２年生第５章「三角形･四角形･円」基本確認問題（まず基本をおさえて５０点！）「知識・理解」をみる問題１．次の（）にあてはまることばや記号，数字を書きなさい。 □① 用語の意味をはっきり述べたものを，（ □② 二等辺三角形で，長さの等しい２つの辺がつくる角を（（ウ），（ウ）の両端の角を（アエアドバイス！知識・理解）という。イ）をいう。 □③ 二等辺三角形，正三角形，平行四辺形，台形，ひし形，長方形，正方形の定義をいいなさい。 □④ 直角三角形の合同条件をいいなさい。 □⑤ 二等辺三角形の２つの（オ）は等しく，頂角の（カ）は底辺を（キに２等分する。 □⑥ （ □⑦ 平行四辺形であるための条件を書きなさい。アク「三角形」「四角形」を書き忘れると１点減点される）に対する円周角は 90°である。定義イ頂角ウ底辺二等辺三角形の定義２つの辺が等しい三角形正三角形の定義エ）ここでは，定義や二等辺三角形・平行四辺形の性質・条件など，覚えなければならないことがたくさんある。たくさん出題されるので，覚えていなければテストで 50 点を切ってしまうことも多いので，正確に覚える。底角正確に覚える。10 問出たら 20 点分ある！３つの辺が等しい三角形平行四辺形の定義２組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形台形の定義１組の向かい合う辺が平行な四角形ひし形の定義４つの辺が等しい四角形長方形の定義４つの角が等しい四角形正方形の定義４つの角が等しく４つの辺が等しい四角形斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しい直角三角形の合同条件オことばやことばの意味をきちんと覚えているかを試す問題。あまり出さない先生もいるが，覚えれば点が取れる問題だから，きっちり得点しよう。教科書にアンダーラインを引いて覚えたり，数学演習や確認プリントをそのまま覚えるのもいい。），（イ）に対する辺を斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい底角カ二等分線キ垂直ク半円の弧２組の向かい合う辺がそれぞれ平行である（定義）２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい平行四辺形であるための条件２組の向かい合う角がそれぞれ等しい２つの対角線がそれぞれの中点で交わる（互いに他を２等分する）１組の向かい合う辺が平行で等しい「表現・処理」をみる問題２．次の図で，χ，ｙ，z の値を求めなさい。 □① ＡＢ＝ＡＣ □② 考え方・ヒント △ＡＢＣは正三角形 A 「二等辺三角形の２つの底角は等しい」ということと，「三角形の内角の和は 180°である」ことを使う。 A 38° χ 5cm ycm AB=AC などの条件を見落とさないように，問題はきちんと読む。 5cm χ ＢＣＢＣ ycm χ＝（180−38）÷２ ① χ ７１度ｙ５ ② χ ６０度ｙ５ □③ ＡＢ＝ＡＣ □④ ＡＢ＝ＡＣ A 考え方・ヒント A ∠χ＝90° χ ⑤ しっかり条件を読む。 45° 45° Ｂ ④ 二等辺三角形の頂角の二等分線は, 底角を垂直に二等分する。ＢＤ＝ＣＤ＝３ 180−135＝45 135° χ ＢＣＣ ycm Ｄ 6cm □⑤ ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ □⑥ ＡＢ＝ＡＣ A A 仮定より△ADB，△ADC は 32° 二等辺三角形である 40° Ｚcm χ80° 40° ＢｙｙＣＤ 74° χ 36° Ｃ（180−32）÷2＝74 Ｂ 74÷2＝37 10cm ③ χ ９０度 ④ χ ９０ ⑤ ｙ５０度Ｚ５度ｙ３ ⑥ χ Ｄｙ＝180−36−74 ⑤ χ ７４度８０ｙ７０ □② ８cm A A Ｄ 84° 10cm O 二等辺三角形ｙcm Ｄ χ 42° ７cm ＢＣ χcm 平行四辺形の性質 向かい合う２組の辺がそれぞれ平行 向かい合う２組の辺がそれぞれ等しい 向かい合う２組の角がそれぞれ等しい 対角線がそれぞれの中点で交わるまた，「平行」なので「錯角・同位角は等しい」 42° 42° 84÷2＝42 Ｃｙcm Ｂ度考え方・ヒント３．次の平行四辺形ＡＢＣＤで，χ，ｙの値を求めなさい。 □① 度 ③④は少し難しい ③ ＡＢ//ＣＤで錯角より∠ＢＡＯ＝ 70°である。 □③ □④ ④ ∠ABE＝∠E（錯角）より，△BCE は二等辺三角形であることがわかる。Ｅ錯角 A Ｄ χcm Ｆ A Ｄ 70°錯角ｙcm χ O 12cm 40° ６cm 70° ＢＢＣＣ９cm χ＝70°より△BAO は二等辺三角形これより CE＝9，CD＝AB＝6 よって，ｙ＝BO ① χ ８ ③ χ ７０度ｙ５ ② χ ｙ６ ④ χ ４２度３よって，χ＝9−6 ｙ７４．次の図で，∠χ の大きさを求めなさい。 □① □② A 考え方・ヒント □③ χ＝74÷2 円周角は弧が基本。角度ばかり見ている人はなかなか円周角を解けるようにならない。Ｂ χ＝46×2 χ χ＝234÷2 O O A χ O 46° χ 74° 126° A 360−126＝234 ＣＢＣ □④ ③ 単純に 126°を半分にしてはいけない。ＣＢ □⑤ ④ 弧 BC に対する円周角より，∠A＝ ∠D □⑥ A A A ⑤ BC は直径なので，∠A＝90° 90° D  円周角は中心角の半分  等しい弧に対する円周角は等しい  半円の弧に対する円周角は 90° 直径ならば 90°！ D ⑥ AC は直径なので，∠A＝90° 37° χ 62° χ Ｂ O χ O Ｃ 46° 90° 65° ＣＢＢ ① ３７度 ② ９２ ④ ３７度 ⑤ ２８度度Ｃ ③ １１７度 ⑥ ２５度 □ ５．下の表に示したことがらについて，あてはまるものに○，あてはまらないものに×をつけなさい。台形平行四辺形長方形ひし形正方形考え方・ヒント四角形の性質について，５か６のどちらかのパターンで出題されることが多い。２組の向かい合い辺がそれぞれ平行平行四辺形の特徴 × ○ ○ ○ ○ 台形１組の辺が平行４つの辺が等しいひし形の特徴 × × × ○ ○ 長方形とひし形は平行四辺形の仲間４つの角が等しい長方形の特徴 × × ○ × ○ 対角線がそれぞれの中点で交わる平行四辺形の特徴 × ○ ○ ○ ○ × × × ○ ○ 正方形は長方形とひし形両方の性質をもった四角形。平行四辺形とひし形の区別ができない人が多いが，平行四辺形の４つの辺の長さが同じになったのがひし形。対角線が垂直に交わるひし形の特徴５の問題は，実際に図を書いてみよう □ ６．下の図で，四角形にどのような条件をつけくわえると次の四角形になるか，②∼④について例を参考にして下のア∼エの中からすべて選び，記号で答えなさい。例 ① 平行四辺形をひし形にするにはアとなりあう辺の長さが等しいウ対角線が垂直に交わるのどちらかが成り立てばいいので，アとウイとなりあう角の大きさが等しいエ対角線の長さが等しいひし形 ③ ① 正方形平行四辺形 ② ② ④ 長方形イとなりあう角の大きさが等しいエ対角線の長さが等しいアとなりあう辺の長さが等しいウ対角線が垂直に交わるアとなりあう辺の長さが等しいイとなりあう角の大きさが等しいウ対角線が垂直に交わるエ対角線の長さが等しいイエ ③ イエ ④ アウここから，「少し複雑な角度」と「証明問題」（中間・期末で 80 点とる問題）考え方・ヒント AD//BC ならば△ABC＝△DBC 「＝」は面積が等しいという意味。７．下の図の平行四辺形ＡＢＣＤで，ＡＣ//ＥＦであるとき，三角形ＡＢＥと面積が等しい三角形をすべて書きなさい。 A ＡＤ//ＢＣより△ＡＢＥ＝△ＡＣＥＥＡＡＣ//ＥＦより△ＡＣＥ＝△ＡＣＦＥＡＤＣＢＡＢ//ＣＤより△ＡＣＦ＝△ＢＣＦＤＦＥＡＤＦＣＢ △ＡＣＥ △ＡＣＦ考え方・ヒント □① □② ＢＣは円Ｏの接線，点Ｂは接点 ① 弧 CE の円周角より∠B＝∠Ａ △BDE の外角より ∠AEB＝26°＋38° A χ E 64°116° Ｆ O D 35° 70° Ｃ 26° ② 円の接線は接点を通る半径に垂直なので，OB⊥CB。また，OA＝OB（半径）より，△OAB は二等辺三角形。 A 38° ＡＤ//ＢＣでひとつＡＣ//ＥＦでひとつＡＢ//ＣＤでひとつ計３つある。 △ＢＣＦ８．次の図で，∠χ の大きさを求めなさい。 26° C B 平行が１組あったら，面積が等しい三角形が１組ある。ＦＣＢ D 35° χ C 90° B Ｂアドバイス「証明問題は苦手」で片付けないで，がんばって書く。度中間・期末では，比較的簡単なものが出る。難しい問題は穴埋め式になったり，教科書や数学演習・確認プリントからそのまま出ることが多いので，数学演習・確認プリントの問題をしっかりやっておく。下の図で，△ＡＢＣは二等辺三角形で，ＢＤ＝ＣＥであるとき，ここでは ① 二等辺三角形の性質と条件を組み合せたもの。 ② 二等辺三角形と直角三角形を組み合せたもの。 ③ ふたつの角の和を使うもの ④ 平行四辺形の性質を使うもの ⑤ 平行四辺形になる条件をつかうもの ① ９０度 ② ２０９．次の証明をしなさい。 □① △ＦＢＣはで二等辺三角形あることを証明しなさい。Ａ証明 △ＢＣＤと△ＣＢＥにおいて △ＡＢＣは二等辺三角形なので ∠ＤＢＣ＝∠ＥＣＢ仮定より，ＢＤ＝ＣＥＢＣは共通２組の辺とそのはさむ角がそれぞれ等しいのでを，それぞれひとつずつ載せてあるので，マスターしておくとよい。ＥＤＦ証明するときは，等しい辺や角に必ず印をつけて考える。 △ＢＣＤ≡△ＣＢＥよって，∠ＦＢＣ＝∠ＦＣＢ２つの角が等しいので， △ＦＢＣは二等辺三角形であるＢＣ考え方仮定のＢＤ＝ＣＥが使える三角形は △ＢＣＤと△ＣＢＥ，△ＢＤＦと△ＣＥＦである。このうち，△ＡＢＣは二等辺三角形という仮定（ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＣ＝∠ ＡＣＢ）が使えるのは△ＢＣＤと△ＣＢＥであると考える。考え方・ヒント仮定 △ABC は二等辺三角形より AB＝AC，∠ABC＝∠ACB 結論 △FBC は二等辺三角形を証明よって，FB＝FC，または ∠FBC＝∠FCB を証明する。 □② 下の図で，△ＡＢＣは二等辺三角形で，∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ＝90°であるとき，考え方・ヒント合同な三角形を≡の記号を使ってすべて書きなさい。補助線はひかないこと。 ∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ＝90°なので，直角三角形の合同条件を使う。また，そのうちのひとつを証明しなさい。合同な三角形 △ＡＢＤ≡△ＡＣＥ，△ＢＣＥ≡△ＣＢＤ，△ＢＥＦ≡△ＣＤＢ斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しいＡ証明 △ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて △ＡＢＣは二等辺三角形なのでＡＢ＝ＡＣ仮定より，∠ＢＤＡ＝∠ＣＥＡ＝90° ∠Ａは共通直角三角形で，斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しいので △ＡＢＤ≡△ＡＣＥ証明 △ＢＣＥと△ＣＢＤにおいて △ＡＢＣは二等辺三角形なので ∠ＥＢＣ＝∠ＤＣＢ仮定より，∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ＝90° ＢＣは共通直角三角形で，斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しいので △ＢＣＥ≡△ＣＢＤＥＤＦＢＣ △ＢＥＦ≡△ＣＤＢは省略 □③ 下の図で，△ＡＢＣと△ＣＤＥが正三角形であるとき，考え方・ヒント △ＡＣＤ≡△ＢＣＥであることを証明しなさい。 ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ＋60° ∠ＢＣＥ＝∠ＢＣＤ＋60° よって，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥＢ証明 △ＡＣＤと△ＢＣＥにおいて △ＡＢＣと△ＣＤＥは正三角形なのでＡＣ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ･･･ ① また，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝60° ∠ＡＣＤ＝60°＋∠ＢＣＤ ∠ＢＣＥ＝60°＋∠ＢＣＤこれより，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ･･･ ② ①②より，２組の辺とそのはさむ角がそれぞれ等しいので △ＡＣＤ≡△ＢＣＥという方法を使う。これは大切な証明方法なので，マスターしておく。Ｄ 60° Ａ 60° ＥＣ考え方条件としては△ＡＢＣと△ＣＤＥが正三角形であるということしか使えないので，３辺が等しいことと角が 60°であることを図に書きこんでいく。 □④ 平行四辺形ＡＢＣＤで，点Ｅ，ＦはそれぞれＡＡＢ，ＣＤの中点である。このとき，ＡＦ＝ＣＥを証明しなさい。証明 △ＡＦＤと△ＣＥＢにおいて四角形ＡＢＣＤは平行四辺形なのでＡＢ＝ＣＤ･･･ ① ＡＤ＝ＣＢ･･･ ② ∠Ｂ＝∠Ｄ･･･ ③ また仮定よりＢＥ＝２ＡＢ，ＤＦ＝２ＤＣ･･･ ④ ③④より，ＢＥ＝ＤＦ･･･ ⑤ ②③⑤より，２組の辺とそのはさむ角がそれぞれ等しいので △ＡＦＤ≡△ＣＥＢ □⑤ 平行四辺形ＡＢＣＤで，対角線ＢＤ上に，ＤＥＡＦ＝ＣＥのように，辺の長さが等しいことや，角の大きさが等しいことを証明するときには三角形の合同を使う。ＦＢ考え方・ヒントこの場合は，を証明するのだから，ＡＦとＣＥのはいった三角形 △ＡＦＤ≡△ＣＥＢを証明する。Ｃ四角形ＡＢＣＤが平行四辺形なので ① ＡＢ//ＣＤ，ＡＤ//ＢＣ ② ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ ③ ∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｄ ④ ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯがすべて成り立つ考え方・ヒントＢＥ＝ＤＦとなる点をとる。このとき，四角形ＡＥＣＦは平行四辺形であることを証明しなさい。証明四角形ＡＢＣＤは平行四辺形なのでＡＯ＝ＣＯ･･･ ① ＢＯ＝ＤＯ･･･ ② 仮定より，ＢＥ＝ＤＦ･･･ ③ また，ＥＯ＝ＢＯ−ＢＥＦＯ＝ＤＯ−ＤＦ･･･ ④ ②③④より，ＥＯ＝ＦＯ･･･ ⑤ ①⑤より，２つの対角線が，それぞれの中点で交わるので四角形ＡＥＣＦは平行四辺形であるＡＤＦ O ＥＢＣ考え方対角線がひいてあるときは，対角線を使って証明する場合が多い。平行四辺形ＡＢＣＤより，ＢＯ＝ＤＯまた，仮定よりＢＥ＝ＤＦこれよりＥＯ＝ＢＯ−ＢＥＦＯ＝ＤＯ−ＤＦよって，ＥＯ−ＦＯとする。