6．真空中の静電界ガウスの法則

6．真空中の静電界
ガウスの法則
ガウスの法則
電気力線の面密度＝その点の電界の強さ
電界の強さE[V/m]であると電気力線の密度 E [本/m2]
点電荷Qを中心として半径r [m]の球面を考える球の面積S [m2]
球面上の電界=E とすると球面上の電界の大きさはどこでも同じ
電界の向きは球面に垂直
球面から出て行く電気力線の総数＝ES [本]
電荷Q [C]からはQ/ε0 [本]の電気力線が出て行く
ES=Q/ε0
閉じた曲面（閉曲面）上の電界と曲面の面積の積が曲面内の電荷の1／ε0に等しい
E
E
Q
1
閉曲面が球面でなく一般的な場合
dSnはQを頂点とする
円錐の底面
中心に点電荷Qを包むような任意の閉曲面S
を考える
S上の微小面積dS QとdSとの距離r
dS部分の電界E
電界E＝Q/(Sε0)=Q/4πε0r2
この電界のうち面dSに垂直な成分Enは
E
En＝Ecosθ
EndS＝E dS cosθ＝E dSn ＝Q dSn/(4πε0r2)
b
En
微小面積dSから出て行く電気力線の数
a
a
Q
dSn
閉曲面S内に単位半径（半径1m）の球面を考え、
この球面が円錐を切断する面積をdS0とすると
dSn/r2＝dS0/12 （円錐の相似形）
r
よってdSから出て行く電気力線の総数は
EndS＝Q dSn/(4πε0
dSn
a
b
dS=πab(楕円の面積)=πa(a cosθ）=πa2cosθ
b=a cosθ
2
dSn＝πa
したがって dSn=dScosθ
r2)=
dS
dS0
Q dS0 / (4πε0)
1m
次に閉曲面全体にわたって総和をとる。（面積分）
Q
∫ E dS = 4πε ∫
n
s
∫
0
s0
s0
dS 0
dS 0 = 4π 12 = 4π
Q
∫ E dS = ε
s
n
0
単位半径の球の表面積
4πr2
立体角を用いても同様に
導かれる
立体角ω＝S/ r2
dω＝dS/ r2
EndS=Qω/ 4πε0
Q
電界に関する
ガウスの法則（Gauss s law)
∫ E dS = 4πε ∫ dω
s
n
0
s
∫ dω = 4π
s
2
ガウスの法則
∫ En dS =
s
Q
ε0
r r Q
∫ E • dS =
s
ε0
r r
En dS = E cos θdS = E • dS
ガウスの法則（ベクトル表示）
この式の意味
電界内の任意の閉曲面から垂直に出て行く（入ってゆく）電気力線の総数は
閉曲面内に分布している全電荷に比例し、Q/ε0 に等しい
閉曲面内に複数の電荷があるときそれらの和をとる
球の表面に電荷が分布電界計算例
半径a の球の表面に電荷Q[C]が分布
表面のみに分布しているときの電界
を求める。
電界は放射状でどこでも等しい
半径rの球空間にガウスの法則を適用
球の表面のみに電荷が分布しているので、球の内部には電界は存在しない。
仮想的な空間を作ってもその空間内に電荷は存在しない。Q＝0
したがって、ガウスの法則からもE＝0となる
3
球の表面に電荷が分布電位計算例
球全体に電荷が分布電界計算例
球状分布（体積全体に分布）の電荷による電界を求めよ
球は一様に電荷が分布している。
4
電界計算例
（２）球内の電界
半径ｒの仮想同心球面S’ を球内にとると、この球面上で電界は一定である。
全電界はQ でありガウスの法則により
球全体に電荷が分布電界から電位を計算
球状分布
（1）球外の電界
∞
（2）球内の電界
E
E∂1/r2
(1) 球外の電位(r>a)
∞からrまでEを積分
0
r
a
V
V∂1/r
0
a
r
5
（2）球内の電位（r<a)
球内の電位は球面上で不連続に変化
したがって、r＝∞からr＝a（球面上）までとr＝aからr=r（球内のある点）
までの2部分に分けて積分する
V
V∂ -r2
V∂1/r
0
r
a
（r<a）
円筒表面に電荷が分布電界、電位
無限に長い半径aの円筒表面に電荷が一様に分布し、軸方向の単位長さあたりの
電荷（線電荷密度）がσ [C/m]であるときの電界と電位を求めよ。
r r
電荷は円筒表面に一様で無限に長く分布
円筒の外では電荷はすべて軸に直角で放射状
同心円筒面上（長さl, 半径ｒ）においてガウスの法則
を適用
Q
∫ E • dS = ε
s
0
a
σ[C/m]
円筒の上部底部からは電界が出て行かないE・dS＝0
したがって、円筒の側面方向のみを考える
左辺＝Er (2πr）l
右辺=σ/ε0
円筒内部には仮想空間を作ってもその内部に電荷は存在しないのでE＝0
6
電位の計算
半径ｒの点における電位
σ
σ
σ
軸からの距離ｒ１とｒ２間の電位差
σ
σ
σ
σ
円筒全体に電荷が分布電界、電位
無限に長い半径aの円筒全体に電荷が一様に分布し、軸方向の単位長さあたりの
電荷（体積電荷密度）がρ [C/m3]であるときの電界と電位を求めよ。
（1）円筒外の電界
半径r、長さlの円筒空間を考える。
先ほどと同様に円筒の上面と底面からは
電界が出て行かない。したがって側面のみを計算
ガウスの法則により
r r
a
Q
∫ E • dS = ε
s
0
右辺の全電荷Q= ρ[円筒の体積]
＝ρ(πa2 l）
左辺＝En（2πr l）=Er（2πr l）
Er （2πr l）= ρ(πa2 l）/ε0
Er=ρa2/(2ε0r）
（r＞a）
7
r r Q
E
∫ • dS =
（1）円筒内の電界
s
ε0
a
円筒内部に閉曲面を考えると
円筒の側面では電界は一定
閉曲面内の電荷Q=ρ[πr2l]
ガウスの法則左辺
=Er（2πrl）
ガウスの法則右辺
=Q/ε0＝ρ[πr2l] /ε0
Er（2πrl）= ρ[πr2l] /ε0
Er=ρr/（2ε0）
（r<a）
電位の計算
（1）円筒外の電位
電位の基準点を円筒の任意の点r=r0にとってそこから移動する仕事を考える
この場合無限大から移動した場合電位も無限大となるため、このようにして
電位ではなく電位差を求めることにする。
（2）円筒内の電位
r＝r0からr=a（円筒面上）までとr=aからr＝r（円筒内）までの2つにわけて積分する。
8
a
Ea
E∂r
E∂1/r
E
r
0
a
V∂-r2
V∂-ln(r)
V
0
r
a
無限長の直線による電界、電位
無限長さの直線を囲む円筒形閉曲面を考える
電界は円筒面に垂直で一様である。
線電荷密度σ[C/m]を考える。
円筒の上面と底面から出て行く電界はない
ので側面のみをガウスの法則をもちいて計算
r r Q
E
∫ • dS =
s
r
l
ε0
左辺=Er（2πr l）、右辺=σl/ε0
Er（ 2πr l ）＝σl/ε0， Er＝σ/（2πε0r）
先ほどと同様に電位を求めるために無限大から移動すると電位
も無限大となってしまう。
したがって、ここでも軸からの距離r2の点に対するr1の電位差を求
める。
9
無限に広い平面AB分布の電荷による電界、
電位差
無限に広い平行に向き合った平面状
導体A、B
面密度＋σ、−σ [C/m２]
一様分布
無限平面電荷による電界
無限平面に電荷が一様に分布単位面積あたりの電荷（面密度）=σ[C/m2]
電荷は一様
円柱形の空間を考える（面積ΔS）
電界は面に垂直で大きさは等しい
電界Enは外向き
円柱の側面を通り抜ける電界はない
電界は無限平面からの距離に関係なく一定（平等電界）
10
ガウスの法則(発展的)＊
ガウスの発散定理
r r
r r
Q
ρ
E
•
d
S
=
(
∇
∫
∫ • E )dv = = ∫ dv
s
v
r r ρ
∇•E =
ε0
r
r
E = −∇V
発散
ε0
v
ε0
（ガウスの法則微分形）
これより次の式が導かれる
r r
∇•D = ρ
（電界と電位の関係）
ここでDは電束密度
r
r
D = εE
ε：媒質の誘電率
（ポアソンの式）
特に体積電荷密度が0（電荷が存在しない空間の領域）では
（ラプラスの式）
練習問題
1．教科書「電気磁気学」P41 問題6
1.8x10-6Cと-9x10-7Cの2個の点電荷が15cm離れている時電界が0となる位置
とその電位を求めよ。
2 問題8
1辺がa[m]の正方形の各頂点にQ[C]の点電荷をおいたとき正方形の中心の電界
と電位を求めよ。
11
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練習問題
「演習電磁気学」p9 基礎演習問題4
1．一様な電界中で1個の電子を電界の方向に5cm移動するのに要した
仕事が2.16x10-17Jであった。電子が移動した2点間の電位差と電界をもとめよ。
電子の電荷量e=1．6x10−19C
VAB＝B点からA点まで＋1Cの電荷を移動する仕事が電位差VAB
1．6x10-17Cの電荷量を移動した仕事Wが2.19x10-17Jであるので
VAB＝W/e
P11 例題2・5
2．1辺が60cmの立方体の中心に2µCの点電荷がある。この立方体から出て行く
電気力線の総数はいくらか
この立方体の内部にある電荷量はQ＝ 2µCである
ガウスの法則の左辺＝電気力線の総数
=Q/ε0＝2µC/（8．85x10−12F/m） [本]
Q
∫ E dS = ε
s
n
0
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