統計学第１２回西山 5, 6, 7, 12頁に授業中の表示内容への追加・修正あり【３章の結論】＜ルートNの法則＞集めるデータの特徴は、平均がμ、標準偏差がσ N個のサンプルをとると合計値正規分布期待値  N   標準偏差  N   平均値期待値   標準偏差   N N：データ数、 μ：母集団の平均値、 σ：母集団の散らばり【３章の結論】分散には二通りあり言葉の定義どおりだと 1 2 S  N  X N i 1  X 2 i 母集団の分散を知りたいなら N 1 2 2 X i  X  ˆ   N  1 i 1 不偏分散バイアス修正値母平均は標本平均に、ばらつきは標準誤差に全部そろっていれば平均値は決まる 9個のサンプル 100 200 100 200 袋の重さ違いがあれば平均値必ず誤差が出る正規分布 3 1 9個のサンプル 100 200 袋の重さ 100 200 平均値【例題再び】確率９０％で推定ある高校の1年生からランダムに5名を選んで100メートル走の記録をとると、 12.32、15.28、14.19、13.72、13.26 だった。学年全体の平均はいくら位か範囲を示して答えなさい。信頼係数は９０％。 ←授業中は定義通りの標準偏差Sを表示していました信頼係数を９０％に落とすと信頼係数 0.90  P 1.645  Z  1.645     X     P  1.645   1.645  2    n   1.10 1.10    P13.75  1.645     13.75  1.645   5 5   サンプル平均標準誤差 0.49 点推定と区間推定の関係 100メートル走の記録最大誤差をどこまで見積もるか 2   標準誤差サンプル平均 1.645   1.10   13.75    1 5   0  （＝0.49）幅をつけない推定法を点推定といいます標準誤差を求める式を、前のページに合わせて修正しています【例題】身長の学年平均ある高校の1年生からランダムに5人を選んで身長を測定すると以下のようであった： 192、 155、 161、 180、 166 （cm）学年全体の平均身長を推定しなさい。信頼係数は95％としなさい。【解答】母平均（μ）の推定サンプル平均標準誤差 170.8cm 15  6.7 5 170.8  2  6.7 T値について補足します • T値≒標準値です。 • ゆえに、T値は±２以内と思って基本的にOKです（確率95％範囲） • サンプル数が少ない時はT分布の数値表で95％範囲を確かめる方が厳密です。平均と分散の標本分布母集団は、μ＝170、σ2＝102、サンプル数は5個標本分散の分布標本平均の分布 700 600 500 400 300 200 100 0 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 25 -5 0 75 -1 00 12 515 0 17 520 0 22 525 0 27 530 0 32 535 0 37 540 0 42 545 0 47 550 0 <= 33 7. 89 カイ二乗分布の形 3.8 9- 18 3. 46 データの分散の値 18 18 0.4 6- 18 0. 02 17 7.0 2- 18 7. 59 17 3.5 9- 17 3. 15 17 0.1 5- 17 0. 72 16 6.7 2- 17 6. 28 16 3.2 8- 16 3. 85 16 9. 15 9.8 5- 15 1- 6.4 15 15 2.9 8- 15 6. 41 0 頻度 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 187.33 152.9773 169.9806 20.43845 0.007936 0.042042 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 477.6252 0.448268 79.85362 3114.514 1.367639 2.805332 不偏分散は１００を中心に分布しますステューデントのT分布の立役者 T X  ˆ 2 n Gosset, W. S. Fisher, R.A. 母集団のσ2に近ければ大したことではないデータ数が10個未満では必要 1906年にペンネームStudentでT分布の存在を発見しました T値のシグマ区間９０％圏これは自由度（n－1) ９５％圏サンプル数が10個未満 T分布表から95％範囲を確かめよ教科書巻末の数値表５を参照サンプル数が20個以上なら 2シグマの法則を使う。標準値で±２以内！解答② ‐Ｔ分布表で厳密に自由度＝５－１＝４母平均（μ）はサンプル平均 170.8cm サンプル誤差 15  6.7 5 170.8  2.78  6.7 クイズある作業を行うための所要時間は作業員により異なる。いま無作為に１０人を選んで所要時間を調べたところ、以下の結果が得られた（単位：分） 44.6, 43.3, 37.2, 40.6, 27.4, 40.7, 45.6, 39.5, 39.1, 42.7 作業員全体の平均所要時間は何分くらいか？９５％信頼区間を求めなさい。ヒントサンプル１０人の平均値に関する標準誤差母平均＝サンプルの平均±＜何倍とるか＞×標準誤差