2009年5月 194 天体力学入門講座(12) 井上 猛 T. Inoue （滋賀県 湖南市） 前回は 六個の積分の中の四個を求めたのであった 1) 。直ちに 残りの二個を 求める計算に入りたい処であるが 少しばかり 横道に逸れる。それは 以下の 計算に 球面三角法に於ける余弦公式が必要となる z ので これを手に入れて置きたいからである。 そこで 暫くの間は これまで 赤道座標系として P 用いて来た 座標系 O − xyz を これに無関係な ~r 座標系として使って行く事にする。 この 系内に 大きさが r の −→ ヴェクトル ~r = OP を考える。 O Q y R z x P ~r この ヴェクトル ~r の成分 x, y, z を y 左に示す 二つの角度 b , A で表わす。 −→ ここに b は ヴェクトル OP が x 軸と 為す角である。 点 P から x 軸の上に 下した垂線と xy 平面とが為す角度を −→ A とする。 ~r = OP の x, y, z 成分の O b 大きさは OQ, QR, RP で与えられる。 A R QR = QP cos A 及び RP = QP sin A Q 図１ 先ず OQ = r cos b が得られ 続いて x なるのが知れる。此処でQP = r sin bで あるから 次の 表式が得られる： x r cos b cos b ~r = y = r sin b × cos A = r sin b cos A z r sin b × sin A sin b sin A (1) 天界 No.1008 井上 195 猛 z 只今のヴェクトル ~r に加えて これと 異なる ヴェクトル ~r1 を 考える。 その 大きさ r1 は 先の ヴェクトルと 同じである必要は y 無い。 このヴェクトルが xy 平面の ~r1 中に在って x 軸と角度 c を為す O とすれば O − xyz 系 に 於ける P1 c 成分は 次で与えられる： cos c r1 cos c x1 ~r1 = y1 = r1 sin c = r1 sin c z1 0 0 図２ x (2) これら 二つのヴェクトル ~r 及び ~r1 を 同時に 座標系 O − xyz 内に 描く。 両者が為す角度を a とする。 z P ~r y a ~r1 O 図３ P1 x 以上の準備の下に 二つのヴェクトルのスカラー積（内積）を計算する事で 所望の 余弦公式 を求めて行く。（ 文献 1) の p.620 参照 ） 先ずは (1) 式で成分が表わされたヴェクトル ~r と (2) 式で成分が表わされた 196 2009年5月 天体力学入門講座 ヴェクトル ~r1 に対して計算する。 (~r · ~r1 ) ≡ xx1 + yy1 + zz1 = = r cos b × r1 cos c + r sin b cos A × r1 sin c + r sin b sin A × 0 = = rr1 (cos b cos c + sin b cos A sin c) 上の計算から 必要な部分を抜き出すが これを 次の形に 書く事にする： (~r · ~r1 ) = rr1 (cos b cos c + sin b sin c cos A) (3) 続いて 二つのヴェクトルが 角度 a を 為して居る場合に対して計算する。 (~r · ~r1 ) = rr1 cos a (4) 一つの量を 二通りに表わしたのが (3) 式 及び (4) 式である。それ故に 次の 等式が得られる： (~r · ~r1 ) = rr1 cos a = rr1 (cos b cos c + sin b sin c cos A) (5) 等式は rr1で整除する事が出来る。これを行なうと ヴェクトルの大きさ r にも r1 にも関係する事の無い 角度 a , b , c 及び角度 A のみに 関係した 次の表式が 得られる： cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A (6) これが 求める 球面三角法 に於ける 余弦公式 なのであるが この事を理解する 為には 多少の 説明が必要と思われる。そこで 円弧の長さ に関する復習から 始める事にしよう。 半径 r の 円周上 中心角 ϑ に対する 円弧の長さ ` は ` = r ϑγ と表わされる のであった 2) 。入門講座 (7) では ϑ を ϑ = 90°として議論した。 γ なる量は 中心角の計り方に応じて円弧の長さを 正しく与える為の謂わば調整役を担う 定数であった。中心角の ϑ が度分秒で π と 表わされて居る場合には γ = 180° なるのであったし 弧度法で表わされて 居る場合には γ = 1となるのであった。 量 π は 勿論 円周率を表わす。 r ϑ ` 天界 No.1008 井上 197 猛 先のヴェクトル ~r の大きさ r を半径とする 球に着目する。この球の中心を 通る 一葉の平面は 球の表面に 半径 r の円を描く。斯かる円を大円 と呼ぶ。 球面三角法の基本となる 球面三角形は 斯うした大円を用いて描いて行く。 ヴェクトル ~r 及び r~1 を 只今の球に位置付けた様子を 図４に示す。図１に 導入した角度 A は x y 平面 及び ヴェクトル ~r と x 軸を含む平面とが為す角度と なって居るのが知れる。詰まり 角度 A は 二つの 大円が為す角と捉える事が 出来る訳である。図３に導入した角度 a は 二つのヴェクトル ~r と ~r1 とが為す 角度であった。この角度 a を 中心角とする 半径 r の 円弧の長さは r a γ である。 同じ事が 図１に導入した 角度 b に対する 円弧の長さ r b γ 図２に導入した 角度 c に対する 円弧の長さ r c γ に対しても言える。 z P ~r rbγ b O A x c raγ a y ~r1 rcγ P1 図４ rγb 三つの円弧 r a γ , r b γ , r c γ に rγa 依って囲まれた図形が 求めて居た 球面三角形 なのである。判り易く かなめ A する目的で 要の部分を抜き出して 右に 描き直して置く。 rγc 198 2009年5月 天体力学入門講座 この図形に於ける 角度 a , b , c 及び 角度 A に対して 表式 (6) の関係が存在 すると云う事なのである。ここには 半径 r も 定数 γ も 登場して来ては居ない。 これは 円弧の長さを与えるのに必要となる量 r γ を省略して考えても構わない と云う事を意味して居る。 そこで 先の 図を 次の様に 描き改める。これを 球面三角形 ABC と言う。 この球面三角形に対して 余弦公式 (6) が成立するのである。改めて この式を 書いて置く。 (6) cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A C b a A A c B 図５ ここでは 中心角 a を 辺 と言い角度 A は 頂角 と言う。残る 中心角 b 及び c に対しても これらを 辺と言うのは勿論の事である。 頂角 A は 二枚の平面の為す 角であるから 採用した計り方で 計ればそれで 良い。辺の方は 円弧の長さを与えるべく 中心角の計り方に応じて 定数 γ の 値を選ぶ必要がある。しかし この定数 γ は 辺 a , b , c に 共通の因子となって 居た。従って 中心角も 採用した角度の単位系に応じた γ を想起するだけで 充分と云う事になり 採用した単位系を気にする必要は無いのが知れる。先に 導いた (6) 式の関係が 斯かる状況の下で 成立すると云うのが明らかとなった。 所期の 余弦公式 が得られたので 残る 積分を求める作業に取り掛かる事に する。先ずは 太陽の周りを運動する惑星を 黄道座標系 O−XY Z に位置付ける 処から始める。この座標系に於ては 成分を X , Y , Z と表記した事に伴って 惑星の位置ヴェクトル ~r を ~r では無しに ~r ∗ と表記する事にしたのであった (文献 1) の p.623 参照） ： X ∗ ~r = Y Z (7) 天界 No.1008 井上 199 猛 惑星は 太陽を含む 一平面内を運動するのであった（文献 1) の p.621 参照）。 この平面を 黄道座標系 O−XY Z に位置付けるには 二つの角度が必要となる。 先ず 一葉の平面を X 軸の周りに 角度 i だけ回転する。続いて Z 軸の周りに 角度 Ω だけ回転すれば良い。i , Ω の 何れもが 定数であるのは 言うまでも無い。 Z P 惑星 ~r ∗ 太陽 O Ω X Y i 黄道面 軌道面 動径 ~r ∗ が X 軸 と為す角を ϑX と P すれば ~r ∗ の X 成分は r∗ cos ϑX と ϑX なる。 そこで 角度 ϑX を 運動に O 伴なって 変化して行く量に 結び ~r ∗ X 付ける事を考える。 P ϑX 黄道面と軌道面との交点を N とし ψ O この点から軌道面内 惑星 P 迄の 角度を ψ とする。 X N 以上で 余弦公式 適用の為の準備は 総て整った。そこで i , Ω ; ψ , ϑX に 着目して 球面三角形 XNP を描く。 天体力学入門講座 200 P ϑX 左図で ∠XNP が 180° − i と成る事に 注意すれば 我々の 球面三角形 XNP を ψ 180° −i X 2009年5月 i 図５ の 球面三角形に 直結させる事が 出来る。 図５ に於ける a , b , c ; A を ϑX , Ω , ψ ; 180° − i であるとすれば 直ちに 余弦公式 の適用可能なるのが 知れる。そこで 当該 球面三角形に対して (6) 式の 計算を行なう事にする。 Ω N cos ϑX = cos Ω cos ψ + sin Ω sin ψ cos(180° − i) = = cos Ω cos ψ − sin Ω sin ψ cos i Z 続いて 動径 ~r ∗の Y 成分や Z 成分を求める ϑZ 事を考える。それに供される 球面三角形 は P ϑX どの様に 描いて行けば良いのであろう？ ϑY これを知る上で参考となる図を右に示す。 右の図を参考に 球面三角形 NYP を描く。 X Y N P ψ N i 90° −Ω ϑY 左の 球面三角形 NYP に 余弦公式 を適用すれば Y 成分を知る上で必要となる cos ϑY を求める 事が出来る。 Y cos ϑY = cos ψ cos(90° − Ω)+ + sin ψ sin(90° − Ω) cos i = = cos ψ sin Ω + sin ψ cos Ω cos i Z 成分を知る上で必要となる cos ϑZ を求めるには 右の 球面三角形 ZNP に着目すれば良い。 Z ϑZ cos ϑZ = cos 90°cos ψ + sin 90°sin ψ cos(90° − i) = = sin ψ sin i 斯くして (7) 式で必要とした 黄道座標系に於ける 動径 ~r ∗ の 三成分は 余す処 無く 求める事が出来た。 90° −i これを基に 次回は 残る二個の積分を求めて行く。 P 90° ψ N 参考文献 １）天体力学入門講座（11）, 井上 猛 （2007）天界 , vol. 88 p.615-626 ２）天体力学入門講座（ 7）, 井上 猛 （2005）天界 , vol. 86 p.151-157
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