TD2 Dynamique en référentiel non Galiléen ❏ 1. Points de Lagrange Trois masses m1, m2 et m3 sont en rotation dans un même plan autour de leur centre de masse G qui est immobile. Le but de l’exercice est de montrer que, si elles sont situées respectivement aux 3 sommets M1, M2 et M3 d’un triangle équilatéral de côté d, elles peuvent être en équilibre (dit relatif) dans un référentiel tournant à vitesse angulaire constante autour de G. 1- Rappeler la définition du centre de masse G des trois masses m1, m2 et m3. 2- Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la masse m1 dans un référentiel R en rotation à la vitesse angulaire constante ω autour de (G, uz) où uz est dirigé selon la normale au plan des trajectoires. 3- A quelle condition sur ω la masse m1 est –elle en équilibre dans R? Donner l’expression de cette vitesse angulaire. Cette disposition des corps célestes, dite de Lagrange, peut être observée dans le système solaire, par exemple avec le triplet Soleil-Jupiter-astéroide. ❏ 2. Bifurcation mécanique Un mobile M de masse m est astreint à glisser sans frottement sur la périphérie d’un cerceau (C), de rayon a et de centre O; le diamètre vertical (Oz) du cerceau est fixe et un dispositif (non précisé) impose au cerceau un mouvement de rotation autour de l’axe fixe (Oz) à la vitesse angulaire constante ω . On note g l’accélération de la pesanteur et on fera l’étude du mouvement de M dans le référentiel tournant avec le cerceau. La position de M est alors entièrement repérée par l’angle θ fait par OM avec la verticale. 1. Etablir l’équation différentielle du second ordre vérifiée par θ(t) . 2. Montrer l’existence d’une ou plusieurs position(s) d’équilibre ; on fera apparaître une valeur critique ω0 de la pulsation ω. 3. Discuter de la stabilité de la ou des position(s) d’équilibre. 4- Que se passe-t-il si on met petit à petit le cerceau en rotation jusqu’à une vitesse angulaire « élevée » ? ❏ 3. Oscillateur paramétrique mécanique. 1. Établir l’équation d’évolution de θ(t) d’un pendule simple réalisé avec une masse m placée à l’extrémité d’une tige de masse négligeable et de longueur l dont l’autre extrémité A oscille verticalement autour de l’origine O :OA = h cos (γt) uz. On note ω02 =g/l et α =hγ2/g. 2. En supposant que le pendule oscille à faible amplitude (ie. sin θ≈ θ), on va montrer qu’il existe une valeur de γ telle que l’amplitude des oscillation augmente : c’est la résonance paramétrique. a. Montrer que l’on a : 1𝑑 ! 𝜃 + 𝜔!! 𝜃 ! = −𝜔!! 𝛼𝜃𝜃cos(𝛾𝑡) 2 𝑑𝑡 b. On suppose que θ(t) = A(t) cos (ω0 t + ϕ) avec A(t) lentement variable sur une période propre, ie 𝐴T0<<A. Montrer, dans ces conditions, que l’équation précédente se ramène à : 1 𝑑𝐴! = 𝜔! 𝛼 sin 2𝜔! 𝑡 + 2𝜑 cos (𝛾𝑡) 𝐴! 𝑑𝑡 ! !!! ! !!! c. Calculer la valeur moyenne de ! et montrer que pour γ = 2 ω0, on a : < ! ! !" ! Conclure sur l’augmentation de l’amplitude des oscillations. !" > ≠ 0 ❏ 4. Jour solaire et jour sidéral. La durée du jour solaire moyen est la durée Tm qui sépare, en moyenne, deux positions successives du Soleil au zénith dans son mouvement dans le référentiel terrestre. La durée du jour sidéral est la durée Ts que met la Terre pour faire un tour sur elle-même dans le référentiel géocentrique (référentiel dans lequel le centre de la Terre est immobile). Montrer que Tm−Ts =Tm2/(Ta + Tm) où Ta est la période de révolution de la Terre autour du Soleil. Calculer Tm − Ts sachant que Tm = 86 400 s et Ta = 365,25 Tm. MP* Fénelon 2014/2015 ❏ 5. Déviation vers l’est On étudie la chute d’un point matériel de masse m au voisinage d’un point de latitude λ. On note Ω le vecteur de rotation de la terre. On se place dans le référentiel terrestre local, où 𝒖z est la verticale ascendante, 𝒖x la direction de l’est et 𝒖y celle du nord. Le champ de pesanteur 𝒈 = -g 𝒖z est uniforme. On néglige les frottements. On lâche la particule depuis le point A (0,0,h) sans vitesse initiale. 1- Ecrire l’équation vectorielle du mouvement. 2- Résoudre à l’ordre zéro, c’est-à-dire en négligeant la force de Coriolis ; on obtient alors une vitesse 𝒗0(t) de la particule. Puis résoudre à l’ordre 1 c’est-à-dire en remplaçant la vitesse v dans la force de Coriolis par son expression 𝒗0(t) estimée à l’ordre zéro ; on obtient alors une vitesse 𝒗1(t) de la particule puis un vecteur position 𝑶𝑴1(t). Déterminer le point d’impact B au sol, la date tB de l’impact et la vitesse 𝒗B au moment de l’impact en fonction de g, λ , Ω et h. 3- Application numérique : calculer xB pour h = 100m, λ = 45° et g = 10 m.s-2. 4- On renvoie la particule depuis le point B avec la vitesse – 𝒗B. a- Justifier sans calcul que la particule ne reprend pas même trajectoire en sens inverse. b- En opérant par approximations successives comme en 2, déterminer le vecteur vitesse à l’ordre zéro puis à l’ordre 1, puis le vecteur position 𝑶𝑴1(t) à l’ordre 1. c- En déduire la position du point d’impact C au sol et commenter. ❏ 6. Questions ouvertes. 1. Quelle devrait-être la durée d’une journée pour que la force centrifuge puisse nous arracher à l’attraction terrestre ? 2. Un train roule vers le nord aux alentours de Lyon à une vitesse de norme v0 = 300 km/h. Quel est le rapport de la force de Coriolis par son poids ? Quel rail s’use le plus rapidement ? Et si le train roule vers le sud ? ❏ 7. Exercice « ouvert » A partir des informations fournies, il vous est demandé de mettre en place un modèle théorique et de confronter aux mesures. A vous d’expliciter les approximations qui vous semblent utiles. Afin de mesurer l’accélération verticale d’un ascenseur, on décide d’utiliser le capteur force du plateau d’une console de jeu. L’ascenseur est initialement à l’arrêt. On pose le plateau sur le sol de l’ascenseur et l’on dépose un parpaing de masse m sur le plateau. On actionne ensuite l’ascenseur pour passer d’un étage à un autre. Un ordinateur permet d’enregistrer la force mesurée sur le capteur en fonction du temps. La courbe représente le module de la force F en fonction du temps. 1. A quel instant l’ascenseur démarre t-il ? 2. Quelle est la masse du parpaing ? 3. Interpréter les variations de F en fonction du temps ? L’ascenseur monte-t-il ou descend t-il pendant l’expérience ? 4. En analysant les données expérimentales, estimez numériquement • La vitesse avec laquelle se déplace l’ascenseur en dehors des phases d’accélération. • La distance qui sépare les étages de départ et d’arrivée. • A combien d’étage cela correspond-il ? MP* Fénelon 2014/2015
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