基盤(S)離散構造処理系プロジェクト「2016年度秋のワークショップ」 Lyndon 分解と LZ 分解の関係性〜 Lyndon vs. Lempel-Ziv 〜中島祐人（九州大学） joint work with Juha Kärkkäinen, Dominik Kempa, Simon J. Puglisi (University of Helsinki) Arseny M. Shur (Ural Federal University) 2016/11/21 文字列の分解空でない部分文字列の列．例えば… abababaabbbaaba ab,ab,ab,aabbb,aab,a abababaabbbaaba 特定の性質を満たす分解の例 l  LZ分解 l  Lyndon分解 l  回文分解 LZ77 分解 (自己参照なし) 定義[ZivandLempel,1977] t1, t2, …, tz が w の LZ77 分解 LZw であるとは，次の条件をみたすことである． l  w = t1t2 ⋯ tk ; l  t1 = w[1] ; l  t1 ⋯ ti−1 = w[1.. j] とする, l  w[j+1] が w[1.. j] 中に出現しないとき, ti = w[j+1] ; l  w[j+1] が w[1.. j] 中に出現するとき, ti = w[j+1.. j+q], q = max{r | w[p..p+r−1] = w[j+1.. j+r], p+r−1 ≤ j}．以降，単にLZ分解とよぶ LZ77 分解 (自己参照なし) 例 w = abababaabbbaaba LZ w = abababaabbbaaba × LZ77 分解 (自己参照なし) 例 w = abababaabbbaaba LZ w = abababaabbbaaba × 参照先と factor 自身が重なることを認めない． LZ77 分解 (自己参照なし) 例 w = abababaabbbaaba LZ w = abababaabbbaaba 辞書式順序の定義定義（辞書式順序）任意の文字列 x, y について，x が y より辞書式順序が小さい（x ≺ y）とは，次のいずれかの条件を満たすことである： (1) x[lcp(x, y)+1] ≺ y[lcp(x, y)+1], (2) x は y の真の接頭辞． ※ lcp(x, y) : x, y の最長共通接頭辞の長さ例 (a≺b≺c) abbc≺abc ab≺abc Lyndon 文字列 [Lyndon, 1954] 定義文字列 w が Lyndon 文字列であるとは，w のすべての真の接尾辞より w の辞書式順序が小さいことである． ※ 真の接尾辞 : もとの文字列自身でない接尾辞． w の真の接尾辞 w= aababb ≺ Lyndon 文字列 ≺ ≺ ≺ ≺ ababb babb babb babb babb Lyndon 分解 [Chen, Fox, Lyndon, 1958] 定義 p1 u1 ,…, pm um が文字列の列 w の Lyndon 分解 LFwであるとは，次の条件を満たすことである : u1 ≻ … ≻ um が Lyndon 文字列, pi ≥ 1 (1 ≤ i ≤ m), p p かつ w = u1 1…um m . w =a b c a b b a b b a a b c a a a u1 u2 u2 u3 u4 u4 u4 2(aabc)1(a)3 LFw =(abc)1(abb) 2 u11 u2 u31 |LFw| : Lyndon 分解のサイズ( = factor の数) u43 分解を考えること l  文字列の構造を捉える l  文字列の圧縮表現例LZ分解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 w =ab ab ab aab b b aab a LZ w = ( a ) ( b ) ( 1 , 2)(1, 3)(1, 2)(2, 2)(6, 9)(1, 1) 分解を考えること l  文字列の構造を捉える l  文字列の圧縮表現例LZ分解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 w =ab ab ab aab b b aab a LZ w = ( a ) ( b ) ( 1 , 2)(1, 3)(1, 2)(2, 2)(6, 9)(1, 1) 分解を考えること l  文字列の構造を捉える l  文字列の圧縮表現例LZ分解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 w =ab ab ab aab b b aab a LZ w = ( a ) ( b ) ( 1 , 2)(1, 3)(1, 2)(2, 2)(6, 9)(1, 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 w =ab ab ab aab b b aab a 分解を考えること l  文字列の構造を捉える l  文字列の圧縮表現例LZ分解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 w =ab ab ab aab b b aab a LZ w = ( a ) ( b ) ( 1 , 2)(1, 3)(1, 2)(2, 2)(6, 9)(1, 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 w =ab ab ab aab b b aab a 最小文法の下界 Lyndon 分解とLZ分解は，最小文法の下界であることが知られている． LZ 分解 The Smallest Grammar Problem Moses Charikar, Eric Lehman, April Lehman, Ding Liu, Rina Panigrahy, Manoj Prabhakaran, Amit Sahai, abhi shelat, 2005 Lyndon 分解 Faster Lyndon Factorization Algorithms for SLP and LZ78 Compressed Text Tomohiro I, Yuto Nakashima, Shunsuke Inenaga, Hideo Bannai, Masayuki Takeda, TCS 2016, SPIRE 2013 最小文法問題単一の文字列を導出する最小の文脈自由文法を求める問題． X7 X1 → a X2 → b X3 → X1 X2 X4 → X1 X3 X5 → X3 X4 X6 → X4 X5 X7 → X6 X5 X6 X5 X4 X1 X3 X5 X3 X3 X4 X4 X1X2X1 X3 X1X2X1X2X1 X3 X1X2 X1X2 a a b a b a a b a b a a b 最小文法問題単一の文字列を導出する最小の文脈自由文法を求める問題． X7 X1 → a X2 → b X3 → X1 X2 X4 → X1 X3 X5 → X3 X4 X6 → X4 X5 X7 → X6 X5 X6 X5 X4 X1 X3 X5 X3 X3 X4 X4 X1X2X1 X3 X1X2X1X2X1 X3 X1X2 X1X2 a a b a b a a b a b a a b Lyndon vs. LZ 予想 Lyndon 分解のサイズと LZ 分解のサイズに関係はあるのだろうか？予想 [Nakashima,2014] 任意の文字列 w について，|LFw| ≤ |LZw|. 3 bbababbabbaabaab 9 LZ LF LF LZ babaababaabaaaba 6 6 Lyndon vs. LZ 予想予想 [Nakashima,2014] 任意の文字列 w について，|LFw| ≤ |LZw|. 1 2 3 4 5 6 7 8 babaababaabaaababaaabaabaaaba 1 2 3 4 5 6   アルファベットサイズ 2, 長さ 30 以下   アルファベットサイズ 3, 長さ 19 以下   アルファベットサイズ 4, 長さ 15 以下以上の文字列の中で唯一の反例． 7 反例文字列の特徴反例文字列は以下のように表すことができ， |LFw| − |LZw| → ∞ となる文字列を生成できる． Bk = (akba1b) (akba2b) … (akbak−1b) (akb) Xk = B0B1・・・Bk a 1 2 3 4 5 6 7 8 babaababaabaaababaaabaabaaaba 1 2 3 4 5 6 7 （反例は文字列 X3） |LFXk| − |LZXk| = k − 2 (k ≧ 3). 主結果定理(Upperbound) 任意の文字列 w について，|LFw| < 2|LZw|. Key lemma 補題 pi ui の pi dom(ui ) 任意の Lyndon factor domain について， pi pi dom(ui ) は少なくとも ⌈|dom(ui )| / 2⌉ + 1 個の LZ factor の開始位置を含む． pi pj pi ※ dom(ui ) = uj … ui p ※|dom(ui i )| = i − j. (s.t. pi ui の最左出現がujの接頭辞). p pj uj dom(ui i ) pi ui pi ↑ui の最左出現 pi ui Key lemma 補題 pi ui の pi dom(ui ) 任意の Lyndon factor domain について， pi pi dom(ui ) は少なくとも ⌈|dom(ui )| / 2⌉ + 1 個の LZ factor の開始位置を含む． pi pj pi ※ dom(ui ) = uj … ui p ※|dom(ui i )| = i − j. (s.t. pi ui の最左出現がujの接頭辞). p pj uj dom(ui i ) pi ui pi ui … 少なくとも ⌈(i − j) / 2⌉ + 1 個の LZ factor Key lemma l  Lyndon分解をdomainの列に分けて補題を適用．補題 pi ui の pi dom(ui ) 任意の Lyndon factor domain について， pi pi dom(ui ) は少なくとも ⌈|dom(ui )| / 2⌉ + 1 個の LZ factor の開始位置を含む． dom dom … 定理(Upperbound) 任意の文字列 w について，|LFw| < 2|LZw|. pm dom(um ) p um m Key lemma l  Lyndon分解をdomainの列に分けて補題を適用．補題 pi ui の pi dom(ui ) 任意の Lyndon factor domain について， ⌈x / 2⌉ + ⌈y / 2⌉ +2 pi pi dom(ui ) は少なくとも ⌈|dom(ui ≥ )| / 2⌉ + 1 個の ⌈(x LZ + yfactor + 1)/の 2⌉ + 1 開始位置を含む． dom dom … 定理(Upperbound) 任意の文字列 w について，|LFw| < 2|LZw|. pm dom(um ) p um m まとめと今後の課題定理(Upperbound) 任意の文字列 w について，|LFw| < 2|LZw|. 定理(Lowerbound) |LFw| = |LZw| + 𝛩(√|LZ (√|LZw|) となる文字列 w が存在する. ※ |LFw| ≤ |LZw| 予想の反例文字列．今後の課題 l  よりタイトな上界と下界の証明． l  自己参照を許したLZ分解での予想，証明．