日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 6（2016） 数学学習における例に関する研究 ～Example Space に焦点を当てて～ A Study on Examples in learning mathematics - focusing on example space 朝山 誠＊・牧野 智彦＊＊ ASAYAMA, Makoto＊・MAKINO, Tomohiko＊＊ 宇都宮大学大学院＊ 宇都宮大学教育学部＊＊ Graduate School of Education, Utsunomiya University＊ Faculty of Education, Utsunomiya University＊＊ ［要約］数学学習において，例は必要不可欠である。例は，実践的な見地をもたらし，学習者の生成した例 は学習者の理解度を測る指標となりうる。Watson & Mason (2005) は，何らかの数学的な対象が例として 知覚されていき，内部に繋がりや関係性があり，個人毎に経験に即した特有の内部構造を持つ場所として example space を規定した。先行研究を参照しつつ，example space の特徴やその豊かさについて考察した 結果，学習者に期待する example space の水準を詳細に規定することが肝要であることがわかった。 ［キーワード］例，example space，数学学習 1. はじめに 専門的な成長に関して理論的な視点が与えられると 我々は日常において，何かしらの抽象的な内容を 主張する。また，Zazkis & Leikin (2007) を始めと 説明し理解する際には，具体的な内容を用いること して，例が学習者の理解度を測る，いわば，窓のよ が必要となる。その理由は他でもなく，具体的な内 うなものを提供しうると考え，研究手段としての注 容には抽象的な内容のエッセンスが含まれているか 目も高まっている。しかし一方で，そうして生成さ らである。そうした具体的な内容が，例 (example) れた例を評価する明確な基準が必要であるとも指摘 であり，さらに各々が例を生成する背景には，その されている。 生成した本人の何らかの主張や意図が隠れている。 こうした中で，例が実践的な見地をもたらすとい 数学学習においても，同様に例は必要不可欠であ う有用性に着目しつつ，数学学習に目を向ける。 る。数学の授業では，教師が学習者にいくつかの例 Watson & Mason (2005) は ， 数 学 学 習 と は ， を提示し，そこに説明を加えていくことが多い。川 example space やその関係性を探っていき，再配置 内 (2009) は，数学的知識の構成という観点から， し，より巧みに扱えるようになることである，と述 「…の例をつくりなさい」という「例づくり」活動 べる。また，example space が拡大されることを経 によって，数学的知識の構成を図る授業案を提示し 験することによって，より柔軟に思考をすることが ている。菅田 (2015) は，算数での経験的認識から 可能となり，新たな概念を理解しやすくなる，と付 数学での論理的認識への変容を図るために，定義の け加える。Watson ら (2005) の言及に従って， 認識の相補的な存在として例に着目し，移行期での example space という概念に着目をする。 学習者各々の example space を評価するためには， 定義の構成を目指した学習における例の役割につい example space という概念について整理をしなけれ て考察している。 一方，海外へ目を転じると，Bills, Dreyfus, Mason, ばならない。特に，どのような example space を豊 Tsamir, Watson, & Zaslavsky (2006) は，数学教育 かであるとみなすのか，具体的な評価基準の作成の における例への注目の高まりを指摘し，例を取り扱 ためにも，まずは example space の豊かさについて うことによって，教授活動，学習者の評価，教師の 調べていく必要がある。 ― 1 ― 日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 6（2016） そこで，本稿の目的は，example space とその豊 か，生成したかに依存するとしている。 例は，常に example space の構造を通して生成さ かさとはどのようなことかを明らかにすることであ る。 れる。 生成した例がより進んだ例へのアクセスを引 き起こし，優れた経験が後に可能になることがある。 2. example space について 例えば，無理数について考えるように尋ねられた 1) example space とは example space は，Watson & Mason (2005) の構 築した概念であり，Goldenberg & Mason (2008) ならば，最初に √2 や円周率 π を思い浮かべる人 は多いのではないだろうか。もし仮に，それ以外の 無理数の例を生成できないようであれば，この 2 つ がこの状況下でその学習者の example space を構成 よりさらに詳しく述べられている。 Watson & Mason (2005) によれば，数学的な対象 していることになる。しかし，新たな例を得るため は，それが何かの例として知覚されるときに限り， に，この無理数に有理数を加えていくなど，様々に 例となり得る。ここでの何かとは，推測，概念，何 変化させられることに気付く学習者も多いはずであ らかの手法や手段の適用等である。したがって，対 る。その際，√2 や円周率 π は手がかりやきっかけ 象を何かの例として見る行為が重要であるとされる。 となり，新たな例の生成が可能となる。パントリー 例えば，36 という数字は，偶数の例、3 で割り切れ では，食材をより効率的な配置に並び替えたり，時 る数字の例，平方数の例，三角数の例などとして見 にはその棚自体の仕組みを変えたりする。特定の状 ることが可能である。 況を満たす例を生成するためには，馴染みのある例 そうして例が知覚される際，例はそれぞれが孤立 して蓄積されるのではなく，example space の一員 に手直しをする必要があることは，example space をパントリーに例えることでよく説明できる。 として知覚される。また，example space はただの 例のリストではなく，内部の例同士またはその集団 2) example space の豊かさについて 実際に，例がどのように学習者の考えに手がかり 間には繋がりや関係性があり，個人毎に経験に即し を与えるのかについて，Zazkis & Leikin (2007) を た特有の内部構造を持つ。 各々の考えの裏には膨大な数の例が隠れているか 参照する。Zazkis ら (2007) は，所属の異なる A～ もしれないが，実際にアクセスされる例は数少ない D の 4 人に，無理数についての例を提示させ，繰り 例のみである。しかし，その数少ない例も内部構造 返し別の，何か異なった (“something different” が変化することによって変わる。すなわち，example な) 例を提示させるリクエストをするというインタ space は固定されたものでは無く，動的かつ発展的 ビュー調査を行った。数学に熟達している 4 人目の なものであることを Goldenberg & Mason (2008) 回答者 D にだけは無理数の範囲を指定し，100 から は強く主張する。 200 の間にある無理数の例を提示させた。以下は，A 一方，Watson & Mason (2005) は，例が蓄えられ とインタビュアーとのやり取りである。 アクセスされる仕組みから，example space をパン トリー (食品庫) のようなものだと例えた。パントリ ①回答者 A：小学校教員の養成課程に属する学生 ーでは，いくつかの道具や食品は example space の INT1： 無理数の例を提示してください。 前部にあり頻繁に使用されるが，他は遠い位置にあ A2： り使用されないのである。example space はパント INT3： ほかの例を提示できますか？ リーと同様に，その貯蔵場所はひとつであるが，取 A4： り出す方法は多岐に渡り，何が前部に出てくるかは、 INT5： さらにほかの例を提示できますか？ その状況や近い時期にどのような例にアクセスした A6： ― 2 ― π。 √2。 うーん、パッと出てこない。 日本科学教育学会研究会研究報告 INT7： じゃあ、π や √2 のほかに無理数はある？ A8： もしかすると、π と √2 を足したら無理数 が出来るかも。 INT9： そうだね. じゃあ √2 と π をかけたらど C から最初に提示された π と √2 が A の提示し た例と同じだったということは興味深いが，C の場 合ははっきりとその例を拡張していくことができ， となることを示していた。 分からない。 ④回答者 D：数学者 INT11： √17とかはどう？ A12： No. 6（2016） さらに素数の平方根や循環しない小数が無理数の例 う？ A10： Vol. 30 うーん、分からない。 A とのやり取りより，A の example space の構成 要素は π と √2 の 2 つに限定されていたとみなせ る。 また，A は π や √2 を足すとそれが無理数に なりそうなことは指摘したが，実際にどんな数が生 成されるかは分かっていなかった。 続いて，残りの 3 人については、参加者の発言の ・ 100＋√2 ・ 100＋√17 ・ 200 − √2 ・ √10001 3 ・ √1000001 3 ・ 300 − √1000001 ・ 80√2 D の課題は，100 から 200 の間にある無理数の例 みの引用となる。 を生成することが要求されたため，より難しかった。 ②回答者 B：小学校教員の養成課程に属する学生 D の手順は，簡単な無理数の例から始め，算術的な ・ 0.12112211122211112222 … やり方で決められた範囲に収めるという方法だった。 ・ 5.4544554445554444555544444 … 自らの生成した例が学習者の考えに手がかりを与え， ・ 他にも、こういうのはいっぱいある。 どのように新たな例へのアクセスを可能にするかに ・ たぶん， 2.124576435789 … もそうだ. 循環し ついては，D の取り組みが最も良く説明している。 D の取り組みは同時に，例の生成が単なる記憶の呼 ないもの。 び起こしではないことを示している。 B は，各桁の数字が繰り返さないことが無理数の 条件と考え，各数字の桁数が増えていく場合や各桁 3. 各々の example space の豊かさについて考察する。 の数字がランダムな順序になる場合に，無理数は確 実に繰り返さないことを特定していた。 考察と今後の課題 Zazkis ら (2007) は，example space の豊かさにつ いて，例を多様に変化させられていたか，例の変化 ③回答者 C：高等学校数学教員 が型通りではなかったか，等の視点から考察してい ・ √2 る。そして，各々の例の生成が，広く数学者に知ら ・ π ・ √3 れていたり教科書に提示されていたりするような， いわば教師が学習者にそうあってほしいと期待する ・ √7 example space の水準とどれだけ近いものであった ・ ほかのあらゆる循環しない小数 いる例が 2 つに限定されていた A の example space ・ あらゆる素数の平方根 ・ 0.12396764 …，循環しない小数 かを調べることを，特に重要な視点としている。 以上の視点から，Zazkis ら (2007) は，含まれて をあまり豊かではないと見ている。一方で， C は A の提示した 2 つの例に加えて，例を多様に生成させ ― 3 ― 日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 6（2016） られていたため，example space が豊かであること 他にも，初学者が例の生成を苦手とする一方で， が伺えるとしている。そして，最も柔軟に例を変化 知識がある学習者ほど，提示される課題の意図の汲 させられていた D の example space を特に豊かであ み取りに失敗し，例の生成に困難を生じる場合も考 ると判断している。B の example space が豊かであ えられる。ともすると，A が 2 つしか例を提示でき ったかどうかについては，詳しく言及されていない。 なかったことは，例を認識できない何らかの理由が この課題において，学習者に期待されていた 存在したからかもしれない。Goldenberg & Mason example space の水準については詳細に明示されて (2008) は， 「証拠が無いことは，無いことの証拠で いない。そのため，C が提示した循環しない小数の はない」という格言を用いて，例を提示出来ない学 例を D は提示をしていないという理由から，見方に 習者の example space が豊かではないと即座に判断 よっては C の方が example space が豊かであると判 することに警鐘を鳴らす。 断することも可能かもしれないが，おそらくそのよ 学習者の example space を分析していく際の具体 うに判断されることは少ない。それは，C の提示し 的な視点を設定することが今後の課題である。また， た例よりも，D の提示した例の方が生成が困難であ example space が豊かな学習者は，課題等への取り ると考えられるからである。example space の豊か 組みにおいて確実に優れた結果を残すのかどうかに さは，学習者の提示した例の数とは直結しない。ま ついての調査も実施される必要がある。 た，B と C では，どちらの example space が豊かで あるかを判断するのは難しい。B，C 共に循環しない 参考・引用文献 小数について指摘しているが，C の提示できない例 Bills, L., Dreyfus, T., Mason, J., Tsamir, P., Watson, A., & Zaslavsky, O. (2006). Exemplification in mathematics を，B が提示できる可能性がある。 しかし，学習者に期待する example space の水準 education. In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká, & N. が詳細に規定されていれば，その水準に満たないも Stehliková (Eds.), Proc. 30 th Conf. of the Int. Group のについては example space が豊かではないと判断 for the Psychology of Mathematics Education. Prague, することが出来る。B のような場合にも example Czech Republic. space の豊かさについて判断することが可能となり， Goldenberg, P., & Mason J. (2008). Shedding light on and Educational また，豊かではないとされる A のような example with space を，どのように期待する水準まで高めていく Mathematics, 69, pp. 183–194. かの手立てを考えることも可能となる。したがって， example spaces. Studies in 川内充延. (2009). 数学学習における「例づくり」に 学習者に期待する example space の水準を詳細に規 関する研究. 全国数学教育学会誌, 第 15 巻, 第 1 定することが肝要であると考えた。 号, pp.37-44. Zazkis & Leikin (2007) は，example space がそ 菅田雄. (2015). 小中接続期での図形の定義の構成過 の学習者の教育的な背景に強く依存することや，学 程における例の役割の関する研究. 数学教育学論 習者の傾向を示しうると述べる。それは，C の生成 究臨時増刊, 第 97 巻, pp. 97-104. した例が学校のカリキュラムに強く場面付けられて Watson, A., & Mason, J. (2005). Mathematics as a おり，また， B が明らかに小数の形で表される例の constructive activity: Learners generating examples. 生成にこだわっていたことに表れている。そして， Mahwah, NJ: Erlbaum. Goldenberg & Mason (2008) は，例の類似点や相違 Zazkis, R., & Leikin, R. (2007). Generating examples: 点を探すことに注力している学習者と，テンプレー From pedagogical tool to a research tool. For the トとして与えられる例をすべて習得しようとする学 Learning of Mathematics, 27, pp. 11-17. 習者では example space に差が出てくるとしている。 ― 4 ―
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