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1998年5月19日
<<第５週，高校数学のまとめ２: 初等関数とグラフ，２項展開>>
<記法上の注意>
以下の文中で，a^2はaの２乗を意味する．b_nやb_{n+1}はサブスクリプト(下付文字)がnやn +
1であることを意味する．
<目次>
変数と定数
関数の概念
内挿と外挿
関数の解析的表現
座標とグラフ
関数と写像
陰関数
逆関数
関数の多価性
指数関数と対数関数
２項展開
<変数と定数>
さて，これから微分(differentiation)と積分(integration)のテーマに入って行こう．その目的の
ために，今回数学の基本に再び立ち返ろう．
数学(mathematics)の目的の１つは，この自然界のさまざまな現象を数式で表現することである．
１つの問題で，決まった値が与えられた数を定数(ていすう，constant)と呼ぶ．一方，その問題で，
変化を期待できる数のことを，変数(variable)と呼ぶ．
しかし，現実の問題は，もっと複雑で，こんなに単純に定数と変数を区別することはできない．例え
ば，ある温度Tで，バネ(spring)の長さ(length) x とそのバネにかかる力(force) F の間には，比例
(proportional)関係がある[フック(Hooke)の法則]．つまり，F = k xと書ける．このとき，kをバネに
固有の比例定数，xはバネの伸びを表わす変数である．しかし，定数kも温度が変われば，変わりうる
という意味では，変数である．にもかかわらず，１つの温度では，定数と考えられるので，多くの場合
そのような数を定数と呼ぶのである．
<内挿と外挿>
我々が，自然科学で扱う法則--自然法則(natural law)は，実験によって初めて確かめられるもので
ある．言い替えれば，だれ彼なく，だれでもやろうと思えば，確かめられるもの[ 検証可能
(testability)なもの]である．したがって，だれか１人しか確かめようのないもの，例えば，幽霊と
か，死後の世界とかは，自然科学には成りえない．このように検証可能性は，科学の成り立ちの中で
もっとも厳しい条件である．
しかしながら，実際に自然現象を確かめるために我々が行う実験は，無限(infinite)に何度もするこ
とはできない．常に，有限(finite)回しか検証は行えない．これは，実験のためにお金や設備がいるか
らである．
したがって，有限回しか行うことのできない実験結果の中から，意味ある情報(information)を導き出
さなくてはならない．この目的のために，基本的に２つの方法が良く用いられる．
第１は，内挿(ないそう，interpolation)と呼ばれる方法(method)である．これは，測定された２
つのデータの間を直線や曲線でうまく結び，実際には測定されていない中間の値を予測するという方法
である(下図)．
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第２は，外挿(がいそう，extrapolation)と呼ばれる方法である．これは，測定されたデータの領域
(region)の外側を直線や曲線でうまく結び，実際には測定できなかった領域における値を予測すると
いう方法である(下図)．
<関数の概念>
自然科学においてなぜ関数(function)の概念(concept)が必要かというと，それは実験の測定結果を
１つの関数で与えることができれば，上述の内挿と外挿をその１つの関数によって実行(carry out)で
きるからである．つまり，測定されていない条件や領域における自然現象を予測する(predict)ことが
できるからである．これが，もっとも大きな目的である．
ここで，関数の定義は，以下のように与えられる: 独立変数(independent variable) xの値を[それ
が取り得る値の集合(set)のうちから]任意に(arbitrarily)１つ定めると，それに対応してyの値が定ま
るならば，yはxの関数(y is a function of x)と呼ばれる．独立変数は，変数であり，定数はある１つ
の数である．
<関数の解析的表現>
関数の関係(relation)を表現する(represent)するには，基本的に次の３つがある：
(1) 解析的方法(analytic method)；
(2) 表(table)による方法；
(3) グラフ(graph)による方法，つまり幾何学的方法(geometrical method).
関数関係が１つの方程式で結びつけらるとき，その関係が「解析的に表現された(analytically
expressed)」といい，最も威力を発揮するときである．これを，普通は，以下のように書く：
y = f(x). (1)
これは，yが独立変数xの関数，つまり従属変数(dependent variable)であることを示している．
さらに，もし１つのuが，多変数(many variable)の関数である場合も，同様に解析的に表現できる：
例えば，
u = f(x, y, z). (2)
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<陰関数>
さてここで，もし関数の関係が，(1)のような簡単な形に表わせない場合はどうだろうか？つまり，
(1)では，関数関係はyに対して解けているが，そうでない場合はどうかということである．例えば，円
の方程式:
x^2 + y^2 = r^2, (3)
や楕円の方程式:
a x^2 + b xy + cy^2 = 1, (4)
さらには，
y^3 - x^2 = 0, (5) 等がそうである．
このように，関数の解析的表現が，１つの方程式:
f(x, y) = 0 (6)
で与えられる関数を，yはxの陰関数(implicit function)と呼ぶ．より一般に，多変数x, y, z, ...の陰関
数vは，以下のように与えられる：
f(x, y, z, ..., v) = 0. (7)
<座標とグラフ>
さて今度は，関数をグラフに表わすことを考えて見よう．１つの関数関係(1)が与えられていると
き，普通，横軸(horizontal axis)に独立変数xをとり，それに対応して，縦軸(vertical axis)に従属
変数yをとる．これをデカルト座標(cartesian coordinate)と呼ぶ．この場合は，x-y座標と呼ぶ．ま
た．もし２変数の関数z = f(x, y)を考える場合は，水平面(x-y 平面)上の１点(x, y)に対して，zを１
つ与える．(下図)．
これが，以前学んだ，「デカルトの精神」の基本である．この方法により，図形(figure)を扱う幾何
学(geometry)と数式をあつかう解析学(analysis)あるいは代数学(algebra)が，初めて結び付けられ
たのである．そして，図形の問題を扱うことが，数式を解析的に扱うことから解けるようになったので
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ある．以後，自然科学が急速に発達するようになった．特にこれから学んで行く，微分積分学は，デカ
ルトのこの本質的ブレイクスルー(breakthrough)によって初めて考えられるようになったのである．
<関数と写像>
関数はその定義から分かるように，独立変数xのある領域に対して，従属変数yの領域が描かれる．
このxの取る領域のことを，定義域(defined region)と呼ぶ．一方，それに応じて得られるyの領域を
値域(value region)と呼ぶ．ここで，普通は，定義域はx軸上にある１つの領域のことで，値域はそれ
に応じて得られるy軸上にある１つの領域のことを意味する．
つまり，関数とは，ある１つの独立変数xの領域から，別の独立変数yへの対応(correspondence)
関係を示している．このとき，もしその領域を単にx軸上にある１つの領域のことと考えず，より一般
的にxの取りうる１つの集合(set)と考えると，関数とは，ある１つの集合から，別の集合への対応関
係を示していると解釈することができる．この意味が分かるように，強調して関数を表現するしかたが
写像(mapping)という概念である．この考え方にしたがって関数を書くと，次のようになる:
f : x ∈ X → y ∈ Y , (8)
ここで，X は定義域の集合，Y は値域の集合を表わしている．
（注）集合の概念は，カントール(Cantor, 1845-1918)によって初めて導入された．しかし，この集
合の概念をめぐって，クロネッカー(Kronecker, 1823-1891)との有名な論争(debate)により，彼は
自分の集合概念は何も言ってないのではないかと自信を失い，精神病にかかってしまった．そして，最
後に精神病院で，1918年1月6日に73歳で死んだ．(E.T. ベル,「数学をつくった人びと(下)」，東京図
書)
この方法にしたがうと，例えば，多変数関数u = f(x, y, z)は，以下のように書ける:
f : (x, y, z) ∈R ^3 → u ∈ R . (9)
さらに，写像の概念のより分かりやすいところは，合成関数(composite function)をたやすく理解
できることである．合成関数とは次のようなものである．仮に,
y = f(x), (10)
z = g(y) (11)
の２つの関数があるとしよう．このとき，yを(11)のyに代入して得られる関数:
z = g(f(x)) = (g°f)(x) (12)
をxからzへの合成関数と呼ぶ．これを写像で表現すると，
f : x ∈ X → y ∈ Y , (f : X → Y ) (13)
g : y ∈ Y → z ∈ Z , (g : Y → Z ) (14)
から，合成写像は次のようになる：
g°f : x ∈ X → z ∈ Z , (g°f : X → Z ). (15)
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これは基本的には，A → B, B → Cならば，A → Cという，三段論法と同じである．このような論理
(logic)を，推移的(あるいは遷移的, transitive)という．合成写像は，写像における三段論法のことで
ある．
写像に関して，さらに基礎的知識として以下のようなものがある．(8)の写像に関して，
f(X ) = Y (16)
となる場合は，写像 f はX からY への「上へ(onto)」の写像あるいは投射的(surjective)と呼ぶ．ここ
で，f(X )をX の像(image)と呼び，im fと書く．写像fが投射的であり，かつf(x) = y, f(x') = y'で，も
しx ≠x'なら，y≠y'であるなら，写像fは「１対１対応(one-to-one correspondence)」である．こ
れを注入的(injective)と呼ぶ． 一方，
f(X ) ⊂ Y (17)
となる場合は，写像 f はX からY への「中へ(into)」の写像と呼ぶ．さらに，
f(X ) = 0 ∈ Y (18)
となる場合は，これを満たすX をfの核(kernel)と呼び，ker fと書く．
<逆関数>
さて今度は，xからyへの写像fの逆(inverse)を考えよう．これをf^{-1}と書く．まず(13)のような
写像fがあるとしよう：
f : x ∈X → y ∈ Y ,
f : X → Y . (19)
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このとき，その逆写像f^{-1}は，
f^{-1} : y ∈ Y → x ∈ X ,
f^{-1} : Y → X . (20)
これは，関数の表現でいうと，逆関数を得るとは，
y = f(x) (21)
を逆にxについて以下のように解くことである：
x = f^{-1}(y) . (22)
そして，このグラフを同じx-y平面上に
y = f^{-1}(x) . (23)
このことをグラフ上で行うには，y = xに対称的(symmetric)にy = f(x) を180度回転すればいい．
このようにして，逆関数は容易に求められる．
<関数の多価性>
しかし，このようにして逆関数を求めると，得られた逆関数はしばしば多価関数(many valued
function)になる．例えば，
y = x^2 (24)
の逆関数は，
y = ±x^{1/2} = ±√x (25)
となる．したがって，１つのxに対して±√x の２つが対応する．このような場合は，この関数は，２
価(two-valued)関数と呼ばれる．そして，√xと-√xをそれぞれ，上の分岐(branch)，下の分岐と呼
ぶ．(下図). 一般に，このような関数を多価関数と呼ぶ．
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通常，関数は１価関数(１対１対応の関数，つまり，逆関数の逆関数は元の関数に戻る関数)を扱うの
で，逆関数を定義するときには，どの分岐にするか選んで定義しなくてはならない．
<指数関数と対数関数>
以上の観点から，以前学んだ指数関数(exponential function)を考えて見よう．そのとき，指数関
数の逆関数は何だろうか？指数関数は以下のように定義される:
y = e^x. (26)
この指数関数の逆関数を，対数(logarithm)と呼び，次のように定義する:
y = log x . (27)
対数には，次のような性質がある．
1) y = e^x > 0であることから，y = log x は，x > 0で定義される．
2) また，
y = e^x , y' = e^x' (28)
と置いて，
y y' = e^x e^x' = e^{x+x'} (29)
が成り立つから，
log(x y) = log x + log y (30)
の性質を得る．
3) 逆関数の性質:f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = xから，
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e^{logx} = x, (31)
log(e^x) = x. (32)
この(32)は，ある数y>0があって，それを無理やり，自然定数eの累(べき)関数の形e^xで書くとき，
その指数を取り出す演算(operation)を意味する．例えば，4を3の累乗(べきじょう)として，次のよう
に書けるとしよう:
4 = 3^x. (33)
このとき，x = 1なら，3^x = 3, x = 2なら，3^x = 9であるから，(33)を満たすxは，1 < x
てはならない．(33)を満たすxを
< 2でなく
x = log_{3}4 (34)
と書き，3を対数の底(base)と呼ぶ．特にこの底が自然定数eとなるとき，それを自然対数(natural
logarithm)と呼び，以下のように書く：
log_{e} = ln = log. (35)
(33)の両辺のlnを取ると，
log4 = log(3^x) = x log3. (36)
したがって，(34)と(36)から，
x = log_{3}4 = log4/log3
= 1.261859507.... (37)
近年，分数の次元--分数次元(fractional dimension)を持つさまざまな図形や幾何学が発見され
た．図形の尺度(scale)を1/rにすると，それにしたがって図形を形ち作る要素の数がNとなるとき，そ
の図形の相似次元(similarity dimension)Dは，次のように定義される：
D = logN/log(1/r). (38)
図形の尺度を1/3にすると，要素の数が4倍になるコッホ(Koch)曲線の次元は，
D = log4/log3 (39)
となる．それゆえ，(37)はコッホ曲線のフラクタル次元(fractal dimension)と等しい例である．(下
図)．
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<２項展開>
さて次に，微分積分学の準備として，２項展開(binomial expansion)を考えよう．
まず，次のような２次式の展開を考えて見よう．
(x + y)^2 = x^2 + 2x y + y^2. (40)
同様に，x+yの３乗は，
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3. (41)
さらに，
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4x y^3 + y^4. (42)
では，(x + y)^n の展開はどうなるだろうか？これは，次のように与えられる：
(x + y)^n = x^n + nC1 x^{n-1} y^2 + nC2 x^{n-2} y
+ nC3 x^{n-3}y^3 + ... + nCn-1 xy^{n-1} + y^n, (43)
ここで， nCr を２項係数(binomial coefficient)と呼び，以下のような性質を持つ：
1) nCr =
n
r
=
n!
---------, (44)
(n-r)! r!
2) nCr = nCn-r , (45)
3) nCr = n-1Cr+1 + n-1Cr-1, (46)
4) nC0 = 1, (47)
5) nC1 = nCn-1 = n, (48)
6) nC2 = n(n-1)/2. (49)
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特に，(46)の関係は，パスカルの三角形(Pascal's triangle)と呼ばれ，以下のような三角形である．
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
.......
これは，「人間は考える葦(あし)である」という言葉で有名なパスカル(Pascal, 1623-1662)によっ
て初めて考えられた．彼は，後に学ぶ予定である，確率や統計の数学概念や，気体の圧力(気圧)を初め
て測定することに成功した物理学者でもあった．そのため，気圧の単位に(ヘクト)パスカルとついてい
るのである．
<Home Work Set #5>
1) y = x^3 - x^2 - x -1のグラフを書け．(10点)
2) 陰関数y^3 - x^2 = 0のグラフを書け．(10点)
3) y = 2x^2 - 1の逆関数を求め，グラフを書け．(10点)
4) パスカルの三角形の関係式(46)を帰納法(induction method)で証明せよ．(10点)
<Home Work Set #4の解答>
1) 次の２つのベクトルx = (1, 1, 1 ), y = (1, 2, 3)がある．
a) これらの内積を求めよ．(5点)
b) それから，その２つのベクトルのcosineを求めよ． (5点)
答え)
a) x . y = 1×1+ 1×2+1×3 = 6.
b) |x | = √(12+12+12) = √(3).
|y | = √(12+22+32) = √(14).
cosθ= x . y /( |x | |y |) = 6/(√(3)√(14))
= √(3)√(14)/7.
2) 次の２つのベクトルの外積を求めよ． (5点)
x = (1, 1, 1 ), y = (1, 2, 3)．
答え)
x ×y = e _1 e _2 e _3
1 1 1
1 2 3 =
1 1 e _1
23
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+
1
3
+
1
1
=
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1 e _2
1
1 e _3
2 e _1 - 2e _2 + e _3 = (1, -2, 1). 3) 次の３つのベクトル: x = (1, 0), y = (0, 1), z = (1, 1) は１次独立か？１次従属か？ (5点)
答え)
z = (1, 1) = x + y となるので，１次従属である．
4) (33), (34)を(41)に代入して，(41)を確かめよ． (5点)
答え)
x'2 + y'2 = (x cos φ - y sinφ)^2
+ (x sin φ + y cosφ)^2
= x^2 cos 2φ+ y^2 sin2φ - 2x y cos φ sinφ
+ x^2 sin 2φ+ y^2 cos2φ + 2x y cos φ sinφ
= (x^2 + y^2)(cos 2φ+ sin2φ)
= x^2 + y^2.
5) x^2 + 2 x y + 4 y^2 = 1のグラフを描け. (5点)
答え)
左辺に合わせて，行列
11
1 4 を定義できる．これの固有値は，
1-λ 1 1 4-λ = (1-λ)(4-λ) - 1 = λ^2 -5λ + 3 = 0. から得られる．これを解くと，λ = (5±√13)/2.したがって，元の式は，１次変換により，
A x'^2 + B y'^2 = 1,
A = (5+√13)/2 = 4.302,
B = (5-√13)/2 = 0.697
の形に変換できる． これは，短軸の長さが，a = 1/√A = 0.482, 長軸の長さが，b = 1/√B = 1.198
(> a)である楕円を表わしている．したがって，グラフは以下のようになる．
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6) 次の行列式の(22)成分の余因子を求めよ．(5点)
123
234
456
答え)
13
46
7) 次の行列の逆行列を求めよ．
a) (5点)
11
10
b) (5点)
111
100
010
答え)
a) A =
11
10
と置くと，det( A ) = -1.
A ^{-1} = 0 -1 /(-1)
-1 1
=
01.
1 -1
A A^{-1} =
1101
1 0 1 -1
=
10.
01
A ^{-1} A =
0111
1 -1 1 0
=
10.
01
これらから，確かにA ^{-1} が逆行列であることが分かる．
b) A =
111
100
010
と置くと，det( A ) = 1.
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まず小行列式は以下のように得られる：
Δ_{11} =
0 0 = 0,
10
Δ_{12} =
1 0 = 0,
00
Δ_{13} =
1 0 = 1,
01
Δ_{21} =
1 1 = -1,
10
Δ_{22} =
1 1 = 0,
00
Δ_{23} =
1 1 = 1,
01
Δ_{31} =
1 1 = 0,
00
Δ_{32} =
1 1 = -1,
10
Δ_{33} =
1 1 = -1.
10
これらから，余因子(minor)は，
A_{ij} = (-1)^{i+j}Δ_{ij}
と定義されるので，以下のように得られる：
A_{11} = (-1)^{1+1}Δ_{11} = 0,
A_{12} = (-1)^{1+2}Δ_{12} = 0,
A_{13} = (-1)^{1+3}Δ_{13} = 1,
A_{21} = (-1)^{1+2}Δ_{21} = 1,
A_{22} = (-1)^{2+2}Δ_{22} = 0,
A_{23} = (-1)^{2+3}Δ_{23} = -1,
A_{31} = (-1)^{3+1}Δ_{31} = 0,
A_{32} = (-1)^{3+2}Δ_{32} = 1,
A_{33} = (-1)^{3+3}Δ_{33} = -1 .
A の逆行列は，
(A ^{-1})_{ij} = (A_{ji}/det(A ))
のように定義されるので，以下を得る：
A^{-1} =
010.
001
1 -1 -1
A A^{-1} =
111010.
100001
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0 1 0 1 -1 -1
=
100.
010
001
A ^{-1}A =
010111.
001100
1 -1 -1 0 1 0
=
100.
010
001
これらから，確かにA ^{-1} が逆行列であることが分かる．
8) 次の固有方程式の固有値と固有ベクトルを求めよ．(10点)
11x
10y
=λ
x
y
答え)
元の式から，
1-λ 1 x
1 -λ y =
0
0. (A) これが自明でない解を持つためには，
1-λ 1
1 -λ = 0 でなくてはならない．これは，２次方程式：
λ^2 - λ - 1 = 0
を解くことと等価であるから，固有値は，
λ= λ_{±} = (1±√ 5)/2
となる. (A)から，
(1-λ) x + y = 0,
x -λy = 0. (B)
これに，
λ= λ_{+} = (1+√ 5)/2 = τ
を代入すると，
y_{+}/x_{+} = λ_{+} -1 = 1/λ_{+} = 1/τ = (√ 5 - 1)/2.
これを
y_{+} = (1/τ)x_{+}
として，規格化条件，
x^2 + y^2 = 1
に代入すると，
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x_{+}^2 + (1/τ)2x_{+}^2 = [1+ (1/τ)2] x_{+}^2 = 1. それゆえ，
x_{+} = 1/√(1+ (1/τ)^2) = τ/√(1+ τ^2) ,
y_{+} = 1/√(1+ τ^2).
まったく同様にして，
λ= λ_{-} = (1-√ 5)/2
を代入すると，
y_{-}/x_{-} = λ_{-} -1 = 1/λ- = -(√ 5 + 1)/2 = -τ.
これを
y_{-} = -τx_{-}
として，規格化条件，
x^2 + y^2 = 1
に代入すると，x_{-}^2 + τ^2x_{-}^2 = (1+ τ^2)x_{-}^2 = 1. それゆえ，
x_{-} = 1/√(1+ τ^2),
y_{-} = -τ/√(1+ τ^2).
したがって，
λ= λ_{+} = τ
の固有値の固有ベクトル x _{+} は，
x _{+} =
τ/√(1+ τ^2)
1/√(1+ τ^2),
λ= λ_{-} = 1-τの固有値の固有ベクトル x _{-} は，
x _{-} =
1/√(1+ τ^2)
-τ/√(1+ τ^2).
これらは，当然直交している，すなわち，
(x _{+} , x _{-}) = 0.
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