Transmission de puissance PTSI

Transmission de puissance
Notes de cours pour les élèves de CPGE PT
Version 1.0
1er avril 2014
écrit sous LATEX 2ε
Elric THOMAS
ii
Construction mécanique
Table des matières
1 Transmission de puissance
1.1 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Aspect cinématique - Définitions . . . . . . . .
1.1.2 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les principales solutions constructives . . . . . . . . .
1.3 Transmission de puissance par poulie-courroie . . . . .
1.4 Transmission de puissance par chaîne et pignons . . .
1.5 Transmission de puissance par engrenage . . . . . . . .
1.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Géométrie des dentures . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Caractéristiques de la transmission . . . . . . .
1.5.4 Conditions à respecter . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Fabrication des engrenages . . . . . . . . . . .
1.6 Comparatif entre les systèmes de transmission . . . . .
1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages . . . . . . . . . . .
1.7.1 Réducteurs à engrenage élémentaire . . . . . .
1.7.2 Réducteurs à trains d’engrenages . . . . . . . .
1.7.3 Réducteurs épicycloïdaux . . . . . . . . . . . .
1.8 Train sphérique - Différentiel . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Le différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Actions mécaniques exercées sur les dentures . . . . . .
1.9.1 Cas des engrenages droits à denture droite . . .
1.9.2 Cas des engrenages droits à denture hélicoïdale
.
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1
2
3
3
4
4
5
6
6
6
7
8
8
10
11
11
13
14
18
18
21
21
21
A Réducteurs et différentiels
23
B Pignon d’attaque de différentiel
27
Lycée Jules Garnier
iv
Construction mécanique
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Transmission de puissance
D
ans de nombreuses applications industrielles, on est amené à choisir, pour des raisons
économiques, comme actionneur un moteur dont le couple nominal et/ou la vitesse
nominale ne correspondent pas aux conditions de l’application.
Exemple 1 Groupe turbopropulseur du TUCANO EMB 312 FF.
Figure 1.1 – TUCANO EMB 312 FF
L’actionneur est ici un turbopropulseur 1 qui transmet sa puissance mécanique à l’hélice.
Figure 1.2 – Schéma de principe du turbopropulseur PT6A
1. Le terme français turbopropulseur est en fait dérivé du mot anglais turboprop composé de turbo et
de propeller (hélice) et qui signifie littéralement moteur à hélice entraîné par une turbine.
Lycée Jules Garnier
2
Chapitre 1 - Transmission de puissance
⇒ La vitesse en bout de pale ne doit pas atteindre la vitesse du son ; ce qui impose une
vitesse de rotation de l’hélice de : ωhélice = 3 200 tour/min.
⇒ L’arbre de la turbine de puissance tourne à : ωturbine = 33 000 tour/min.
On constate que les vitesses de rotation ωhélice et ωturbine sont différentes. On ne peut
donc pas relier directement l’hélice à l’arbre de la turbine de puissance.
Pour satisfaire le besoin, le concepteur a intercalé entre le turbopropulseur et l’hélice un
réducteur de vitesse à engrenages. La figure ( Fig. 1.6, p. 5) présente la chaîne fonctionnelle
de la transmission de puissance et l’annexe ( Fig. A.1, p. 23) représente le schéma du
réducteur de vitesse à engrenage du groupe turbopropulseur sur TUCANO EMB 312 FF.
C o u p le
m o te u r
T u rb o p ro p u lse u r
V ite s s e d e
r o ta tio n
R é d u c te u r à
e n g re n a g e s
C o u p le
d e s o rtie
H é lic e
V ite s s e
a d a p té e
A d a p t a t e u r d 'é n e r g i e
M é c a n iq u e
Figure 1.3 – Chaîne fonctionnelle de la transmission de puissance
Un réducteur de vitesse réalise deux fonctions principales au sein de la chaîne fonctionnelle :
1. Transmettre la puissance mécanique du moteur (turbopropulseur) vers le récepteur
(hélice).
2. Adapter cette puissance mécanique pour obtenir les caractéristiques désirées (couple
et vitesse de rotation).
Ainsi, pour l’exemple choisi, on obtient :
• ωhélice << ωturbine
• Chélice >> Cturbine
1.1
Généralisation
Les réducteurs et multiplicateurs sont des transmetteurs de puissance. Leur place dans
la chaîne d’énergie est la suivante :
C
M o te u r
1
,w
1
R é d u c te u r o u
m u ltip lic a te u r
C
2
,w
2
R é c e p te u r
Figure 1.4 – Chaîne fonctionnelle d’une transmission de puissance
L’actionneur associé aux réducteurs et multiplicateurs, est principalement un moteur
électrique, thermique, hydraulique ou pneumatique.
Construction mécanique
1.1 Généralisation
1.1.1
3
Aspect cinématique - Définitions
La norme ISO 1122-1 de 1998, ainsi que la norme NF E 23-001 définissent la notion de
rapport de transmission.
Définition 1 Rapport de transmission
Le rapport de transmission est défini comme étant le quotient de la vitesse angulaire de
l’arbre d’entrée ω1 par celle de l’arbre de sortie ω2 du système transmetteur de puissance.
i=
ω1
ω2
(1.1)
Le rapport de transmission est positif lorsque les vitesses angulaires sont de même sens
et négatif lorsqu’elles sont de sens inverse.
Remarque 1 Très souvent, on utilise l’inverse du rapport de transmission pour déterminer les lois d’entrée-sortie dans un système de transmission de puissance. En effet, on
connaît très souvent la vitesse de rotation à l’entrée et on recherche celle de sortie.
r=
1
ω2
ωs
=
=
i
ω1
ωe
(1.2)
Lorsque l’on a |r| = | ωω12 | < 1, on parle de système réducteur et de rapport de réduction.
Lorsque l’on a |r| = | ωω21 | > 1, on parle de système multiplicateur et de rapport de
multiplication.
On parle aussi d’inverseur lorsqu’il y a inversion du sens de rotation.
1.1.2
Aspect énergétique
Si le rendement du réducteur ou du multiplicateur est idéal, on a la relation de conservation de la puissance mécanique entre l’entrée et la sortie du système de transmission de
puissance :
P = C1 · ω1 = C2 · ω2
(1.3)
C2
ω1
=
C1
ω2
(1.4)
On en déduit alors :
Dans le cas d’un réducteur de fréquence de rotation, il y a multiplication du
couple. Dans le cas d’un multiplicateur de fréquence de rotation, il y a réduction
du couple.
Si l’on prend en compte le rendement η de la transmission , on a :
η=
P2
C2 · ω2
C2
=
=
·r
P1
C1 · ω1
C1
(1.5)
Lycée Jules Garnier
4
Chapitre 1 - Transmission de puissance
1.2
Les principales solutions constructives
Dans le cas du groupe turbopropulseur du TUCANO, l’organe de transmission et d’adaptation de la puissance est un réducteur à engrenages. Le réducteur à engrenages n’est pas
la seule solution constructive qui permet de réaliser les fonctions désirées. On classe généralement l’ensemble des solutions en deux familles.
• Les transmissions de puissance par adhérence parmi lesquelles on distingue :
— Les transmissions de puissance par poulies - courroie.
— Les transmissions de puissance par roues de friction.
• Les transmissions de puissance par obstacle parmi lesquelles on distingue :
— Les transmissions de puissance par pignons et chaîne.
— Les transmissions de puissance par engrenage.
Il est clair que la transmission de puissance par engrenage est la transmission phare des
systèmes techniques industriels du fait de sa compacité et des rendements associés.
1.3
Transmission de puissance par poulie-courroie
C’est certainement la transmission de puissance la plus ancienne ; elle est utilisée depuis
le début de l’époque industrielle. Elle permet de véhiculer l’énergie mécanique entre deux
arbres parallèles et relativement éloignés 2 . Ce type de transmission de puissance est encore
énormément utilisé, par exemple dans l’industrie automobile (courroie d’accessoires, courroie
de distribution, courroie d’alternateur).
R
R
2
1
a
a
w
w
1 /0
1
2 /0
3
2
0
Figure 1.5 – Système poulie-courroie
Ce type de transmission est constitué (Fig. 1.5, p. 4) :
• d’une poulie motrice (1), assemblée à l’arbre moteur,
• d’une poulie réceptrice (2) liée à l’organe à entraîner,
2. En fait, on peut avoir aussi des montages de courroie entre des arbres inclinés ou perpendiculaires.
Construction mécanique
1.4 Transmission de puissance par chaîne et pignons
5
• d’une courroie (3) qui s’enroule sur chacune des poulies.
Le mouvement est transmis de l’arbre moteur à l’arbre récepteur par l’adhérence de
la courroie sur les deux poulies. Les courroies peuvent être plates, trapézoïdales, striées
ou synchrones 3 .
Au passage sur les poulies, la courroie se déforme et provoque un glissement dit “fonctionnel” (différent du patinage). Ce glissement introduit une variation, et donc une imprécision,
du rapport de transmission. Si on admet que la transmission s’effectue sans glissement et
que la courroie est inextensible, alors on peut définir le rapport de transmission par :
r=
1.4
ω2/0
ωrécepteur
R1
=
=
ωmoteur
ω1/0
R2
(1.6)
Transmission de puissance par chaîne et pignons
Seule l’architecture ressemble à celle de la transmission par poulies - courroie, car la
transmission de puissance par pignons et chaîne s’effectue par obstacle (Fig. 1.6, p. 5).
L’arbre moteur et l’arbre récepteur sont aussi relativement éloignés. La première figure
représente l’engrènement de la chaîne sur une roue denté. La deuxième figure montre la
constitution d’une chaîne à rouleaux qui sont les chaînes les plus couramment utilisées.
Figure 1.6 – Schéma descriptif d’un système chaîne-pignon
Les systèmes de chaîne-pignon sont utilisés en automobile pour la distribution, pour
la transmission de puissance des cycles (vélo, moto), pour les systèmes de convoyage dans
l’industrie.
Il n’y a pas de glissement entre la chaîne et les roues dentées, ce qui garantit un rapport
de transmission constant. Il s’exprime par :
r=
ω2/0
dp
ωrécepteur
Z1
=
= 1 =
ωmoteur
ω1/0
dp2
Z2
(1.7)
3. Une courroie synchrone est un système de transmission de puissance par obstacle !
Lycée Jules Garnier
6
Chapitre 1 - Transmission de puissance
1.5
Transmission de puissance par engrenage
1.5.1
Principe
La transmission de puissance par engrenage véhicule l’énergie mécanique entre deux
arbres sans éléments supplémentaires et par obstacles (contact direct). L’arbre moteur et l’arbre récepteur peuvent être parallèles, sécants ou orthogonaux. Ce mode de
transmission de puissance est vieux de plus de 2000 ans, il était ainsi possible d’observer des
roues possédant des dents faites de bâtons de bois en vue de transmettre un mouvement de
rotation dans les puits à eau.
Un engrenage est la constitution d’un pignon et d’une roue dentée (le terme pignon
est réservé pour la roue munie du plus petit nombre de dents).
On parle aussi de pignon arbré lorsque le pignon est directement usiné sur l’arbre et n’est
pas rapporté. La figure (Fig. 1.7, p. 6) représente le schéma cinématique d’une transmission
par engrenage à contact extérieur. La figure (Fig. 1.8, p. 6) représente l’engrènement entre
le pignon 1 et la roue 2. On notera les caractéristiques suivantes (pour le pignon 1 par
exemple) :
• cercle primitif, cercle de centre O1 et de rayon r1 ,
• rayon primitif r1 = [O1 I],
• pas p1 , distance entre deux profils consécutifs,
• Z1 le nombre de dents.
y
y
r
1
Z
P ig n o n 1
1 d e n ts
1
w
w
1 /0
O
O
1 /0
1
O
1
I
I
r
2
p
2
1
p
1
I
2
Z
z
O
w
2 /0
O
2
2
2
R o u e 2
d e n ts
x
w
2 /0
0
O
Figure 1.7 – Schéma cinématique
2
Figure 1.8 – Schéma de principe
Les dents sont taillées de telle sorte qu’il existe sur les roues dentées un diamètre fictif,
appelé primitif, sur lequel les roues engrènent (presque) sans glisser (Fig. 1.8, p. 6). On
considère donc que les deux primitifs roulent sans glisser l’un sur l’autre.
1.5.2
Géométrie des dentures
Les premiers systèmes d’engrenage utilisaient des parallélépipèdes en guise de denture.
Le temps aidant, les utilisateurs se sont aperçus que les dents ainsi utilisées s’usaient suivant
Construction mécanique
1.5 Transmission de puissance par engrenage
7
une forme qui ne s’apparentait ni à un parallélépipède, ni à un cercle. Il a fallu attendre le
19éme siècle pour affiner la formulation mathématique de ces courbes : La développante de
cercle était née. La courbe à développante de cercle est le profil tracé par l’extrémité d’un
segment de droite roulant sur un cercle de base. Concrètement, une développante de cercle
s’obtient en enroulant un fil autour d’un cylindre de diamètre donné (cercle de base). Si un
crayon est attaché à l’extrémité du fil, et si ce dernier est ensuite tendu vers l’extérieur, la
pointe du crayon décrira une courbe à développante.
Figure 1.9 – Profil en développante de cercle
1.5.3
1.5.3.1
Caractéristiques de la transmission
Rapport de transmission
La transmission par obstacle assure un roulement sans glissement au point I (Fig. 1.7, p. 6)
et (Fig. 1.8, p. 6), ce qui donne un rapport de transmission constant défini par :
r=
ω2/0
ωrécepteur
r1
Z1
=
=− =−
ωmoteur
ω1/0
r2
Z2
(1.8)
Le signe moins indique un sens de rotation différent pour la roue et le pignon (significatif
pour un engrenage à contact extérieur).
1.5.3.2
Puissance transmissible - Rendement
⇒ la puissance transmissible peut être très élevée (plusieurs centaines de kW),
⇒ le rapport de transmission peut difficilement être inférieur à 1/8,
⇒ le rendement de la transmission est de l’ordre de 0,98.
1.5.3.3
Particularités de la transmission
Certainement la transmission la moins économique car elle nécessité un usinage soigneux
des roues et un entraxe précis des deux arbres. Elle nécessite une lubrification, ce qui permet
notamment d’obtenir une durée de vie élevée. Les avantages majeurs de la transmission par
engrenage par rapport au deux précédentes sont :
— la possibilités de transmettre la puissance quelle que soit la position relative des deux
arbres,
Lycée Jules Garnier
8
Chapitre 1 - Transmission de puissance
— la précision,
— les couples et les puissances transmissibles sont élevés.
1.5.4
1.5.4.1
Conditions à respecter
Condition d’engrènement (ou condition géométrique)
Pour garantir l’engrènement, il faut que le pas du pignon (1) et celui de la roue (2) soient
égaux : p1 = p2 . C’est la condition géométrique ! Les dents sont uniformément réparties sur
la roue, on a donc :

2π · r1
π · d1 

⇒ p1 =
=
d1
d2
Z1
Z1
(1.9)
2π · r2
π · d2  ⇒ p1 = p2 ⇒ Z1 = Z2

⇒ p2 =
=
Z2
Z2
Ce rapport caractérise l’aptitude à l’engrènement des diverses roues entre-elles. Il est
appelé module m. Pour une roue donnée :
m=
d
p
=
Z
π
(1.10)
Deux roues dentées qui n’ont pas le même module ne peuvent donc pas engrener !
Le module est une caractéristique très importante dans la définition d’une roue dentée :
⇒ sa valeur est déterminée à partir d’une étude de résistance de matériaux, puis il est
choisi dans une liste de valeurs normalisées,
⇒ il définit ensuite toutes les dimensions de la roue dentée (diamètre primitif, pas,
hauteur de la dent, épaisseur de la dent, entraxe, etc...).
1.5.4.2
Condition de continuité
Pour assurer la continuité de la transmission, un couple de dents doit entrer en contact
avant que le précédent ne perde le contact.
1.5.5
Fabrication des engrenages
Il existe plusieurs modes d’obtention des engrenages, le choix dépend de la qualité de la
transmission, des matériaux utilisés, de la taille de la série, du type de système, etc.
Pour les grandes séries, les ébauches des roues dentées peuvent être obtenues par moulage
(au sable, pour les roues en fonte ou en acier, sous pression pour roues en alliages légers, ou
en matières plastiques). Les dentures sont très souvent achevées sur une machine à tailler.
Les ébauches de roues dentées ou les pignons arbrés peuvent être aussi obtenus par
forgeage (méthode très souvent utilisée dans l’industrie automobile).
Les techniques de taillage d’ébauche des dentures sont multiples. Elles vont de la méthode
artisanale à la méthode de production de masse, nous pouvons les décomposer en quatre
grandes familles :
— Fraisage de forme à la fraise 2 ou 3 tailles sur fraiseuse conventionnelle avec plateau
diviseur ou sur centre d’usinage 5 axes, dénommée aussi fraise module (productivité
très faible, petite série, facile à mettre en œuvre, coût élevé) ;
Construction mécanique
1.5 Transmission de puissance par engrenage
Figure 1.10 – Fraisage par fraise module
9
Figure 1.11 – Taillage par outil crémaillère
— Taillage à l’outil crémaillère (très petite série et prototypes, outils facilement réalisables, machines spécifiques MAAG), l’outil crémaillère est animé d’un mouvement
de coupe alterné vertical et “engrène” avec le pignon à tailler ;
— Taillage à l’outil pignon (intéressant pour les problèmes d’encombrement, machines
spécifiques Fellows), l’outil pignon est animé d’un mouvement de coupe alterné vertical (mortaisage), l’outil et la pièce à usiner sont animés d’un mouvement de rotation
synchronisé (engrènement) ;
Figure 1.12 – Taillage par outil pignon
— Taillage à la fraise-mère (le plus utilisé, grande productivité, principe de la roue-vis
sans fin, taillage de toutes les dents en continu), les deux pièces sont entraînées en
rotation et la fraise mère est animée d’un mouvement d’avance selon la génératrice
de la denture à créer.
Figure 1.13 – Taillage par fraise mère
Il est cependant souvent nécessaire d’ajouter une phase de parachèvement afin d’obtenir
Lycée Jules Garnier
10
Chapitre 1 - Transmission de puissance
la qualité définitive des dentures (shaving, rodage ou rectification).
Remarque 2 L’industrie automobile est l’industrie qui taille le plus de roues dentées (environ 80 % de la production européenne de roues dentées), essentiellement pour les boites de
vitesse ou pour les différentiels. La majorité des roues sont obtenues grâce à l’utilisation de
fraises mères. Dans le cas ou l’encombrement de la fraise mère empêche l’usinage, le taillage
par outil pignon est utilisé.
Figure 1.14 – Cas d’un arbre primaire de boite de vitesse PSA
1.6
Comparatif entre les systèmes de transmission
Système de
transmission
Poulie-Courroie
Chaîne - Pignon
Engrenages
Avantages
Inconvénients
Variation d’entraxe possible
Souplesse de transmission
Limiteur de couple (glissement possible)
Grande durée de vie
Coût réduit
η > 95%
Silencieux
Puissances importantes
Variation d’entraxe possible
Synchronisme (obstacle)
Conditions de travail rudes
Coût inférieur aux engrenages
η > 98%
Puissance très élevée
Durée de vie élevée
Orientation des arbres quelconques
Précision de la transmission
η > 98%
Conditions de travail (eau,
poussière)
Rapport de transmission variable...
Encombrement
Puissance limitée
Construction mécanique
Vibrations
Nécessité de lubrification
Nécessité d’un carter
Bruit important
r>
1
8
Nécessité de lubrification
Nécessité d’un carter
Usinage soigneux et entraxe
très précis
Coût important
r > 17
1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages
1.7
1.7.1
11
Réducteurs de vitesse à engrenages
Réducteurs à engrenage élémentaire
Un réducteur élémentaire ou train simple assure directement la transmission de
puissance entre l’arbre d’entrée (moteur) et l’arbre de sortie (lié au récepteur) par l’intermédiaire d’un seul engrenage. Le tableau ci-dessous propose une classification des réducteurs
élémentaires en fonction de la position relative de l’arbre moteur et de l’arbre récepteur.
Remarque 3 On appelle train simple un couple de roues dentées en liaison pivot avec la
même classe d’équivalence. Cette classe d’équivalence cinématique n’est pas nécessairement
le bâti (cela aura son intérêt pour l’étude des trains épicycloïdaux).
Position relative des
axes des arbres
moteur et récepteur
Type d’engrenage
assurant la
transmission
Rapport de
transmission
Schéma de principe
d
Axes parallèles
(d1 //d2 )
Cylindrique à
denture droite ou
hélicoïdale à
contact extérieur
1
1
d
2
r=
ω2/0
Z1
=−
ω1/0
Z2
r=
ω2/0
Z1
=+
ω1/0
Z2
2
1
d
Axes parallèles
(d1 //d2 )
Cylindrique à
denture droite ou
hélicoïdale à
contact intérieur
1
d
2
2
d
1
d
Axes concourants
(d1 ⊥ d2 par
exemple)
2
2
1
ω2/0 Z1
=
r=
ω1/0 Z2
Conique à contact
extérieur
1
d
Axes orthogonaux
Roue et vis sans
fin
2
d
2
1
ω2/0 Z1
=
r=
ω1/0 Z2
Z1 : nombre de
filets de la vis
Lycée Jules Garnier
12
Chapitre 1 - Transmission de puissance
Figure 1.15 – Représentation normalisée des engrenages (NF E 04-113 et ISO 2203)
Figure 1.16 – Engrenage cylindrique à denture droite à contact extérieur.
Construction mécanique
Figure 1.17 – Engrenage cylindrique à denture hélicoïdale à contact extérieur.
1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages
13
Figure 1.18 – Engrenage conique à contact
extérieur.
1.7.2
Figure 1.19 – Système à roue creuse et vis
sans fin.
Réducteurs à trains d’engrenages
Les trains simples sont très rapidement limités au niveau du rapport de transmission
possible (encombrement), il est alors nécessaire de monter des trains simples en série, on
parlera alors de trains d’engrenages. La connaissance des trains simples permet alors de
déterminer le rapport de transmission des trains d’engrenages.
1.7.2.1
Exemple : réducteur de turbopropulseur à deux trains d’engrenages.
L’annexe (Fig. A.2, p. 24) représente le dessin d’ensemble d’un réducteur de turbopropulseur et la figure (Fig. 1.20, p. 13), ci-dessous, correspond à son schéma cinématique.
Z
Z
1 0
1 1
1
3 + 1 1 + 12
Z
Z
2
1
2 + 1 0
7 + 8 + 9
Figure 1.20 – Schéma cinématique d’un réducteur de turbopropulseur
L’élément (1) correspond à l’arbre d’entrée, c’est-à-dire relié à l’arbre de la turbine de
puissance. L’ensemble (3+11+12) est l’arbre relié à l’hélice. L’ensemble (2+10) est l’arbre
intermédiaire qui relie les deux réducteurs élémentaires.
1.7.2.2
Détermination du rapport de transmission.
Le rapport de réduction global s’exprime par la relation suivante :
Q
ωrécepteur
Zroues menantes
n
= (−1) · Q
r=
ωmoteur
Zroues menées
(1.11)
Lycée Jules Garnier
14
Chapitre 1 - Transmission de puissance
Où n est le nombre de contact extérieur (entre roues dentées) ! Pour l’exemple proposé,
l’application de la relation ci-dessus donne :
ω3/0
Z1 · Z2
=−
ω1/0
Z10 · Z11
1.7.3
1.7.3.1
(1.12)
Réducteurs épicycloïdaux
Principe
Définition 2 On appelle train ou réducteur épicycloïdal, un train d’engrenages dont l’une
(ou plusieurs) de ses roues dentées tourne autour d’un axe mobile par rapport au bâti principal.
On les rencontre souvent car ils autorisent de grands rapports de réduction sous un faible
encombrement. De plus, ils permettent plusieurs rapports de transmission à partir du même
équipement 4 . Le rendement est très bon mais malheureusement, ils coûtent plus cher qu’un
train normal (usinage précis, design complexe).
Un train épicycloïdal est toujours au minimum composé de deux planétaires (1) et (3),
d’un porte-satellite (4) et de satellite(s) (2).
P la n é t a ir e ( 3 )
S a te llite (2 )
P o r te - s a te llite ( 4 )
P la n é ta ir e ( 1 )
B â ti (0 )
Figure 1.21 – Schéma descriptif d’un train épicycloïdal
Le réducteur du GTP du TUCANO, présenté en début de chapitre (Fig. A.1, p. 23),
est un réducteur à deux trains épicycloïdaux. La figure (Fig. 1.21, p. 14) représente schématiquement la structure de ces réducteurs.
Remarque 4 Il peut y a souvent plusieurs satellites, le but étant d’augmenter le couple
transmissible pour le train épicycloïdal en augmentant la surface de contact entre les roues
(donc diminution de la pression de contact sur les dents). Pour des raisons d’équilibrage (et
oui, le porte-satellite tourne, il doit donc être équilibré statiquement et dynamiquement 5 ),
on utilise souvent trois satellites décalés de 120˚. Pour les études de cinématique, nous ne
4. Nous verrons cela d’ici peu...
5. Vous verrez tout cela en dynamique...
Construction mécanique
1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages
15
tiendrons pas compte du nombre de satellites, cela ne change rien et nous ne ferons apparaître
qu’un seul satellite.
Le fonctionnement d’un train épicycloïdal n’est possible que si l’un des trois éléments
principaux (planétaires (1) ou (3) ou porte-satellite (4)) est fixe ou si deux des éléments
sont liés entre eux par un système de transmission de puissance (courroie, chaîne , etc.).
Dans le cas général, l’élément fixe par rapport au bâti peut être un des deux planétaires ou
le porte-satellite. Dans le cas ou le porte-satellite est fixe, on revient à un train d’engrenage
standard.
Dans le cas étudié, la fixité de la couronne planétaire (3) permet au porte-satellite (4)
de tourner par rapport au bâti (0).
Remarque 5
Le terme épicycloïdal provient de la trajectoire particulière d’un point du satellite par
rapport au bâti, cette trajectoire s’appelle une épicycloïde. Ce terme est issu de l’Almageste
de Claude Ptolémée, mathématicien et astronome grec (2ième siècle après JC), qui a inventé
les épicycles pour tenter de modéliser le mouvement de Mars autour de la terre dans son
système géocentrique.
1.7.3.2
Rapport de transmission - Raison du train épicycloïdal
Il peut y avoir un grand nombre de rapports de réduction sur un train épicycloïdal, tout
dépend de quel élément est associé à l’arbre d’entrée et à l’arbre de sortie. Par exemple,
pour le réducteur du Tucano, l’entrée est le planétaire (1) et la sortie, le porte-satellite (4).
Le rapport de réduction sera donc donné par :
r=
ω4/0
ωsortie
=
ωentrée
ω1/0
(1.13)
Afin d’obtenir tous les rapports de réduction possible pour un train épicycloïdal donné,
on cherche tout d’abord à écrire la raison basique λ du train épicycloïdal. Pour cela, on
utilise la méthode ci-dessous.
Remarque 6 Afin de mettre en place cette notion de raison λ, il faut “s’asseoir” sur le
porte-satellite et s’intéresser au mouvement des planétaires et des satellites par rapport au
porte-satellite (4).
On note :
ri : rayon primitif de la roue i,
Zi : nombre de dents de la roue i,
ωi/j : la vitesse de rotation de la roue i par rapport à j.
Si on se place sur le porte-satellite, un train épicycloïdal se comporte comme un train
d’engrenage ordinaire. Il suffit donc d’utiliser les rapports d’engrenages élémentaires qui
compose le train épicycloïdal.
ω2/4
Z1
=−
ω1/4
Z2
et
ω3/4
Z2
=+
ω2/4
Z3
Lycée Jules Garnier
16
Chapitre 1 - Transmission de puissance
On peut alors écrire :
ω3/4
Z1
Z1 Z2
·
=−
=−
ω1/4
Z2 Z3
Z3
En utilisant la relation de composition de mouvement, on obtient alors :
ω3/4
ω3/0 − ω4/0
Z1
=
=−
ω1/4
ω1/0 − ω4/0
Z3
On obtient alors la formule de Willis, que l’on peut généraliser sous la forme suivante :
Q
ω3/0 − ω4/0
Zroues menantes
λ=
(1.14)
= (−1)n · Q
ω1/0 − ω4/0
Zroues menées
n correspond au nombre de contacts extérieurs entre les roues dentées (on ne tient pas
compte de tous les satellites, on ne compte qu’un contact satellite planétaire).
Remarque 7
Attention, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut considérer que le planétaire (1) soit
l’entrée et que le planétaire (3) soit la sortie, même si ce n’est pas le cas afin de définir les
roues “menantes” et les roues “menées”. Cette formule de Willis doit être comprise et non
pas apprise “bêtement” par cœur. C’est le seul moyen de l’écrire rapidement pour tout type
de train épi et quelles que soient les notations utilisées. Bien entendu, vous devez savoir la
retrouver rapidement !
La formule de Willis s’écrit également sous forme linéaire :
ω3/0 − ω4/0 · (1 − λ) − λ · ω1/0 = 0
(1.15)
Sous cette forme, on parle de formule de Ravignaux.
Finalement, la formule de Willis (ou de Ravignaux) est une relation cinématique du
type :
λ = f ω1/0 , ω3/0 , ω4/0 = 0
(1.16)
Remarque 8 Ainsi, la connaissance de deux vitesses permet le calcul de la troisième. Très
souvent, un des planétaires ou le porte satellite est lié au bâti (vitesse angulaire nulle). On
se retrouve, par exemple, avec un système d’équations du type :
f ω1/0 , ω3/0 , ω4/0 = 0
(1.17)
ω1/0 = 0
Il suffit alors de connaître la vitesse angulaire d’entrée pour en déduire celle de sortie (ou
vice et versa) et déterminer le rapport de transmission.
Plus rarement, deux des pièces du train épi peuvent être liées entre elles par des composants extérieurs (poulie- courroie, train d’engrenages, chaînes, etc.). Il existe donc une
relation cinématique entre les vitesses angulaires de ces deux pièces. On se retrouve, par
exemple, avec un système d’équations du type :
f ω1/0 , ω3/0, ω4/0 = 0
(1.18)
g ω1/0 , ω4/0 = 0
Il suffit alors de connaître une des vitesses angulaires pour en déduire les autres.
Construction mécanique
1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages
1.7.3.3
17
Calcul des rapports de transmission
Considérons les cas classiques pour lesquels un des planétaires (1) ou (3) ou le portesatellite (4) est lié au bâti. Il existe alors 6 possibilités de montage. Pour chacune d’elles,
déterminez le rapport de réduction r en fonction de la raison basique λ.
3 fixe
4 fixe
1 fixe
entrée sur
sortie sur
Cas 1
1
4
Cas2
4
1
Cas 1
1
3
Cas2
3
1
Cas 1
3
4
Cas2
4
3
ωsortie
ωentrée
λ
λ−1
λ−1
λ
λ
1
λ
1
1−λ
1−λ
r=
1.7.3.4
Intérêt (cinématique) des trains épicycloïdaux plans
Tracez r = f (λ) pour les six cas précédents.
r
l
Conclusion 1
Le rapport de réduction d’un train épicycloïdal tend vers plus ou moins l’infini quand la
raison de base tend vers des valeurs particulières. Ainsi, il est possible d’obtenir une très
grande multiplication (ou réduction) de la fréquence de rotation entre l’entrée et la sortie
du mécanisme, en choisissant convenablement les diamètres primitifs des planétaires. Cette
performance cinématique, mise en œuvre par un nombre réduit de roues dentées, est de
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18
Chapitre 1 - Transmission de puissance
surcroît atteinte dans un encombrement (radial) limité. Ce qui n’est pas le cas pour des
mécanismes utilisant en cascade des trains d’engrenage.
1.7.3.5
Les différents types de train épicycloïdaux plans
La famille des trains épicycloïdaux plans se réduit à 4 types dont celui (type I) déjà
étudié précédemment. Voici ci-dessous les schémas technologiques des trois autres types.
Type II
1.8
Type III
Type IV
Train sphérique - Différentiel
Définition 3 On appelle train épicycloïdal sphérique tout train épicycloïdal dont l’axe de
l’engrenage satellite n’est pas parallèle à l’axe principal des planétaires. Les axes sont donc
concourants.
Figure 1.22 – Schéma cinématique d’un train épicycloïdal sphérique
En utilisant les mêmes relations de base que précédemment, nous pouvons aisément
déterminer la raison de ce train et en déduire les différents rapports de transmission possible.
1.8.1
1.8.1.1
Le différentiel
Constitution
Le différentiel est un cas particulier des trains épicycloïdaux sphériques. Lorsque les
axes des planétaires et du satellite sont orthogonaux, on dit que le train sphérique est un
Construction mécanique
1.8 Train sphérique - Différentiel
19
différentiel 6 .
Figure 1.23 – Chaîne de transmission d’un
véhicule automobile
Figure 1.24 – Schéma cinématique d’un différentiel
Le différentiel est un mécanisme que l’on retrouve dans la chaîne de transmission d’un
véhicule automobile (Fig. 1.23, p. 19). Il permet aux roues motrices du véhicule de tourner
à des vitesses angulaires différentes 7 . Dans un virage, la roue située à l’intérieur (du côté où
l’on tourne), ayant une distance plus faible à parcourir, tourne moins vite que la roue située
à l’extérieur. Grâce au différentiel, la motricité est maintenue tout en autorisant la différence
de vitesse entre les roues. Il assure ainsi une meilleure tenue de route (sans différentiel, un
véhicule tend à aller tout droit) et permet de limiter l’usure des pneumatiques. D’autre part,
en ligne droite, une égalité rigoureuse de la vitesse de rotation impose une parfaite égalité
entre les diamètres des roues, ce qui est tout à fait impossible du fait de la constitution
même de ces roues.
Comme nous le voyons sur le schéma cinématique (Fig. 1.24, p. 19), la mise en rotation
du porte-satellite (4) est assurée par un couple conique (ou un système roue vis sans fin),
ce qui permet l’orthogonalité entre l’arbre de transmission (5) et les arbres des roues (1) et
(3).
Remarque 9 Les axes des pignons 5 et de la couronne 4 liée au porte satellite ne sont
généralement pas concourants pour des raisons d’encombrement, la denture de ces 2 roues
dentées doit alors être hypoïde ou spiroconique (les surfaces primitives ne sont plus des cônes
ou des cylindres mais des hyperboles) (voir ( An. B, p. 27)).
On utilise habituellement deux satellites (2) et (2’) placés de manière symétrique par
rapport à l’axe des roues (toujours pour des raisons évidentes d’équilibrage et de couple
transmissible).
6. Le différentiel mécanique fut inventé en 1827 par le mécanicien français Onésiphore Pecqueur (17921852). Il fut employé dès 1860 sur les premiers véhicules routiers à vapeur.
7. Dans le cas d’un véhicule à 4 roues motrices, on utilise souvent trois différentiels (avant, arrière et
central).
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20
Chapitre 1 - Transmission de puissance
1.8.1.2
Raison basique et rapport de réduction
Afin de déterminer la raison basique d’un différentiel, il faut l’étudier comme un train
épicycloïdal plan. Il suffit donc de se placer sur le porte-satellite et d’utiliser les rapports
d’engrenages élémentaires qui compose le train sphérique. En ce qui concerne le signe de la
raison, nous voyons aisément que les mouvement de rotation de (1) et de (3) ne peuvent
être qu’opposés, ce qui donnera nécessairement une raison basique négative.
On note :
Zi : nombre de dents de la roue i,
ωi/j : la vitesse de rotation de la roue i par rapport à j.
ω2/4 Z1
ω = Z2
1/4
et
ω3/4 Z2
ω = Z3
2/4
On peut alors écrire :
ω3/4 Z1 ω3/0 − ω4/0 =
ω Z3 = ω − ω = 1
1/4
1/0
4/0
Or, nous pouvons voir par construction du boîtier différentiel que d1 = d3 donc que
Z1 = Z3 , ce qui nous donne une raison basique :
λ = −1
⇒
ω4/0 =
ω3/0 + ω1/0
2
(1.19)
Nous pouvons alors discerner trois cas particuliers intéressants :
— ω1/0 = ω3/0 = ω : ligne droite, ω4/0 = ω, pas de mouvement de 2/4.
— ω3/0 = 0 : ω1/0 = 2 · ω4/0 , une roue bloquée, toue la puissance est dirigée vers la
deuxième (celle qui patine...).
— ω4/0 = 0 : ω3/0 = −ω4/0 , voiture sur le pont, on tourne la roue droite dans un sens,
la roue gauche tourne dans le sens opposé.
1.8.1.3
Inconvénients du différentiel
La faiblesse du différentiel ordinaire réside dans le fait que si une roue du train moteur
n’adhère pas (par exemple roue sur la neige, dans la boue), l’ensemble de la transmission du
couple se fait sur cette roue, et le véhicule n’avance plus correctement, voire plus du tout.
Pour résoudre ce problème, certains différentiels sont conçus pour se limiter à partir d’un
certain seuil de glissement (par exemple détectant un écart de couple entre les deux demi
arbres fixés aux satellites), ce sont les différentiels à glissement limité (DGL en français ou
LSD en anglais).
Construction mécanique
1.9 Actions mécaniques exercées sur les dentures
1.9
21
Actions mécaniques exercées sur les dentures
Les actions mécaniques exercées sur les dentures des différentes roues sont directement
liées au couple transmis par l’engrenage élémentaire (ou le train d’engrenage). Ces actions
mécaniques sont modélisées de manière différente en fonction de la géométrie de la denture :droite, hélicoïdale, conique ou roue-vis sans fin.
Nous avons vu que si le rendement de l’engrenage est idéal, on a la relation de conservation de la puissance mécanique entre l’entrée et la sortie du système de transmission de
puissance :
P = C1 · ω1 = C2 · ω2
1.9.1
(1.20)
Cas des engrenages droits à denture droite
Soit un engrenage élémentaire composé de deux roues dentées à denture droite 1 et 2,
de rayon respectif r1 et r2 et de nombre de dents respectif Z1 et Z2 .
Figure 1.25 – Modélisation des actions mécaniques dans un engrenage à denture droite
On modélise dans ce cas les actions de contact de la roue 2 sur la roue 1 par une unique
−−−→
action mécanique F(2/1) orientée suivant la ligne de pression. On peut donc la décomposer
en deux composantes :
−−−−→
— la composante tangentielle FT (2/1) : elle est à l’origine du couple transmis et elle est
−−−→
obtenue en projetant F(2/1) sur la tangente aux cercles primitifs (fonction de l’angle
de pression α.
FT (2/1) = F(2/1) · cos α et Ci = FT (2/1) · ri
(1.21)
−−−−→
−−−−→
— la composante radiale FR(2/1) , orthogonale à FT (2/1) , elle ne transmet pas le couple
et tend à faire fléchir les arbres de transmission.
FR(2/1) = F(2/1) · sin α
1.9.2
(1.22)
Cas des engrenages droits à denture hélicoïdale
Soit un engrenage élémentaire composé de deux roues dentées à denture hélicoïdale 1 et
2, de rayon respectif r1 et r2 et de nombre de dents respectif Z1 et Z2 . On modélise toujours
−−−→
les actions de contact de la roue 2 sur la roue 1 par une unique action mécanique F(2/1) .
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22
Chapitre 1 - Transmission de puissance
Figure 1.26 – Modélisation des actions mécaniques dans un engrenage à denture hélicoïdale
Dans ce cas, cette action mécanique comporte une composante radiale, une composante
tangentielle dues à l’angle de pression α mais aussi une composante radiale supplémentaire
due à l’inclinaison β de la denture. On peut donc la décomposer en trois composantes :
−−−−→
— la composante tangentielle FT (2/1) : elle est à l’origine du couple transmis.
FT (2/1) = F(2/1) · cos α cos β
et Ci = FT (2/1) · ri
(1.23)
−−−−→
— la composante axiale FA(2/1) , portée par l’axe de rotation.
FA(2/1) = F(2/1) · cos α sin β
(1.24)
−−−−→
−−−−→
— la composante radiale FR(2/1) , orthogonale à FT (2/1) .
FR(2/1) = F(2/1) · sin α
(1.25)
Remarque 10 Afin de compenser les actions axiales, on utilise des engrenages à denture
en chevron 8 (utilisation de deux dentures hélicoïdales identiques côte à côte).
Figure 1.27 – Denture en chevron
Figure 1.28 – Compensation de l’action axiale
Un autre moyen de compenser les actions mécaniques axiales est de monter sur le même
arbre de transmission deux roues d’angles d’hélice judicieusement choisis...
8. Ce type d’engrenage a été créé par André Citroën dans les années 1920, il est a noté que cet engrenage
est à la base du logo actuel des automobiles Citroën.
Construction mécanique
Annexe A
Réducteurs et différentiels
Figure A.1 – Schéma du réducteur du groupe turbopropulseur du Tucano 312 FF
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24
Annexe A - Réducteurs et différentiels
Figure A.2 – Réducteur de turbopropulseur
Construction mécanique
25
Figure A.3 – Boite de vitesse et différentiel (Doc. Citroën)
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26
Annexe A - Réducteurs et différentiels
Figure A.4 – Schéma cinématique de la boite de vitesse
Construction mécanique
Annexe B
Pignon d’attaque de différentiel
Figure B.1 – Pignon d’attaque et couronne de différentiel de tracteur
Figure B.2 – Pignon d’attaque avec axe décalé par rapport à l’axe du boitier de différentiel
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28
Annexe B - Pignon d’attaque de différentiel
Figure B.3 – Écorché d’un différentiel complet de pont arrière
Figure B.4 – Boite de vitesse et différentiel de Lotus Europe 1970
Construction mécanique
Bibliographie
[Aub92] M. Aublin, Systèmes mécaniques, Dunod , 1992.
[Esn00] F. Esnault, Construction mécanique : Transmission de puissance tome 1, Dunod,
2000.
[Esn01] F. Esnault, Construction mécanique : Transmission de puissance tome 2, Dunod,
2001.
[Fan05] J.L. Fanchon, Guide des STI, Nathan-AFNOR , 2005.
[Mil03] N. Millet, Sciences Industrielles en CPGE, Casteilla, 2003.
[Qua01] R. Quatremer, Précis de construction mécanique tome 1, Nathan-AFNOR, 2001.
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