Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs

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Chapitre 5 : Les vecteurs
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Activités 1, 2 et 3 sur les translations
I ) Vecteurs
1) Qu’est – ce qu’un vecteur ? Idée à retenir : « Un vecteur sert à décrire un déplacement. »
Définition :
Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments :
1) une direction ( une droite , deux droites parallèles ont la même direction )
2) un sens de parcours de cette direction .
3) une longueur ( appelée norme ) .
Exemples :
1) Le vecteur formé de la direction(), de sens « de vers » et de longueur AB est noté .
2) Les vecteurs AB et CD ont la même direction et le même sens mais pas la même longueur
3) Les vecteurs AB et BA ont la même direction et la même longueur mais pas le même sens.
Remarque :
On dit que le point B est l’image du point A par la translation de vecteur AB .
2) Vecteurs égaux : Idée à retenir : « Deux vecteurs sont égaux s’ils décrivent le même déplacement »
Définition :
On dit que deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Exemple : AB = CD signifie que :
1) AB et CD ont la même direction,
c’est-à-dire que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles.
2) AB et CD ont le même sens,
c’est-à-dire que le sens est le même de A vers B que de C vers D.
3) AB et CD ont la même longueur, c’est-à-dire que AB = CD
3) Notation Les trois vecteurs AB, CD et EF ci-contre sont égaux. On dit alors que AB, CD et EF
sont des représentants d’un même vecteur que l’on peut noter génériquement u .
On dit que AB est le représentant du vecteur u d’origine A.
4) Vecteurs particuliers
Définition :
Le vecteur AA est appelé vecteur nul et noté 0 .
Il n’a pas de direction, ni de sens et sa longueur est nulle.
Définition :
L’opposé du vecteur u non nul est le vecteur ayant la même direction,
.
le sens contraire et la même norme. On le note −
Remarque :
L’opposé du vecteur AB est le vecteur BA .
On écrit donc que : BA = − AB .
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II ) Faire de la géométrie avec les vecteurs
1) Vecteurs égaux et parallélogramme
Propriété :
Soient , B, et quatre points distincts du plan.
AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme.
Remarque :
On a aussi BA = CD,
AD = BC et DA = CB
2) Vecteurs égaux et milieu d’un segment :
Propriété :
.
Le point est le milieu du segment [] si et seulement si = Remarque : On a aussi = Exercice 1 :
Les quadrilatères et sont deux parallélogrammes.
.
1) Démontrer que = 2) En déduire que = .
Exercice 2 : Compléter le tableau suivant ( On pourra s’aider d’une figure ) :
Langage habituel
Langage vectoriel
est l’image de …… par…………………………
= ……………………………………………………….
est l’image de par la translation de vecteur ……………………
est un parallélogramme
= ………
………………. est un parallélogramme
= est le milieu de [
]
……………………
…… est le milieu de ………
= Exercice 3 :
Le quadrilatère est un parallélogramme.
1) Placer le point = ().
2) Démontrer que le quadrilatère est aussi un parallélogramme.
Exercice 4 :
Soit un triangle.
.
1) a) Construire le point tel que = b) Déterminer l’image de par la translation de vecteur .
2) a) Construire le point = ().
.
b) Montrer que = c) En déduire que est égal à ().
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Activités 4 et 5 sur les translations
III) Opérations sur les vecteurs
1) Somme : Idée à retenir : « La somme de deux vecteurs correspond à deux déplacement successifs »
a) Les deux vecteurs positionnés sont l’un à la suite de l’autre
Relation de Chasles :
On définit la somme vectorielle AB + BC comme étant le vecteur AC .
b) Les deux vecteurs ne sont pas positionnés sont l’un à la suite de l’autre
Méthode : On déplace les vecteurs de façon à les mettre l’un à la suite de l’autre.
Etant donnés deux vecteurs quelconques u et v , on définit la
somme vectorielle u + v comme étant le vecteur égal à AC ,
où A est un point quelconque du plan et C son image par les
translations successives de vecteurs respectifs u et v .
Remarques :
La somme vectorielle ne dépend pas du point A choisi.
Comme pour la somme des nombres, la somme vectorielle est
commutative, c'est-à-dire u + v = v + u
associative, c'est-à-dire ( u + v ) + w = u + ( v + w ) , ce que l’on peut simplement noter u + v + w .
Exercice 5 :
On considère le triangle ABC ci – contre.
1) a) Construire le point D tel que
= .
b) Démontrer que est un parallélogramme.
2) a) Construire le point = () .
?
b) Que veut 3) Montrer que est un parallélogramme.
4) En déduire l’image du point C par la
translation de vecteur .
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Exercice 6 :
Sur la figure ci-contre, construire les points D,E, F, définis par les égalités :
1) = 2) = 3) = 4) = 2) Différence : Idée à retenir « Pour soustraire, on ajoute l’opposé ».
Définition :
On appelle différence entre u et v , le vecteur noté u − v défini par : u − v = u + ( −v ) .
Remarque : On retrouve le « soustraire, c’est ajouter l’opposé ».
Exercice 7 :
Dans le parallélogramme ci-contre,
1) Tracer la somme avec pour origine le point .
2) Tracer la différence − avec pour origine le point .
A retenir :
Dans un parallélogramme, les deux diagonales correspondent à la somme et la différence des vecteurs des côtés :
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3) Produit par un nombre
Définition:
Etant donné un vecteur non nul u et un nombre réel non nul k ,
on définit le vecteur produit, noté k u comme le vecteur ayant :
• la même direction
• le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0
• la longueur k × u
On définit de plus 0 u = k 0 = 0.
Exercice 8 :
Sur le quadrillage ci – contre, construire les
points D, E, et tels que :
= 2
= −3
= −4
= 2
Exercice 9 :
Sur le quadrillage ci – contre, construire les
points D, E, et tels que :
− = 2
2
= −2
− 2
3
= − 4
= 2
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IV) Dans un repère
1) Définition
On se donne un repère ( O, I , J ) .
Pour tout vecteur w du plan, il existe deux uniques nombres x et y tels que w = xOI + y OJ .
Ces deux nombres x et y sont les coordonnées du vecteur,
appelées respectivement abscisse et ordonnées de w dans le repère ( O, I , J ) .
Existence et unicité admise.
Exercice 10 :
Tous les triangles ci-dessous sont équilatéraux.
Dans le repère (, , $), quelles sont les coordonnées
, ,
et ?
,
des vecteurs : Propriété:
 x − xA 
Dans un repère, le vecteur AB a pour coordonnées  B
.
 yB − y A 
2) Vecteurs égaux
Propriété:
Dans un repère, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Démonstration admise
Exercice 11 :
Avec les données de l’exercice précédent, montrer que ABGC est un parallélogramme.
Exercice 12 :
Soient A (1, 2 ) B ( −5, 2 ) C ( 2, −3) D ( −4, −3) .
Montrer que ABCD est un parallélogramme.
Exercice 13
u et v sont deux vecteurs de coordonnées u (1 ; 2 ) et v ( −1 ; 2 ) .
Les points A, B, C et D sont définis par :
OA = 2u − v ;
OB = u + 2v ; OC = −2u + v ; OD = −u − 2v .
1) Calculer les coordonnées de A, B, C et D et faire une figure.
2) Montrer que ABCD est un parallélogramme.
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3) Somme de vecteurs
Propriété:
Dans un repère, les coordonnées de la somme de deux vecteurs sont égales
à la somme des coordonnées des vecteurs.
4) Produit d’un vecteur par un nombre
Propriété:
Dans un repère, les coordonnées du produit d'un vecteur par un nombre sont égales
au produit des coordonnées du vecteur par ce nombre.
5) Norme d’un vecteur
Propriété:
Dans un repère orthonormé, le vecteur AB a pour norme:
2
2
AB = AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) .
6) Rappel : coordonnées du milieu d’un segment
Propriété:
Dans un repère, le milieu M du segment [ AB ] a pour coordonnées : xM =
xB + x A
y + yA
et yM = B
.
2
2
dem :
Si milieu M est le segment [ AB ] alors AM = MB.
En coordonnées, ça donne:
x + xA

x = B
 xM − x A = xB − xM
 2 xM = xB + x A
 M
2
⇔
⇔

 yM − y A = y B − y M
 2 yM = y B + y A
 y = yB + y A
 M
2
Exercice 14
Soient A (1 ; 2 ) , B ( −2 ; 3 ) et C ( −6 ; 0 ) .
1) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
2) Déterminer les coordonnées des points E et F pour que les vecteurs AE et CF soient tous deux égaux à BD .
3) Montrer que D est le milieu de [EC] et le milieu de [AF].
Exercice 15
On donne les points A ( −2 ; 5 ) , B ( 2 ; − 1) et C ( 5 ; 1) .
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
2) Calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un carré.
Exercice 16
On donne les points A ( 0 ; 0 ) , B ( 2 ;1) , C ( −2 ; 3) , E ( −3 ; − 2 ) , F (1; 5) .
1) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
2) Démontrer l’égalité AE = FC .
Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AECF ?
3) Montrer que [FE] et [BD] ont même milieu.
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V) Colinéarité et Parallélisme
1) Définition, application
Définition :
On dit que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s'il existe un réel k ∈ ∗ tel que u = k v .
Propriété :
 x 
 x'
Les vecteurs non nuls u   et v   sont colinéaires si et seulement si xy '− x ' y = 0
 y
 y '
Dem :
x ' = k x
Si v = k u , alors 
et xy '− x ' y = x k y − k x y = 0
y' = k y
Supposons, réciproquement que xy '− x ' y = 0.
Si une des coordonnées est nulle, par exemple x = 0,
y' Comme dans ce cas y ≠ 0 et comme on a x ' y = 0, on en déduit que x ' = 0. On a alors v = u .
y
x' y'
x' Sinon, on peut diviser par x et y et on obtient
=
et v = u
x y
x
Application :
Les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles si et seulement si
les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Exercice 17
Soient A ( 2 ; 7 ) , B ( −1 ; 1) et C ( 0 ; 3 ) .
2 1) Montrer que AC = AB
3
2) En déduire que les points A, B et C sont alignés.
Exercice 18
Soient les points A ( 2 ; − 1) et B ( −1 ; 2 ) .
1) Calculer les coordonnées du point C tel que : AC =
1 AB .
2
2) Expliquer pourquoi A, B et C sont alignés.
Exercice 19
On considère les points suivants A ( −2 ; − 3 ) , B ( 3 ; 3 ) et C ( 4 ; − 1) .
1) Calculer les coordonnées du point P, défini par : OP = OA − 2OB + OC .
2) Soit K le milieu de [AC]. Montrer que OP = −2 KB .
3) En déduire que les droites (OP) et (KB) sont parallèles.
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2) Equations de droites
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On se place dans un repère ( O, i , j ) .
a) Droites « obliques »
Situation :
1
 3
On considère les points : A   et B   .
2
8
 x
Un point M   appartient à la droite (AB) si les points A, B et M sont alignés.
 y
 xB − x A = 3 − 1 = 2
 xM − x A = x − 1
AB 
AM 
 yB − y A = 8 − 2 = 6
 yM − y A = y − 2
AB et AM sont colinéaires
⇔ 2 ( y − 2 ) − 6 ( x − 1) = 0 ⇔ 2 y − 4 − 6 x + 6 = 0 ⇔ 2 y = 6 x − 2 ⇔ y = 3 x − 1
L’équation y = 3x − 1 est appelée équation de la droite (AB).
 −2 
 −1 
Pour tester si des point C   et D   appartiennent à la droite d’équation y = 3x − 1 , il suffit de
 1 
 −4 
vérifier si leurs coordonnées vérifient l’équation de la droite. Attention, il faut « séparer » les calculs !!
yC = 1
3 xC − 1 = 3 × ( −2 ) − 1 = −6
.
Comme yC ≠ 3 xC − 1, le point C n'appartient pas à la droite
yD = −4
3 xD − 1 = 3 × ( −1) − 1 = −4
Comme yD = 3 xD − 1, le point D appartient à la droite
Propriété :
Une droite non verticale a une équation de la forme y = ax + b,
où a et b sont des nombres réels fixés.
Le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine
et le nombre a s'appelle le coefficient directeur ou la pente de la droite
On a vu en TD que le b correspondait à la hauteur à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées et le a à
l’ « inclinaison » de la droite
Exercice 21
Dans un repère, d est la droite d’équation y = 3 x + 7 .
 2 
 3 
2) Les points A, B et C ( −1; 4 ) sont-ils alignés ? Justifier.
1) Vérifier que les points A  − ;5  et B ( 0;7 ) appartiennent à la droite d.
Exercice 22
Dans un repère, la droite d d’équation y = 5 x − 4 est la médiatrice d’un segment [BC].
1) On pose A ( 2;6 ) . Le triangle ABC est-il isocèle en A ?
2) On pose D ( −2; −6 ) . Le triangle DBC est-il isocèle en D ?
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Interprétation géométrique du coefficient directeur :
On considère un point A( x0 , y0 ) appartenant à une droite d d'équation de la forme y = ax + b.
On considère x = x0 + 1, y = a( x0 + 1) + b = ax0 + a + b = ax0 + b + a = y0 + a.
Le point B( x0 + 1, y0 + a ) est donc un autre point de la droite d .
Pour aller au point A au point B, il faut se déplacer d'une unité vers la droite et de a unités verticalement.
Exercice 23
1) Dans un repère, construire la droite d de coefficient directeur 3 et qui passe par A (1; −1) .
2) Donner l’équation de la droite d.
Propriété :
Une droite non verticale (AB ) a pour coefficient directeur a =
yB − y A
si A ≠ B.
x A − xB
Dem :
La droite (AB ) a une équation de la forme y = ax + b.
Comme A ∈ ( AB ), on a y A = ax A + b
Comme B ∈ ( AB ), on a yB = axB + b
On calcule
yB − y A axB + b − ax A − b a ( xB − x A )
=
=
=a
x A − xB
x A − xB
x A − xB
Exercice 24
Dans un repère, on considère les points : A (1; −1) , B ( 2;1) , C ( −5; 2 ) , D ( −5; 24 )
Déterminer l’équation de la droite (AB) puis de la droite (CD).
Exercice 25
Dans un repère du plan, d et d’ sont les droites d’équations respectives y = 2 x − 3 et y = −2 x + 8 .
a) Tracer les droites d et d’ à l’écran de votre calculatrice.
b) Lire à l’écran les coordonnées de leur point d’intersection. A. (menu G-Solv pour Casio et CALC pour
TI).
c) Déterminer les coordonnées de A par le calcul.
Exercice 26
Dans un repère du plan, d et d’ sont les droites d’équations respectives y = 2 x + 4 et y = 4 x − 10 .
a) Vérifier que d et d’ sont sécantes.
b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection A de d et d’.
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Propriété :
Deux droites d et δ non verticales d'équations respectives y = ax + b et y = α x + β où a, b, α , β ∈ ,
sont parallèles si et seulement si a = α .
Dem :
Si a = 0, la droite d est horizontale et donc parallèles à la droite δ si et seulement si α = 0.
Supposons que a et α soient non nuls.
On va alors choisir deux points distincts sur chacune des droites.
Si x = 0, on calcule y = b et y = β . Donc M 1 ( 0, b ) ∈ d et N1 ( 0, β ) .
Si x = 1, on calcule y = a + b et y = α + β . Donc M 2 (1, a + b ) ∈ d et N 2 (1,α + β ) .
 1 − 0 = 1
M 1M 2 
a +b −b = a
 1 − 0 = 1
N1 N 2 
α + β − β = α
Les droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs M 1M 2 et N1 N 2 sont colinéaires,
si et seulement si 1 × α − a × 1 = 0 ⇔ a = α .
Exercice 27
Lire, avec la précision permise par le dessin, la solution de chaque système sur le graphique ci-dessous.
D2
D1
D3
 x = −3


1
27
 y = − 5 x + 5
 y = −2 x + 5

y = x − 2
D4
 y = −0, 2 x + 5, 2

y = x − 2
 y = −2 x + 5


1
27
 y = − 5 x + 5
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b) Droites verticales
Situation :
1
1
On considère les points : A   et B   .
2
8
 x
Un point M   appartient à la droite (AB) si les points A, B et M sont alignés.
 y
 xB − x A = 3 − 3 = 0
 xM − x A = x − 3
AB 
AM 
 yB − y A = 8 − 2 = 6
 yM − y A = y − 8
AB et AM sont colinéaires
⇔ 0 ( y − 8 ) − 6 ( x − 3) = 0 ⇔ −6 x + 18 = 0 ⇔ 6 x = 18 ⇔ x = 3
Définition :
Une droite verticale a une équation de la forme x = c,
ou c est un nombre réel fixé.
 −2 
 3
Pour tester si des point C   et D   appartiennent à la droite d’équation x = 3 , il suffit de vérifier si
 1 
1
leurs coordonnées vérifient l’équation de la droite. Dans ce cas, il suffit de vérifier que l’abscisse est égale à
c.
xC = −2
.
Comme xC ≠ 3, le point C n'appartient pas à la droite
xD = 3
Comme xD = 3, le point D appartient à la droite

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