第２章命題日本語では，文章は「主語＋述語」の関係で構成される．内容が簡単なものであれば文章の論理構造を理解しなくても内容を理解できるだろうが，専門分野の本を読むとき，特にはじめて知る内容についての記述は，文章の論理構造をきちんと認識しないと読み違いをしてしまうことになる．本章では，文章の論理構造を理解する方法を学ぶ．１．命題命題とは，客観的に正しいか，正しくないかを判断できる文章のことをいう．命題は，主に，次のような形式で表わされる．「 ∼ は（が） ― である」「 ∼ ならば − である」上の“∼”の部分には，事柄，概念，文章が入る．“−”の部分には，“∼”に対応した事柄，説明，文章が入る．例）「犬は動物である」「子犬がかわいい」（命題）（命題でない）命題は，内容が正しい場合，その命題は真であるといい，一方，内容が正しくない場合，その命題は偽であるという．真であるか，偽であるかは，客観的に判断できるものである．特に，数学的な内容の命題では，真偽を“証明”により示すことができる．例）「犬は動物である」（真）「 ab > 0 ならば a > 0, b > 0 である」（偽）練習 2.1 次の命題の真偽を判断せよ．１）動物は犬である２） a > 0, b > 0 ならば ab > 0 である２．否定命題の内容を打ち消す文章を命題の否定という．たとえば，「千葉経済大学の学生は２０歳以上である」という命題の否定は， 7 「千葉経済大学の学生は２０歳以上ではない」または，「千葉経済大学の学生は 20 歳未満である」と表わすことができる．命題それ自体を大文字のアルファベットで表現することもある．たとえば， A ＝千葉経済大学の学生は２０歳以上であるのようにおくことができる．このとき，アルファベットを用いて，命題の否定を表わすには，集合で学んだ「補集合」の形式をとることができる．全体集合 U として「千葉経済大学の学生」をとれば， A ＝２０歳以上の学生＝２０歳未満の学生 AC C のように書くことができる．（ A = U \ A なので，「千葉経済大学の学生」から「20 歳以上の学生」を差し引くと，「20 歳未満の学生」となる．）命題の否定で特に気をつけなければならないのは，命題の中に「すべての∼」や「ある ∼」のような言葉が使われている場合である．たとえば，「すべての学生が試験に合格した」の否定は，「ある学生は試験に不合格だった」となる．この否定は，「すべての学生が試験に不合格だった」という全否定ではなく，一部の学生が不合格であったという部分否定になっていることに注意．また，次のように表現される否定もある．「誰も部屋にはいない」 ↓ 否定「誰かが部屋にいる」（「ある人は部屋にいる」）練習 2.2 次の命題の否定を答えなさい．１）クジラは魚である２）ある人は部屋にいる３．逆，裏，対偶命題が「 ∼ ならば − である」の記述をとるとき， “∼”には前提または条件が， “−” には結論がくる．ここで，記述の簡素化をはかるため，命題を記号で記述する．まず， “∼” や“−”にはアルファベットをあてることにする．このとき，「A ならば B である」という命題は，記号で， 8 「A ⇒ B」と記述する．命題の中で，条件にあたる部分，結論にあたる部分は単語や概念だけに限らず，文章（命題）になっていてもよい．たとえば， A ＝私が 20 歳になる B ＝私は選挙権をもつとおくと， A ⇒ B （私が 20 歳になる ⇒ 私は選挙権をもつ）も立派に命題となる．命題では，もとの命題「A ⇒ B」に対して，条件と結論の部分を入れ替えた関係（逆），条件否定と結論否定の関係（裏），条件と結論を入れ替えて，なおかつそれぞれ否定にしたものどうしの関係（対偶）という概念も考える．もとの命題 A ⇒ B 逆 B ⇒ A 裏 AC ⇒ B C 対偶 B C ⇒ AC 練習 2.3 命題「犬は動物である」の逆，裏，対偶を答え，さらに，それぞれ，真偽を判断せよ．４．集合と命題上で見てきたように，命題は，（大文字のアルファベットを使って）記号で表わすことができる．なおかつ，集合の概念で捉え直すこともできる．単純な例をあげると，「犬は動物である」とは，“「犬」の集合に入るならば，「動物」の集合にも入る”ということなので，A＝「犬」の集合，B＝「動物」の集合とおくと， A ⊂ B （「犬」の集合は，「動物」の集合の部分集合である）と表現できる．犬は動物の一種類なのであるから，当然，A ⊂ B が成立する．したがって，この命題は“真”であると判断できる．これは，命題の記号による表現 A ⇒ B と基本的に同じ意味である．集合の説明のときも触れたが，「A ⊂ B」は，「A ＝ B」を意味しない．上の例でも，明らかだが，A＝「犬」の集合と B＝「動物」の集合は同値ではないからである．上記の通り「A ⊂ B」と「A ⇒ B」は基本的に同じ意味であるので，命題「A ⇒ B」も「A ＝ B」を意味するわけではない．命題の場合，「A ⇒ B」かつ「B ⇒ A」であるとき，「A ＝ B」と判断できる．慣用句のように使われている「逆もまた真である」という表現は，もとの命題「A ⇒ B」が真であり，かつ，その逆の命題「B ⇒ A」も真であ 9 る，といっているのだから，結局，「A ＝ B」を意味する文章なのである．練習 2.4 次の命題において，条件と結論の部分をそれぞれ集合として捉え，集合の記号で命題を表現しなさい．１）イルカは哺乳類である２）東京は世界の 3 大金融市場（の１つ）である５．必要条件，十分条件命題「A ⇒ B」が真である場合， “A であれば B になるのに十分である”，または“A は B にとって十分条件である”という．上で見た通り，「A ⇒ B」が真である場合，集合の概念では「A ⊂ B」と表わされる．つまり，集合の概念から考えると，十分条件は，“A という集合に入っていれば，B に入る条件として十分である”と解釈できる．図では次のように表わされる． B A 真の命題「A ⇒ B」においては，“A であるためには，B が必要条件である”ともいえる．これは，集合の概念では，“A の集合に入るためには，少なくとも B の集合に入っている必要がある”と言い直せる．上の図からもそのことが確認できる．十分条件，必要条件は，命題の条件と結論に相当する A，B のみが（どちらが条件か結論かは特定されないまま）与えられているとき，その両者の関係を記述するための用語である．たとえば， A ＝大学生 B ＝千葉経済大学の学生とおくと， A（大学生）は B（千葉経済大学の学生）であるための必要条件（B の集合に入るためには，少なくとも A の集合に入っている必要がある）であり，また B（千葉経済大学の学生）は，A（大学生）であるための十分条件（B の集合に入っていれば，A の集合に入る条件として十分である）である．このとき，命題「B ⇒ A」は真である．それでは，集合の章でおこなった「同値」についての説明を思い出してほしい．集合の概念では，A と B が， A ⊂ B かつ B ⊂ A 10 を満たすとき，同値であるとした．上のことが満たされているとき，“A は B であるための必要条件であり，十分条件でもある”といえる．この場合，A は B であるための必要十分条件であるという．（図で表わした場合，集合の「同値」の図と同じになる．）練習 2.5 次の文章中の空欄に，必要条件，十分条件，必要十分条件のいずれか適切なものを入れよ．１）犬は，動物であるための（）である２） a > 0 かつ b > 0 は， ab > 0 であるための（）である６．三段論法一方の命題の結論と，他方の命題の条件が同じ場合，これら２つの命題を組み合わせることにより，別の新たな命題を導き出すことができる．この方法のことを三段論法という．たとえば，「犬は動物である」「動物は地球上の生き物である」という２つの命題を組み合わせると，「犬」であるならば「動物」であり，「動物」であるならば「地球上の生き物」であることから，「犬は地球上の生き物である」という命題を導くことができる．記号であらわしてみよう．A ＝「犬」，B ＝「動物」，C ＝「地球上の生き物」とする．このとき，次のような命題の合成として，あらたな命題を導くことができる．＋） A ⇒ B B ⇒ C A ⇒ C （犬ならば，動物である）（動物ならば，地球上の生き物である）（犬ならば，地球上の生き物である）集合の概念を使った命題の表現では，２つの命題は「A ⊂ B」，「B ⊂ C」となり，これらから，「A ⊂ C」が導かれる．この関係は次のように図で表わすことができる． C B A 11 練習 2.6 各項目中の 2 つの命題から三段論法で新しい命題を導出できるだろうか？できる場合，新しく導出できる命題を答えよ．できない場合，その理由を説明せよ．（１）「大学は学校ではない」，「大学はレジャーランドではない」（２）「始め良ければ終わり良し」，「終わり良ければすべて良し」練習問題２１次の文章が命題であるか否か判断せよ．（１）トラはネコ科の動物である（２）私が鳥ならば，大空を自由に飛びまわりたい（３）大学を卒業した人ならば，学士である２次の命題の真偽を判断せよ．（１）クジラは哺乳類である（２） x ≠ 0 ならば x 2 > 0 である（３）日本はサマータイム導入国である３次の命題の否定を答えよ．（１）すべての学生は経済数学を履修する（２）2 の 3 乗は 10 以上である（３）2 の 10 乗は 1000 より小さい４次に挙げる「もとの命題」に対する，逆，裏，対偶を答えよ．さらに，それぞれの真偽も判断せよ．（１） x ≠ 0 ならば x 2 > 0 である（２）日本は島国である（３）1 時間は 60 分である５次の文章中の空欄に，必要条件，十分条件，必要十分条件のうち，もっとも適切なものを入れよ．（１）千葉市民は，千葉県民であるための（）である（２）１時間は，60 分であるための（）である（３）経済学入門の履修は，千葉経済大学を卒業するための（）である６次の２つの命題から三段論法で新たな命題を導け．「競争均衡は，誰にとっても望ましい状態である」「誰にとっても望ましい状態は，パレート最適である」 12