ミクロ経済学入門 — 加重限界効用均等法則— 丹野忠晋 2006 年 11 月 21 日 (7) 1 効用と限界効用の復習 今日学ぶ加重限界効用均等法則のために効用と限界効用の復習を行いまし ょう． 効用 Utility — 消費による満足度を表す． 限界効用 Marginal Utility — 財が一単位増えたことによる満足度 の増加1 そして，限界効用逓減の法則を勉強しました．それは， 財の消費が増加すればするほど，その効用の増加は小さくなる ことを意味しました． 今日の我々の目標はヤワラちゃんが効用を最大化するときの条件を求める ことです. 2 限界効用 ヤワラはトレーナーとピザの選択に直面している次の状況を考えましょう2 ． 彼女の効用は, ヤワラの効用 = トレーナーからの効用 + ピザからの効用 で表現されます． 例えば，トレーナーとピザの効用が次の表のように表されていたとしましょ う3 ． 限界効用は 3 番目の列に表示されています．定義を書いておくと効用と 1 ヤワラちゃん (メアリー) 所得 3 万円 単位 100 円 (1 ドル) トレーナー価格 1500 円 ピザ価格 1500 円 表 1: ヤワラの選択 トレーナー 16 枚 効用 43400 限界効用 1500 17 44900 1400 18 46300 1300 19 47600 1200 20 48800 表 2: トレーナーの限界効用 限界効用の読み方は, ピザ 3 枚の限界効用 = ピザ 3 枚の効用 − ピザ 2 枚の効用 となります. トレーナーとピザの枚数をカッコを付けて組で表わしましょう. トレーナー 20 枚とピザの 0 枚を (20, 0) と表わすのです. • (20, 0) : (20, 0) は予算制約線上にあることは分かりますね． それではこの点はヤワラちゃんの最も満足する点でしょうか？ • (19, 1) : (20, 0) からトレーナーを一枚減らしてピザを一枚に増やしてみ ましょう．そうすると効用が増加することが分かります． トレーナーの減少による効用の減少 = 1200, ピザの増加による効用の増加 = 1800. 合計 600 円の効用増が達成できます．これはピザの限界効用の方が大きい限 り，トレーナーからピザへの消費の振り替えをした方が有利なことを意味し ます．結局， 1 テキスト p.124. テキストではメアリーで単位はドルです． 3 テキスト p.124. 2 2 ピザ 0枚 効用 0 限界効用 1800 1 1800 1600 2 3400 1500 3 4900 1400 4 6300 表 3: ピザの限界効用 ピザの購入枚数 20 ピザとトレーナーに関する予算線 E 3 トレーナー 17 20 0 の購入数 図 1: トレーナーとピザの予算線 限界効用が等しくなる水準まで消費の振り替えが起ります． • (17, 3) : (17, 3) では両財とも限界効用が 1500 円で等しい．そしてこの財 の組み合わせで効用を最大化しています．本当かどうか確かめてみましょう． • (18, 2) : 効用の増加は 1400 円で，効用の減少は 1500 円ですのでこの変 更は不利です． • (16, 4) : 効用の増加は 1400 円で，効用の減少は 1500 円ですのでこの変 更も不利です．よって，この例から 財の価格が等しいならば限界効用が等しくなる水準で 予算を上手く使っている． ことが言えます． 3 ここで財の組み (17, 3) の効用を U(17, 3) としましょう. U(17, 3) = 44900 + 4900 = 49800 (これが最大効用！) 財の組み (17, 3) が最大の効用をもたらすことは上で分析しました. 他の財の 組み合わせでそれを確かめて見ましょう, U(20, 0) = 48800 + 0 = 48800 < 49800 U(19, 1) = 47600 + 1800 = 49400 < 49800 3 加重限界効用均等の法則 財の価格が異なるケースでのヤワラちゃんの効用が最大になる条件は加重 限界効用がすべての財で等しくなることです．加重限界効用とは限界効用を その財の価格で割った値です． ピザの加重限界効用 = ピザの限界効用 ピザの価格 これはピザ一円あたりどのくらいの限界効用をもたらすかを表現しています． 例えば，クルマを持っていない人がカローラかベンツを購入しようと考えて いたとします．そのとき，もちろんベンツの方が限界効用が高いでしょう．し かし，その値段も例えば一千万円もして高い．価格で割ることによって一円 あたりの限界効用を考えてみますと，カローラを選択する人は値段の割に大 きな満足をもたらすと考えて消費を行っているのです． 加重限界効用均等の法則 ヤワラが効用を最大化しているならば, トレーナーの限界効用 ピザの限界効用 = トレーナーの価格 ピザの価格 この法則はとても重要です4 ．もちろん, 上の例では, 財の組み (17, 3) で成 り立っています. 1500 トレーナーの限界効用 ピザの限界効用 = = トレーナーの価格 1500 ピザの価格 上の法則を一般化して記号で書いておきましょう. まず，x 財と y 財の選択を考えます．記号を用意しましょう．とします. 4 テキスト p.126 にありますから良く読んでおいて下さい. 4 x 財の価格 y 財の価格 x 財の限界効用 y 財の限界効用 px py MUx MUy 表 4: 記号の用意 加重限界効用均等の法則 経済主体が効用を最大化しているならば, MUx MUy = px py が成り立ちます. 4 需要曲線の導出 トレーナー の購入数 20 F 17 0 3 ピザとトレーナーに関する予算線 20 ピザの購入枚数 ピザの価格 G 1500 ピザの需要曲線 0 3 ピザの購入枚数 図 2: ピザとトレーナーの予算線と需要曲線 5 このような条件を満たす点が所得と価格が所与の下での最適なヤワラの選 択になります. ピザ価格を変動させながら, このような点を次々にプロットし て行った軌跡が需要曲線です. 5 加重限界効用均等の法則の証明 加重限界効用均等の法則を証明しましょう．ある経済主体が手持ちの所得 の中から 1 円を x 財か y 財に振り分ける問題を考えます． 1円 x 財を買う y 財を買う 図 3: 1 円で財を買う 単位は 1 円で考えていますが，一万円でも一千万円でも分かりやすい所得で 考えて下さい．そうすると「所得 ÷ 価格」で購入可能な財の数量が求まりま すから，1 円で購入できる x 財の数量は， 1 円で購入できる x 財の数量 = 1 px 単位 (1) となります．ところで限界効用とは 財 x の限界効用 = MUx · · · x 財が 1 単位増えたときの効用の増分 でした．ここで次の等式が成り立ちます． 財の消費量のある増加 × 限界効用 = その財の消費の増加による効用の増加 この式を用いると次が成り立ちます． x 財の消費の 1 1 単位の増加による効用の増加 = × MUx px px MUx = px 上の (1) から結局 MUx = 1 円で x 財を購入したときの効用の増加 px = 値段の割の効用で測った良し悪し 6 1円 y 財を買う x 財を買う 効用の増加 M Uy py M Ux px 図 4: 1 円で財を買ったときの効用 となります． ではどのような時に経済主体の効用が最大化されているでしょうか？もし限 られた予算の中で最大の効用を達成していなければ，どちらかの財に 1 円分 の財を振り向けることにより効用が増加します．このことを念頭に置いて条 件を検討しましょう．まず，最初に 1 円で x 財を購入したときの効用の増加が 1 円で y 財を購入したときの効用の増加を上回っていたとしましょう． MUx MUy > px py (2) その場合には 1 円分の財を y 財から x 財に振り向けることにより経済主体の 効用は増加します．そのときの費用と便益は何でしょうか？それは， 1 円で x 財を購入したときの効用の増加 =⇒ 限界効用 1 円分の y 財の購入を諦めたときの効用の減少 =⇒ 限界費用 です．つまり，式 (2) は 限界効用 > 限界費用 を意味します．この場合 1 円で x 財を購入することにより効用が増加します から，効用は最大化されていません．同様に MUy MUx < px py が成り立つときは反対に 1 円で y 財を購入することにより効用が増加します． よって，効用の改善の余地があります． 結局，等式が成り立つとき，つまり加重限界効用が等しい時 MUx MUy = px py に効用が最大化されています．これで加重限界効用均等法則の証明が終わり ました． 7 6 加重限界効用均等の法則の別の証明 価格比 px /py はトレードオフを表していました．財 x を一単位増加させるこ とにより財 y を px /py 単位減少させなければなりません． 財 x を増やしたときの効用の増加は MUx です．一方，その代わり財 y を px /py 単位諦めなければなりません．そのとき の効用の減少分は px × MUy py です． MUx > px × MUy py のときは財 x を増やすと効用が増加します． MUx < px × MUy py のときは財 y を増やすと効用が増加します．結局，効用が最大になるのは MUx = px × MUy py のときです．この式を書き換えて MUy MUx = px py となり．証明は終わります． 8
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