
C KM KT
1+
p
1 + KC KM KT
Pour augmenter la précision statique, il faut augmenter le gain du correcteur proportionnel K C .
2.2 Entrée rampe
Dans ce cas :
"V = lim "(t ) = lim p
t →∞
p →0
pα
pα + K
·
E0
E0
pα
·
= lim
2
α
p →0 p + K
p
p
Ainsi :
– si α = 0 : "S = ∞. Le système est donc instable ;
E0
. L’écart de trainage diminue lorsque K augmente ;
– si α = 1 : "S =
K
– si α > 1 : "S = 0. L’écart de trainage est nul.
Exemple
1
1 + τp
1
1 + KC KM KT
·
"V = lim "(t ) = lim p "(p ) = lim p
= +∞
τ
t →∞
p →0
p →0
p2
p
1+
1 + KC KM KT
Le système est donc instable lorsqu’il est soumis à une rampe. Utiliser un correcteur intégral de la forme C (p ) =
KC
p
permettrait de stabiliser le système. En augmentant alors K C , on réduirait l’erreur de traînage.
2.3 Entrée en accélération
Dans ce cas :
"A = lim "(t ) = lim p
t →∞
p →0
pα
E0
pα
E0
·
= lim
·
α
3
α
p →0 p + K p 2
p +K p
Ainsi :
– si α = 0 : "A = ∞. Le système est donc instable ;
– si α = 1 : "A = ∞. Le système est donc instable ;
E0
– si α = 2 : "A =
. L’écart diminue lorsque K augmente.
K
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2.4 Bilan
La précision d’un système dépend du gain K et de la classe α de la FTBO.
e (t )
Échelon
Remarque
Résultat
Rampe
Accélération
E (p )
1
p
1
p2
1
p3
α=0
1
1+K
α=1
α=2
0
0
∞
1
K
0
∞
∞
1
K
On montre en deuxième année que l’augmentation de K ou de la classe peut être cause d’instabilité.
3 Étude du système soumis a une perturbation
Exprimons l’erreur du système soumis à perturbation en fonction des deux entrées :
"(p )
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
=
E (p ) − S (p ) · F (p )
=
E (p ) − P (p ) + "(p )C (p ) · F (p )H (p )
=
E (p ) − P (p )F (p )H (p ) − "(p )C (p )F (p )H (p )
"(p ) 1 + C (p )F (p )H (p ) = E (p ) − P (p )F (p )H (p )
E (p ) − P (p )F (p )H (p )
1 + C (p )F (p )H (p )
1
F (p )Attention H(p)
"(p ) =
E (p ) −
P (p )
1 + C (p )F (p )H (p )
1 + C (p )F (p )H (p )
"(p ) =
Exemple
Cas 1 : C (p ) = K C
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"(p ) =
1
G (p )
Vc (p ) −
Ωr (p )
1 + G (p )H (p )C (p )
1 + G (p )H (p )C (p )
5
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"(p ) =
1 + τp
1 + τp
Vc (p ) − K T
Ωr (p )
1 + K T K M K C + τp
1 + K T K M K C + τp
Le système est soumis à une consigne échelon d’amplitude E c et à une perturbation échelon d’amplitude Ep . Dans
ce cas,
"(p ) =
1 + τp
Ep
1 + τp
Ec
− KT
1 + K T K M K C + τp p
1 + K T K M K C + τp p
1 + τp
1 + τp
Ec − KT
Ep
p →0 1 + K T K M K C + τp
1 + K T K M K C + τp
"S = lim p "(p ) = lim
Exemple
Exemple
p →0
"S =
E c − K T Ep
1 + KT KM KC
L’augmentation du gain du correcteur permet de diminuer l’écart statique.
Cas 2 : C (p ) =
KC
p
4 Étude de la stabilité des systèmes
Il ne s’agit pas ici de faire une étude exhaustive de la stabilité des systèmes asservis, mais d’avoir une idée sur un des critères
de stabilité
4.1 Système d'ordre 1
Soit un système du premier ordre sous sa forme canonique :
H (p ) =
K
1 + τp
Sa réponse temporelle à une entrée échelon d’amplitude E0 est donnée par :


t
−
s (t ) = E0 K 1 − e τ 
Le système est instable si τ est négatif.
4.2 Système d'ordre 2
Soit un système du second ordre :
K
H (p ) =
1+
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2ξ
1
p + 2 p2
ω0
ω0
6
=
K ω20
ω20 + 2ξω0 p + p 2
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On le sollicite par un échelon d’amplitude E0 . En conséquence, E (p ) =
S (p ) =
4.2.1 Cas où
E0
et on a :
p
K ω20
E0
· 2
p ω0 + 2ξω0 p + p 2
ξ>1
p
Dans ce cas, ω20 + 2ξω0 p + p 2 peut se factoriser sous la forme p − p1 · p − p2 avec p1 = −ξω0 + ω0 ξ2 − 1 et p2 = −ξω0 −
p
ω0 ξ2 − 1.
On montre donc que :
S (p ) =
K E0 K E0 p2
1
K E0 p1
1
+
·
+
·
p
p1 − p2 p − p1 p2 − p1 p − p2
Et alors,

s (t ) = K E0 1 +

p1
p2
p1 ·t
p2 t
e
+
·e
· u (t )
p1 − p2
p2 − p1
Dans ce cas,
4.2.2 Cas où
ξ=1
Dans ce cas, ω20 + 2ξω0 p + p 2 se met sous la forme p − p12 avec p1 = −ω0 .
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On montre donc que :
S (p ) =
K E0
K E0 ω0
K E0
−
−
2
p
p − p1
p − p1
Et alors,
s (t ) = K E0 1 − e −ω0 ·t − ω0 t e −ω0 t · u (t )
4.2.3 Cas où
ξ<1
p
Dans ce cas, ω20 + 2ξω0 p + p 2 peut se factoriser sous la forme p − p1 · p − p2 avec p1 = −ξω0 + j ω0 1 − ξ2 et p2 =
p
−ξω0 − j ω0 1 − ξ2 .
On montre donc que :
S (p ) = K E0
ξω0
p + ξω0
1
−
−
2
2
2
p
2
p + ξω0 + ω0 (1 − ξ )
p + ξω0 + ω20 (1 − ξ2 )
Et alors,
Résultat
s (t ) = K E0 1 − e
−ξω0 t

· cos t ω0
p
1 − ξ2

−p
ξ
1 − ξ2
e
−ξω0 t

· sin t ω0
p
!
1 − ξ2

· u (t )
On montre qu’un système est stable si les pôles de la FTBF sont à partie réelle strictement négative.
Références
[1] DMU 60 eVo linear, DMG – Deckel Maho – Gildemeiseter, http://fr.dmg.com.
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[2] Programmation des machines-outils à commande numérique (MOCN), Étienne Lefur et Christophe Sohier, École Normale
Supérieure de Cachan, http://etienne.lefur.free.fr/.
[3] SLCI : Systèmes asservis en boucle fermée : stabilité et précision, Joël Boiron, PTSI – Lycée Gustave Eiffel de Bordeaux.
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