応用力学研究所研究集会報告 No.16ME-S1 「非線形波動の物理と数理構造」（研究代表者梶原健司） Reports of RIAM Symposium No.16ME-S1 Physics and Mathematical Structures of Nonlinear Waves Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy, Kasuga, Fukuoka, Japan, November 15 - 17, 2004 Article No. 19 退化ガルニエ系の古典解とその退化構造鈴木貴雄（SUZUKI Takao）（Received February 22, 2005） Research Institute for Applied Mechanics Kyushu University April, 2005 退化ガルニエ系の古典解とその退化構造鈴木貴雄 (Takao SUZUKI) 京都大学数理解析研究所 (RIMS, Kyoto University)1 概要パンルヴェ第 5 方程式の多変数拡張である退化ガルニエ系について, 特殊函数解、代数函数解といった古典解を与える. またそれらの解の退化構造についても調べる. 1 Introduction パンルヴェ方程式 PJ (J = I, . . . , VI) は, それぞれ自然数 4 の分割と次のように対応した単独 2 階フックス型微分方程式の変形理論から得られる. PI PII PIII なし (4) PIV PV PVI (2, 2) (1, 3) (1, 1, 2) (1, 1, 1, 1) 上の表において分割 (ri , . . . .rk ) は, 線形方程式がポワンカレ位数がそれぞれ r1 − 1, . . . , rk − 1 の k 個の特異点を持つことを意味する. ガルニエ系は N + 3 個の確定特異点を持つ線形方程式の変形理論から得られるハミルトン系 (またはシュレジンガー系) であり, パンルヴェ方程式と同様に, 自然数 N + 3 の分割 (1, . . . , 1) に対応する方程式系とも見なせる. パンルヴェ方程式 PI , . . . , PV はそれぞれ, 線形方程式の特異点の合流に伴う PVI からの退化極限操作によって得られる. 同様にしてガルニエ系の退化も考えることが出来 (e.g.[1]), 任意の自然数の分割それぞれに対応する退化ガルニエ系が存在する. 以降, 自然数 N + 3 の分割 (r1 , . . . , rk ) に対応した退化ガルニエ系を G(r1 , . . . .rk ; N ) と記す. ¥ ¨ N =1 - (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) PVI - (1, . . . , 1) - H j - PIV (1, 1, 1, 2) * ©© © - (1, . . . , 1, 2) * ©© © - N ≥3 PIII HH (1, 3) PV N =2 (1, 1, 1, 1, 1) (2, 2) © * ©© - (1, 2, 2) (1, 1, 3) ...... ...... (4) PII Q 3́ Q ´ ´ Q s - HH H j - (2, 3) HH (1, 4) 1 現在 (平成 17 年 2 月) の所属です. ちなみに講演した時の所属は神戸大学大学院自然科学研究科でした. 1 (5) (N + 3) Fig. 1: 自然数 N の分割に対応した退化ガルニエ系の地図 § j H - ¦ 良く知られているように, パンルヴェ方程式は 2 つのクラスの特殊解を持つ. 一つは超幾何函数などで表される特殊函数解で, もうひとつは代数函数 (または有理函数) 解であり, これらの特殊解の退化構造も詳しく調べられている [4, 5]. また, ガルニエ系 G(1, . . . , 1; N ) もそれらの特殊解を持つことが分かっている [2, 7, 8]. 本研究では, 退化ガルニエ系 G(1, . . . , 1, 2; N ) の特殊解およびその退化構造を, タウ函数のレベルで調べることを目的とする. 本研究で得られた結果は次の通りである: ¨ ¥ 定理退化ガルニエ系 G(1, . . . , 1, 2; N ) は次の 3 種類の特殊解を持つ: (1) 超幾何級数 ΦD によって表される古典超越解; (2) シューア多項式によって表される有理函数解; (3) 普遍指標 (cf.[3]) によって表される代数函数解. § ¦ 2 ガルニエ系ガルニエ系 G(1, . . . , 1; N ) は, 次のシュレジンガー系によって表される: dAj = N +2 X [Ai , Aj ] d log (tj − ti ), i=1,i6=j Ã aj Aj = cj bj dj ! (j = 1, . . . , N + 2). (1) ここで, ti (i = 1, . . . , N ) が独立変数, aj , bj , cj , dj (j = 1, . . . , N + 2) が従属変数である. また, tN +1 = 1, tN +2 = 0 とし, 次の条件が常に満たされているとする: (1a) (1b) detAj = 0, − PN +2 j=1 trAj = θj ∈ / Z (j = 1, . . . , N + 2); Aj = diag(ρ, ρ + θN +3 ), θN +3 ∈ / Z. ZN +3 の部分集合 L1 を次で定義する: ¯ © ª L1 = µ = (µ1 , . . . , µN +3 ) ∈ ZN +3 ¯ |µ| = µ1 + · · · + µN +3 ∈ 2 Z . このとき, G(1, . . . , 1, N ) はパラメータに次のように作用する (シュレジンガー) 変換 Tµ (µ ∈ L1 ) の元で不変である (Tµ の従属変数への作用については論文 [6] を参照): Tµ (θj ) = θj + νj (j = 1, . . . , N + 3). これにより, G(1, . . . , 1; N ) に付随する格子上のタウ函数が次のパッフ系で定義される: d log τµ = N N +2 X X i=1 j=1,j6=i 3 1 Tµ (trAi Aj − θi θj ) dti ti − tj (µ ∈ L1 ). (2) 退化ガルニエ系双有理変換 θ1 → 1/ε, θN +2 → θN +2 − 1/ε, t1 → εt1 , 2 A1 → A1 , εt1 AN +2 → AN +2 − A1 , εt1 および極限 ε → 0 によって, G(1, . . . , 1; N ) は次の微分方程式系に変換される: dA1 = N +1 X [Ai , A1 ] d log ti + (A1 + [AN +2 , A1 ]) d log t1 , i=2 dAj = N +2 X [Ai , Aj ] d log (tj − ti ) + i=2,i6=j dAN +2 = N +1 µ X i=2 [A1 , Aj ] tj d log tj t1 (j = 2, . . . , N + 1), (3) ¶ [Ai , A1 ] ti d log + [Ai , AN +2 ] d log ti . ti t1 この方程式系 (3) を退化ガルニエ系 G(1, . . . , 1, 2; N ) と呼ぶことにする. ここで, 次の条件が常に満たされる: (2a) trA1 = t1 , (2b) detAj = 0 (j = 1, . . . , N + 1), trA1 AN +2 = t1 θN +2 ; PN +2 − j=2 Aj = diag(ρ, ρ + θN +3 ), θN +3 ∈ / Z. (2c) trAj = θj ∈ / Z (j = 2, . . . , N + 2); このとき, タウ函数の変換 τ µ → τν , ν = (µ2 , . . . , µN +1 , µ1 + µN +2 , µN +3 ) ∈ L2 (µ ∈ L1 ), を通じて, パッフ系 (2) も次のように変換される: d log τν = N X Tν (Hi ) dti (ν ∈ L2 ). (4) i=1 ここで, ハミルトニアン Hi は次のように与えられる: H1 = − Hi = N +1 X 1 trA1 Aj − t1 θj det AN +2 − , t1 t1 tj j=2 N +2 X trAi A1 − t1 θi trAi Aj − θi θj + 2 ti ti − tj (i = 2, . . . , N ). j=2,j6=i また, L2 は次のように定義される ZN +2 の部分集合とする: ¯ © ª L2 = ν = (ν2 , . . . , νN +3 ) ∈ ZN +2 ¯ |ν| = ν2 + · · · + νN +3 ∈ 2 Z . こうして, G(1, . . . , 1, 2; N ) に付随する格子上のタウ函数が得られた. これらのタウ函数から G(1, . . . , 1, 2; N ) の従属変数が次のように復元される. 命題 3.1. G(1, . . . , 1, 2; N ) の解はタウ函数によって次のように表される: τ(0,...,0,2) , θN +3 τ0 τ(0,...,0,2) 1 ai = (Di DN +3 log τ0 − θi ρ) , bi = Di (i = 2, . . . , N ), θN +3 τ0 ½ ¾ 1 (DN +1 + 1)DN +3 log τ0 − ρ(ρ + θN +1 + θN +3 ) , aN +1 = θN +3 τ(0,...,0,2) bN +1 = (DN +1 + θN +3 + 1) , τ0 ½ ¾ 1 aN +2 = (DN +2 − 1)DN +3 log τ0 − ρ(ρ + θN +2 + θN +3 ) , θN +3 τ(0,...,0,2) bN +2 = (DN +2 − θN +3 − 1) , τ0 a1 = t1 (D1 DN +3 log τ0 − ρ) , b1 = t1 D1 3 ただし, Di = ∂/∂ti (i = 1, . . . , N ) で DN +1 = − N X ti Di , DN +2 = t1 D1 + i=1 N X (tj − 1)Dj , j=2 DN +3 = −t1 D1 + N X ti (ti − 1)Di . i=2 4 超幾何函数解および有理函数解まず最初に, ロリチェラの超幾何級数の定義について復習しておく. 整数値ベクトル m = (m1 , . . . , mN ) に対して, 1 N tm = tm . . . tm 1 N , |m| = m1 + · · · + mN . とおく. このとき, ロリチェラの超幾何級数 FD は次のように定義される: FD (α, β1 , . . . , βN , γ; t) = X m∈(Z≥0 )N (α)|m| (β1 )m1 . . . (βN )mN m t , (γ)|m| (1)m1 . . . (1)mN ただし (α)k = α(α + 1) . . . (α + k − 1). 変数変換 β1 → 1/ε, t1 → εt1 および連続極限 ε → 0 によって, FD は次の超幾何級数に変換される: ΦD (α, β2 , . . . , βN , γ; t) = X m∈(Z≥0 )N (α)|m| (β2 )m2 . . . (βN )mN m t , (γ)|m| (1)m1 . . . (1)mN この ΦD はクンマーの超幾何級数の一般化になっていることを注意しておく. (1) 良く知られているように, G(1, . . . , 1; N ) は超幾何函数解によって表される特殊解を持つ. 函数 σm,n (m, n ∈ Z≥0 ) を次のように定義する: (1) σ0,n = 1, (1) σ1,n = (θN +2 − n)(θN +3 + n) t1 (1 − t1 )−(θN +2 +θN +3 +1) (1) σm,n × FD (−θN +3 − n, θ1 , . . . , θN , −θN +1 − θN +3 − n + 1; t), ³ ´ (1) = det X i−1 Y j−1 σ1,n (m ≥ 2), i,j=1,...,m ただし X= N t1 X (ti − 1)Di , t1 − 1 i=1 Y = N 1 X ti (ti − 1)Di . t1 − 1 i=1 定理 4.1 ([8]). G(1, . . . , 1; N ) は条件 ρ = 0 の下で次のタウ函数の族を持つ: (1) (1) τ(0,...,0,m−n,m+n) = Cm,n σm,n (m, n ∈ Z≥0 ), ただし −m(m+1)/2 (1) Cm,n = t1 (1 − t1 )m(θN +2 +θN +3 +m) m Y k=1 4 1 . (θN +2 − n)k (5) (1) 極限操作 t1 → εt1 , θ1 → 1/ε, θN +2 → θN +2 − 1/ε および ε → 0 により, σm,n は次で定義される函数 (2) σm,n に変換される: (2) σ0,n = 1, (2) σ1,n = (θN +3 + n) t1 e−t1 ΦD (−θN +3 − n, θ2 , . . . , θN , −θN +1 − θN +3 − n + 1; t), ³ ´ (2) j−1 (2) σm,n = det (t1 D1 )i−1 DN σ (m ≥ 2). +3 1,n i,j=1,...,m これにより, 次の定理が得られる. 定理 4.2. G(1, . . . , 1, 2; N ) は条件 ρ = 0 の下で次のタウ函数の族を持つ: (2) (2) τ(0,...,0,m−n,m+n) = Cm,n σm,n (m, n ∈ Z≥0 ), (6) ただし −m(m+1)/2 mt1 (2) Cm,n = t1 e . 次に, シューア函数の定義について復習する. 自然数の分割 λ = (λ1 , . . . , λl ) に対して, シューア多項式は次で定義される: Sλ (x) = det (pλi −i+j (x))i,j=1,...,l , x = (x1 , x2 , . . .). ただし pn (x) は次のように定義される多項式とする: X pn (x) = k1 +2k2 +...+nkn =n xk11 xk22 . . . xknn . k1 !k2 ! . . . kn ! (7) [8] と同様の方法で, (6) で与えられたタウ函数はシューア函数によって表されるタウ函数を導く. 定理 4.3. G(1, . . . , 1, 2; N ) は条件 ρ = θN +3 = 0 の下で次のタウ函数の族を持つ: τ(0,...,0,m−n,m+n) = S(nm ) (x) (m, n ∈ Z≥0 ), ただし (nm ) = (n, . . . , n), x1 = t 1 + N +1 X tj θ j , xk = j=2 5 N +1 1 X k t θj k j=2 j (k ≥ 2). 代数函数解まず最初に, [3] に従って普遍指標の定義について復習しておく. 普遍指標 S[λ,µ] (x, y) はシューア函数の一般化の一つであり, 自然数の分割の組 [λ, µ] = [(λ1 , . . . λl ), (µ1 , . . . µr )] に対して, 次で定義される: Ã ! qλr−i+j +i−j (y), 1 ≤ i ≤ r . S[λ,µ] (x, y) = det pλ−r+i −i+j (x), r + 1 ≤ i ≤ l + r 1≤i,j≤l+r G(1, . . . , 1; N ) はこの普遍指標で表される特殊解を持つことが知られている. 新しい独立変数 ξ を ξi2 = 1 − ti (i = 1, . . . , N ). (1) で導入する. また, ξ の函数 Nm,n を次で定義する: (1) Nm,n = N Y i=1 −θi (θi +2m−2n+1)/2 ξi ¶−θi θN +2 N µ Y ξi + 1 2 i=1 5 N Y i,j=1,i<j µ ξi + ξj 2 ¶−θi θj . 定理 5.1 ([7]). G(1, . . . , 1; N ) は条件 θN +1 = 1/2, θN +3 = −1/2 の下で次のタウ函数の族を持つ: (1) τ(0,...,0,m−n,0,m+n) = Nm,n S[u!,v!] (x, y) (m, n ∈ Z), ただし 1 xk = k Ã θN +2 + N X ! θi ξik 1 yk = k , i=1 Ã θN +2 + N X ! θi ξi−k , i=1 [u!, v!] = [(u, u − 1, . . . , 1), (v, v − 1, . . . , 1)], u = |m + n − 1/2| − 1/2, v = |m − n + 1/2| − 1/2. (1) 極限操作 t1 → εt1 , θ1 → 1/ε, θN +2 → θN +2 − 1/ε および ε → 0 によって, Nm,n は次に変換される: ¶−θi θN +2 Y µ ¶−θi θj N N µ N Y Y ξi + 1 ξi + ξj −θ (θ +2m−2n+1)/2 (2) Nm,n = e∆m,n ξi i i , 2 2 i=2 i=2 ただし ∆m,n t2 t1 = 1 + 32 4 i,j=2,i<j Ã N X 2 θi 2m − 2n + 1 + θN +2 + 1 + ξi i=2 ! . これにより, 次の定理が得られる. 定理 5.2. G(1, . . . , 1, 2; N ) は条件 θN +1 = 1/2, θN +3 = −1/2 の下で次のタウ函数の族を持つ: (2) τ(0,...,0,m−n,0,m+n) = Nm,n S[u!,v!] (x, y) ただし 1 xk = k Ã N X k θN +2 − t1 + θi ξik 2 i=2 ! 1 yk = k , Ã (m, n ∈ Z), N X k θN +2 + t1 + θi ξi−k 2 i=2 ! . 参考文献 [1] H. Kimura, The degeneration of the two dimentional Garnier system and the Polynomial Hamiltonian structure, Ann. Mat. Pura Appl., 155 (1989), 25-57. 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