新日本技研㈱･技術報告 2011-1 不完全合成部材の解析 序 合成･複合構造は鋼構造のみならずコンクリート構造でも多用されており，今後は我国におい ても更にその比重は高まると予想される．しかし，その設計計算法はいまだに混乱があり整理 が不十分と見受ける．これまでの記述方法では解決できないものがあると思えるため，合成部 材の構造解析と設計計算法を，これまでと異なる視点で記述していく． まずはその１つとして，ここでは設計計算に用いる変位や断面力を算定するための構造解析 を扱う．表記上は鋼合成部材としているが，床版と主桁の鋼断面もコンクリート断面も断面積 や断面二次モーメントを有するとしており，さらにプレストレス荷重も考慮してあるので，そ のまま PC 合成部材にも適用可能である．当社では，クリープ･乾燥収縮を含む固定荷重用の連 続合成桁解析プログラムは，鋼と PC のどちらにも適用できるように作成している． なお，この技術報告の原点は平成 10 年に整理した社内資料にあり，道示やこれまでの参考書 にある一般的な扱い方では問題が顕在化してきたため，再度整理し直して公表することにした ものある． 設計に適用するには，この他に総断面力 (合成断面全体の断面力) の分担断面力 (合成断面構 成要素の個々の断面力) への分解も必要になるが，それに関しては次号の技術報告で記述する． 2011 年 6 月 6 日 両面印刷をする場合は，両面設定において 裏面のとじしろを 10mm にしてください． 倉方 慶夫 不完全合成部材の解析 東京支社･設計部 田中 伸英 ， 同 石澤 俊希 本社･技術本部長 梶田 順一 ， 同･顧問 倉方 慶夫 [ 目 次 ] １．はじめに -------------------------------------------------------------- 1 ２．変位と変形 ------------------------------------------------------------ 2 ３．つり合い式 ------------------------------------------------------------ 3 ４．断面力と変位の関係 ---------------------------------------------------- 6 ５．有 限 要 素 法 に よ る 剛 性 方 程 式 の 誘 導 ----------------------------------- 7 ６．有限要素の剛性方程式の縮小 ------------------------------------------- 10 ７．床版と鋼桁の個々の断面力 --------------------------------------------- 11 ８．クリープと乾燥収縮 --------------------------------------------------- 13 ９．お わりに -------------------------------------------------------------- 15 補遺：変位関数の積分値 ---------------------------------------------------- 16 １. はじめに 合成部材の設計ではコンクリートと鋼部材の接合面のずれ変形を無視した解析を一般に行う． これを完全合成といい，その接合面の結合を剛と仮定しても断面上の直応力に関しては実務の 範囲で殆ど問題を生じない．ただ，剛な結合であると，水平集中荷重点でのコンクリートと鋼 部材間の水平せん断応力(以下では，ジベルのせん断応力と呼称する)も一点に集中し，ジベル のせん断応力の分布状況を議論することができない．また，桁端を含め，断面変化点でも同様 のことが生じ，クリープや乾燥収縮に伴うジベルのせん断応力は断面変化点の一点に集中する． しかし現実にはそのようなことは有り得ず，荷重集中点や断面変化点において，ジベルのせん 断応力は集中的に発生するもののある程度の長さに亘り分布する．そのため，道路橋示方書Ⅱ1) では簡便な方法として，合成桁の端支点部についてはジベルの水平せん断応力の分布長を支間 長や主桁間隔の関数として与えている． これと同様に連続合成桁の床版の打ち継ぎ部や中間支点部の床版コンクリートのひび割れ箇 所にジベルの水平せん断応力は集中的に発生する．このような不連続点でのジベルのせん断応 力分布を推測するために，ここではコンクリートと鋼桁の接合面のずれ変位を考慮した合成部 材(不完全合成部材,弾性合成部材)の解析を行う．ただし，完全合成部材への変換が容易に行え る形にまとめる． また，合成部材では断面の図心軸が合成前と後で大きく移動することに留意しなければなら ない．またクリープ･乾燥収縮応力の解析でもコンクリートのヤング係数が見掛け上変化するた め断面図心軸は変動する．軸方向変位を問題にしない桁構造の解析では，桁長方向の座標のみ が指標になるので問題は生じないが，任意の骨組構造中の合成部材を対象とするとき，断面図 心軸を解析の座標軸とすると，断面図心軸の変動に合わせて解析の座標軸を度々組み直す必要 が生じて大変不便である． この問題を解消するために，ここでは断面図心軸に並行に任煮に座標軸を設定し，設計計算 の全解析を一定の座標軸のもとで解析を行えるように計画する．この場合，断面定数として断 面一次モーメントがゼロではなくなるが，計算対象によって座標系を組み直すよりは遥かに楽 である． 0f 0f fl d i i 0g iy iz A yg u 0g y x z B (b) 側面図 y 0f (a) 断面図 0g fl uf ug yg u y A ŵ B 図－１ 合成部材の変位と変形 ( 1 ) v0 z なお，ここでは鋼合成桁を対象として式展開を行うが，ここで求める解析式は，PC合成桁を 含め，任意の合成部材にも適用可能である． ２. 変位と変形 図－１に示すように，鋼桁に ( x, y , z ) 座標，床版に ( , , ) 座標を導入する．それらの断面上 の座標は ( , ) と ( x, y ) 座標である． 軸と z 軸は，それぞれ床版部材と鋼桁部材の軸線に平行 に設定するが，必ずしもそれらの図心軸であるとは限らないものとする． 軸と z 軸の間隔を y d とするとき，各座標間の関係は， (2.1) , z d であり，床版と鋼桁の接合面の d fl 座標値を fl ， y 座標値を ygu とするとき， ygu (2.2) である． 変位は x y ( )平面内でのみ生ずるものとし，床版部材と鋼桁部材の一般点の変位ベクトル をそれぞれ u f と u g と表すとき，各部材断面は平面を保持するとすれば， uf vf 0 i wf 0 ug vg 0 i y wg 0 i (2.3) y iz となる．ここに， i , i は ( , ) 座標の基本ベクトル， i y , i z は ( y , z ) 座標の基本ベクトルであ る ． ま た ， v f 0 と wf 0 は そ れ ぞ れ i y , i z 方向の変位であり， 軸 上 の i , i 方 向 の 変 位 ， vg 0 と wg 0 は そ れ ぞ れ z 軸 上 の は断面の回転変位である． 各部材の断面は変形せず，それらの間の接合面では鉛直方向の相対的な変位は生じないとす れば， v f 0 と vg 0 は等しく， v0 vf 0 vg 0 (2.4) と表せる．さらに各部材のせん断変形は一般に無視できるので，断面の回転変位は部材軸の角 dv0 /dz ) と等しく， 変位 v0 ( (2.5) v0 となる．したがって，一般点の変位成分を， uf vf i wf i ug vg i y wg i z (2.6) と表すとき， vf v0 , w f w f 0 v0 vg v0 , wg wg 0 v0 y (2.7) となる． 上式から，床版部材の直ひずみ wf / z wg / z と鋼桁部材の直ひずみ z は， w f 0 v0 (2.8) wg 0 v0 y また，床版と鋼桁のずれ変位 ŵ は， wˆ wg y yg u wf fl wg 0 v0 d wf 0 となる． ３．つり合い式 この合成桁のつり合いに対して仮想仕事の原理を適用すると， ( 2 ) (2.9) z2 z1 z2 z1 d Af f Af g Ag z d Ag dz qd wˆ dz z2 z2 pf z1 u f 0 pg u g 0 dz nz Af pf u f dA f d Af は床版断面に亘る積分， 両 端 断 面 の 外向き単位法線ベクトルの i z となる．ここに， Af Ag Ag pg u g dAg z1 d Ag は鋼桁断面に亘る積分を表し， nz は pf 方向成分である． nz f と g 1 , (z z1 ) 1 , (z z2 ) pf 0f (3.2) i i は床版と鋼桁の直応力， qd は床 pf pg z 0g i iy z 版と桁の接合面のジベルのせん断応力 (3.1) 0 pg pg ( せ ん 断 流 ) で あ り ， u f 0 と ug 0 は そ れ ぞ y れ 床 版 と鋼桁の軸線上の変位である．す 図－２ 外 力 なわち， uf0 uf ( 0) , ug0 (3.3) u g ( y 0) である．また，床版の M f Sf 0f 軸と鋼桁の z 軸上に Mf Nf それぞれ分布荷重 p f と p g が 作 用 し，床版部と Sf Sv d 鋼桁部の両端断面には 0g Nv M g Sg Ng Mv Mv Mg そ れ ぞ れ p f と pg な る Sg 表面力が作用するとし， Nv Ng Sv 図－３ 床版と鋼桁の断面力および合成桁断面力 y その成分を， Nf pf p i p i , pg py i y pz i z (3.4) pf p i p i , pg py i y pz i z (3.5) と表す． 式(3.1)に式(2.7)～(2.9)および(3.4)と(3.5)を代入し， Nf Af Ng Ag Sf Af Sg Ag f dA f , M f g dAg , M g p dA f , N f p y dAg , N g f Af Ag Af Ag dA f (3.6) g y dAg p dA f , M f pz dAg , M g p Af Ag dA f (3.7) pz y dAg と表すと， z2 Mf z1 z2 z1 p Mg py v0 v0 N f wf 0 p wf 0 N g wg 0 dz pz wg 0 dz ( 3 ) z2 z1 qd wg 0 v0 d wf 0 dz z nz Sf Sg v0 z2 Mf Mg v0 N f wf 0 v0 Nf qd p N g wg 0 (3.8) 0 z1 となり，部分積分を行うと， z2 M 0 qd z1 pvy d M 0 qd nz S v d M 0 nz M 0 v0 nz N f Nf Ng wf 0 qd pz wg 0 dz v0 Ng wf 0 nz N g wg 0 z2 0 (3.9) z1 となる．ここに， M0 Mf pvy p M0 Mf Sv Sf Mg py (3.10) Mg Sg と表した． 式(3.9)が任意の仮想変位に対して成立するためには，仮想変位の各係数が零とならなければ ならないことから，つり合い式と応力の境界条件が次のように求まる． [ つり合い式 ] ・ i y 方向のつり合い： M0 ・床版の i 方向のつり合い： Nf ・鋼桁の i z 方向のつり合い： Ng qd 0 (3.11a) d pv qd p 0 (3.11b) qd pz 0 (3.11c) [ 力学的境界条件 ] (3.12a) ・合成断面のせん断力： nz S ・合成断面の曲げモーメント： nz M 0 M0 (3.12b) ・床版の軸力： nz N f Nf (3.12c) ・鋼桁の軸力： nz N g Ng (3.12d) M0 qd d 以上も１つのつり合い式であるが， M0 は単に床版と鋼桁の曲げモーメントの和であり，合 成断面としての全体曲げモーメントを表してなく，また合成断面全体の軸力も現れてこない． そ こ で 通 常 の 合 成 桁 のつり合い式に近い形にするために床版の軸方向変位 w f 0 を消去する．す なわち式(2.9)から， wf 0 wg 0 v0 d wˆ (3.13) として，これを式(3.8)に代入すると， z2 M v v0 z1 z2 z1 N v wg 0 pvy v0 nz S v v0 p N f wˆ dz z2 z1 qd wˆ dz v0 pv z wg 0 p M v v0 N v wg 0 N f wˆ d wˆ dz z2 0 (3.14) z1 となる．ここに， Mv Mf Mg Nf d , Nv Nf Ng ( 4 ) (3.15) Mv Mf Mg pv z p pz Nf d , Nv Nf (3.16) Ng (3.17) である． M v , N v はそれぞれ合成断面全体としての曲げモーメントと軸力を表している．ただし， M v は鋼桁の軸線上での値であり，合成断面の重心軸上で曲げモーメントではない． 式(3.13)の部分積分を遂行すると次式を得る． z2 z1 Mv nz S v pv y p Mv v0 d p v0 d nz N v Nv Nv pv z wg 0 nz M v wg 0 Nf Mv nz N f qd wˆ dz p v0 Nf wg 0 z2 z1 0 (3.18) これより，式(3.11)と(3.12)に対応する別の表式のつり合い式と応力の境界条件が次のように 求まる． [ つり合い式 ] ・合成桁の i y 方向のつり合い： Mv pv y p ・合成桁の i z 方向のつり合い： Nv pv z 0 ・床版の i z 方向のつり合い： Nf qd p p d 0 (3.19a) (3.19b) 0 (3.19c) [ 力学的境界条件 ] ・合成断面のせん断力： nz S v Mv ・合成断面の曲げモーメント： nz M v Mv (3.20b) ・合成断面の軸力： nz N v Nv (3.20c) ・床版断面の軸力： nz N f Nf (3.20d) ( 5 ) d (3.20a) ４．断面力と変位の関係 床版と鋼桁の応力とひずみの関係は， Ef f , g Eg (4.1) z と 表 せ る ． こ こ に ， E f と Eg は そ れ ぞ れ 床 版 と 鋼 桁 の ヤ ン グ 係 数 で あ る ． 上 式 を 式 (3.5)に 代 入 し ， さ ら に 式 (2.8)を 代 入 す る と 断 面 力 と 変 位 の 関 係 が 次 の よ う に 求 ま る ． Nf E f Af w f 0 E f J f v0 Ng E g Ag wg 0 Eg J g v0 Mf E f J f wf 0 E f I f v0 Mg E g J g wg 0 E g I g v0 E f A f wg 0 wˆ Ef J f Af E f J f wg 0 wˆ Ef J f Af d v0 (4.2) d v0 ここに， Af Ag Af Ag dA f , J f dAg , J g Ag 2 dAf , I f Af Af y dAg , I g Ag dA f y 2 dAg (4.3) で あ り ， Af は 床 版 の 断 面 積 ， J f は 軸 に 関 す る 床 版 の 断 面 １ 次 モ ー メ ン ト ， I f は 軸 に 関 す る 床 版 の 断 面 ２ 次 モ ー メ ン ト ， Ag は 鋼 桁 の 断 面 積 ， J g は x 軸 に 関 す る 鋼 桁 の 断 面 １ 次 モ ーメント， Ig は x 軸に関する鋼桁の断面２次モーメントを表す． ま た ， 床 版 と 鋼 桁 間 の せ ん 断 応 力 qd は ， ジ ベ ル の せ ん 断 剛 度 (床 版 と 鋼 桁 間 の 単 位 長 当 り の 分 布 せ ん 断 バ ネ )を k d と す る と き ， qd kd wˆ (4.4) と表せるものとする． 式 (3.15)に 式 (4.2)を 代 入 す る と ， Mv E g J v wf 0 E g I v v0 Ef J f Nv Eg Av wg 0 Eg J v v0 E f A f wˆ Af d wˆ (4.5) となる．ここに， n Eg Ef (4.6) とするとき， Av Jv Iv 1 A Ag n f 1 J Af n f 1 I 2J f n f (4.7) Jg d d Af 2 d Ig ( 6 ) ５．有限要素法による剛性方程式の誘導 式 (3.11)あ る い は (3.19)に 式 (4.2)と (4.4)あ る い は (4.5)を 代 入 す る と 変 位 表 示 の つ り 合 いの微分方程式が求まる．それを解く方法もあるが，ここでは有限要素法を用いて離散化 した剛性方程式を組立てる．それに際し床版にプレストレス荷重を与えるものとし，床版 の断面力を， Mf Mf Mfp , N f Nf Nf p (5.1) と 置 換 え る ． こ こ に ， M f p , N f p はプレストレス力が床版の軸線に対して構成する曲げモーメント 軸上の値)と軸力であり，既知量である．上式を式(3.15)を介して式(3.14)に代入する (図－３の と次式となる． z2 Mv z1 z2 z1 Nf p Mfp pv y v0 p nz S v v0 v0 d v0 d Nfp Nv pv z wg 0 p Nf Nf p qd wˆ dz wˆ dz N f wˆ N v wg 0 M v v0 wg 0 z2 0 z1 すなわち， z2 M v v0 z1 z2 N v wg 0 Nf qd Nf p v0 N f p wg 0 N f p wˆ dz v0 pv z wg 0 p Mfp z1 z2 z1 pv y v0 nz S v v0 d p d wˆ dz N f wˆ N v wg 0 M v v0 wˆ dz z2 0 (5.2) z1 上 式 に 式 (4.2),(4.4)お よ び (4.5)を 代 入 す る と ， １ つ の 有 限 要 素 に 対 す る 仮 想 仕 事 式 は 次のようになる． z2 Eg J v wg 0 z1 E g Av wg 0 z2 z1 z2 z1 Eg I v v0 Ef J f E f A f wˆ Eg J v v0 Mfp pv y v0 nz S v v0 Nf p p v0 d v0 d M v v0 Af d wˆ wg 0 N f p wg 0 pv z wg 0 N v wg 0 v0 E f Af wg 0 wˆ Ef J f z1 , z2 d v0 kd wˆ wˆ d z N f p wˆ dz p wˆ dz N f wˆ z2 0 (5.3) z1 こ こ に ， 要 素 両 端 の z 座 標 を z1 と z2 と 表 し ， 有 限 棒 要 素 の 長 さ を z2 Af とする． (5.4) z1 この棒要素の各部材軸線上の変位を， v0 wˆ g1 v1 g 2 v2 g 3 v3 g 4 v4 g1 wd 1 g 2 wd 2 g 3 wd 3 g 4 wd 4 wg 0 g1 wg1 g 2 wg 2 g 3 wg 3 g 4 wg 4 (5.5) と 補 間 す る ． こ こ に ， gi は 変 位 関 数 (形 状 関 数 )で あ り ， z z1 / (5.6) ( 7 ) とするとき， g1 1 3 2 3 g3 2 2 3 , g2 2 3 , g4 で あ る ． vi , wdi , wgi i 2 2 2 3 (5.7) 3 1 ~ 4 などは要素の両端の節点変位や変形を表し， v1 v0 ( z z1 ) , v2 v0 ( z z1 ) v3 v0 ( z wˆ ( z z2 ) wd 1 v0 ( z z2 ) , v4 wˆ ( z z1 ) , wd 2 wd 3 wˆ ( z wˆ ( z z2 ) wg 1 wg 0 ( z z1 ) , wg 2 wg 0 ( z z1 ) wg 3 wg 0 ( z z2 ) , wg 4 wg 0 ( z z2 ) z2 ) , wd 4 z1 ) (5.8) である． また，断面定数やせん断バネおよび分布外力は要素内で直線変化するものとして， Af (1 ) Af 1 Af 2 , J f (1 )J f 1 Jf2 , If (1 )I f 1 If2 Ag (1 ) Ag1 Ag 2 , J g (1 ) J g1 Jg2 , Ig (1 ) I g1 Ig2 Av (1 ) Av 1 Av 2 , J v (1 ) J v1 J v 2 , Iv (1 ) I v1 Iv 2 (5.9) (5.10) kd 1 kd 1 kd 2 pv 1 pv 1 pv 2 p 1 p p 1 とおく．添字の1 は z 2 , pz 1 pz 1 (5.11) pz 2 z1 で の 値 ， 添 字 の 2 は z z2 で の 値 を 示 す ． 式 (5.3)に 式 (5.5)～ (5.7)お よ び (5.9)～ (5.11)を 代 入 し ， 要 素 両 端 の 変 位 ･変 形 の 変 分 量 vi , wd i , wg i ご と に 整 理 し ， 各 変 分 量 の 係 数 項 を 零 と ， 置 く こ と に よ っ て 有 限 要 素 の つ り合い式が次のように求まる． Fu p (5.12) こ こ に ， F は 剛 性 マ ト リ ッ ク ス ， u は 変 位 ベ ク ト ル ， p は 節 点 力 ベ ク ト ル (分 布 荷 重 に よ る 等 価 節 点 力 を 含 む )で あ る ． uT v1 v2 v3 v4 wd 1 wd 2 wd 3 wd 4 wg 1 wg 2 wg 3 wg 4 (5.13) とするとき，剛性マトリックス F ， F f mn , (m, n 1 ~ 12) (5.14) の 各 要 素 fm n は 次 の よ う に な る ． z2 f mn Eg I v1 f mn Ef J f1 z1 g m g n dz Eg I v 1 I v 2 Af 1 z2 d z1 g m g j dz E f z2 z1 g m g n dz , (m, n 1 ~ 4) J f1 Af 1 d Jf2 Af 2 , (m 1 ~ 4 , n 5 ~ 8 , j ( 8 ) (5.15a) z2 d z1 n 4) g m g j dz (5.15b) f mn z2 Eg J v 1 z2 g m g j dz Es J v 1 J v 2 z1 g m g j dz z1 , (m 1 ~ 4 , n 9 ~ 12 , j fm n f n m , (m 5 ~ 12 , n 1 ~ 4) fm n E f Af 1 z2 gi g j dz E f A f 1 z1 z2 kd 1 g i g j dz z1 z2 E f Af 1 z1 z2 Af 2 gi g j dz z1 z2 kd 1 k d 2 gi g j dz E f A f 1 g i g j dz z1 z2 Af 2 m 4, j f n m , (m 9 ~ 12 , n 5 ~ 8) fm n E g Av 1 z2 g i g j dz Eg Av 1 z1 n 4) (5.15e) g i g j dz z1 , (m 5 ~ 8 , n 9 ~ 12 , i fm n (5.15c) (5.15d) , ( m, n 5 ~ 8 , i fm n n 8) m 4, j n 8) (5.15f) (5.15g) z2 Av 2 g i g j dz z1 , (m, n 9 ~ 12 , i m 8, j n 8) (5.15h) また，節点力ベクトル p を， pT P1 P2 P3 P4 Qd 1 Qd 2 Qd 3 Qd 4 Qv 1 Qv 2 Qv 3 Qv 4 (5.16) と表すとき， Pi Svi p Qdi Qvi z2 1 d z2 pv y 1 z1 gi dz gi dz z1 N di p N vi p z2 1 z 1 pv z 1 z2 z1 1 g i dz pv y 1 pv y 2 p d z2 2 p gi dz 1 pv z 1 z1 p z2 g i dz z1 z2 2 z2 g i dz g i dz z1 pv z 2 z1 z2 g i dz z1 M fp z2 z1 Nf p d g i dz , (i 1 ~ 4 ) (5.17) N f p g i dz z2 z1 N f p g i dz である．ここに， S v1 S Nd1 Nc Nv1 N z z1 z z1 z z1 , Sv 2 Mv , Nd 2 0 , Nd 3 Nc , Nv 2 0 , Nv 3 N z z1 , Sv 3 S z z2 z z2 z z2 と表した． ( 9 ) , Sv 4 Mv , Nd 4 0 , Nv 4 0 z z2 (5.18) ６. 有限要素の剛性方程式の縮小 前章において有限要素のつり合い式として８つの等式を求めた．これらのつり合い式は，各 節点に関するつり合い条件と変位の連続条件により結合され，境界条件(支点条件)の処理を行 なって構造全体の剛性方程式が組立てられる．ただし，このうち式(5.16)に示す境界力が恒等 的に零になる第 6,8,10,12 番目の等式は，構造全体のつり合いとは無関係に，各有限要素内で独 立に成立する．すなわち， 4 f 6 , i vi f 6 , 4 i wdi f 6 , 8 i wgi Qd 2 f8 , i vi f8 , 4 i wdi f8 , 8 i wgi Qd 4 i 1 4 i 1 (6.1) 4 f10 , i vi f10 , 4 i wdi f10 , 8 i wgi Qg 2 f12 , i vi f12 , 4 i wdi f12 , 8 i wgi Qg 4 i 1 4 i 1 の２式は各有限要素内で独立に成立するので，この条件を用いて事前に wd 2 と wd 4 および wg 2 と wg 4 を消去しておけば構造全体の剛性方程式を縮小できる． 4 a1 Qd 2 f 6, i vi f 65 wd 1 f 67 wd 3 f 69 wg1 f 6,11wg 3 f8, i vi f85 wd 1 f87 wd 3 f89 wg1 f8,11wg 3 i 1 4 a2 Qd 4 i 1 (6.2) 4 a3 Qs 2 f10, i vi f10,5 wd 1 f10,7 wd 3 f10,9 wg1 f10,11wg 3 f12,5 wd 1 f12,7 wd 3 f12,9 wg1 f12,11wg 3 i 1 4 a4 Qs 4 f12, i v i 1 i と置くとき， f 6,6 f 6,8 f 6,10 f 6,12 wd 2 a1 f8,6 f8,8 f8,10 f8,12 wd 4 a2 f10,6 f10,8 f10,10 f10,12 wg 2 a3 f12,6 f12,8 f12,10 f12,12 wg 4 a4 (6.3) である．したがって， 1 wd 2 f 6,6 f 6,8 f 6,10 f 6,12 wd 4 f8,6 f8,8 f8,10 f8,12 a2 wg 2 f10,6 f10,8 f10,10 f10,12 a3 wg 4 f12,6 f12,8 f12,10 f12,12 a4 a1 (6.4) となる．上式を代入して式(5.11)から wd 2 , wd 4 , ws 2 , ws 4 を消去すると，剛性マトリックスの各要 素を具体的に表すことは省略するが，有限要素の剛性方程式は次のようになる． ( 10 ) P1* f f f f f f f f v1 f f f f f f f f v2 P2* v3 P3* v4 P4* wd 1 Qd*1 wd 3 Qd* 3 wg1 Qg*1 wg 3 Qg* 3 f f f f f f * 11 * 21 * 31 * 41 * 51 * 61 * 71 * 81 f f f f f f * 12 * 22 * 32 * 42 * 52 * 62 * 72 * 82 f f f f f f * 13 * 23 * 33 * 43 * 53 * 63 * 73 * 83 f f f f f f * 14 * 24 * 34 * 44 * 54 * 64 * 74 * 84 f f f f f f * 15 * 25 * 35 * 45 * 55 * 65 * 75 * 85 f f f f f f * 16 * 26 * 36 * 46 * 56 * 66 * 76 * 86 f f f f f f * 17 * 27 * 37 * 47 * 57 * 67 * 77 * 87 f f f f f f * 18 * 28 * 38 * 48 * 58 * 68 * 78 * 88 (6.5) この剛性方程式のうち破線で囲った部分を省略すれば，完全合成部材となる． ７. 床版と鋼桁の個々の断面力 以上の剛性方程式あるいは式(3.11)や(3.19)を解いて得られる断面力は式(3.15)や式(3.16) nz Mv ) や N v ( nz N v ) であり，床版と鋼桁の個々の曲げモーメント M f と M g や鋼桁の 軸力 N g は直接には求められない．それらは M v および N f と N v を用いて次のように算定できる． の Mv ( 式(4.2)から変位を消去し，式(3.10a)の関係を用いると， Ng Mg Mf Nv Nf 1 Ef I f 0 Mv Eg I g 0 e f N f Eg I g 0 Mg Nf E f I f 0 eg N g Eg I g 0 M v Nf (7.1) d d を得る．ここに， Mf z Mf If0 If ef J f Ig0 Ig eg J g ef J f / Af eg J g / Ag (7.2) Nf 0f fl M f Sf pz (7.3) qd d ygu である． また剛性方程式の解としては，せん断 Ng 0g Sg Mg Sf Sf z z z Mg z z z Ng Ng z z Sg Sg z z Mg 力も，式(3.10d)あるいは(3.20a)に示す z 合成断面全体の値 Sv ( nz Sv ) が算定され るだけであり，床版と鋼桁の個々のせん Nf z Nf p z 図－４ 微小梁要素 y 断力 S f , S g は直接は求められない．これ らは以下のように算定する． 図－４に示す床版と鋼桁の微小梁要素の回転のつり合いをとると， Mf Mg となり， Mf Mf z Mg Mg z z Sf z Sg z を極めて微小( z Sf Mf qd Sg Mg qd y gu fl pz Sf z Ss z z z ( qd fl pz p ) z 0 (7.4) z z qd z y gu 0 dz )にすれば， p (7.5) ( 11 ) を得る．また，水平方向の外力が作用していない図－４の微小要素の軸方向のつり合いをとる ことにより， Nf Ng qd pz (7.6) qd を得る．また，式(3.10)から， M0 Mf Mg Sg Sg qd fl ygu pz Sv p qd d pz (7.7) p となる． 式(7.5b)に式(7.1a)を代入し，式(7.6)と(7.7)の関係を用いると，床版と鋼桁のせん断力は， Sg Eg I g 0 S v E f I f 0 ygu eg Ef I f 0 Eg I g 0 e f E f I f 0 Eg I g 0 Sf Eg I g 0 Sv Nf fl ef qd Eg I g 0 ( p e f ) pz Eg I g 0 E f I f 0 eg E f I f 0 Eg I g 0 Sg Ng Eg I g 0 E f I f 0 Eg I g 0 M0 (7.8a) (7.8b) と求まる． ( 12 ) ８．クリープと乾燥収縮 ここではクリープと乾燥収縮に対する解析の基本式を扱う．コンクリート床版が合成された (0) f ，鋼桁には 後，時刻 t0 に後死荷重が作用して床版には (0) g なる応力が発生したとする．こ (0) において床版応力は f ，鋼 f f の状態からクリープや乾燥収縮が進行し，時刻 t (0) g (t ) (t ) (t ) に な っ たとする．またこの間の乾燥収縮ひずみを ( s) ( t ) と 表すとき， 床 版 に 発 生するひずみ c (t ) ( t0 ~ t 間のひずみの変化量 ) は， Trost の公式による 桁の応力度は g (t ) g と， (0) f (t ) f t t0 Ef (t ) と与えられる．ここに， (s) 1 Ef t t0 (0) f が作用した は t t0 (8.1) (t ) t0 時点から時刻 t までのクリープ係数であり， は同様に時刻 t0 ~ t 間の材齢係数である．上式の右辺第１項は自由なクリープひずみ (0) f t t0 , t t0 Ef (t ) f (t ) Ef 1 (8.2) t t0 はクリープと乾燥収縮に伴う諸量の増分を表す． であり，前付きの 式(8.2b)より，遅れ弾性ひずみに伴う床版の応力度 E *f (t ) f E *f E *f ,t f は， (8.3) (t ) Ef t0 t t0 (t ) を表す．すなわち， を，第２項はクリープ応力によるクリープひずみ (0) (0) 1 (8.4) t t0 と表せる． この間の仮想仕事は，外力の増分はないものとするとき， z2 z1 Af E *f dA f g Ag z dAg dz z2 z1 qd wˆ dz z2 nz pf Af u c dA f pg As u g dAg 0 z1 となる． p f と p g はそれぞれクリープと乾燥収縮に伴う床版と主桁の両端断面の表面力の増 分である． 上式に式(8.1)を代入すると，式(8.3)と(8.4)の関係により， z2 z1 Af z2 z1 (0) f t t0 Af z2 dA f dz f z1 g Ag E *f /E f z E *f dAg dz (s) z2 z1 qd wˆ dz dA f dz z2 nz Af pf u f dA f Ag pg u g dAg 0 (8.5) z1 さらに，式(3.6)と(3.7)の関係を用いると， z2 Mf z1 z2 z1 t t0 z2 z1 Mg v0 E *f /E f E *f Af N f wf 0 N (0) wf 0 f (s) wf 0 N g wg 0 dz M (0) v0 dz f E *f J f (s) v0 dz ( 13 ) z2 z1 qd wˆ dz nz S v v0 z2 N f wˆ N v wg 0 M v v0 0 z1 となり，これに式(3.13)を代入して， z2 M v v0 z1 z2 E *f /E f t t0 z1 z2 N v ws 0 M (0) f E *f J f z1 nz Nf (s) Af S v v0 N (0) f wˆ dz v0 N (0) wg 0 f d (s) E *f A f v0 d qd (s) E *f A f wg 0 z2 N f wˆ N v wg 0 M v v0 N (0) wˆ dz f wˆ dz 0 (8.6) z1 を得る． 床 版 の 応 力 と ひ ず み の 関 係 は ， 式 (4.1a) に 対 し ， こ こ で は 式 (8.3) で 与 え ら れ る の で ， 式 (4.2a,b)は， Nf E *f A f w f 0 E *f J f v0 E *f Af wg 0 Mf E *f J f w f 0 E *f I f v0 E *f J f wg 0 E *f J f wˆ E *f I f wˆ Af Jf v0 d d (8.7) v0 となる．鋼桁部およびジベルに関しては式(4.2c,d)と(4.4)がそのまま成り立ち，これらの関係 を式(8.6)に代入すると，次式を得る． z2 Eg J v wg 0 z1 E g Av wg 0 Eg I v v0 z2 z2 z1 E *f J f wˆ E *f /E f t t0 z1 M (0) f E *f J f nz E *f A f wˆ E g J v v0 E *f A f wg 0 N (0) f (s) Af S v v0 E *f J f d Af v0 wg 0 Af d d v0 kd wˆ v0 (s) wg 0 N f wˆ N v wg 0 dz wˆ N (0) wg 0 f E *f A f v0 M v v0 wˆ d N (0) wˆ dz f E *f A f z2 (s) wˆ dz 0 (8.8) z1 上 式 と 式 (5.2) を 見 比 べ れ ば 判 る よ う に ， 上 式 か ら 導 か れ る 剛 性 係 数 は 式 (5.15)に お い て Ef E *f と置き換えたものに等しい．また，式(5.16)の等価節点力は，式(5.17)に対して， Pi z2 Svi z2 z1 E *f J f Qd i Nd i Qvi N vi E *f / E f t t0 z1 Af z2 z1 t t0 z2 z1 t t0 M (0) f (s) d N (0) f d gi dz gi dz , (i 1 ~ 4) * f E / Ef N (0) f E *f / E f N (0) f * f E Af E *f A f となる． ( 14 ) (s) ( s) gi dz gi dz (8.9) ９．おわりに 鋼合成桁も，PC合成桁も，我国で設計計算に用いている解析式は既に時代遅れになってしま っている．すなわち， 1) 我国では1940年代前後のクリープ理論がPC桁の設計に各種混在して用いられているが，欧 1) 米では既に遅れ弾性クリープを考慮した理論に切り替わっている ． 2) 鋼合成桁に関しては，昭和47年に“プレストレスしない合成桁”の条項が道路橋示方書Ⅱ (以下，道示と略称する)に取り込まれ，引張応力を受ける床版に関する鋼材規定が設けられ たが，Eurocode 2 2) (コンクリート構造物) ，Eurocode 4 3) (鋼･コンクリート合成構造物)およ びDIN-Fachberichit 104 4) (合成橋梁)では コンクリートのひび割れ幅の照査規定に移行してい る． 3) DIN-Fachberichit 104では鋼連続合成桁の中間支点部のある範囲の床版コンクリートはひ び割れるとして，死･活荷重，クリープ乾燥収縮および温度差応力の算定でその剛性低下 考慮している．これに対し道示ではコンクリートのひび割れによる剛性低下は考慮して いない． 等である． これらの問題を検討するために，合成桁の剛性方程式を誘導したのが本報告の始まりである． これをもとに，PC合成桁におけるクリープ理論の相違の影響を文献5)において検討した．また， 鋼連続合成桁の中間支点部におけるひび割れ範囲とその影響に関しては文献6)にて検討した． なお，本報告では床版はコンクリート単体，主桁は鋼桁単体として記述したが，上記の検討 1) においては，別途検討資料 をもとに床版も主桁もコンクリートと鋼材の完全合成部材(ただし， 鋼合成桁の主桁は鋼桁単体構造)で，床版と主桁間に弾性ジベルを挿入する不完全合成桁として 扱った．何れも直線の一本梁の計算である. その後，市販の鋼合成桁の設計プログラムに幾つかの疑問や不満を感じたので，ジベルの変 形を無視した完全合成桁に変換して立体格子構造(複合ラーメン橋を扱えるように合成桁の格子 構造に橋脚を取り付けた構造)の設計計算プログラムを作成して実用に供している． 【参考文献】 1) 田中伸英･石澤俊希･高濱光夫･高龍･梶田順一･倉方慶夫：合成桁における分担断面力，新日本技研 ㈱･技術報告(ホームページで公開)，2011.6 2) Eurocode 2:Design of concrete structures Part 1.3 General rules,DD ENV 1992-1-3:1996 3) Eurocode 4:Design of composite steel and concrete structures－Part 2:Composite bridges, DD ENV 19942:2001 4) DIN-Fachbericht 104 Verbundbrücken, 2003 5) 徳力健･田中伸英･木村寛治：PC 連結合成桁設計におけるクリープ計算法の影響，日本道路会議， 平成 17 年 11 月 6) 中村太一･倉方慶夫･松田浩：連続鋼合成桁における中間支点部のコンクリート剛性の評価，第二 回道路橋床版シンポジウム講演論文集，2000.10 ( 15 ) 補遺：変位関数の積分値 １） ( A) ij 0 g i g j dz ， ( A) ij 6 12 6 6 2 6 4 3 2 3 2 3 2 3 2 6 4 6 2 2 1 2 1 2 6 12 6 3 2 3 2 2 6 2 (B) ij 0 (B) ij ３） (C ) ij ( ij 2 0 ， 13 35 11 210 9 70 13 420 11 210 1 105 13 420 1 140 0 2 2 C) 12 35 1 14 12 35 1 35 2 3 2 3 9 70 13 420 13 35 11 210 13 420 1 140 11 210 1 105 2 2 6 5 1 10 6 5 1 10 0 2 6 4 3 2 3 2 1 4 3 35 1 2 60 9 140 1 2 70 3 ( B) ij , 2 3 3 g i g j dz ， 0 ( 16 ) 2 3 2 3 9 140 1 2 60 10 35 1 2 28 1 70 1 280 1 28 1 168 2 3 2 3 i, j 1 ~ 4 3 5 1 10 3 5 ( C) ij , 1 35 1 70 1 35 3 35 1 60 1 280 1 60 1 280 ， gi g j dz 0 3 2 i, j 1 ~ 4 2 1 10 1 30 1 10 2 15 12 35 1 14 12 35 1 35 ， gi g j dz ( 3 C) ij ， 1 14 2 105 1 14 1 70 6 4 0 ( C) ij 1 10 2 15 1 10 1 30 2 2 ( B) ij ， g i g j dz 6 5 1 10 6 5 1 10 (C ) ij ( ij 2 gi g j dz 2 4 2 gi g j dz C) 2 ( A) ij , 12 6 ２） i, j 1 ~ 4 12 2 ( A) ij ， gi g j dz 0 , ( 3C) ij 1 10 1 30 1 10 1 60 3 14 1 20 3 14 1 28 3 5 1 10 3 5 0 1 20 11 840 1 20 11 840 0 1 60 0 1 10 3 14 1 20 3 14 1 28 1 28 11 840 1 28 13 168 ４） (D) ij 1 0 1 0 1 (E) ij ６） ７） 1 10 1 60 (G ) j 0 (H ) j 0 (I ) j 0 (G ) j 1 2 1 10 1 2 1 10 ， 1 10 1 2 60 1 10 g j dz ， ( G) j 0 g j dz ， g j dz ， 1 2 1 12 ( H) j 0 ( I) j 0 1 2 1 12 1 0 1 0 1 0 1 7 10 4 15 7 10 13 30 3 70 1 210 3 70 1 210 2 2 11 35 31 420 11 35 23 210 2 35 1 2 84 2 35 1 210 i, j 1 ~ 4 1 10 1 30 11 10 2 15 0 13 70 1 105 13 70 11 420 ( E) ij , 3 5 2 1 5 3 5 2 4 5 i, j 1 ~ 4 0 6 5 1 10 6 5 1 10 2 3 10 1 15 3 10 7 30 ， gi g j dz 0 11 10 2 15 1 10 1 30 (H ) j (I ) j ( E) ij 2 g i g j dz ( D) ij , i, j 1 ~ 4 3 5 2 1 5 3 5 2 4 5 1 2 0 6 5 1 10 6 5 1 10 (F ) ij 1 1 10 1 10 1 2 1 10 0 0 gi g j dz ， 0 (F ) ij 1 2 1 ， g i g j dz 0 1 1 1 2 1 2 (E) ij ( D) ij 0 1 2 1 (D) ij ５） ， g i g j dz 0 , , g j dz ， j 1~ 4 g j dz ， j 1~ 4 ， g j dz 2 3 20 ( G) j , 1 2 ( H) j ( I) j j 1~ 4 1 ( 17 ) 0 1 12 1 1 30 1 1 2 12 1 2 7 20 1 20 2 2
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