光の性質 光の本質 光の性質 光学の流れ BC5世紀 BC2世紀 BC1世紀 : 17世紀 18世紀 19世紀 20世紀 ピタゴラス[粒子論] アルキメデス(凹面鏡による結像) トレミー(屈折光学) : ガリレオ(望遠鏡) ケプラー(レンズシステム) スネル(屈折の法則) ニュートン(スペクトル)[粒子説] ホイヘンス(偏光)[波動説] ヤング、ブリュースター(干渉) フィゾー(光速度測定) マクスウェル、ヘルツ(電磁波) マイケルソン(エーテル否定) アインシュタイン(光量子) プランク (量子論) 光の性質 カテゴリー 幾何光学,波面光学,フーリエ光学 光線と波面を用いる 経験的に知られた実験法則に基づく 媒質中の光の進行の様子を記述する 光線,波面,色,照度,輝度,光束 視感度,測色,表色 量子光学,波動光学 光の性質 光波とフォトン 光波 フォトン u ( z , t ) = Re ⎡⎣ A exp {−i (ωt − kz + ϕ )}⎤⎦ = A cos (ωt − kz + ϕ ) E = hν E h p= = c λ 光の性質 波動性と粒子性 波動性 粒子性 マクスウェルの方程式, 波動方程式,位相速度, 群速度,偏光,分散, スペクトル,波長,回折, 干渉,副屈折,旋光性, モード 光子,運動量, ドブロイ波,光速度, 光電効果,量子干渉, エンタングル,エネルギー マクスウェルの方程式 基本式 ∂H ⎧ ⎪∇ × E = − μ0 ∂t ⎪ ⎪∇ × H = j + ε ∂E ⎪ 0 ∂t ⎨ ⎪ ρ ∇ ⋅ = E ⎪ ε0 ⎪ ⎪⎩∇ ⋅ H = 0 ⎧ D = ε E = ε 0E + P ⎪ ⎨ B = μ H = μ0 H + M ⎪j = σ E ⎩ ⎧ 2 ∂E ∂2E ⎪⎪∇ E − σμ0 ∂t − εμ0 2 = 0 ∂t ⎨ 2 ∂ ∂ H H ⎪∇ 2 H − σμ − εμ0 2 = 0 0 ⎪⎩ ∂t ∂t マクスウェルの方程式 ファラデーの法則、アンペールの法則 ファラデーの法則 =0 ∇×E+ B 磁束密度の変化でウズ電流が発生する(発電機) アンペールの法則 =j ∇×H −D 電束密度の変化で磁場が発生する(モーター) マクスウェルの方程式 ベクトルの公式 ⎛ ∂ ∂ ∂⎞ ∂ ∂ ∂ ∇≡⎜ , , ⎟=i +j +k ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∇ϕ ≡ grad ϕ = ⎜ = + + , , i j k ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂Ax ∂Ay ∂Az ∇ ⋅ A ≡ div A = + + ∂x ∂y ∂z ⎛ ∂A ∂A ∂A ∂A ∂A ∂A ⎞ ∇ × A ≡ rot A ≡ curl A = ⎜ z − y , x − z , y − x ⎟ ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y マクスウェルの方程式 波動方程式 真空中では ρ = 0, j = 0 ∂H ⎧ μ ∇ × = − E 0 ⎪ ∂t ⎪ ⎪∇ × H = ε ∂E 0 ⎨ ∂t ⎪ ⎪∇ ⋅ E = 0 ⎪∇ ⋅ H = 0 ⎩ なので ⎧ 2 ∂ 2E ⎪⎪∇ E = ε 0 μ0 ∂t 2 ⎨ 2 ∂ 2 ⎪∇ H = ε μ H 0 0 ⎪⎩ ∂t 2 E(r, t ) = E0 exp ⎡⎣i ( k ⋅ r − ωt − ϕ ) ⎤⎦ マクスウェルの方程式 光速度 真空中では c= 1 ε 0 μ0 ε 0 = 8.854 × 10−12 ⎡⎣C2 N -1m -2 ⎤⎦ μ0 = 4π × 10−7 ⎡⎣ Wb A -1m -1 ⎤⎦ 光速度の定義 c = 299792458.0 ± 1.2 × 10−12 ⎡⎣ ms-1 ⎤⎦ 時間基準(セシウム原子発信器) ν = 9.19 [GHz ] マクスウェルの方程式 電荷保存 ⎧∇ ⋅ D = ρ ⎪ ∂D ⎨ ∇ × = + H j ⎪⎩ ∂t ∂ρ ∇⋅ j = − ∂t ∂ρ ∫∫s j ⋅ Nds = − ∫∫∫v ∂t dv 単位体積、単位時間あたりの電荷の減少は それを囲む表面からの電流に等しい マクスウェルの方程式 エネルギー保存 ∂B ⎧ E ∇ × = − ⎪⎪ ∂t ⎨ ⎪∇ × H = j + ∂D ∂t ⎩⎪ ∂U + ∇ ⋅ S = −j⋅ E ∂t 1 (E ⋅ D + B ⋅ H) 2 S ≡ E×H U≡ 電磁波のエネルギー密度 ポインティングベクトル マクスウェルの方程式 エネルギー保存 ∂U ∫∫∫v ∂t dv + ∫∫s S ⋅ Nds = − ∫∫∫v j ⋅ Edv 左辺:第1項:S内部で電磁場のエネルギーが増加する割合 第2項単位時間にSを通って流れ出すエネルギー 右辺:S内部で電場の行った仕事 dEmech ≡ ∫∫∫ j ⋅ Edv v dt dE field ∂U ≡ ∫∫∫ dv v ∂t dt d Emech + E field ) = − ∫∫ S ⋅ Nds ( s dt 位相速度と群速度 位相速度 1 ∂ 2U ∇U= 2 2 u ∂t 2 U : Ex , E y , Ez , H x , H y , H z 平面波: U = U 0 cos ( k ⋅ r − ωt ) = U 0 ( k (n ⋅ r ) − ωt ) = Re ⎡⎣U 0 ei( k ⋅r −ωt ) ⎤⎦ 球面波: 1 ⎡ 1 i k ⋅r −ωt ) ⎤ U = U 0 cos ( k ⋅ r − ωt ) = Re ⎢U 0 e ( ⎥⎦ r ⎣ r 等位相面: n ⋅ r 一定の面 位相速度: u = Δr ω ω = = Δt k k 位相速度と群速度 群速度 2つの波のビート U = U 0 Re ⎡⎣exp i {( k + Δk ) z − (ω + Δω ) t} + exp i {( k − Δk ) z − (ω − Δω ) t}⎤⎦ = U 0 Re ⎡⎣ei ( kz −ωt ) {ei ( zΔk +tΔω ) + e − i ( zΔk +t Δω ) }⎤⎦ = U 0 cos ( kz − ωt ) cos ( z Δk + t Δω ) carrier envelope 位相速度と群速度 群速度 envelopeの速度 微分形式 Δω ug = Δk ug = dω d ⎛ kc ⎞ du = = − u λ ⎜ ⎟ dk dk ⎝ c ⎠ dλ 1 1 λ0 dn = − ug u c dλ0 分散 ug = dω dk 位相速度と群速度 分散 Ne2 1 n =1+ m ε 0 (ω r 2 − ω 2 ) + iγ ω 2 N :電子の数 e:電子の電荷 m :電子の質量 ω r固 有 振 動 数 γ :減衰係数 Ne2 ωr2 − ω 2 R e ⎡⎣ n ⎤⎦ = 1 + m ε 0 (ω r 2 − ω 2 ) + γ 2 ω 2 2 位相速度と群速度 分散 セルマイヤーの式 n = n∞ 2 2 ≈ A+ A′ B′ + 2 + 2 2 λ − λr λ − λ r′2 B λ + C λ2 CaF2の場合 6 .1 2 × 1 0 − 1 5 5 .1 0 × 1 0 − 9 n = 6 .0 9 + 2 + λ − 8 .8 8 × 1 0 − 1 5 λ 2 − 1 .2 6 × 1 0 − 9 2 位相速度と群速度 分散 line name light source color wavelength (nm) refractive index t Hg IR 1013.98 1.50731 s Cs IR 852.11 1.50981 r He red 706.52 1.51289 C H red 656.27 1.51432 D Na yellow 589.30 1.51673 d He yellow 587.56 1.51680 e Hg green 546.07 1.51872 F H blue 486.13 1.52238 g Hg purple 435.84 1.52669 h Hg purple 404.66 1.53024 i Hg UV 365.01 1.53626 ベクトル波 波動方程式 1 ∂ 2U ∇U= 2 2 u ∂t 2 解 ∝ exp ⎡⎣i ( k ⋅ r − ωt ) ⎤⎦ マクスウェル方程式 ⎧k × E = μω H ⎪k × H = −εω E ⎪ ⎨ ⎪k ⋅ E = 0 ⎪⎩k ⋅ H = 0 k H E E× H ∝ k H =− εω k E = −ε uE = n E = ZE z0 ベクトル波 ポインティングベクトル 単位面積を通過するエネルギーの流れ S = E × H = E0 cos ( k ⋅ r − ωt ) × H 0 cos ( k ⋅ r − ωt ) 時間平均 S = E0 × H 0 cos 2 ( k ⋅ r − ωt ) = S // k 1 ( E0 × H 0 ) 2 S = In 光強度(放射度: irradiance) 1 n n ε0 2 1 ε 2 2 I = E0 ⋅ H 0 = E0 = E0 E0 = 2 2 z0 2 μ0 2 μ ベクトル波 円偏光 ⎧ Ax = Ay = A ⎪ ⎨ π ⎪⎩δ = ± + 2mπ 2 右回り円偏光 左回り円偏光 ⎧⎪ E x = A cos ( kz − ωt ) ⎨ ⎪⎩ E y = A sin ( kz − ωt ) δ= π 2 δ =− + 2mπ π 2 + 2mπ ベクトル波 楕円偏光 Case 2 Case 1 ⎧ Ax = Ay ⎪ ⎨ π ≠ ≠ ± + 2mπ δ π , δ m ⎪⎩ 2 ⎧ Ax ≠ Ay ⎨ ⎩δ ≠ mπ δ=± π 2 + 2mπ のとき その他 2 ⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝ Ax ⎠ ⎝ Ay ⎠ 2 2 Ex E y ⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞ cos δ = sin 2 δ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − 2 Ax Ay ⎝ Ax ⎠ ⎝ Ay ⎠ 2 偏光表記法 ジョーンズベクトル E = E0ei ( k⋅r −ωt ) ⎛ E0 x ⎞ E0 = ⎜ ⎟ E ⎝ 0y ⎠ ⎧⎪ E0 x = E0 x eiϕ x ⎨ iϕ y ⎪⎩ E0 y = E0 y e 2 E0 x + E0 y = 1 2 偏光表記法 ジョーンズベクトル ⎛ E0 x ⎞ J≡⎜ ⎟ ⎝ E0 y ⎠ 直線偏光 円偏光 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎛ cos θ ⎞ ⎜ sin θ ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1⎠ 垂直偏光 水平偏光 Θ方向直線偏光 45º偏光 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ −i ⎠ 左円偏光 1 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝i⎠ 右円偏光 偏光表記法 ジョーンズベクトル 直交性 E1 ⋅ E2* = 0 E1 x E2 x * + E1 y E2 y * = 0 合成 分解 1 ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎫ ⎛ 1 ⎞ ⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎬ = ⎜ ⎟ 2 ⎩ ⎝ −i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎭ ⎝ 0 ⎠ ⎛ E x ⎞ − E x − E yi ⎛ 1 ⎞ − E x + E yi ⎛ 1⎞ + ⎜E ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜i⎟ − i 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ y⎠ 偏光表記法 ストークスパラメータ ⎛ E 2+ E 2⎞ y 光強度 ⎞ ⎛ S0 ⎞ ⎜ x ⎟ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜S ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 水平直線偏光 ⎟ S ≡ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ Ex − E y ⎟ = ⎜ ⎜ +45°直線偏光 ⎟ ⎜ S2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 E x E y cos δ ⎟ ⎜ ⎝ S3 ⎠ ⎜ 2 E E sin δ ⎟ ⎝ 右回り円偏光 ⎠ ⎝ x y ⎠ 完全偏光 S 0 = S + S 2 + S3 部分偏光 S0 2 > S12 + S 2 2 + S32 2 2 1 2 2 偏光表記法 ストークスパラメータ 水平直線偏光 右回り円偏光 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ Θ方向直線偏光 左回り円偏光 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ cos 2 θ ⎜ ⎟ ⎜ sin 2θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠ 垂直直線偏光 自然光 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ 偏光変換 ジョーンズマトリックス 線型な光学素子 入射光 出射光 ⎛ A2 x ⎞ ⎛ T11 T12 ⎞ ⎛ A1x ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ A2 y ⎠ ⎝ T21 T22 ⎠ ⎝ A1 y ⎠ 偏光変換 ジョーンズマトリックス J 2 = TJ1 左回り円偏光を45°直線偏光に変換する素子 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝1⎠ ⎝ 0 i ⎠ 2 ⎝ −i ⎠ 偏光変換 ミュラーマトリックス 線型な光学素子 入射光 ⎛ S0′ ⎞ ⎛ M 00 ⎜ ′⎟ ⎜ ⎜ S1 ⎟ = ⎜ M 10 ⎜ S 2′ ⎟ ⎜ M 20 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ S3′ ⎠ ⎝ M 30 M 01 M 11 M 21 M 31 M 02 M 12 M 22 M 32 出射光 M 03 M 13 M 23 M 33 ⎞ ⎛ S0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ S1 ⎟ ⎟ ⎜ S2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝ S3 ⎠ 偏光変換 ミュラーマトリックス S′ = MS 水平直線偏光を垂直直線偏光に変換する素子 ⎛ 1 ⎞ ⎛1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1⎟ = ⎜ 0 −1 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝0 0 0 0⎞⎛1⎞ ⎟⎜ ⎟ 0⎟⎜1⎟ 0⎟⎜0⎟ ⎟⎜ ⎟ 1⎠⎝0⎠ 偏光変換 偏光子(二色性) x方向偏光子 ⎛1 0⎞ T=⎜ ⎟ ⎝0 0⎠ 直線偏光子 任意の偏光 または非偏光 水平直線偏光 ⎛1 ⎜ 1 ⎜ M= ⎜0 ⎜ ⎝0 1 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎠ 偏光変換 偏光子(二色性) θ方向偏光子 ⎛ cos 2 θ T=⎜ ⎝ cos θ sin θ cos θ sin θ ⎞ ⎟ sin 2 θ ⎠ 主透過率: p1 , p2 ⎛ p1 T=⎜ ⎝0 0⎞ p2 ⎟⎠ ⎛ 1 ⎜ cos 2θ M=⎜ ⎜ sin 2θ ⎜ ⎝ 0 cos 2θ sin 2θ cos 2 2θ cos 2θ sin 2θ cos 2θ sin 2θ sin 2 2θ 0 0 ⎛ p12 + p2 2 ⎜ 2 p1 − p2 2 ⎜ M= ⎜ 0 ⎜⎜ 0 ⎝ p12 − p2 2 p12 + p2 2 0 0 0 0 2 p1 p2 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 p1 p2 ⎟⎠ 0 0 0 0⎞ 0 ⎟⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 偏光変換 移相子 x方向進相軸 4分の1波長移相子 iπ / 4 ⎛e T=⎜ ⎝ 0 0 ⎞ ⎟ e − iπ / 4 ⎠ ⎛1 ⎜ 0 M=⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 0 1⎟ ⎟ 0 −1 0 ⎠ ⎛1 ⎜ 0 M=⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 −1 0 ⎟ ⎟ 0 0 −1⎠ 0 0 x方向進相軸 2分の1波長移相子 ⎛1 0 ⎞ T=⎜ ⎟ − 0 1 ⎝ ⎠ 0 0 偏光変換 旋光子(光学活性) Θ回転 ⎛ cos θ T=⎜ ⎝ sin θ − sin θ ⎞ ⎟ cos θ ⎠ 0 ⎛1 ⎜ 0 cos 2θ M=⎜ ⎜ 0 sin 2θ ⎜ 0 ⎝0 0 − sin 2θ cos 2θ 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠ Θ傾いた偏光素子 ⎛ cos θ T′ = R (θ )TR (−θ ) = ⎜ ⎝ sin θ − sin θ ⎞ ⎛ cos θ ⎟T⎜ cos θ ⎠ ⎝ − sin θ sin θ ⎞ ⎟ cos θ ⎠ フーリエ光学 フレネル回折 C ⎡ π g ( xo , yo ) = f ( xi , yi ) exp ⎢i ∫∫ iλ l ⎣ λl {( x − x ) i o 2 + ( yi − yo ) 2 } ⎤ ⎥⎦ dxi dyi たたみ込み積分 yi yo l f ( yi ) g ( yo ) フーリエ光学 フレネル回折 g ( xo , yo ) = Cf ( xi , yi ) ∗ hl ( xo , yo ) ⎡ π 2 2 ⎤ hl ( xo , yo ) = exp ⎢i ( xo + yo ) ⎥ iλ l ⎣ λl ⎦ コンボリューション 1 f ( xi , yi ) hl ( xo , yo ) 重み関数 g ( xo , yo ) フーリエ光学 フレネル回折 フーリエ空間 G (ν x ,ν y ) = F (ν x ,ν y )i H l (ν x ,ν y ) F (ν x ,ν y ) = F [ f ( xi , yi ) ] G (ν x ,ν y ) = F [ g ( xo , yo ) ] H l (ν x ,ν y ) = F [ hl ( xo , yo ) ] = exp ⎡⎣ −iλlπν x 2ν y 2 ⎤⎦ フーリエ光学 レンズの作用 ⎡ π − 2 2 ⎤ u = A exp ⎢i x + y )⎥ ( ⎣ λa ⎦ ⎡ π 2 + 2 ⎤ u = A exp ⎢-i ( x + y ) ⎥ ⎣ λb ⎦ 1 1 1 + = a b f t a b u− ⎡ π u+ 2 2 ⎤ t = − = exp ⎢-i x + y )⎥ ( u ⎣ λf ⎦ u+ フーリエ光学 レンズによるフーリエ変換 π ⎡ π 2 2 ⎤ u = f ( x, y ) ∗ i exp ⎢i ( x + y ) ⎥ λl ⎣ λl ⎦ − u + = t i piu − f ( xi , y i ) ⎡ π 2 2 ⎤ exp ⎢i g =u ∗ x + y )⎥ ( iλ f ⎣ λf ⎦ + 1 ⎡ π = exp ⎢i iλ l ⎣ λf ⎡ π 1 exp ⎢i = iλ l ⎣ λf 1 g ( xo , yo ) f l u− u+ t ( x, y )i p ( x, y ) ⎤ 2 2 − x y U + ( o o )⎥ (ν x ,ν y ) ⎦ ⎛ ⎛ x+ y⎞ l ⎞ ⎤ ⎛ xo + yo ⎞ ⎜1 − ⎟⎥ F ⎜ ⎟∗ P⎜ ⎟ λ λ λ f f f ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ フーリエ光学 フーリエ変換 座標変換 x νx = λf y νy = λf l = f なら ⎛ xo + yo ⎞ ⎛ x+ y⎞ g ( xo , yo ) = F⎜ ⎟∗ P⎜ ⎟ λ f iλ f ⎝ λ f ⎠ ⎝ ⎠ 1 像側焦点面 ①物体側焦点面のフーリエ変換 ②瞳関数のフーリエ変換 フーリエ光学 フーリエ結像論 点の結像 点 (幾何光学) 回折像 (波動光学) 点の集合(収差像) (フーリエ光学・波面光学) Qi′ O(u ′, v′) dσ ′ Ki Qi I (u , v) dσ フーリエ光学 フーリエ結像論 たたみ込み積分 I (u , v) = ∫∫ O(ui , vi ) PSF(u − ui , v − vi )dui dvi = ∫∫ O(u − ui , v − vi ) PSF(ui , vi )dui dvi 条件 ①インコヒーレント光源(強度和) ②強度に対して線形 ③アイソプラナティズム PSF(Point spread function: 点増強度分布)が場所によらない フーリエ光学 フーリエ結像論 y 線像強度分布(LSF: Line spread function) O(ui , vi ) = δ (ui ) I (u ) = ∫∫ δ (u − ui ) PSF(ui , vi )dui dvi = ∫ PSF(u , vi )dvi = LSF(u ) たたみ込み積分(コンボリューション) ϕ:アジムス ϕ z x y:ラジアル方向 z x:タンジェンシャル方向 フーリエ変換 フーリエ光学 正弦波格子 物体 O(ui ) = A + B cos ( 2π rui ) r:空間周波数 像 I (u ) = ∫ { A + B cos ( 2π r (u − ui ) )} LSF(ui )dui = A + B C 2 + S 2 cos ( 2π ru − ϕ ) ⎧C ≡ LSF(ui ) cos ( 2π rui ) dui ∫ ⎪ ⎨ ⎪⎩ S ≡ ∫ LSF(ui ) sin ( 2π rui ) dui ⎛S⎞ ϕ = arctan ⎜ ⎟ ⎝C ⎠ フーリエ光学 正弦波格子 I max − I min M= I max + I min モジュレーション(コントラスト) 物体 B Mo = A 像 ⎛B⎞ Mi = C + S ⎜ ⎟ = C2 + S 2 Mo ⎝ A⎠ 2 2 フーリエ光学 空間周波数特性 物体に依存しない,光学系固有のもの M i (r ) M i = 0:解像限界 M i < 0:反転 I = A (1 + M i cos(2π ru − ϕ ) ) ϕ = ±π I = A (1-M i cos(2π ru ) ) 1 g線 0.5 C線 0 r lines/mm フーリエ光学 基準波長 wavelength (nm) light source color t Hg IR 1013.98 s Cs IR 852.11 r He red 706.52 C H red 656.27 D Na yellow 589.30 d He yellow 587.56 e Hg green 546.07 F H blue 486.13 g Hg purple 435.84 h Hg purple 404.66 i Hg UV 365.01 line name 光学系の空間周波数特性 たたみこみ積分 フーリエ変換 ⎧ G (ν ) = +∞ g (α )e − iνα dα ∫−∞ 1 ⎪ 1 ⎨ +∞ ⎪G2 (ν ) = ∫ g 2 (α )e − iνα dα −∞ ⎩ たたみこみ積分(コンボリューション) p (α ′) = ∫ +∞ −∞ g1 (α ) g 2 (α ′-α )dα 光学系の空間周波数特性 たたみこみ積分 P(ν ) = ∫ +∞ =∫ +∞ =∫ +∞ −∞ −∞ −∞ p (α ′)e − iνα ′dα ′ ∫ +∞ −∞ − iνα ′ − iνα iνα ′ g1 (α ) g 2 (α -α )e e e dα dα ′ g1 (α )e − iνα dα ∫ +∞ −∞ g 2 (α ′-α )e − iν (α ′ −α ) = G1 (ν )G2 (ν ) たたみこみ積分のフーリエ変換(スペクトル)は個々のスペクトルの積 dα ′ 光学系の空間周波数特性 たたみこみ積分 1 ⎧ ⎪⎪ g1 (α ) = 2π ⎨ ⎪ g (α ) = 1 ⎪⎩ 1 2π ∫ +∞ ∫ +∞ −∞ −∞ G1 (ν )eiνα dν G2 (ν )eiνα dν 積のスペクトルは個々の スペクトルのコンボリューション +∞ g1 (α ) g 2 (α )} e − iν ′α dα { −∞ H (ν ′) = ∫ 1 = 2π 1 = 2π 1 = 2π ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ −∞ −∞ −∞ G1 (ν )e dν ∫ iνα +∞ −∞ G1 (ν )dν ∫ +∞ −∞ g 2 (α )e − iν ′α dα g 2 (α )e − i(ν ′−ν )α dα G1 (ν )G2 (ν ′ −ν )dν 光学系の空間周波数特性 たたみこみ積分 i ( r , s ) = o(r , s ) R ( r , s ) 光学系は物体のスペクトルに対する空間周波数フィルターとして働く o(r , s:物体のスペクトル ) R(r , s:点像のスペクトル ) (点像強度分布のフーリエ変換) i (r , s:像のスペクトル ) 光学系の空間周波数特性 OTFの定義(1) (a) 正弦波格子 MTF(r ) (Modulation transfer function) モジュレーションの比(Modulation transfer factor)を 空間周波数の関数で表したもの PTF(r ) (Phase transfer function) 格子像の横ずれ(一周期=2π),位相シフト OTF(r )=MTF(r ) ⋅ e iPTF( r ) 光学系の空間周波数特性 OTFの定義(2) (b) 点像 点像のフーリエ変換を規格化 R (r , s ) = ∫∫ PSF(u, v)e − i2π ( ru + sv ) dudv R(r , s) OTF(r , s )= R(0, 0) MTF(r , s ) = OTF(r , s ) PTF(r , s ) = arg [ OTF(r , s ) ] 光学系の空間周波数特性 OTFの定義(3) (c) 線像 OTF(r , s ) = ∫ LSF(u )e − i2π ru du = ∫ LSF(u ) cos(2π ru )du − i ∫ LSF(u ) sin(2π ru )du = C − iS = C 2 + S 2 ⋅ e − iϕ MTF(r , s ) = C 2 + S 2 PTF(r , s ) = ϕ 光学系の空間周波数特性 瞳関数 Q’ R” P’ Q” R’ O O’ P Q R 入射瞳,射出瞳,開口絞り 光学系の空間周波数特性 瞳関数 瞳関数(Pupil function) f ( x, y ) ⎧ S ( x, y )eikW ( x , y ) f ( x, y ) = ⎨ 0 ⎩ U (u , v) 瞳内 瞳外 P R ⎧ S ( x, y ) 瞳の形状および振幅分布 ⎨ ⎩W ( x, y ) 位相分布 光学系の空間周波数特性 点像の振幅分布(ASF) 点像の回折による振幅分布は瞳関数のフーリエ変換 ⎡ ik ⎤ U (P) = C ∫∫ f ( x, y ) exp ⎢ − (ux + vy ) ⎥ dxdy ⎣ R ⎦ = ASF(u, v) ASF: amplitude spread function PSF(u, v) = ASF(u, v) ⋅ ASF* (u, v) = C 2 ∫∫ ϕ ( x′, y′) exp ⎡⎣i ( x′u + y′v ) ⎤⎦dx′dy′ u= ϕ ( x′, y′) = ∫∫ f ( x2 − x′, y2 − y′) f * ( x2 , y2 )dx2dy2 k k u , v = v, x′ = x2 − x1 , y′ = y2 − y1 R R 光学系の空間周波数特性 瞳関数とOTF R(r , s ) = ∫∫ PSF(u, v) exp ⎡⎣-i2π ( ru + sv ) ⎤⎦dudv ⎛ 2π CR ⎞ =⎜ ⎟ ϕ (r , s ) ⎝ k ⎠ 2 r = λ Rr , s = λ Rs R(r , s ) ϕ (r , s ) OTF(r , s ) = = R(0, 0) ϕ (0, 0) 1 = ∫∫ f ( x − r , y − s ) f * ( x, y ) dxdy A 1 = ∫∫ S ( x − r , y − s ) S ( x, y ) eikV dxdy A A = ∫∫ f ( x, y ) dxdy 2 V ( x, y , r , ) = W ( x − r , y − s ) − W ( x, y ) 光学系の空間周波数特性 OTF W ( x, y ) = 0 → V = 0 OTF(r , s ) = 1 S ( x − r , y − s ) S ( x, y ) dxdy ∫∫ A OTFは瞳関数の自己相関関数 (OTFは点像強度分布のフーリエ変換) 円形開口 OTF(r , s ) = 1 π (2θ − sin 2θ ) r2 +s2 cos 2θ = 2a 光学系の空間周波数特性 遮断周波数 インコヒーレント系 OTF(rˆ, ϕ ) rˆ = r 2 + s 2 , tan ϕ = rmax s r 2a 2a = λR R rmax 1 = λ (F N ) R F N= 2a 光学系の空間周波数特性 コヒーレント光学系 インコヒーレント: 像の強度分布は物体の強度分布と点像強度分布の畳み込み積分 コヒーレント 像の振幅分布は物体の振幅分布と点像振幅分布の畳み込み積分 A(r , s ) = ∫∫ ASF(u, v)e −i 2π ( ru + sv ) dudv ASF(r , s ) = C ∫∫ f ( x, y )e k − i ( ux + vy ) R dxdy A(r , s) ATF(r , s) = = f (−r , − s ) A(0, 0) 遮断周波数 rmax a = λR ATFは瞳関数そのもの 光学系の空間周波数特性 ATFとOTF ATF OTF −2a −a 0 a 2a 光波コヒーレンスとOTF 相互コヒーレンス 1 I (Q) = T ∫ T 0 V1 (t ) + V2 (t ) dt = V1 (t ) 2 2 + V2 (t ) + V1 (t )V2* (t ) + V1* (t )V2 (t ) 2 = I1 + I 2 + 2 Re V1 (t )V2* (t ) Q1′ l1 Q 相互コヒーレンス 光源 Γ12 (τ ) = V1 (t + τ )V2 (t ) * l2 Q2′ 光波コヒーレンスとOTF 相互強度 準単色光の場合 Γ12 (0) = V1 (t )V2* (t ) = J12 ⎧ Γ11 (0) = V1 (t )V1* (t ) = J11 = I1 ⎪ ⎨ * Γ = (0) V ( t ) V ⎪⎩ 22 2 2 (t ) = J 22 = I 2 I (Q) = I1 + I 2 + 2 Re [ J12 ] 光波コヒーレンスとOTF 複素コヒーレンス度 μ12 = J12 = J11 J 22 1 V1 (t )V2* (t ) I1 I 2 I (Q) = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 Re [ μ12 ] ⎧ μ12 = 0 インコヒーレント ⎪ ⎨0 < μ12 < 1 部分コヒーレント ⎪ μ =1 コヒーレント ⎩ 12 光波コヒーレンスとOTF 等価光源(Effective source) J12 (Q1′, Q2′ ) = ∫ I ( S ) S e Q1′ ik ( l1′ − l2′ ) l1′l2′ I (S ) ⎧ ⎪ J11 (Q1′) = ∫S l ′2 dS ⎪ 1 ⎨ ⎪ J (Q′ ) = I ( S ) dS ⎪⎩ 22 2 ∫S l2′ 2 dS dS 光源 l1′ l2′ D Q2′ 光波コヒーレンスとOTF 相互コヒーレンス Van Citter-Zernikeの定理 μ12 ∫ = S I ( S )e ∫ S = ik ( l1′ −l2′ ) dS I ( S )dS eikφ ∫ I ( xs , ys )e S ∫ S i k {( X1′ − X 2′ ) xs + (Y1′−Y2′ ) ys } D dxs dys I ( xs , ys )dxs dys 1次光源の強度分布の空間周波数スペクトルがコヒーレンス度 コヒーレンス度をフーリエ変換すれば光源の強度分布 光波コヒーレンスとOTF 部分的コヒーレント光学系 J12 ( X D′ ) = 1 (2π ) ∫∫ o( x )o ( x ) R( x , x )e * 2 1 2 1 ik ( x2 − x1 ) X D 2 dx1dx2 光源 → 物体面 → 射出瞳面 → 像面 o( x1 ) = ∫ O ( X D′ )eikx1 X D dx1 ikx2 X D ′ o( x2 ) = ∫ O( X D )e dx2 O( X D′ ) x′ X D′ x XD 光波コヒーレンスとOTF 部分的コヒーレント光学系 R( x1 , x2 ) = 1 なら 1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ikx1 X D -ikx2 X D * J12 ( X D′ ) = ⎢ o x e x o x e x ( ) d ( ) d 1 1⎥ ⎢ 2 2⎥ ∫ ∫ ⎣ 2π ⎦ ⎣ 2π ⎦ = O( X D )O ( X D ) = O( X D ) * 理想結像 2 光波コヒーレンスとOTF Transmission cross-coefficient 4 ⎛R⎞ R (r , s ) = (2π ) C ⎜ ⎟ ∫∫ sE ( x, y ) f ( x − r , y − s ) f * ( x, y )dxdy ⎝k⎠ 1 i(xX D + yYD ) f ( x, y ) = X Y e ASF( ) ASF( ) dX D dYD D D ∫∫ 2π C 4 2 R(r , s ) OTF(r , s ) = R (0, 0) = * s ( x , y ) f ( x r , y s ) f ( x, y )dxdy − − ∫∫ E ∫∫ s E ( x, y ) S ( x, y )dxdy 光波コヒーレンスとOTF 部分的コヒーレント光学系のOTF R(r , 0) = (2π C ) 2 ∫ sE ( x) f ( x − r ) f * ( x)dx コヒーレント光学系 R(r ,0) = (2π C ) 2 ∫ δ ( x) f ( x − r ) f * ( x)dx = (2π C ) f (− r ) f (0) 2 R(r , 0) = f (−r ) OTF = R(0, 0) * 光波コヒーレンスとOTF 部分的コヒーレント光学系のOTF インコヒーレント光学系 R(r , 0) = (2π C ) 2 ∫ f (x − r ) f R(r , 0) * OTF = = ∫ f ( x − r ) f ( x)dx R(0, 0) * ( x)dx 光波コヒーレンスとOTF 等価光源,瞳,OTF y y A A’ r (a) (瞳の半径)>(等価光源の半径) インコヒーレント照明 x A’ A r (b) (瞳のずらし量) <(瞳の半径)-(等価光源の半径) x 光波コヒーレンスとOTF 等価光源,瞳,OTF y y A r A’ (c) (瞳の半径)-(等価光源の半径) <(瞳のずらし量) <(瞳の半径)+(等価光源の半径) x A r A’ (d) (瞳のずらし量) >(瞳の半径)+(等価光源の半径) x 光波コヒーレンスとOTF OTF コヒーレント照明 1 部分的コヒーレント照明 インコヒーレント照明 0 a-b r a+b 2a 光波コヒーレンスとOTF OTF −1 ⎧ sin (σ sin(θ ) ) r sin θ ⎫⎪ 1⎪ − OTF(r , 0) = ⎨θ + ⎬ π ⎩⎪ σ ⎭⎪ 2 ただし ⎛ 1−σ − r ⎞ sin θ = ± 1 − ⎜ ⎟ 2 σ r a ⎝ ⎠ ex. インコヒーレント 2 2 2 σ≡ ⎛ σ = 1 なら ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜ sin θ = 1 − ( ra 2 ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ OTF = 1 π ( 2θ − sin 2θ ) ⎟ ⎝ ⎠ b 等価光源の半径 ≡ 瞳の半径 a 光波コヒーレンスとOTF OTF 1 OTF 0.8 σ=0.2 0.8 0.6 0.4 1.0 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ra 1.2 1.4 1.6 1.8 2 光線収差と波面収差 OTFの求め方 B 波面光学 瞳関数 自己相関 A C レンズデータ 光線追跡 OTF B’ スポットダイヤグラム PSF フーリエ変換 光波コヒーレンスとOTF 軸上物体の波面収差と横収差 W = QQ ' R R X a = ξ + α , Ya = η + β a a Qにおける波面の方向余弦 (α , β , γ ) R ∂W R ∂W , Ya = − 2 Xa = − 2 na ∂ξ na ∂η 光波コヒーレンスとOTF 軸対称光学系 y メリジオナル面 ρ ϕ ⎧ρ = x + y ⎨ 2 ⎩σ = Yy = Y ρ cos ϕ 2 2 2 W = ∑ wl ,m,n ρ Y σ 2l 2m = ∑ 2l + m w2 n + m ,m ρ Y x X 2n 2l + m Y 2n+m cos ϕ m 光波コヒーレンスとOTF 次数 N = 2(l + m + n) − 1 1次の収差 ⎧a1 ρ ≡ W100 ρ 像点縦移動 ⎪ ⎨a2 ρ cos ϕ ≡ W010 ρ cos ϕ 像点横移動 ⎪a Y 2 ≡ W Y 2 (収差ではない) 3 001 ⎩ 2 2 光波コヒーレンスとOTF 3次収差 ⎧b1 (W101 )Y ρ ⎪ 3 ( ) ρ cos ϕ b W Y 2 011 ⎪⎪ 4 ⎨b3 (W200 ) ρ ⎪b (W )Y ρ 3 cos ϕ ⎪ 4 110 2 2 ⎪⎩b5 (W020 ) ρ cos ϕ 2 2 像面湾曲 歪曲 球面収差 コマ収差 非点収差 光波コヒーレンスとOTF 3次収差 m=0 像面彎曲 (010) 非点収差 (020) コマ収差 (110) n=3 n=4 m=2 歪曲 (011) n=1 n=2 m=1 球面収差 (200) 光波コヒーレンスとOTF 5次収差 ⎧ c1 (W102 )Y 4 ρ 4 ⎪ 5 ( ) ρ cos ϕ c W Y ⎪ 2 012 ⎪ c3 (W 201 )Y 2 ρ 2 ⎪ 3 3 ( ) ρ cos ϕ c W Y ⎪ 4 111 ⎪ 4 2 2 ( ) ρ cos ϕ c W Y ⎨ 5 021 ⎪ c (W ) ρ 6 ⎪ 6 300 ⎪ c7 (W 210 )Y ρ cos ϕ ⎪ 2 4 2 ( ) ρ cos ϕ c W Y ⎪ 8 021 ⎪⎩ c9 (W 030 )Y 3 ρ 3 cos 3 ϕ 像面湾曲 歪曲 像面湾曲 コマ収差 非点収差 球面収差 コマ収差 非点収差 光波コヒーレンスとOTF 5次収差 m=0 n=1 n=2 像面彎曲 (102) (030) 非点収差 (120) コマ収差 (210) 球面収差 (300) m=3 非点収差 (021) 像面彎曲 (201) n=5 n=6 m=2 コマ収差 (111) n=3 n=4 m=1 歪曲 (012) 光波コヒーレンスとOTF ニーボアの分類 W = ∑ glmnY 2l + m ρ cos(mϕ ) n mについて正規直交系 m:収差の種類 0: 球面収差(回転対称) 1: コマ収差(1回対称) 2: 非点収差(2回対称) l: 収差図形の大きさ 光波コヒーレンスとOTF ニーボアの分類 N 1 3 5 n 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 m=0 m=1 (012) m=2 m=3 (102) (111) (201) (020) (210) (300) (211) (301) (320) (312) (402) (221) (413) (500) (230) 光波コヒーレンスとOTF ツェルニケのCircle Polynomial Rnm = ( n−m) 2 ∑ k =0 (n − k )!r n − 2 k (−1) ⎛n+m ⎞ ⎛n−m ⎞ k !⎜ − k ⎟ !⎜ − k ⎟! ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ m,n について正規直交系 W = ∑ R (r ) cos mϕ m n m ,n m=0: 1: 2: 3: 4: 像面湾曲 コマ収差 非点収差 (三つ葉型) (四つ葉型) 光波コヒーレンスとOTF ツェルニケのCircle Polynomial n=0 m=0 1 n=1 - n=2 6r 4 − 6r 3 + 1 n=3 - 6r 4 − 6r 3 + 1 n=4 m=1 m=2 m=3 - r - - - - r2 - - 3r 3 − 2r - - 4r 4 − 3r 2 15r 5 − 12r 3 + 3r - - 6 4 3 15r 6 − 20r 4 + 6r 2 n=6 20r − 30r + 12r − 1 - n=5 r3 - 5r 5 − 4 r 3 - 光波コヒーレンスとOTF ツェルニケのCircle Polynomial m=0 n=0 m=1 m=2 m=3 - - - n=1 - 歪曲 - - n=2 像面彎曲 - 非点収差 - n=3 - コマ収差 - n=4 球面収差 - n=5 - n=6 - - - 光波コヒーレンスとOTF 最良像点 波面収差 1 ⎛ Δf 2 A1 4 ⎞ W = 2 ⎜ a0 − h + h ⎟ 2 4 ⎠ f ⎝ ⎛2 ⎞ ∫0 ⎜⎝ λ W ⎟⎠ dp = 0 1 となるように a0 を選ぶ 2 ⎛ ⎛h⎞ ⎞ ⎜ ただし p = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ h0 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 適用範囲: レーリーの限界 波面収差は1/4波長を超えない. ⎡ 1 ⎧⎪ 1 ⎛ 2 ⎞ 照度: I = ⎢ ∫ ⎨1 − ⎜ W ⎟ ⎢⎣ 0 ⎪⎩ 2 ⎝ λ ⎠ 2 ⎫⎪ ⎤ ⎬ dp ⎥ ⎪⎭ ⎥⎦ 2 光波コヒーレンスとOTF マレシャルの評価法 適用範囲: マレシャルの限界 波面収差は1/8波長を超えない. ⎡ 2π I > ⎢1 − 2 λ ⎣ 2 ⎤ ∫∫ W dω ⎥⎦ 2 2 光波コヒーレンスとOTF 共心系の収差 球面収差 コマ収差 ⎧ x = m1 ρ 3 sin ϕ ⎨ 3 = y m sin ϕ ρ 1 ⎩ 非点収差 ⎧ x = m3Y 2 ρ sin ϕ ⎨ 2 y m Y ρ sin ϕ = 3 ⎩ ⎧ x = m2Y ρ 2 sin 2ϕ ⎨ 2 = y m Y sin 2ϕ ρ 2 ⎩ 歪曲 ⎧x = 0 ⎨ 3 y = m Y 4 ⎩ 光波コヒーレンスとOTF 平行平板(球面収差) n′2 − n 2 n h12 n 2 − n′2 h2 2 Δs2′ = − − 2nn′ n′ s01 2nn′ s02 h1 = h2 = h, h θ =− s01 (n′ − n )nd 2 2 θ ∝θ Δs2′ = 3 2n′ 2 2 光波コヒーレンスとOTF 平行平板 非点隔差 d ⎛ cos 2 i ⎞ Δp2′ = 1− ⎜ ⎟ n′ cos i′ ⎝ cos 2 i′ ⎠ 歪曲 n′2 − 1 3 θ d Δh = − 2n′ 像面湾曲 1⎞ d ⎛ Δs2′ = ⎜1 − ⎟ ⎝ n′ ⎠ cos θ ′ 光源 インコヒーレント光源 熱放射光源 (黒体輻射) B (T ) = 2hc 2 1 λ 5 exp ( hc λ kT ) − 1 (J ⋅ s-1 ⋅ m -2 ⋅ str -1 ) 1E+15 相対強度 1E+12 300K 600K 1000K 2000K 3000K 6000K 10000K 1E+09 1E+06 1000 0.1 1 10 波長 λ(μm) 100 光源 インコヒーレント光源 ガス放電光源 line name wavelength (nm) refractive index light source color t Hg IR 1013.98 1.50731 s Cs IR 852.11 1.50981 r He red 706.52 1.51289 C H red 656.27 1.51432 D Na yellow 589.30 1.51673 d He yellow 587.56 1.51680 e Hg green 546.07 1.51872 F H blue 486.13 1.52238 g Hg purple 435.84 1.52669 h Hg purple 404.66 1.53024 i Hg UV 365.01 1.53626 光源 インコヒーレント光源 フィルター ・バンドパスフィルタ(BPF) 特定の波長帯の光を透過させ、それ以外を吸収する。 ・ショートパスフィルタ(SPF) 短波長側の光を透過させ、それ以外を吸収する。 ・ロングパスフィルタ(LPF) 長波長側の光を透過し、それ以外を吸収する。 ・NDフィルタ ある波長域において入射光量を一様に吸収する。 ・干渉フィルタ 干渉効果で透過波長帯と反射波長帯に分離する。 光源 コヒーレント光源 レーザー光源 反射鏡 反射鏡 レーザー媒質 レーザー発振 励起 光源 コヒーレント光源 縦モード(発振波長間隔) Δλ ≅ λ2 2n L 横モード(ガウスモード) ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ f (r ) = a exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ r0 ⎠ ⎥⎦ 光源 コヒーレント光源 固体レーザー ルビーレーザー、Nd: YAGレーザー等。 ガスレーザー 炭酸ガスレーザー、ヘリウム・ネオンレーザー、アルゴンイオンレーザー、 エキシマレーザー等。 半導体レーザー レーザーダイオード(LD)とも呼ばれる。レーザーポインターやパソコン内 でのCD・DVDの読み取りなどに使用。 光源 コヒーレンス 1 I (Q) = T ∫ T 0 V1 (t ) + V2 (t ) dt = V1 (t ) 2 2 + V2 (t ) 2 + V1 (t )V2* (t ) + V1* (t )V2 (t ) = I1 + I 2 + 2 Re V1 (t )V2* (t ) 相互コヒーレンス Γ12 (τ ) = V1 (t + τ )V2* (t ) Q1′ l1 Q 光源 l2 Q2′ 検出器 点型センサー 1.光電子増倍管 高感度(0.1~100μA/mW) 安定 広ダイナミックレンジ 2.光導電セル CdS, CdSeなど 大面積 線型性 応答遅い 3.起電力セル 半導体p-n接合 シリコンフォトセル,太陽電池など 検出器 イメージセンサー 1.ビジコン 光電効果+電子ビーム走査 赤外,可視,紫外,X線 高感度 2.固体イメージセンサー 光電変換+電荷直積 CCD型 MOS型 長さの計測 干渉法 1.合致法 複数の波長の干渉縞から端数が合致するように次数を決める L= λk 2 ( Nk + ε k ) k = 1, 2," M 2.計数法 参照アームの反射鏡の移動による明暗を計数する ΔL = λ 2 N 長さの計測 干渉法 1.合致法 複数の波長の干渉縞から端数が合致するように次数を決める λ L = k ( Nk + ε k ) k = 1, 2," M 2 2.計数法 参照アームの反射鏡の移動による明暗を計数 λ ΔL = N 2 3.ヘテロダイン法 わずかに周波数の異なる2光波を干渉させ光ビートの位相を計測 I = A1 exp ⎡⎣ −2π i (ν 1t + L1 λ1 ) ⎤⎦ + A2 exp ⎡⎣ −2π i (ν 2t + L2 λ2 ) ⎤⎦ { 2 } = A12 + A2 2 + 2 A1 A2 cos 2π ⎡⎣(ν 1 −ν 2 ) t + ( L1 − L2 ) λ1 + L2 (1 λ1 − 1 λ2 ) ⎤⎦ 長さの計測 モアレ法 規則性のあるパターン(格子)を2枚重ねる 1⎛ 2π I1 = ⎜1 + cos 2⎝ p1 1⎛ 2π I 2 = ⎜1 + cos 2⎝ p2 ⎞ x⎟ ⎠ ⎞ x⎟ ⎠ 1⎛ 2π 2π 2π 2π I = I1 × I 2 = ⎜1 + cos x + cos x + cos x ⋅ cos 4⎝ p1 p2 p1 p2 = ⎞ x⎟ ⎠ ⎛ 1 ⎛ 1 1 1 2π 1 2π 1 1 ⎞ 1 1 ⎞ + cos x + cos x + cos 2π ⎜ − ⎟ x + cos 2π ⎜ + ⎟ x 4 4 4 8 8 p1 p2 ⎝ p1 p2 ⎠ ⎝ p1 p2 ⎠ モアレ成分 長さの計測 長距離の測定 1.光パルス法 光パルスを対象物に照射し,反射光の遅れ時間を計測 cΔt L= 2n 2.変調法 強度が正弦的に変調された光を照射し,反射光の位相遅れを計測 c Λ= nf 変調正弦波の波長 N + φ1 2π ) ( L= Λ 2 形状の計測 主な計測法 測定法 光触針法 点計測 三角測量法 光切断法 干渉計測法 面計測 モアレ法 ステレオ法 特徴 稿感度,小型 大型物体計測,低感度 大型物体計測 高感度 中低感度 大型物体 形状の計測 光触針法 1.臨界角法 2.非点収差法 シリンドリカルレンズ A B C C B A ビーム断面 PSD 形状の計測 干渉計測法 1.トワイマン-グリーン干渉計 参照鏡 コリメータレンズ 被検物体 準単色光源 結像レンズ 干渉面 形状の計測 干渉計測法 2.フィゾー干渉計 半透明 参照鏡 準単色光源 被検物体 コリメータレンズ 干渉面 形状の計測 干渉計測法 3.変調干渉法 3.1 ヘテロダイン干渉法 3.2 縞走査法 I ( x, y , δ i ) = I 0 {1 + γ cos [φ ( x, y ) + δ i ]} φ ( x, y ) = tan −1 I1 − I 3 I0− I2 3.3 キャリアフリンジ法 I ( x, y ) = I 0 {1 + γ cos ⎡⎣ 2πα x + φ ( x, y ) ⎤⎦} β I i ( x, y ) = ∫ I ( x, y )dx α φ ( x, y ) = tan −1 I1 − I 3 I0− I2 形状の計測 モアレ法 1.格子照射型モアレトポグラフィー hn = bnp l − np l:基線長,p:基準格子のピッチ,n:次数 2.格子投影型モアレトポグラフィー hn = al p(n + δ ) a:節点・像面間距離,δ:格子間の位相差
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