規矩術の数学へのリンク

規矩術の数学
2001 年 6 月 1 日
改訂 2011 年 2 月 5 日
補充
2011 年 4 月 23 日
訂正 2011 年 11 月 1 日（ページ２に詳述）
改訂 2014 年 6 月 1 日
安部
1
康明
はじめに
規矩術で使われる中勾、長玄、短玄などの種々勾配を、定義に従って三角関数で表現してみまし
た（ページ３）
。
一方、解析幾何学の理論を使って、四方ころび構造における種々の接合角度を、三角関数で表現
する数式を導出しました。
４枚の板からなる漏斗型四方ころびについては、相接する２枚の板の傾き角が等しくない一般的
な場合（振れ隅の構造）についての式を求めました（ページ４，５）
。
柱の四方ころびについても、東西と南北の傾き角が等しくない一般的な場合（振れ隅の構造）に
ついての式を求めました（ページ６、７）
。
どちらの場合も、二つの傾き角を等しくした場合には、規矩術で言われている規則と同じ結果が
得られます。
「四方とめの上端とめ角は長玄の勾配のころび」、
「四方ころび柱の垂直断面の隅の角
は加弓の勾配」
、などなど。
これらの接合角度の値は、実際にはＣＡＤで（Google の SketchUp でも可）得られますが、本資
料の数式でも、三角関数を扱えるポケット電卓が有れば、傾き角から計算できます（ふたつの傾
き角が等しくない場合も）
。
ページ８以下の補足は、数式の具体的な導出過程です。
具体的な応用例として「異方性四方転び（振れ隅）胴付きの墨付けと加工」
（じょうご形）と「振
れ隅の柱建て四方転び構造の墨付けと加工（木工房用）
」を別資料（下記ホームページ）にしま
した。
安部康明
http://www.mokkou-atorie-y.com
2011 年 11 月 1 日の訂正
①page 3 の加弓の勾配の定義で三角関数の式を、旧式の分子／分母を逆転したものへ訂正。
②それに従い、page 7 の 4 行目の四方転び柱断面の式は、「α＝βの時は加弓の勾配のころびに
なる。
」へ訂正。
（三角関数の式は正しい。記述による表現のみの訂正：規矩術での規則に合致。
）
2
規矩術における種々勾配の定義と三角関数による表現
殳＝a
勾＝h
玄=l
中勾＝h1
長玄＝l1
短玄＝l2
小中勾＝h2
加弓＝h 4
h2
l2
2011.11.1
中勾の勾配において
l
l1
h1
h
h1
h
h4
α
a
規矩術で用いられる種々勾配と
a
左の各勾配を三角関数で表現すると下式の左辺になり、
その定義（下式下線部に上図の各長ささらに平勾配 tan  を用いて書き直すと右辺になる。
を入れる。
）
（各勾配の値を平勾配の値から右辺で算出し、これに
墨付けも上図に従って差し金でする。
殳の長さを掛けたものを勾として墨付けする。
）
平勾配
h/a
tan 
ころび勾配
a/h
cot  
h1 / a  h / l  l 2 / h
sin  
l1 / a  a / l  h1 / h
cos  
l 2 / a  (l 2 / h1 )(h1 / a)
sin  tan   tan 2 
1  tan 2 
h2 / a
sin 3   tan 


h4 / a
tan 2 
返し勾配
中勾の勾配
長玄の勾配
短玄の勾配
小中勾の勾配
加弓の勾配
半勾配
倍勾配
裏の目勾配
1
tan 
tan 
1  tan 2 
1
1  tan 2 
1  tan 2 
3
1  2 tan 2 
1
h/a
2
2h / 2a  2h / a
2h / a
転び勾配、または返し勾配＝余角の勾配＝定義の分子と分母を逆転する。
延びかね法＝上式で殳の代わりに玄を取ること＝a を l に変えること。
例：平勾配（ h/ a）の延び＝h/l＝sinα＝中勾の勾配
つまり、規矩術で”平勾配の延びは中勾の勾配に等しい”と言われていること
3
じょうご形四方ころび
x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した板と
y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した板との組み
β
α
y
灰色部分は 2 枚の板の
交差部
x
ａ．四方胴付き
上端胴付き角
tan1  1 / sin  tan 
（α＝βでは 1 / sin  tan となり
これは前ページ表より短玄の勾配の転び）
θ１
向う胴付き角
tan 3  1 / cos tan 
θ2
（α＝βでは 1 / sin  となり
θ３
これは前出表より中勾の勾配の転び）
胴付き面の隅の角
tan 2   cos  sin  cos sin 2 
θ４
（α＝βでは 1 / sin 3  となり
これは前出表より小中勾の勾配の転び）
tan 4  1 / tan cos 
（
4
）内の結果は規矩術での規則と一致。
ｂ．四方とめ（構造的に ta sin   tb sin 、wa cos  wb cos  の関係が生じる）
ｔb
上端とめ角
tan1   tan  / sin 
ｔa
（α＝βでは 1/cosα
θ１
）
これは前出表より長玄の勾配のころび）
θ2
tan 2   tan / sin 
wb
wa
θ３
向うとめ角
tan 3  1 / cos tan 
（α＝βでは 1 / cos  tan 
θ４
これは前出表より中勾の勾配のころび）
tan 4  1 / tan cos 
（
5
）内の結果は規矩術での規則と一致。
柱建て四方ころび
高さ h の角柱の上面を、矩形の形状と高さ h を保ったまま、x 軸に平行にｒ、y 軸に平行に
－ｓ、xy 面に平行に移動した場合に出来る角柱。
矩形断面の角柱を倒すのではなく、百人一首を積み重ねた柱で、各札がずれて、上下面を平
行に保ったまま傾いて出来るような柱。接地面と天井は矩形であるが、柱の軸に垂直な断面
は矩形ではなくなる。
z 軸に平行な 4 本の稜は x 軸のまわりにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反
時計方向）
、y 軸のまわりにβ（y 軸に沿って見て時計方向）だけ回転する。柱の軸方向に垂
直な断面は矩形から外れる。
tan  s / h
tan   r / h
となる。
z
α
y
h
r
6
β
-s
x
z
α
θ1
β
tan  s / h
tan   r / h
y
h
θ4
θ５ l
-s
r
x
θ3
θ2
・柱の長さ＝ l  h 1  tan 2   tan 2 
・稜に垂直な柱断面の形（接地面を矩形にする＝癖をとるために必要な形）の隅角度
tan1   1  tan 2   tan 2  / tan tan 　（α＝βでは  1 2 tan
2
 tan 2  ：これは前出表より加弓の勾配のころび（の補角））
・柱側面の隅の角
tan2   cos / sin  cos 
（α＝βでは 1/sinα：これは前出表より中勾の勾配のころび）
t a n3   c o s/ c oss i n
・ｙ方向のぬきの上下面と柱側面の交線が、柱の稜となす角
tan4  1  tan2  / tan2  sin  cos 
x 方向のぬきにつ
（α＝βでは 1 / sin 
いては、左式のα
3
：小中勾の勾配のころび）
・ｙ方向のぬきの胴付き角
t a n5  1 / t a ns i n
（α＝βでは 1/ tan sinα：短玄の勾配のころび）
（
7
）内の結果は規矩術での規則と一致。
とβを入れ替え
る。
［以下補足］
じょうご形四方ころびの式の導出
x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した板と
y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した板との組み
面Bin
面Ain
6b
板A
板B
面Bin
面Bout
5b
板A
8b
面Aout
7b
5a
8a
6a
面Ain
面Aout
6"
5'
y
7a
5"
7"
8'
6'
面Bout
8"
9'
7'
板B
y
11
10'
β
wb
wa
1
α
4
2
3
tb
1
ta
x
4'=4
2"= 2
2'
直交状態
灰色部：板材 A、B の交差部分
面 Ain、面 Bin：組の内側となる面
：傾斜した右図では上を向く面
面 Aout、面 Bout：組の外側となる面
：傾斜した右図では下を向く面
点 1～4：交差部分の底面の四隅の点
点 5a～8a：交差部分の板 A の上端矩形の四隅の点
点 5b～8b：上方に延長した交差部分と板 B の上端
が交差する矩形の四隅の点
wa、ta、wb、tb：板材 A、B の幅と厚み
8
x
底部拡大
4"
3'
3"
四方ころびの状態
①板 A がｘ軸の周りに時計方向に α だけ回転
②板 B が y 軸の周りに時計方向に β だけ回転
灰色部：上記のそれぞれの回転にともなって傾いた
左図の灰色の交差部分
点 2'～8'：左図の点 2～4、5a～8a が上記の回転①に
ともなって移動した点
点 2"～8"：左図の点 2～4、5b～8b が上記の回転②に
ともなって移動した点
点 9' ：点 5'、8'を通る直線と面 Bin との交点
点 9" ：点 5"、8"を通る直線と上方に伸長した面
Ain との交点（図では省略）
点 10' ：点 6'、7'を通る直線と面 Bout との交点
点 10" ：点 7"、8"を通る直線と上方に伸長した面
Aout との交点（図では省略）
点 11 ：点 6'、7'を通る直線と面 Bin との交点
●点の座標
x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した場合
式
0
0  x
 x'  1
 y'   0 cos  sin    y 
  
 
 z'  0 sin  cos   z  により
y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した場合、
 x"   cos 
 y"    0
  
 z"   sin 
式
sin    x 
1
0   y 
0 cos    z 
0
により
座標（x,y,z）は（x',y',z'）
、
（x",y",z"）に変る。下表のように各点の座標が求まる。
回転前
0
0
x
0
2
-ta
0
2'
-ta cosα
z
0
- ta sinα
x
tb
tb
y
3
-ta
z
0
x
tb
y
4
0
x
0
5
3'
-ta cosα
0
tb cosβ
3"
- ta sinα
-ta
-tb sinβ
tb cosβ
0
z
y
4"
0
-tb sinβ
wb sinβ
0
5'
-wa sinα
5"
0
z
wa
wa cosα
wb cosβ
x
0
0
wb sinβ
y
6
-ta
6'
-ta cosα-wa sinα
6"
-ta
z
wa
- ta sinα+wa cosα
wb cosβ
x
tb
tb
tb cosβ+ wb sinβ
y
7
-ta
7'
-ta cosα-wa sinα
7"
-ta
z
wa
- ta sinα+ wa cosα
-tb sinβ+ wb cosβ
x
tb
tb
tb cosβ+ wb sinβ
y
z
9
1
z
y
板Ｂの回転後
0
x
y
板Ａの回転後
8
0
wa
8'
-wa sinα
wa cosα
8"
0
-tb sinβ+ wb cosβ
点 9'、9"、10'、10"、11 の座標は後述の面と直線との交点を求める式による。まず面 Ain、Aout、
Bin、Bout の式を求める。
●３点（xu yu, zu）
、
（xv, yv, zv）
、
（xw, yw, zw）を通る平面の式
Px + Qy + Rz = D
yu
zu
1
zu
xu
1
xu
yu
1
xu
yu
zu
P  yv
zv
1 , Q  z v
xv
1 , R  x v
yv
1 , D  x v
yv
zv
yw
zw
1
xw
1
yw
1
yw
zw
zw
xw
面 Aout（2'-3'-7'）
D
xw
面 Ain（1-4-8'）
0
 t a cos
 t a sin 
tb
 t a cos
 t a sin 
tb
 t a cos  wa sin 
 t a sin   wa cos
 ( t a )2 tb cos sin   t a tb sin  ( t a cos  wa sin  )
0
0
0
tb
0
0
tb
 wa sin 
wa cos
0
 ( t a )2 tb cos sin   t a tb cos ( t a sin   wa cos )
 t a tb wa
P
Q
 ta cos
 ta sin 
1
0
0
1
 ta cos
 ta sin 
1 0
0
0
1 0
 ta cos  wa sin   ta sin   wa cos 1
 wa sin 
wa cos 1
 t a sin 
0 1
0
0
1
 t a sin 
tb 1
0
tb
1  tb wa cos
wa cos
tb
1
 t a sin   wa cos tb 1
 t a tb sin   t a tb sin   tb ( t a sin   wa cos )
 t a tb sin   tb wa cos
R
0
 ta cos
1
0
0
1
tb
 ta cos
1
tb
0
1  tb wa sin 
tb  ta cos  wa sin  1
tb
 tatb cos  tb ( ta cos  wa sin  )
 tatb cos  tatb cos  tb wa sin 
10
 wa sin  1
面 Bou（3"-4"-8"）
D
面 Bin（1-2-6"）
tb cos 
 ta
 tb sin 
0
0
0
tb cos 
0
 tb sin 
0
0
 tb sin   wb cos 
 ta
0
tb cos   wb sin 
wb sin 
 ta
wb cos 
 ta tb sin  ( tb cos   wb sin  )
0
 tatb sin  ( tb sin   wb cos  )  tatb wb
P
 ta
 tb sin 
1
0
1
0
 tb sin 
0
1
0
1  ta wb cos 
0
 tb sin   wb cos 
 ta
1
 ta
wb cos 
 ta tb sin   ta ( tb sin   wb cos  )  ta wb cos 
Q
R
 tb sin 
tb cos 
1
0
0
1
 tb sin 
tb cos 
1 0
0
0
1 0
 tb sin   wb cos 
tb cos   wb sin 
wb cos 
wb sin 
tb cos 
 ta
1
tb cos 
0
tb cos   wb sin 
0
1
1
0
0
1
0
 ta
1  t a wb sin 
1
wb sin 
 ta
1
 t a ( tb cos   wb sin  )  t a tb cos   t a wb sin 
11
1
1
●点 9'、9"、10'、10"、11 の座標
２点（xu, yu, zu）、（xv, yv, zv）を通る直線と平面 Px+Qy+Rz=D の交点の座標
（xc, yc, zc）は次式で与えられる。
( D  Qyu  Rzu )x  ( Qy  Rz )xu
Px  Qy  Rz
( D  Rzu  Pxu )y  ( Rz  Px ) yu
yc 
Px  Qy  Rz
( D  Pxu  Qyu )z  ( Rx  Qy )zu
zc 
Px  Qy  Rz
x  xv  xu，　y  yv  yu ，z  zv  zu
xc 
点 9'＝
点 9"＝
点 10'＝
点 10"＝
点 11＝
直線 5'-8'と
直線 5"-6"と
直線 6'-7'と
直線 8"-7"と
直線 6'-7'と
面 Bin の交点面 Ain の交点
面 Bout の交点
面 Aout の交点
面 Bin の交点
上 D
0
0
tatbwb
tatbwa
0
式 P
- tawbcosβ
0
0
-tawbcosβ
へ Q
0
- tbwacosα
0
- tbwacosα
0
の R
tawbsinβ
- tbwasinα
-tawbsinβ
- tbwasinα
tawbsinβ
入 Δx
力 Δy
- tb
0
0
- ta
0
デ Δz
∣
0
0
0
xu
0
wbsinβ
0
yu
- wasinα
0
-tacosα- wasinα
タ
tawbcosβ
0
tb
tb
0
ta
0
0
tbcosβ+ wbsinβ
- ta
0
-tacosα
- wasinα
zu
wacosα
wbcosβ
-tasinα
+ wacosα
計 xc
wacosα･
wbsinβ
tanβ
算
tb/cosβ
- tanβ(tasinα
-tbsinβ
-tasinα
+wbcosβ
- tanβ･
tbcosβ
+ wbsinβ
-wacosα)
結
果 yc
- wasinα
- wbtanα
cosβ
-tacosα
- wasinα
+ wacosα
(tasinα
- wacosα)
-ta/cosα
-tacosα
+ tanα(tbsinβ
- wasinα
-wbcosβ)
zc
12
wacosα
wbcosβ
-tasinα
-tbsinβ
+ wacosα
+ wbcosβ
-tasinα
+ wacosα
●所要角度の式の導出
2 点（xu, yu, zu）と（xv, yv, zv）を通る直線と、2 点（xw, yw, zw）と（xv, yv, zv）を通る直線の
点（xv, yv ,zv）における交差角θは次式で与えられる。
( xvu yvw  xvw yvu )2  ( yvu zvw  yvw zvu )2  ( zvu xvw  zvw xvu )2
xvu xvw  yvu yvw  zvu zvw
x u, y u , z u
xvu  xv  xu，yvu  yv  yu，zvu  zv  zu
x w, y w, z w
xvw  xv  xw，yvw  yv  yw，zvw  zv  z w
θ
tan 
x v , y v, z v
四方胴付き
上端胴付き角 6'-11-9'
向う胴付き角 5'-9'-1
向う胴付き角 5"-9"-1
直線
11-9'
11-6'
9'-1
9'-5
9"-1
9"-5"
Δx
-tasinα･tanβ
- tanβ･
wacosα･
wacosα･
wbsinβ
0
- wbtanα
- wbtanα
(tasinα
tanβ
tanβ
- wacosα)
Δy
-tacosα
- wasinα
0
0
cosβ
Δz
- tasinα
tanθ
1/ sinαtanβ
wacosα
0
0
1/cosαtanβ
wbcosβ
cosβ
0
1/ tanαcosβ
同様に角 11-9’-1  cos  sin  cos sin 2 
四方とめ
留めの場合は点 9'と 9"、10'と 10"が一致する構造であるので、先に求めた点の座標をそれぞれ等
しいと置くことにより、 ta sin   tb sin 、wa cos  wb cos  の関係が生じる。
上端とめ角 9'-10'-6'
上端とめ角 9"-10"-8"
直線
10'-9'
10'-6'
10"-9"
10"-8"
Δx
tb/cosβ
tb/cosβ
tbcosβ
0
- tasinαtanβ
- tanβ(tasinα
-wacosα)
Δy
-tacosα
0
-ta/cosα
-ta/cosα
+ tb tanαsinβ
+ tanα(tbsinβ
-wbcosβ)
Δz
-tasinα
tanθ
tanβ/sinα
0
-tbsinβ
tanα/sinβ
なお、向う留め角の導出は、上の胴付きの場合と同じになる。
13
0
柱建て四方ころびの式の導出
高さ h の角柱を、上面の矩形と高さ h を保ったまま、x 軸に平行にｒ、y 軸に平行に－ｓ、
xy 面に平行に移動した形の角柱。
z 軸に平行な 4 本の稜は x 軸のまわりにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反
時計方向）
、y 軸のまわりにβ（y 軸に沿って見て時計方向）だけ回転する。柱断面は矩形か
ら外れる。
但し
tan  s / h
となる。
tan   r / h
z
z
α
β
β
5
8
6
7
5'
8'
5'
6'
8'
6'
h
7'
y
7'
ぬきの垂直断面
y
h
m
l
n
hl
1
4
1
4
2
a
2
a
b
b
3
3
x
r
-s
x
1
4'
2'
3'
点 2' ：直線 2-6'と面 S との交点
点 3' ：直線 3-7'と面 S との交点
点 4' ：直線 4-8'と面 S との交点
ただし、面 S は点 1 を通り、
直線 1-5‘に垂直な面
14
●各点の座標
点 1 が原点（x=0, y=0, z=0）
x
y
-b tanαtanβ/(1+tan2α+tan2β)
0
2 -b
2'
-b (1+ tan2β) /(1+tan2α+tan2β)
z
0
-b tanα/(1+tan2α+tan2β)
x
a
{a (1+ tan2α)－b tanαtanβ}/(1+tan2α+tan2β)
y
3 -b
3'
{a tanαtanβ－b(1+ tan2β) }/(1+tan2α+tan2β)
z
0
-(b tanα+a tanβ)/(1+tan2α+tan2β)
x
a
a (1+tan2α)/(1+tan2α+tan2β)
y
4 0
z
0
-a tanβ/(1+tan2α+tan2β)
x
0
h tanβ
y
5 0
z
h
h
x
0
h tanβ
y
6 -b
4'
5'
6'
a tanαtanβ/(1+tan2α+tan2β)
-h tanα
-b－h tanα
z
h
h
x
a
a+h tanβ
y
7 -b
z
h
x
a
y
8 0
z
h
7'
-b－h tanα
h
8'
a+h tanβ
-h tanα
h
(hl +a cosβsinβ)tanβ
x
m
y
－ (hl+a cosβsinβ)tanα
z
hl+a cosβsinβ
x
a+hl tanβ
n
y
z
- hl tanα
hl
a+hl tanβ
ｐ - hl tanα-p
hl
点 2', 3', 4'の座標は、直線 i-j'に垂直で原点を通る面と直線 i-j'との交点の座標を与える次式により
求めた。
xi'  { y5' ( xi y j'  yi x j' )  z5' ( zi x j'  xi z j' )} / X
yi'  { z5' ( yi z j'  zi y j' )  x5' ( xi y j'  yi x j' )} / X
zi'  { x5' ( zi x j'  xi z j' )  y5' ( yi z j'  zi y j' )} / X
X  x5' ( x j'  xi )  y5' ( y j'  yi )  z5' ( z j'  zi )
15
●所要角度の式の導出
2 点（xu,yu,zu）と（xv,yv,zv）を通る直線と、2 点（xw,yw,zw）と（xv,yv,zv）を通る直線の
点（xv,yv,zv）における交差角θは次式で与えられる。
( xvu yvw  xvw yvu )2  ( yvu zvw  yvw zvu )2  ( zvu xvw  zvw xvu )2
xvu xvw  yvu yvw  zvu zvw
x u, y u , z u
xvu  xv  xu，yvu  yv  yu，zvu  zv  zu
x w, y w, z w
xvw  xv  xw，yvw  yv  yw，zvw  zv  z w
θ
tan 
x v , y v, z v
柱断面の角
柱側面の隅の角
柱側面の隅の角
柱側面でぬきの下端が
角 2'－1－4'
角 1－2－6'
角 2－3－7'
稜となす角
角 m－n－7'
Δxvu
b tanαtanβ
0
a
a cos2β
-b
0
a tanαsinβcosβ
0
0
-a sinβcosβ
-h tanβ
-h tanβ
-(h－hl)tanβ
h tanα
h tanα
(h－hl)tanα
-h
-h
-(h－hl)
bh/cosβ
ah/cosα
a 2 ( h  hl )2 ( 1  tan2  )
-bh tanα
-ah tanβ
a( h  hl ) tan2  sin  cos 
-1/tanαcosβ
-1/ cosαtanβ
1  tan2
tan  sin  cos 
/(1+tan2α+tan2β)
Δyvu
b (1+ tan2β)
/(1+tan2α+tan2β)
Δzvu
b tanα
/(1+tan α+tan β)
2
2
Δxvw -a (1+tan2α)
/(1+tan α+tan β)
2
Δyvw
2
-a tanαtanβ
/(1+tan2α+tan2β)
Δzvw
a tanβ
/(1+tan2α+tan2β)
分子
ab
/(1+tan2α+tan2β)
分母
-ab tanαtanβ
/(1+tan2α+tan2β)
tanθ

1  tan2  tan2 
tan tan 
角 m－n－ｐ =
完
16
(x mn ) 2  (z mn ) 2 y np
y nm y np
2

1
tan  sin 

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