T - 佐賀大学宇宙論グループ

スファレロン脱結合と電弱相転移
船久保公一
佐賀大学理工学部
奈良女子大学
2008年12月20日
1/45
内容
1. スファレロン解
2. スファレロン過程
3. 電弱相転移
4. まとめ
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
2/45
1. スファレロン解
Sphaleron
語源：σφαλϵρos = ready-to-fall, deceitful (偽りの)
[cf. a·sphalt]
[Klinkhamer and Manton, Phys. Rev. D30 ('84)]
◃ 場の理論の静的古典解 (有限エネルギー)
◃ 不安定 — 古典解の周りの揺らぎのスペクトルに１個の負モード
既知のSphaleron解
4-dim. SU(2) gauge + 1-doublet Higgs
[Klinkhamer and Manton, Phys. Rev. D30 ('84)]
2-dim. U (1) gauge-Higgs model
[Bocharev and Shaposhnikov, Mod. Phys. Lett. A2 ('87)]
2-dim. O(3) nonlinear sigma model
[Mottola and Wipf, Phys. Rev. D39 ('89)]
2-Higgs-Doublet Model
[Kastening, Peccei and Zhang, Phys. Lett. B266 ('91)]
MSSM with Veff (T )
[Moreno, Oaknin and Quiros, Nucl. Phys. B483 ('97)]
Next-to-MSSM
[KF, Kakuto, Tao and Toyoda, Prog. Theor. Phys. 114 ('05)]
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
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鞍点(saddle point) = least-energy path上のmaximum-energy configuration
Energy
vacuum
NCS=1
configuration
space
vacuum
NCS=0
least-energy path/gauge trf. = noncontractible loop
↕
highest symmetry config.
[Manton, Phys. Rev. D28 ('83)]
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
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⋆ スファレロンとバリオン数
標準理論のB , Lカレントのアノマリ
Nf 2
µν
2
µν
[g
Tr(F
F̃
)
−
g
B
B̃
]
µν
µν
2
1
2
16π
=0
µ
∂µjB
+L =
Nf =世代数
µ
∂µjB−L
1
F̃ µν ≡ ϵµνρσ Fρσ
2
これらの式の和を積分して
B(tf ) − B(ti) =
Nf
32π 2
∫
tf
[ 2
]
µν
2
µν
d x g2 Tr(Fµν F̃ ) − g1 Bµν B̃
4
ti
= Nf [NCS (tf ) − NCS (ti)]
ここで NCS は Chern-Simons number:
1
NCS (t) =
32π 2
∫
d3x ϵijk
[
A0 = 0-gaugeでは
(
)
]
2
g22Tr Fij Ak − g2AiAj Ak − g12Bij Bk
3
t
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
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gauge系の古典的真空 : E = 12 (E 2 + B 2) = 0 ⇐⇒ Fµν = Bµν = 0
⇐⇒ Aµ = iU −1∂µU , Bµ = ∂µv with U ∈ SU (2)
U (x) : S 3 → U ∈ SU (2) ≃ S 3
π3(S 3) ≃ Z =⇒ U (x) は整数NCS で分類される
∫
ig23
3
−1
−1
−1
d
x
ϵ
Tr[U
∂
U
U
∂
U
U
∂k U ] が整数のwinding number
ijk
i
j
48π 2
２次元U (1)ゲージ理論の例:
axial U (1) anomaly → axial fermion数の変化
g
∆Q5 =
4π
g
NCS (t) =
2π
真空配位:
∫
tf
dt dx ϵµν Fµν = NCS (tf ) − NCS (ti),
ti
∫
dx A1(t, x).
1
A1(x) = ∂xα(x)
g
with α(∞) − α(−∞) = 2πN
... NCS = N
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
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E
熱的遷移
0 トンネル効果 1
–1
{
∆B ̸= 0過程
2
◃ 量子トンネル効果
低温
◃ 熱的遷移
高温
トンネル確率 ∼ e−2Sinstanton = e−8π
2
/g22
≃ e−164 ≪ 1
NCS ∈配位空間(無限次元)
... 陽子崩壊の問題なし
熱的遷移確率 ∼ e−Esph/T
T > TC ではsphaleron解は存在しないが, 慣例的に
anomalyによる∆(B + L) ̸= 0過程をスファレロン過程という。
— phaleron decoupling and E
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2. スファレロン過程
2.1 NCS の変化とフェルミオン数
古典的場の配位が変化する際のフェルミオン数の変化
• index定理
[Atiyah and Singer, 1968]
2
∫
g
d4xTr(Fµν F̃ µν )
16π
∆(chiral fermions) = Pontrjagin index = instanton number
nR − nL = ν =
• spectral flow (level crossing)
ψL
E
[Ambjørn, et al. Nucl. Phys. B221 ('83)]
E
ψR
断熱的にgauge場をon-off
ǫµν F
µν
6= 0
p
vacuum
p
particle production
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◃ (1 + 1)次元の例
Dirac eq. iγ µ(∂µ − igAµ(x))ψ(x) = 0
[γ 0 = σ1, γ 1 = iσ2; γ3 = γ 0γ 1 = −σ3]
{
i(∂x − igA1(x))ψL(x)
A0 =0
−→ i∂tψ(x) = Hψ(x) ≡ iσ3 (∂x − igA1(x)) ψ(x) =
−i(∂x − igA1(x))ψR(x)
周期的境界条件: ψ(x + L) = ψ(x)
(
∫
t-indep. gauge trf. ψ̃(x) = exp ig
x
)
dx′ A1(x) ψ(x)
0
−→ H ψ̃(x) = iσ3∂xψ̃(x) with ψ̃(x + L) =
⇒ ψ̃(x) = e
ipx
RL
ig 0 dx A1 (x)
e
ψ(x
{
2πn
with p =
+ α (n ∈ Z)
L
A1(x) = 0
+ L) = eiαLψ̃(x)
H ψ̃L(x) = +p ψ̃(x)
H ψ̃R(x) = −p ψ̃(x)
A1(x) = 0
対生成
E=0
L
R
L
R
L
R
— phaleron decoupling and E
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2.2 バリオン数変化率
“fate of false vacuum” — 縮退した状態の間の遷移の代わりに不安定状態を考える
⋆ T = 0: Callan-Coleman, Phys. Rev. D16 ('77); Coleman, The Uses of Instantons
⋆ T =
̸ 0: Affleck, Phys. Rev. Lett. 46 ('81)
V(x)
x
metastable min.
= false vacuum
T = 0での崩壊率:
2
Γ ≃ ImE0 ≃
h̄
(
Scl
2πh̄
)1/2
e−Scl/h̄ [1 + O(h̄)]
E0 = false vacuumにlocalizeした状態の「エネルギー」
Scl = bounceのEuclid作用
— phaleron decoupling and E
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V(x)
T ̸= 0の場合の崩壊率
mω−2=−V ′′(0)
mω02=V ′′(x0)
初期状態: 熱平衡状態
V0
(harmonic osc. at x0)
準安定 ⇔ 12h̄ω0, T ≪ V0
E
崩壊率の定義:
∫
Γ(T ) ≡
∞
dE
e
0
Z0 =
∞
∑
x1
−E /T
Z0
Γ(E),
e−h̄ω0(n+1/2)/T =
n=0
x0
x2
x
metastable min.
= false vacuum
(
2 sinh
h̄ω0
2T
)−1
,
Γ(E) = −
⋆ T <
h̄ω−
2
−1/2 −S [xb ]/h̄
: Γ ≃ Im F ≃ Z0−1 |2πh̄T ′(E0)|
e
2π
h̄
⋆ T >
h̄ω−
:
2π
Γ≃
x3
O
ih̄ ∗ ′
∗′
(ψE ψE − ψE
ψE )
2m
{
xb(t) = bounce solution
T (E) = period of the bounce
ω− β
ω−
Im F ≃ Z0−1
e−βV0
π
4π sin(βh̄ω−/2)
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4次元SU (2)gauge-Higgs系(1-doublet)
[Arnold and McLerran, Phys. Rev. D36 ('87)]
遷移率 [1/体積/時間]
⋆ broken phase — WKB approx. of ImF (T )
(b)
Γsph(T ) ≃ k Ntr Nrot
ω−
2π
(
zero modes: Ntr = 26,
αW (T )T
4π
)3
e−Esph/T
Nrot = 5.3 × 103 for λ = g 2
2
negative mode: ω−
≃ (1.8 ∼ 6.6)m2W for 10−2 ≤ λ/g 2 ≤ 10
k ≃ O(1)
⋆ symmetric phase — 次元解析
(s)
Γsph(T ) ≃ κ(αW T )
4
MC simulation ⇒ ⟨NCS (t)NCS (0)⟩ ∼ ⟨NCS ⟩ + Ae−ΓV t
2
κ = 1.09 ± 0.04
SU (2) pure gauge系
[Ambjørn and Krasnitz, P.L.B362('95)]
— phaleron decoupling and E
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2.3 平衡スファレロン過程と量子数
統計力学の復習
平衡系の統計力学が使える条件: 宇宙の膨張率 H(t) < Γ(T ) 粒子の反応率
一種の自由粒子(自由度= g )について、
(kB = 1)
∫
自由エネルギー密度:
エネルギー密度:
粒子数密度:
エントロピー密度:
[
]
F
d3 p
−(ϵp −µ)/T
f = = ±g T
log
1
∓
e
V
(2π)3
∫ 3
dp
ϵp
ϵ=g
(2π)3 e(ϵp−µ)/T ∓ 1
∫ 3
dp
1
n=g
(2π)3 e(ϵp−µ)/T ∓ 1
∂f
s=−
∂T
√
ϵp = p2 + m2, µ =化学ポテンシャル
上の符号がボソン, 下の符号がフェルミオン
— phaleron decoupling and E
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高温(T ≫ m, µ)
{
f (= −P )
ϵ
n
s
}
1 π2 4
−g
T
7/8 90
{ } 2
1 π 4
g
T
7/8 30
{ }
1 ζ(3) 3
g
T
3/4 π 2
{ } 2
1 2π 3
g
T
7/8 45
低温(T ≪ m)
(
)3/2
mT
gm
e−(m−µ)/T
2π
(
)3/2
ϵ
mT
−(m−µ)/T
g
e
=
2π
m
宇宙が冷えるときの質量mの粒子
T ≫ m: 何らかの相互作用が十分速ければ、n ∝ T 3
kinetic equilibrium

→ 急激に減少 ∼ e−m/T

 相互作用が速ければ平衡分布をたどる
— 軽い粒子にdecay
T ∼ m:


相互作用が遅いと平衡分布から外れる
→ decay出来ずに残る
定量的解析 = 分布函数に対する方程式 — Boltzmann方程式を解く
例) GUTバリオン数生成、
レプトン数生成、
ダークマター残存量
— phaleron decoupling and E
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相互作用の時間スケール: t̄
[T ≫ m]
◃ 相対論的粒子 ⇒ (反応率)−1 = t̄ ≃ λ : mean free path
λ
◃ その粒子の相互作用全断面積= σ
σ
ζ(3) 3
◃ 粒子数密度= n(T ) ≃ g∗n 2 T
π
∑
∑
3
g∗n = B gB + 4 F gF
1
σ·λ=
n(T )
α2
α2
≃ 2
中間状態の質量 mI ≪ T → σ ≃
s
T
...
t̄ = λ ≃
10
gT 3
(
2
α
T2
)−1
=
s
(α =
2
e
4π )
mI ≪ T
10
gα2T
— phaleron decoupling and E
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√
放射優勢期の膨張率
H(T ) =
宇宙の膨張の時間スケール
素過程の時間スケール
スファレロン過程(sym.)
スファレロン過程(br.)
8πG
√ T2
ρ(T ) ≃ 1.66 g∗
3
mP
mP
√
1.66 g∗ T 2
1
1
t̄ ≃ λ =
≃
σn(T ) α2T
1
(sym)
t̄sph ≃ 4
αW T
1 Esph/T
(br)
t̄sph ≃ 4 e
αW T
H(T )−1 ≃
ȷ
g∗ = 放射自由度
mP = 1.2 × 1019GeV
1014GeV−1 at T = 100GeV
1 − 10GeV−1 (strong−EW int.)
103GeV−1
T = TC ≃ 100GeV で電弱相転移 = SU (2)L × U (1)Y の自発的破れ ⟨Φ⟩T ̸= 0
⋆ T > TC (対称相) =⇒ t̄QCD < t̄EW < t̄sph ≪ H(T )−1
... 全てのゲージ相互作用と、
スファレロン過程は化学平衡
(sym)
−1
⋆T <
∼ TC (非対称相) =⇒ t̄QCD < t̄EW ≪ H(T )
... 全てのゲージ相互作用は化学平衡
— phaleron decoupling and E
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–
log t
Hubble
sphaleron
1015GeV 1012GeV
electroweak
Tc
log
a ~ log(T –1)
電弱相転移直後 v(TC ) ≪ 200GeV (弱い一次、
または二次転移)のとき、
Tdec < T < TC =⇒ t̄sph > H(T )−1 となるTdecが存在する。
(br)
−→ 非対称相でさえ、
スファレロン過程は化学平衡
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
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平衡状態での量子数 —スファレロンが化学平衡なら残るB ∝ (B − L)
[
]
P
−(H− i µi Qi )/T
保存量 Qi([H, Qi] = 0)があるとき、
分配函数: Z(T, µ) ≡ Tr e
より
∂
⟨Qi⟩(T, µ) = T
log Z(T, µ)
∂µi
−→ Qiとµiの関係
LFVが無い電弱理論 : Qi = B/Nf − Li, unbroken gauge charge
現実にはZ(T, µ)の計算は困難
(... 全ての場についての経路積分、非摂動効果)
⇓
• 摂動論
[Khebnikov & Shaposhnikov, Phys. Lett. B387 ('96);
Laine & Shaposhnikov, Phys. Rev. D61 ('00) ]
• 自由場近似
各粒子の化学ポテンシャルµを導入し、
Qiを粒子のµで表す。
粒子のµには化学平衡の関係式(e.g. µA + µB = µC )が成り立つ。
— phaleron decoupling and E
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⋆ massless free-field approximation
∫
⟨N ⟩ = ⟨n⟩ − ⟨n̄⟩
=
m≪T
≃
|µ|≪T
≃
3
[
1
dk
1
−
(2π)3 e(ωk −µ)/T ∓ 1 e(ωk +µ)/T ∓ 1
[
]
∫
x2
T3 ∞
x2
dx x−µ/T
−
2π 2 0
e
∓ 1 ex+µ/T ∓ 1
 3
T µ



· , (bosons)
3 T

T3 µ


· , (fermions)
6 T
]
2π 2
⟨N ⟩ |µ|
3
cf. s =
g∗T →
∼
≃ 10−10 ≪ 1
45
s
T
質量の効果 → [Dreiner & Ross, Nucl. Phys. B410 ('93)]
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Quantum number densities in terms of µ
[Harvey & Turner, Phys. Rev. D42 ('90)]
粒子の化学ポテンシャル — N 世代のフェルミオン、NH 個のHiggs doublets (ϕ0 ϕ−)
W−
µW
uL(R)
µuL(R)
dL(R)
µdL(R)
eiL(R)
µiL(R)
νiL
µi
ϕ0
µ0
ϕ−
µ−
(3N + 7) µ’s
W は横波自由度のみ, ϕ0,−はNG modeもカウント
color, charge neutrality → µgluon = µZ,γ = 0
quark mixingは化学平衡, LFVは無し
{
化学平衡
gauge:
µW = µdL − µuL = µiL − µi = µ− + µ0
N +2
Yukawa: µ0 = µuR − µuL = µdL − µdR = µiL − µiR N + 2
... 3N + 7 − 2(N + 2) = N + 3 個の独立な µ : (µW , µ0, µuL , µi)
↽
sphaleron process : |0⟩ ⇀
∏
(uLdLdLνL)i ⇐⇒ N (µuL + 2µdL ) +
i
∑
µi = 0
i
— phaleron decoupling and E
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量子数密度 [T 2/6を単位とする]
B
= N (µuL + µuR + µdL + µdR ) = 4N µuL + 2N µW ,
∑
L =
(µi + µiL + µiR) = 3µ + 2N µW − N µ0
i
Q =
∑
1
2
(µiL + µiR) − 2 · 2µW − 2NH µ−
N (µuL + µuR ) · 3 − N (µdL + µdR ) · 3 −
3
3
i
= 2N µuL − 2µ − (4N + 4 + 2NH )µW + (4N + 2NH )µ0
I3 =
1
1∑
1
N (µuL − µdL ) · 3 +
(µi − µiL) − 2 · 2µW − 2 · NH (µ0 + µ−)
2
2 i
2
= −(2N + NH + 4)µW
ここで µ ≡
∑
µi と置いた。
i
— phaleron decoupling and E
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•T >
∼ TC (symmetric phase)
B=
Q = I3 = 0を要請。(µW = 0)
8N + 4NH
(B − L),
22N + 13NH
•T <
∼ TC (broken phase)
L=−
14N + 9NH
(B − L)
22N + 13NH
Q = 0 and µ0 = 0 (... ϕ0 condensates)
8N + 4(NH + 2)
B=
(B − L),
24N + 13(NH + 2)
16N + 9(NH + 2)
L=−
(B − L)
24N + 13(NH + 2)
何れにせよ、
(B − L)primordial = 0 ならば B = L = 0
... 現在の宇宙に物質(baryon)が存在するためには、
(i) sphaleron過程が脱結合する前に、B − L ̸= 0が存在する。
(ii) B + Lを電弱一次相転移で生成し、且つ、
その後直ちにsphaleron過程が無効になる。
のどちらかでなければならない。
— phaleron decoupling and E
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3. 電弱相転移
T = 100GeV程度では, t̄EW ≃ 10GeV−1≪H(T )−1 ≃ 1014GeV−1
→ 平衡系の統計力学が使える — (相転移の静的な性質)
相転移の記述
磁性体(Landauの現象論)
電弱理論
秩序変数
自発磁化 (M )
⟨Φ(x)⟩ = v
自由エネルギー
F (M ; T ) = a(T )M 2 + b(T )M 4
Effective potential Veff (v; T )
計算法
例えば、
スピン模型の平均場近似
有限温度の場の理論
場の理論の有効ポテンシャル (T = 0) ⇔ ⟨Φ⟩ = v という拘束条件付きの最小エネルギー
−→ Veff (v) が最小となる v が真空期待値
[Coleman, Secret Symmetry]
∫
Veff (v) = −Γ[φ(x) = v]/
d4 x
Γ[φ] = generating functional of 1PI vertex functions
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
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有限温度では、Effective potential = 自由エネルギー密度
[
]
1
1
Veff (v; T ) = − T log Z = − T log Tr e−H /T
→ 最小にする v ⇒ 相 at T
V
V
⟨Φ⟩=v
path integral: Tr(e−H /T ) = N (T )
∫
( ∫
[dϕ] exp −
pbc
)
1/T
d4xE LE (ϕ)
0
◃ Euclidean ActionをEuclidean time [0, 1/T ] で定義
{
ϕ(0, x) = ϕ(1/T, x)
◃ 場の境界条件は、分配函数の Tr のために、
ψ(0, x) = −ψ(1/T, x)
{
−→ Fourier mode k = iωn with ωn =
0
2nπT
(boson)
(2n + 1)πT
(fermion)
— phaleron decoupling and E
boson
fermion
hase transitio —
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相転移の次数
Veff(v;T) – Veff(0;T)
T > TC > 0
T > TC > 0
標準理論
order parameter:
vC
v0
v0
v
v
v(T)
v(T)
v0
( )
1
0
⟨Φ⟩ = √
2 v
... 1st order EWPT
⇕
v0
vC
vC ≡ lim v(T ) ̸= 0
T ↑TC
TC
2nd order PT
T
TC
T
1st order PT
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
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摂動計算 T = 0でのloop積分で、
時間積分をMatsubara frequency ωn の和に置き換える
∫
Veff (v) −→ Veff (v; T ) by
∞
∑
d4 k
i
−→
(4π)4
β n=−∞
∫
¯
¯
d3 k
¯
(·
·
·)
¯
3
¯
(2π)
k0 =iωn
例えば、
1-loop effective potentail に現れる積分は
)
(
∫ 4
∫ 3
∫ 3
√
∑
i
dk
2i
dk
dk
2
2
2
2
−β k2 +m2
log(k
−
m
)
=
log(k
−
m
)±
log
1
∓
e
β n
(2π)3
(4π)4
β (2π)3
∫ 4
√
)
(
4∫ ∞
dk
iT
2
2
2
2
2
− x +(m/T )
=
log(k
−
m
)±
dx
x
log
1
∓
e
(4π)4
π2 0
↑
T = 0-contribution — T = 0のcountertermで繰り込み可
一般的に、
T = 0のcountertermで全てのループ積分を有限にできる。
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
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標準理論 — 1-loop の摂動論 (W , Z , top quarkのloop)
[ ( 2)
]
1 2 2 λ 4
φ
3
2 2
4
Veff (φ; T ) = − µ φ + φ + 2Bv0 φ + Bφ log
−
+ V̄ (φ; T )
2
4
v02
2
where
B=
3
4
4
4
(2m
+
m
−
4m
W
Z
t ),
4
2
64π v0
T4
V̄ (φ; T ) = 2 [6IB (aW ) + 3IB (aZ ) − 6IF (at)] ,
2π
(
)
∫ ∞
√
2
2
IB,F (a) ≡
dx x2 log 1 ∓ e− x +a .
(aA = mA(φ)/T )
0
γE = 0.5772 · · ·
high-temperature expansion [m/T << 1]
4
2
4
√
a2
4
(
a
3
π π 2 π 2 3/2 a
−
γE −
+ a − (a ) − log
45 12
6
16
4π
16
4
√
(
)
4
4
4
2
2
7π π 2 a
a
3
a
IF (a) =
− a − log
−
γE −
+ O(a6)
360 24
16
π
16
4
IB (a) = −
— phaleron decoupling and E
)
+ O(a6)
hase transitio —
27/45
T > mW , mZ , mtとして展開を適用すると、
Veff (φ; T ) ≃ D(T 2 − T02)φ2−E T φ3 +
λT 4
φ
4
where
1
1
2
2
2
3
3
−2
(2m
+
m
+
2m
),
E
=
(2m
+
m
)
∼
10
W
Z
t
W
Z
8v02
4πv03
(
)
2
2
2
3
mW
mZ
mt
4
4
4
λT = λ −
2mW log
+ mZ log
− 4mt log
16π 2v04
αB T 2
αB T 2
αF T 2
1 2
T02 =
(µ − 4Bv02),
log αF (B ) = 2 log (4)π − 2γE
2D
D=
TC で、φ = 0と縮退した極小がφC に存在: φC =
(br)
Γsph
< H(TC )
−→
⇐⇒
mh <
∼ 46GeV
2E TC
λTC
φC
>
1 =⇒ λ に上限
∼
TC
[mH =
√
2λv0]
=⇒ 標準理論はexcluded! — mSM
h > 114GeV by LEPII
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
28/45
[標準理論]
⋆ Monte Carlo simulations
effective fermion mass : mf (T ) ∼ O(T ) ← |ωn| = |(2n + 1)πT | ≥ πT
... bosonsだけでsimulation
{
scalar fields: ϕ(x) → 格子点 (site)
格子場の理論
gauge fields: Uµ(x) → リンク
∫
Z = [dϕ dUµ] exp {−SE [ϕ, Uµ]}
• 3-dim. SU (2) system with a Higgs doublet and a triplet
time-component of Uµ
[Laine & Rummukainen, hep-lat/9809045]
• 4-dim. SU (2) system with a Higgs doublet
Emh < 66.5 ± 1.4GeV ならば一次転移
[Csikor, hep-lat/9910354]
両方のsimulationとも、end-point を発見:
{
mh =
72.3 ± 0.7 GeV
⇒
72.1 ± 1.4 GeV
no PT (cross-over) in the Standard Model
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
29/45
Sphaleron decoupling condition
broken phase でのバリオン数変化率
— beyond one-loop order
[Arnold and McLerran, Phys. Rev. D36 ('87)]
1 dB
13Nf ω−
−Esph /T
κN
≃−
N
e
tr
rot
3
B dt
128π 2 αW
√
これがH(T ) = 1.66 g∗T 2/mPより小さいとおくと, Esph ≡
4πv
Eとすれば,
g2
)]
[
(
)
(
v
0.050
ω−
T
>
43.17 + log(κNtrNrot) + log
− 2 log
T
E
mW
100GeV
2
数値解の結果 E = 2.00, NtrNrot = 80.13, ω−
= 2.3m2W ( at λ/g22 = 1) を採用し,
κ = 1, T = 100GeV とすると,
v
> 0.025 × (43.17 + 4.38 + 0.416) = 1.20
T
mainは古典解のエネルギー, zero modesが10%補正
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
30/45
標準理論を拡張した模型の例
• MSSM (Minimal Supersymmetric Standard Model)
[標準理論 + 1 Higgs doublet] + それらのsuperpartners
{
Supersymmetric Yukawa int. (∈ superpotential)
gauge anomaly cancellation
• 2HDM (two-Higgs-doublet Model)
[標準理論 + 1 Higgs doublet], 即ち、
２つのHiggs doublet Φ1, Φ2
Yukawa int.にどちら or 両方のHiggs doubletを含むか,と
Higgs potential により幾つかのvariation
• NMSSM (Next-to-Minimal Supersymmetric Standard Model)
MSSM + 1 Singlet Superfield
新しいタイプの強い一次相転移
[KF, Tao and Toyoda, Prog. Theor. Phys. 114 ('05)]
以下では、
MSSMにおける電弱相転移を紹介
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
31/45
Higgs potential (tree level)
MSSM:
(e)
(d)
(u)
superpotential W = fAB HdLAEB + fAB HdQADB − fAB HuQAUB − µHdHu
V0 =
m21Φ†dΦd
¯2
)2 g 2 ¯
2
2(
)
g
+
g
¯
¯
†
†
1
ΦdΦd − Φ†uΦu + 2 ¯ΦdΦu¯
+ m22Φ†uΦu − m23ΦdΦu + h.c. + 2
8
2
(
soft-SUSY-br. terms
D-term potential
2HDM: 最も一般的な、gauge-inv. renormalizable potential
V0
= m21Φ†1 Φ1 + m22Φ†2 Φ2 + (m23Φ†1 Φ2 + h.c.)
1
1
+
λ1(Φ†1 Φ1)2 + λ2(Φ†2 Φ2)2 + λ3(Φ†1 Φ1)(Φ†2 Φ2) − λ4(Φ†1 Φ2)(Φ†2 Φ1)
2
2
{
}
[
]
1
−
λ5(Φ†1 Φ2)2 + λ6(Φ†1 Φ1) + λ7(Φ†2 Φ2) (Φ†1 Φ2) + h.c.
2

 Φ̃1 → Φd,
Φ2 → Φu,
2
2
2
2HDM→MSSM by
g
+
g
g
2
1
2
 λ1 = λ2 = −λ3 =
, λ4 = − , λ5,6,7 = 0
4
4
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
32/45
Higgs particles in the MSSM (tree level)
Φd, Φu: 4つの複素成分 (実8成分) − 3つのNG modes = 5 = 3 (neutral) + 2 (H ±)
Higgs potential V0の最小とHiggs mass (tree level)
1
V0 = min at Φd = √
2
(
)
(
)
1
v0 cos β
0
, Φu = √
0
2 v0 sin β
1
1
但し、m21 = m23 tan β − m2Z cos(2β), m22 = m23 cot β + m2Z cos(2β)
2
2
Φd,uの位相の採り方により、m23を常にreal positiveにできる
V0のHiggs fieldsによる２階微分 → mass matrix of the Higgs particles

2
m

3

CP-odd
 m2A =
sin β[ cos β
]
中性Higgs
√
1

2

 mh,H =
m2Z + m2A ∓ (m2Z + m2A)2 − 4m2Z m2A cos2(2β) CP-even
2
荷電Higgs
m2H ± = m2W + m2A
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
33/45
Higgs potentialのϕ4項の係数 ∼ g21, g12 −→ 軽いHiggs粒子
実際、 mh ≤ min
{
m2Z , m2A
}
mH ≥ max
,
{
m2Z , m2A
}
−→ LEPII の結果と矛盾
第３世代のquark, squarkのloop correctionが重要
[Okada, Yamaguchi and Yanagida, Prog. Theor. Phys. 85 ('91)]
new upper bound on mh:
m2h
≤
m2Z
3 m4t
cos (2β) + 2 2 log
2π v0
2
(
m2t̃
+ m2t
m2t
)
最近は、
light-Higgs scenario も注目されている。
→ h-H mixingのために、ZZh-couplingが小さくなる
Z
e−
Z
e+
h
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
34/45
MSSMのHiggs massに対する制限
allowed region for the pseudoscalar Higgs boson
allowed region for the lightest neutral Higgs boson
mt = 169 3 174 3 179 3 183 0GeV
99.7%CL
95%CL
100
tan
(b)
µ<0
mh-max
80
CDF
no mixing
D¯
60
tan
β
10
Excluded
by LEP
Tevatron Preliminary
ττ
40
95% CL Exclusion
-
mh
D¯
max
-1
CDF (1.8 fb )
20
no mixing
LEP 2
1
0
Theoretically
Inaccessible
100
120
140
160
m
A
0
20
40
60
-1
(1.0 fb )
180
200
220
240
2
(GeV/c )
80 100 120 140
mh (GeV/c2)
mh-max benchmark scenario
[PDG: C. Amsler et al., Phys. Lett. B667, 1 (2008)]
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
35/45
⋆ MSSM の EWPT
1
order parameter: ⟨Φd⟩ = √
2
(
v1
0
)
1
⟨Φu⟩ = √
2
,
(
0
v2 + iv3
)
eiθ
=√
2
(
0
vu
)
Veff (v; T )を v = (v1, v2, v3)の函数として最小点を求める。(at each T )
特殊な場合には1次元問題に帰着
• symmetric under Φ1 ↔ Φ2
• m1 = m2 = m3 = 0 (tan4 β = λ1/λ2)
[KF, Kakuto, Takenaga, Prog. Theor. Phys. 91]
Higgs bosonの質量とEWPの関係
tree-levelの時と同様に
Higgs mass2 matrix: M2ij ≃
{
−→
⟨
2
⟩
∂ Veff (T = 0)
(2)
= Γ1PI(p = 0)
∂ϕi∂ϕj
質量固有値 mHi
対角化する行列 → gZZHi
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
36/45
1-loop levelの計算
[Carena, Ellis, Pilaftsis and Wagner, Nucl. Phys. B586 ('00)]
(
)
2
∑
1
m̄a 3
2 2
Veff (v; T = 0) = V0(v) +
c
(
m̄
log
−
)
a
a
2
2
64π a
M
2
m̄2a: field (Φd, Φu)-dependent mass2, ca: 統計因子
ループを回る粒子: a = t, t̃, b, b̃, W, Z, · · ·
field parametrization — VEV + fluctuation
( 1
)
(
)
+
√ (vd + hd + iad )
ϕ
u
2
Φd =
,
Φu = eiθ √1
−
(v + hu + iau)
ϕd
2 u
VEV = Veff のglobal min. −→ vd = v0 cos β, vu = v0 sin β, θ をinputにする。
−→ soft mass
0 =
1
vd
1
0 =
vu
0 =
1
vu
⟨
⟨
⟨
∂Veff
∂hd
∂Veff
∂hu
∂Veff
∂ad
⟩
⟩
1
= m21 − Re(m23eiθ )tan β + m2Z cos(2β) + · · · ,
2
=
⟩
=
m22
1
vd
−
⟨
Re(m23eiθ )cot β
∂Veff
∂au
⟩
1 2
− mZ cos(2β) + · · · ,
2
= Im(m23eiθ ) + · · · .
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
37/45
ここで ⟨· · ·⟩は、
vacuumで評価した値 — fluctuationで微分してそれを0と置く
neutral Higgs boson と charged Higgs boson�mass:



M = 

2
m2H ±
⟨
⟩
∂ 2 Veff
2
d ⟩
⟨ ∂h
2
∂ Veff
∂hd ∂hu
⟨ 2
⟩
∂ Veff
1
cos β ∂hd ∂au
1
=
sin β cos β
⟨
2
⟨
∂ 2 Veff
∂hd ∂hu
⟨
⟩
⟩
∂ 2 Veff
2
⟨∂hu2
⟩
∂ Veff
1
sin β ∂hu ∂ad
∂ Veff
−
∂ϕ+
∂ϕ
u
d
⟩
[NG modeを除去した後]
1
cos β
⟨
⟨
∂ 2 Veff
∂hd ∂au
⟩ 
⟩ 

∂ 2 Veff
1

sin β ∂hu ∂ad
⟨ 2
⟩
∂ Veff
1
sin β cos β ∂ad ∂au
1
=
Re(m23eiθ ) + m2W + · · ·
sin β cos β
−→ input m2H ± → Re(m23eiθ )
mass eigenstates Hi
 


H1
hd
 hu  = O  H2  ,
H3
a
OT M2O = diag(m2H1 , m2H2 , m2H3 )
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
38/45
gauge and Yukawa interactions
(
)
( ↔
)
µ
ZµZ
g2
+
−µ
µ
Lgauge ∼ g2mW gV V Hi Wµ W +
Hi +
gZHiHj Z Hi ∂ µHj
2
2 cos θW
2 cos θW
LY
g2mb
S
P
b̄(gbbh
∼ −
+
iγ
g
)b Hi
5
bbh
i
i
2mW
corrections to the couplings
[標準理論: gV V H = 1, gZHH = 0, gbbH = 1]
gV V Hi = O1i cos β + O2i sin β
1
gZHiHj = [(O3iO1j − O3j O1i) sin β + (O3iO2j − O3j O2i) cos β]
2
( S )2 ( P )2
1
S
P
2
, gbbHi = −O3i tan β,
gbbHi = O1i
gbbHi = gbbHi + gbbHi
cos β
v0 = 246GeV, tan β, mH ± と、loopを通して効くパラメータ (µ, Aq , scalar soft mass, · · ·)
をinputとして、
これらの量と m21, m22, m23 を計算
−→ Higgs mass vs EWPT
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
39/45
EWPTが一次転移になるparameter
light stop scenario
[de Carlos, Espinosa, Nucl. Phys. B503 ('97)]
stop mass2 matrix:

M2t̃
=
( 2
)
2
g
g
yt2 2
2
2
2
1
2
mt̃ + 24 − 8 (vu − vd) + 2 vu
yt
√
2
L
∗
(µvd + A(v2 − iv3))
m2t̃ −
R
g12
6
(vu2 − vd2 )+
yt2
2


vu2
m2t̃ = 0 or m2t̃ = 0 =⇒ smaller eigenvalue: m2t̃ ∼ O(v 2)
L
1
R
... 高温展開
V̄t̃(v; T ) ⇒ −
T
(m2t̃1 )3/2 ∼ T v 3
6π
−→ stronger 1st order PT
effective for larger yt — smaller tan β
— phaleron decoupling and E
mt =
√1
2
ytv0 sin β
hase transitio —
40/45
�� (CP-conserving case)
[KF, Prog. Theor. Phys. 101 ('99)]
tan β = 6, mh = 82.3GeV, mA = 118GeV, mt̃1 = 168GeV
TC = 93.4GeV, vC = 129GeV
150
2.0x106
1.8x106
1.6x106
1.4x106
100
6
1.2x10
v2
6.5
1.4
1.0x106
8.0x105
50
6.0x105
vC / TC
1.2
tanβ
180
6.3
140
6.2
120
1
0
5
10
15
20
v1
Veff (v1, v2, v3 = 0; TC )
25
mA
100
0.8
mh
6.1
80
0.0x100
0
m ~t 1
6.4
160
4.0x105
2.0x105
GeV
200
6
0.6
0
10 20 30 40 50 60 70 80
m~t (GeV)
R
60
0
10 20 30 40 50 60 70 80
m~t (GeV)
R
mtR -dependence (tan β = 6)
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
41/45
⋆ Lattice MC studies
• 3d reduced model
[Laine et al. hep-lat/9809045]
strong 1st order for mt̃1 <
∼ mt and mh ≤ 110GeV
• 4d model
[Csikor, et al. hep-lat/0001087]
with SU (3), SU (2) gauge bosons, 2 Higgs doublets, stops, sbottoms
At,b = 0, tan β ≃ 6
−→ errorの範囲内で摂動論と一致
mA = 500 GeV
mh
vC /TC =1
vC /TC > 1
below the steeper lines
⇓
max. mh = 103 ± 4 GeV
for mt̃L ≃ 560 GeV
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
42/45
4. まとめ
現在の宇宙にバリオン数が存在するためには、
次の何れかが満たされねばならない。
(i) 電弱相転移までに、有限のB − Lを用意する。
(ii) 電弱相転移でB + Lを生成し、直後にスファレロン過程が脱結合する。
(i) → Leptogenesis, (B − L)-nonconserving GUTs, Affleck-Dine
(ii) → 電弱相転移の次数、強さに制限 ←→ Higgs粒子の質量
Standard Model X
MSSM with mt̃1 ≤ mt, mh ≤ 105GeV
2HDM
NMSSM
···
Higgs粒子の発見だけでなく、
その性質(BR等)を知る必要あり。
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
43/45
Sphaleron decoupling condition revisited
(preliminary)
collaboration with E. Senaha
動機: 実験による制限の精度が向上しているので、
脱結合条件の精度を上げたい。
一次相転移が始まるのは２つの相が縮退するTC ではなく、
核形成が始まるTN である。
(
ΓN (T ) ≃ T
核形成率
4
Ecb(T )
2πT
)3/2
e−Ecb(T )/T
[Linde, Nucl. Phys. B216 ('83)]
Ecb(T ) : critical bubbleエネルギー ← Veff (T )を用いた運動方程式
境界条件:
Veff (TN )
ϕ′(r = 0) = 0
ϕ(r = ∞) = 0
v
vN
vN
0
r
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
44/45
TN (nucleation temp.)の定義:
→
ΓN (TN )H(TN )−3 = H(TN )
Ecb(TN ) 3
Ecb(TN )
TN
− log
= 152.59 − 2 log g∗(TN ) − 4 log
TN
2
TN
100GeV
実験(LEP2, B, etc)の制限をクリアしたあるパラメータセットに対して、
TC = 117.97GeV, vC = 101.18GeV −→ TN = 116.9GeV, vC = 117.9GeV
vC
vN
= 0.86
= 1.01
−→
15%増大
TC
TN
⋆ sphaleron decoupling conditionの精度の向上
◃ Esph(T )を、Veff (T )を用いて計算する。
◃ zero-mode factorも、有限温度での解の周りの揺らぎから。
in progress
— phaleron decoupling and E
hase transitio —
45/45

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