力学Ⅰ
運動方程式を解く３― 単振動 ―
r
ある時刻 t において，物体に作用する合力 F (t ) が分かっている場合，
r
r
物体の運動は，運動方程式 ma (t ) = F (t ) を解くことによって決まる。
今回は，基本手順のように Step２→Step３のように加速度→速度→位置の順では
r
求められないケースを考える。 F (t ) が位置（座標）や速度によって変化する場合
である。今回扱うような手順で解を求める方が一般的である。
一般的な手順
Step１ 運動方程式を立て，加速度を求める。
Step２+Step３
加速度から位置（座標）と速度を一気に求める。
Step４ 初期条件から，具体的な運動を決める。
弾性力のみ Fx (t ) = − kx が作用する場合（単振動）
問題
質量 m = 5.0［kg］の物体を，一方の端が壁に固定されたばねの他方の
端につないで，滑らかな水平面上で運動させる。
）ばね定数を k = 180［N/m］
とする。
t = 0 のとき，ばねが自然長より 0.02［m］伸びた位置から，物体を静かに
放した。その後の運動を求めよ。
伸び x
y
fN
kx
O
x
mg
Step１ 運動方程式を立て，加速度を求める。
運動方程式を立てる手順
① 問題を必ず図に書く
r
r
② 物体に働く力( f1 ， f 2 ，
・・・)を全て見つけて図に書き込み，
v
r
r
その合力 F （= f1 + f 2 +・・・）を求める
③ 解きやすいように座標軸を決める。
v
④ 合力 F を成分( Fx , F y , Fz )で表す。
⑤ 運動方程式を各成分ごとに立てる。
ma x (t ) = Fx (t ), ma y (t ) = Fy (t ), ma z (t ) = Fz (t )
31
力学Ⅰ
①′②′
描け。
③′ばねが自然長（伸び縮みしていない長さ）の状態での，物体の位置を
原点 O に決める。
水平面内でばねが伸びる向きを x 軸の正，鉛直上向きを y 軸の正とする。
④′合力を成分で求める。
Fx (t ) = − kx(t )
， Fy (t ) = f N − mg
⑤′運動方程式
ma x (t ) = − kx(t )
， ma y (t ) = f N − mg
･･･（ア）
･･･（イ）
物体は水平面上を運動し， y 軸方向には運動しないことが分かって
いるから， a y (t ) = 0 である。
（イ）に代入すると， f N − mg = 0 が
成り立つことが分かる。
加速度を求める。
a x (t ) = −
k
x(t )
m
， a y (t ) = 0
･･･（ウ）
･･･（オ）
興味がある x 軸方向の運動のみを求める。
Step２+Step３ 加速度から速度と位置（座標）を一気に求める。
（ウ）を速度の時間微分を用いて表してみる。
dv x (t )
dv (t )
k
を用いると， x
= − x(t )
･･･（カ）
dt
dt
m
（カ）には， v x (t ) と x(t ) という，求めなければならない未知の式が２つも
a x (t ) =
含まれている。→ 未知の式を１つ， x(t ) だけにしたい。
（カ）をさらに座標の時間微分（２階微分）を用いて表す。加速度は
dv x (t ) d
d dx(t ) d 2 x(t )
= v x (t ) =
［ x(t ) の２階微分］
=
dt
dt
dt dt
dt 2
（注意： dt 2 は (dt ) 2 の意味であるが，約束として dt 2 と書く）
と表せるので，
d 2 x(t )
dt
2
=−
k
x(t )
m
･･･（キ）
（この種の方程式は２階微分を含むので，２階の微分方程式と呼ばれる）
座標 x(t ) は，時間 t で２回微分すると元の関数の負の定数倍になる関数
微分の公式から探す
⇒ 三角関数（sin または cos）
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力学Ⅰ
一般解を，２つの任意定数 A と α を使って，
x(t ) = A cos(ω t + α )
数学の微分の公式
･･･（ク）
と表すことができる。
（以下確かめる。
）
定数 ω は，
（キ）が成り立つ条件から決まる。
d(sin x)
= (sin x)′ = cos x
dx
d(cos x)
= (cos x)′ = − sin x
dx
すなわち， x(t ) を時間 t で２回微分すると， x(t ) の −
k
倍になるはず。
m
まず，（ク）を時間 t で１回微分して速度を求める。
dx(t ) d{ A cos(ω t + α )}
=
= { A cos(ω t + α )}′
dt
dt
= A(cos u )′ ⋅ (ω t + α )′ = A(− sin u ) ⋅ ω
v x (t ) =
［ u = ω t + α とおいて合成関数の微分の公式を用いた］
= −ωA sin(ωt + α )
･･･（ケ）
（ケ）を時間 t でもう１回微分する。
（加速度を求める。
）
（ a x (t ) = ）
d 2 x(t )
dt
2
=
d{−ωA sin(ω t + α )}
= {−ωA sin(ω t + α )}′
dt
= −ω 2 A cos(ω t + α )
･･･（コ）
ここで，
（ク）を使うと（コ）は
d 2 x(t )
dt
2
= − ω 2 x(t )
･･･（サ）
（サ）を（キ）と比較して ω 2 =
ω=
k
m
［rad/s］
k
であれば，
（ク）は運動方程式の解である。
m
･･･（シ）
ω=
180 [N/m]
= 6.0 ［rad/s］
5.0 [kg]
を角振動数とよぶ。単位は［rad/s］である。
（なぜなら，t ［s］をかけると，
三角関数で用いる変数の単位［rad］になるから。
）
したがって，運動方程式の解である座標の式は
x(t ) =
A cos(ω t + α )
［m］･･･（ク）
ωt + α ［rad］を位相
とよぶ
である。 ω ［rad/s］は（シ）で決まる定数。 A ［m］と α ［rad］は
任意定数（積分定数）で初期条件を用いて決める。
A ［m］： 振幅
， α ［rad］：初期位相
（通常 A は正の値とする）
33
とよぶ。
力学Ⅰ
Step４ 初期条件から，具体的な運動を決める。
t = 0 での座標と速度の値・・・初期条件
x(0) = 0.02［m］･･･（ス）， v x (0) = 0 ［m/s］･･･（セ）
一般解（ク）と，微分して求めた速度（ケ）で t = 0 と置き，
初期条件（ス），
（セ）を用いれば，
x(0) = A cos(ω × 0 + α ) = A cos α = 0.02
v x (0) = − ωA sin(ω × 0 + α ) = − ωA sin α = 0
A cos α = 0.02･･･（ソ）と， − ωA sin α = 0 ･･･（タ）を連立させて解く。
（タ）より sin α = 0 → α = 0 または α = π 。 A > 0 なので，α = 0 を選ぶ。
（ソ）より A cos 0 = 0.02 → A = 0.02 。
（ α = π を選ぶと A = − 0.02 < 0 ）
∴ A = 0.02［m］，
α = 0 ［rad］
したがって， t > 0 での運動の具体的な軌道を表す式は，
x(t ) = 0.02 ⋅ cos(6.0 t )
･･･（チ） ，v x (t ) = −0.12 ⋅ sin(6.0 t )
･･･（ツ）
（チ）が特解である。
（この初期条件のときだけ成り立つ特別な解）
位置 x ，速度，加速度の時間変化を
x [m]
グラフに表す。
0.02
6
微分は「グラフの接線の傾き」である。
− 0.02
１回振動して元にもどる時間
→ cos の（）の中が 2π 変化する
：周期
T=
ω
［s］
v x [m/s]
微分
t [s]
積分
0.12
１秒間に振動する回数
：振動数
2π
6
O
（そうなっていることを確認せよ。）
2π
π
O
− 0.12
1 ω
［ Hz ］
f = =
T 2π
単位［Hz］
（ヘルツ）
（＝［1/s］）
は振動する現象にのみ用いる。
角振動数と振動数
a x [m/s2 ]
− 0.72
34
6
2π
6
微分
積分
t [s]
2π
6
0.72
O
ω = 2π f ［rad/s］
π
π
6
t [s]
力学Ⅰ
練習① 質量 m = 0.14 ［kg］の物体を，ばね定数 k = 3.8 ［N/m］のばねにつないで
振動させる。角振動数 ω［rad/s］，周期 T［s］，
◎ 角度の単位［rad］について
力学では［kg］，［m］，［s］を含ま
ない量の単位（角度など）は［1］と
同じで省略できる。（無次元という）
ただし角度の単位にも種類がある
ので，区別するために［rad］と名前
が付いている。省略しないで明記す
る方がよい。
計算によって［rad］⇔［1］と変化
するので注意する。
振動数 f ［Hz］を数値で求めよ。
3.8 [N/m]
= 5.2 ［rad/s］
0.14 [kg]
k
=
m
ω=
2π
2π
= 1.2 ［s］
ω
5.2 [rad/s]
1
1
= 0.83 ［Hz］
f = =
T
1.2 [s]
T=
=
練習② 上と同じ設定で，t = 0 のとき，ばねが自然長である位置から速さ v 0［m/s］
で，ばねが伸びる方向に物体を打ち出した。その後の運動を求めよ。
（⇒ 教科
書の演習問題 A に関係）
一般解
x(t ) = A cos(ω t + α ) ・・・（ク）， v x (t ) = = −ωA sin(ωt + α )
･･･（ケ）
を求めるところまでは，ここでは省略する。
（各自確認しておくこと。
）
初期条件は，
x(0) = 0 ［m］ ， v x (0) = v 0 ［m/s］
y
式（ク），（ケ）で t = 0 と置き，初期条件を用
初速 v 0
k
いると，
m
O
x(0) = A cos α = 0
x
・・・（テ）
v x (0) = − ωA sin α = v 0
・・・（ト）
A > 0 とする。（テ）より， cos α = 0 → α = ±
π
2
。α = −
π
2
を採用する。
v
π
π
= v 0 → A = 0 。（ α = を採用すると A < 0 ）
ω
2
2
（ト）より， − ωA sin −
∴A=
⇒
v0
ω
，α = −
x(t ) =
π
2
π
cos ω t −
ω
2
v0
=
35
v0
ω
sin(ω t )
力学Ⅰ
練習③
単振動の一般解
x(t ) = A cos(ω t + α ) ・・・（ク）
を，加法定理を用いて， P cos(ω t ) + Q sin(ω t ) の形に変形せよ。
加法定理： cos(θ + φ ) ＝ cos θ cos φ − sin θ sin φ
を用いると，
x(t ) = A cos(ω t + α )
＝ A{cos(ω t ) cos α − sin(ω t ) sin α }
＝ A cos α cos(ω t ) − A sin α sin(ω t )
したがって， P = A cos α
， Q = − A sin α
x(t ) = P cos(ω t ) + Q sin(ω t )
とおけば，一般解は
・・・
（ナ）
の形に表せる。
（注）一般解の形は１通りとは限らない。
（ナ）の形に表した場合，任意定数は P
と Q である。運動方程式（２階の微分方程式）の一般解は，どんな形に表そ
うと必ず２個の任意定数を含む。
練習④ 質量 m［kg］の物体を，ばね定数を k［N/m］のばねにつないでつるすと，
ばねが自然長から d［m］伸びてつり合った。この位置（原点 O とする）から，
さらに x0 だけ伸ばして放すと，物体は単振動することを示せ。
鉛直下向きを x 軸の正の向きにとり，運動方程式を立てる
と，
ma x (t ) = − k{d + x(t )} + mg
・・・（ⅰ）
自然長
の位置
O
原点 O の位置で静止しているときのつり合い条件は，
− kd + mg = 0
・・・（ⅱ）
である。式（ⅱ）を用いると，運動方程式（ⅰ）は，
ma x (t ) = − kx(t )
となり，その解（運動）は単振動となることが分かる。
36
x
k
d
m
x0
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