2. ガウスの法則 2 2–1 ガウスの法則 実験事実であり、高校でも学んだクーロンの法則 (電荷間の力) を別の形で表現したことに なっているガウスの法則は、４つの方程式からなるマクスウェルの方程式 (電磁気学の基礎方 程式) の１つである重要な法則である。また、 「場」という概念 (あるいは物理量) をあらわに扱 う大学での電磁気学で最初に出てくる法則であり、今後に出てくる法則や考え方の基礎をなす ものである。そこで、点電荷間の力を与えるクーロンの法則から出発して、より一般的な場合 に成り立つガウスの法則を少し丁寧に導いておこう。 2.1 電荷、クーロンの法則、電場、電気力線 まずは高校で学んだことを復習しておこう。電荷には正負の２種類があり、その大きさが無 視できる点電荷 Q によって、距離 r 離れた点にある点電荷 q は強さが F = 1 Qq 4πε0 r2 のクーロン力を受ける。ベクトル表記すれば ( ) r 1 Qq ˆ ˆ r = r , |ˆ r | = 1 は r 方向の単位ベクトル ( 方向ベクトル ) 。 F= 4πε0 r2 r である。ただし、r は電荷 Q から電荷 q に向かうベクトルであり、電荷の符号の効果はこの式 に込められている。すなわち、Q と q が同符号であれば力は r と同じ方向 (すなわち斥力)、異 1 符号であれば r 方向の引力であることを示している。また、この時点では は単なる係数 4πε0 であると考えておいてよい。 ここで電場を登場させる。すなわち、Q が q のある空間に何らかの影響を及ぼし、その影響 [ ] 逆に q は Q が置かれ によって歪んだ空間が q に力を与えると考える た空間を変化させる。 。電荷によって生じたこの空 間の歪みを「電場」と呼び、E(r) で表す。力の大きさと方向を決める量であるのでベクトルで あり、式で書けば F = E(r) q , E(r) = E(r) ˆr , E(r) = E(r) = Q 1 4πε0 r2 (2.1) ということである。 次に、この電場 (すなわち力) の方向を辿っていった線を考え、電気力線と名付ける。当然な がら今の場合は Q の点を中心とした放射状になり、Q が正電荷であれば（r と同じ向きなので） Q から離れる方向の直線、Q が負電荷なら Q に向かう直線となる。また、遠方でも E の大き さが 0 になることはないため、この直線は途中で消滅したり新たに生じたりすることなく Q の 点から無限遠点まで繋がっている。従って、このような電気力線を何本か描き、Q を中心とし た任意の半径の球面を考えると、その球面を横切る電気力線の本数は半径に拘らず常に一定で ある。 ここで電場が (従ってクーロン力が) 半径 r の２乗に反比例することが大きな意味を持ってく る。多数 (Ｎ本) の電気力線を方向に対して均一になるように描くことを考えると、半径 r の球 面を横切る電気力線の本数は常に N 本であり、半径＄r＄の球面の面積は 4πr2 なので、球面で N となり、(2.1) 式と同じ r 依存性になる。その の電気力線の密度 (面積当たりの本数) は 4πr2 ため、 2. ガウスの法則 電荷 Q からは N = 2–2 Q 本の電気力線が出る (Q < 0 の場合には入ってくる)。 ε0 と定めると、電気力線の密度と電場の強さが等しくなる。すなわち、 電場の強さが E である点 (狭い領域) の電気力線の密度は E である。 ということが言える。なお、電気力線はあくまでも仮想的な線なので、何本と言い方をしても 整数である必要は全くない。 2.2 ガウスの法則の直感的説明 Q 本の電気力線が出るとする。すると、Q を ε0 中心とする球の表面を通過する電気力線の本数は、その半径 に拘らず同じ N 本である。このことをより一般化したのがガ ウスの法則で、Q を取り囲む任意の閉曲面を通過する電気力 Q 線は常に N = 本であるというものである。このことが正 ε0 しいことは直感的に分かるであろう。ただし、閉曲面には右 図のような入り組んだものもある。この場合には、閉曲面を 内側から外側に貫く電気力線を正符号とし、逆に外から内に 向かう場合を負符号として算術的に加え合わせれば良い。 上で決めたように、電荷 Q からは N = 2.3 クーロンの法則からガウスの法則の導出 次に、上で直感的に得た結果を数式として表すことを考える。クーロンの法則そのものから 出発して、より一般的な場合へと進む。ただし、電気力線ではなく、重ね合わせの原理が成り 立つ電場を用いて表現する。 • 点電荷を中心とする球表面での電場 これは上で考えた場合そのものである。半径 r の球面上では電場の強さはどの点でも Q 1 E(r) = であり、球面の面積は S = 4πr2 である。従って 4πε0 r2 Q ε0 ∫ ∫∫ 2 が成り立つ。さらに、球面の面積は S = 球面 dS = r sin θdθdφ という積分で得られたこと を勘案し、左辺を積分で表すと ∫ Q E(r)dS = ε 0 球面 E(r)S = が任意の r で成立することになる。すなわち、電場 E と微小面積 dS との積を Q を中心とした Q 任意の球面で積分すれば、その半径によらず になるということができる。 ε0 2. ガウスの法則 2–3 • 点電荷を囲む任意の閉曲面での電場の積分 次に、Q を囲む任意の閉曲面 S 上で電場を積分することを 考えよう。この場を上と比較するために、閉曲面とは別に Q を中心とする半径 r0 の球面を用意し、閉曲面と球面を貫く図 のような (側面が電場の方向である) 微小立体角1 dΩ の領域を 考える。 立体角の定義により、この立体角で切り取られる球面の面 積は dS0 = r02 dΩ であり、電場との積は E(r0 )dS0 = Q dΩ 4πε0 r0 Q dΩ n E θ r dS dS0 S (2.2) である。 一方、Q から閉曲面までの距離を r とすると、閉曲面が球面であればこの立体核で切り取ら れる面積は r2 dΩ であるが、一般には面の方向は傾いているので、実際の面積 dS はこれよりも ˆ、 大きくなる。すなわち、図のように微小面積 dS に垂直 (かつ外側向き) の方向ベクトルを n 2 電場の方向との角度を θ とすると、r dΩ = dS cos θ と書ける。従って、(2.2) 式と等しくなる 磁場との積分値は E(r)dS cos θ = Q dΩ 4πε0 (2.3) ˆ 方向の成分 En (r) を用いて E(r) · n ˆ dS = En (r) dS となる。左辺はベクトルの内積や電場の n とも書ける。 ˆ 、大きさが dS であるベクトル (面積ベクトルと呼ぶ。) dS を導入する。 ここで、方向が n (2.2) 式と (2.3) 式を並べて書くと E(r0 )dS0 = E(r) · dS = であり、これを全方向について積分すると ∫ ∫ Q E(r0 )dS0 = E(r) · dS = ε0 球面 閉曲面 S Q dΩ 4πε0 ( ) ∫ ∵ dΩ = 4π 全方向 となる。すなわち、クーロンの法則を出発点としたこの法則は ∫ Q E(r) · dS = ε0 S と表すことができる。前項の球面の場合は E(r) ⊥ dS すなわち cos θ = 1 なので、この式に含 まれていることになる。 なお上と同様の議論は点電荷 Q を含まない任意の閉曲面での電場の積分についても適用で き、この場合には積分値が 0 になることは類推出来るであろう。これも Q = 0 の場合として上 の式で表されている。 1 立体角 : 弧度法 (ラジアン rad) による平面上の角度に相当する３次元空間での “角度 ”。平面での角度として 円弧の長さを円の半径で割った値を用いるのに対し、球面上の面積を球の半径の 2 乗で割った値を “立体角 ”とい い sr (ステラジアン) と表す。従って、全方向に対応する立体角は 4π となる (平面角では 2π)。なお、定義より分 かるように、rad も sr も無次元の量である。 2. ガウスの法則 2–4 • 任意の電荷分布を囲む任意の閉曲線での電場の積分：ガウスの法則 上のことが言えれば、電荷を点電荷から一般の電荷分布に一般化するのは容易である。クー ロンの法則は重ね合わせの原理が成り立つので、複数個の点電荷 Qi がある場合の積分の値は 個々の点電荷に起因する積分値の和になる。また、点電荷ではなく連続的に広がった電荷が分 布している場合には、その領域を充分に細かく分割すれば個々の領域は点電荷とみなせ、やは り個々の領域からの寄与の和として積分をあらわすことが出来る。 結局、任意の電荷分布 ρ(r) あるいは Qi (ri ) を取り囲む任意の閉曲面について ∫ ∫ ∑ Q Qi (r) , Q= ρ(r)dV or Q = E(r) · dS = ε0 S S 内の領域 (2.4) i [ ] dV は 体 積 要 素 。す な わ ち ということになる R ρdV は領域内の電荷の総和。 。これがガウスの法則である。ここで、クーロンの 1 法則の係数が になっていた理由が分かる。クーロンの法則よりも根本的な法則であるガ 4πε0 ウスの法則に表れる係数を単純な形にしているのである。 [余談] ここで、電気力線について疑問が浮かばないであろうか。 上で、電場の方向を結ぶ線として電気力線を定義したが、その電気力線の密度が電場に比例することは 1 つの点 電荷がある場合 (すなわち、電気力線が放射状の直線になっている場合) のみについて確かめた。任意の電場の場合 に電場の方向を結ぶ曲線を描くことはできるが、その場合にも比例関係は保証されているのだろうか？ このことも、ガウスの法則を用いて確かめることができる。図のように電荷の無い領域の電気力線で囲まれた細 い管を考える。入り口と出口の端面は電気力線と垂直としておく。すると、電気力線は交差や分岐せず、生成・消 滅することもないので、この管の中の電気力線の本数は一定である (N 本としておく)。 一方、この管の表面 (閉曲面) にガウスの法則を適用する ことを考えと、管の側面は電気力線 (従って電場) の方向と 一致するため、E · dS = 0 となって積分には寄与しない。 従って、管の内部に電荷がなく、管の出口・入り口が電場と 垂直になっていることを勘案すると、ガウスの法則から Z E·dS = E1 dS1 +E2 dS2 = 0 , ∴ |E1 dS1 | = |E2 dS2 | が得られる。このため、|E1 | = N であるときに |E2 | = dS1 dS1 N |E1 | = であることが保証される。 dS2 dS2 E2 E1 dS1 dS2
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