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第2章 命題 - 千葉経済大学

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第2章
命題
日本語では,文章は「主語+述語」の関係で構成される.内容が簡単なものであれば
文章の論理構造を理解しなくても内容を理解できるだろうが,専門分野の本を読むと
き,特にはじめて知る内容についての記述は,文章の論理構造をきちんと認識しないと
読み違いをしてしまうことになる.本章では,文章の論理構造を理解する方法を学ぶ.
1.命題
命題とは,客観的に正しいか,正しくないかを判断できる文章のことをいう.命題は,
主に,次のような形式で表わされる.
「 ∼ は(が) ― である 」
「 ∼ ならば − である」
上の“∼”の部分には,事柄,概念,文章が入る.“−”の部分には,“∼”に対応した
事柄,説明,文章が入る.
例)
「犬は動物である」
「子犬がかわいい」
(命題)
(命題でない)
命題は,内容が正しい場合,その命題は真であるといい,一方,内容が正しくない場合,
その命題は偽であるという.真であるか,偽であるかは,客観的に判断できるものである.
特に,数学的な内容の命題では,真偽を“証明”により示すことができる.
例)
「犬は動物である」 (真)
「 ab > 0 ならば a > 0, b > 0 である」(偽)
練習 2.1
次の命題の真偽を判断せよ.
1)動物は犬である
2) a > 0, b > 0 ならば ab > 0 である
2.否定
命題の内容を打ち消す文章を命題の否定という.たとえば,
「千葉経済大学の学生は20歳以上である」
という命題の否定は,
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「千葉経済大学の学生は20歳以上ではない」
または,
「千葉経済大学の学生は 20 歳未満である」
と表わすことができる.
命題それ自体を大文字のアルファベットで表現することもある.たとえば,
A = 千葉経済大学の学生は20歳以上である
のようにおくことができる.このとき,アルファベットを用いて,命題の否定を表わすに
は,集合で学んだ「補集合」の形式をとることができる.全体集合 U として「千葉経済大
学の学生」をとれば,
A = 20歳以上の学生
= 20歳未満の学生
AC
C
のように書くことができる.( A = U \ A なので,「千葉経済大学の学生」から「20 歳以上
の学生」を差し引くと,「20 歳未満の学生」となる.)
命題の否定で特に気をつけなければならないのは,命題の中に「すべての∼」や「ある
∼」のような言葉が使われている場合である.たとえば,
「すべての学生が試験に合格した」
の否定は,
「ある学生は試験に不合格だった」
となる.この否定は,
「すべての学生が試験に不合格だった」という全否定ではなく,一部
の学生が不合格であったという部分否定になっていることに注意.また,次のように表現
される否定もある.
「誰も部屋にはいない」
↓ 否定
「誰かが部屋にいる」
(「ある人は部屋にいる」)
練習 2.2
次の命題の否定を答えなさい.
1)クジラは魚である
2)ある人は部屋にいる
3.逆,裏,対偶
命題が「 ∼ ならば − である」の記述をとるとき,
“∼”には前提または条件が,
“−”
には結論がくる.ここで,記述の簡素化をはかるため,命題を記号で記述する.まず,
“∼”
や“−”にはアルファベットをあてることにする.このとき,
「A ならば B である」
という命題は,記号で,
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「A ⇒
B」
と記述する.
命題の中で,条件にあたる部分,結論にあたる部分は単語や概念だけに限らず,文章(命
題)になっていてもよい.たとえば,
A = 私が 20 歳になる
B = 私は選挙権をもつ
とおくと,
A ⇒ B
( 私が 20 歳になる ⇒ 私は選挙権をもつ )
も立派に命題となる.
命題では,もとの命題「A ⇒ B」に対して,条件と結論の部分を入れ替えた関係(逆),
条件否定と結論否定の関係(裏),条件と結論を入れ替えて,なおかつそれぞれ否定にした
ものどうしの関係(対偶)という概念も考える.
もとの命題
A ⇒ B
逆
B ⇒ A
裏
AC ⇒ B C
対偶
B C ⇒ AC
練習 2.3
命題「犬は動物である」の逆,裏,対偶を答え,さらに,それぞれ,真偽を判断せよ.
4.集合と命題
上で見てきたように,命題は,
(大文字のアルファベットを使って)記号で表わすことが
できる.なおかつ,集合の概念で捉え直すこともできる.
単純な例をあげると,「犬は動物である」とは,“「犬」の集合に入るならば,「動物」の
集合にも入る”ということなので,A=「犬」の集合,B=「動物」の集合とおくと,
A ⊂ B
(「犬」の集合は,「動物」の集合の部分集合である)
と表現できる.犬は動物の一種類なのであるから,当然,A ⊂ B が成立する.したがっ
て,この命題は“真”であると判断できる.これは,命題の記号による表現
A ⇒ B
と基本的に同じ意味である.
集合の説明のときも触れたが,「A ⊂ B」は,「A = B」を意味しない.上の例でも,
明らかだが,A=「犬」の集合と B=「動物」の集合は同値ではないからである.
上記の通り「A ⊂ B」と「A ⇒ B」は基本的に同じ意味であるので,命題「A ⇒ B」
も「A = B」を意味するわけではない.命題の場合,「A ⇒ B」かつ「B ⇒ A」である
とき,「A = B」と判断できる.慣用句のように使われている「逆もまた真である」とい
う表現は,もとの命題「A ⇒ B」が真であり,かつ,その逆の命題「B ⇒ A」も真であ
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る,といっているのだから,結局,「A = B」を意味する文章なのである.
練習 2.4
次の命題において,条件と結論の部分をそれぞれ集合として捉え,集合の記号で命題
を表現しなさい.
1)イルカは哺乳類である
2)東京は世界の 3 大金融市場(の1つ)である
5.必要条件,十分条件
命題「A ⇒ B」が真である場合,
“A であれば B になるのに十分である”,または“A は
B にとって十分条件である”という.上で見た通り,「A ⇒ B」が真である場合,集合の
概念では「A ⊂ B」と表わされる.つまり,集合の概念から考えると,十分条件は,“A
という集合に入っていれば,B に入る条件として十分である”と解釈できる.図では次の
ように表わされる.
B
A
真の命題「A ⇒ B」においては,“A であるためには,B が必要条件である”ともいえ
る.これは,集合の概念では,“A の集合に入るためには,少なくとも B の集合に入って
いる必要がある”と言い直せる.上の図からもそのことが確認できる.
十分条件,必要条件は,命題の条件と結論に相当する A,B のみが(どちらが条件か結
論かは特定されないまま)与えられているとき,その両者の関係を記述するための用語で
ある.たとえば,
A = 大学生
B = 千葉経済大学の学生
とおくと,
A(大学生)は B(千葉経済大学の学生)であるための必要条件
(B の集合に入るためには,少なくとも A の集合に入っている必要がある)
であり,また
B(千葉経済大学の学生)は,A(大学生)であるための十分条件
(B の集合に入っていれば,A の集合に入る条件として十分である)
である.このとき,命題「B ⇒ A」は真である.
それでは,集合の章でおこなった「同値」についての説明を思い出してほしい.集合の
概念では,A と B が,
A ⊂ B かつ B ⊂ A
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を満たすとき,同値であるとした.上のことが満たされているとき,“A は B であるため
の必要条件であり,十分条件でもある”といえる.この場合,A は B であるための必要十
分条件であるという.(図で表わした場合,集合の「同値」の図と同じになる.)
練習 2.5
次の文章中の空欄に,必要条件,十分条件,必要十分条件のいずれか適切なものを入
れよ.
1)犬は,動物であるための(
)である
2) a > 0 かつ b > 0 は, ab > 0 であるための(
)である
6.三段論法
一方の命題の結論と,他方の命題の条件が同じ場合,これら2つの命題を組み合わせる
ことにより,別の新たな命題を導き出すことができる.この方法のことを三段論法という.
たとえば,
「犬は動物である」
「動物は地球上の生き物である」
という2つの命題を組み合わせると,
「犬」であるならば「動物」であり,「動物」であるならば「地球上の生き物」である
ことから,
「犬は地球上の生き物である」
という命題を導くことができる.
記号であらわしてみよう.A =「犬」,B =「動物」,C =「地球上の生き物」とする.
このとき,次のような命題の合成として,あらたな命題を導くことができる.
+)
A ⇒ B
B ⇒ C
A
⇒ C
(犬ならば,動物である)
(動物ならば,地球上の生き物である)
(犬ならば,地球上の生き物である)
集合の概念を使った命題の表現では,2つの命題は「A ⊂ B」,「B ⊂ C」となり,こ
れらから,「A ⊂ C」が導かれる.この関係は次のように図で表わすことができる.
C
B
A
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練習 2.6
各項目中の 2 つの命題から三段論法で新しい命題を導出できるだろうか?できる場合,
新しく導出できる命題を答えよ.できない場合,その理由を説明せよ.
(1)「大学は学校ではない」,「大学はレジャーランドではない」
(2)「始め良ければ終わり良し」,「終わり良ければすべて良し」
練習問題2
1
次の文章が命題であるか否か判断せよ.
(1)トラはネコ科の動物である
(2)私が鳥ならば,大空を自由に飛びまわりたい
(3)大学を卒業した人ならば,学士である
2
次の命題の真偽を判断せよ.
(1)クジラは哺乳類である
(2) x ≠ 0 ならば x 2 > 0 である
(3)日本はサマータイム導入国である
3
次の命題の否定を答えよ.
(1)すべての学生は経済数学を履修する
(2)2 の 3 乗は 10 以上である
(3)2 の 10 乗は 1000 より小さい
4 次に挙げる「もとの命題」に対する,逆,裏,対偶を答えよ.さらに,それぞれの真
偽も判断せよ.
(1) x ≠ 0 ならば x 2 > 0 である
(2)日本は島国である
(3)1 時間は 60 分である
5 次の文章中の空欄に,必要条件,十分条件,必要十分条件のうち,もっとも適切なも
のを入れよ.
(1)千葉市民は,千葉県民であるための(
)である
(2)1時間は,60 分であるための(
)である
(3)経済学入門の履修は,千葉経済大学を卒業するための(
)である
6
次の2つの命題から三段論法で新たな命題を導け.
「競争均衡は,誰にとっても望ましい状態である」
「誰にとっても望ましい状態は,パレート最適である」
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