演習用紙

「基礎 OR」／「OR 演習」第５回（２０１６年１１月１日）
演習課題
学籍番号＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
氏名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
1
演習課題５．１右図の s から t への最短路問題を定式化せよ。また、
係数行列がどのような形をとるか示せ。さらに、この問題の双対問題
がどのようになるか示せ。
定式化：
定数（データ） cij＝頂点 i と頂点 j を結ぶ枝(i,j)の「距離」
変数 xij＝有向枝(i,j)を通過すれば 1、そうでないときは 0
1
10
s
t
3
2
6
5
2
2
3
最短路問題
目的関数最小化 z ＝Σすべての枝(i,j)cij xij
制約条件（例）頂点 1 頂点 1 に入る xij の合計－頂点 1 から出る xij の合計＝0（入って出る）
xs1＋x21－x12－x1t＝0
xij≧0（xij の 0-1 整数条件を加えなくても可能基底解は自動的に 0-1 解となる）
1
問題の係数行列（空欄を埋めよ。左辺係数行列の 0 は省略した方が見やすい。）：
目的関数
頂点s
頂点1
頂点2
頂点3
頂点t
1
z
-10 -5
xs1 xs2
1
-2
x 12
-1
-3
x 21
-1
x 1t
1
-1
-2
x 23
-6
x 3t
等号等
=
=
右辺定数双対変数
-1
us
0
u1
u2
u3
ut
最短路問題の双対問題：
頂点 i に対応する双対変数 ui を導入(変数名は好みや習慣の問題なので自由に選んでよい)
等号制約に対応する双対変数は符号条件がないことに注意
目的関数最大化ｗ＝
制約条件
2
8
1
演習課題５．２右図の s から t への最大流問題を定式化せよ。また、係数
行列がどのような形とるか示せ。さらに、この問題の双対問題がどのよう
になるか示せ。
5
t
2
s
6
8
2
最大流問題の定式化：
定数（データ） bij＝頂点 i と頂点 j を結ぶ枝(i,j)の「容量」
変数 xij＝有向枝(i,j)の流量≧0，ｆ＝流量（最大化）
5
3
最大流問題（久保[1]）
目的関数最大化 f
制約条件
最大流問題の係数行列（空欄を埋めよ。左辺係数行列の 0 は省略した方が見やすい。）：
目的関数
1
0
0
0
0
0
ｆ
xs1
xs2
x 21
x 1t
x 23
頂点s
頂点1
頂点2
頂点3
頂点t
枝(s ,1)
枝(s ,2)
枝(2,1)
枝(1,t )
枝(2,3)
枝(3,t )
0
x 3t 等号等右辺定数双対変数
=
us
≦
vs1
最大流問題の双対問題：
頂点 i に対応する双対変数 ui、ならびに、枝(i,j)に対応する双対変数 vij を導入
等号制約に対応する双対変数は符号条件がないことに注意
目的関数最小化
ｗ＝
制約条件
3
演習課題５．３ 3 工場（P1－P3）4 需要地（M1－M4）からなる輸送問題を、工場 i から需要地ｊへの輸
送量を変数ｘij で表す線形計画問題として定式化せよ。また、下図のような表形式で定式化の係数を表す
と輸送問題の係数行列がどのようになるか以下に示せ。さらに、この輸送問題の双対問題を示せ。なお、
工場ｉの供給量をａi 、需要地ｊの需要量をｂj（ただし、Σi = 1,…,3ａi ＝Σj =1,…,4ｂj を仮定）とし、工場 i
から需要地ｊへの輸送単価はｃij で表すものとする。
輸送問題の定式化：
目的関数最小化ｚ＝
制約条件
輸送問題の係数行列（空欄を埋めよ。左辺係数行列の 0 は省略した方が見やすい。）：
目的関数
1
z
-c 11
x 11
-c 12
x 12
x 13
x 14
x 21
x 22
x 23
x 24
x 31
x 32
x 33
P1
P2
P3
M1
M2
M3
M4
輸送問題の双対問題：
工場 i に対応する双対変数 ui、ならびに、需要地ｊに対応する双対変数 vj を導入
等号制約に対応する双対変数は符号条件がないことに注意
目的関数最大化
ｗ＝
制約条件
4
x 34
等号等右辺定数
=
=
=
=
=
=
=
≦,≧,＝
演習課題５．４次の図は道路ネットワークで、枝に書かれている数字は枝を通過するのにかかる所要時
間を表すものとする。このとき、以下の問いに答えなさい。
（１）ノード１から他のノードへ最短時間で行けるルートを図に書き込みなさい。ただし、暗算ではなく、
テキストのダイクストラ法を使って計算すること。アルゴリズムの記述通りgj を更新する方法と、ガント
チャートもどきの方法を試しなさい。
（２）同じネットワークでノード１からノード９へ行くための最短路を求める問題を線形計画問題として
定式化し、ソルバーを使って解きなさい。ただし、枝は左上から右下に向きがついているものとします。
ノード１からノード 9 への最短距離＝＿＿＿＿＿＿
最短経路＝１→
→９
（３）（時間があれば）同じネットワークで枝が双方向の場合、ノード１からノード７へ行くための最短
路をソルバーで求めてください。
5
演習課題５．５以下の距離行列を持つ有向ネットワークの任意の 2 点間の最短距離を求めよ。
元問題
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
1
2
3
4
5
6
1
0
3
∞
∞
∞
∞
2
5
0
6
9
∞
∞
3
8
∞
0
∞
∞
3
4
∞
2
7
0
6
7
5
∞
4
2
∞
0
∞
6
∞
9
∞
1
4
0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
終了
1
2
3
4
5
6
6
演習課題５．６ 3つの工場から4つの需要地へものを運ぶ輸送問題の初期解をハウザッカー法を用いて計
算し、飛び石法で改良し最適解を求めなさい。
No.０(ハウ
ザッカー法）
需要地
Ｍ１
需要地
Ｍ２
4
6
需要地
Ｍ３
3
需要地
Ｍ４
供給量
8
工場Ｐ１
35
4
2
6
5
工場Ｐ２
20
3
6
8
10
工場Ｐ３
15
需要量
No.1
18
12
16
24
70
需要地
Ｍ１
需要地
Ｍ２
需要地
Ｍ３
需要地
Ｍ４
供給量
6
4
3
8
工場Ｐ１
35
4
2
6
5
工場Ｐ２
20
3
8
6
10
工場Ｐ３
15
需要量
No.2
6
18
12
16
24
70
需要地
Ｍ１
需要地
Ｍ２
需要地
Ｍ３
需要地
Ｍ４
供給量
4
3
総費用
8
工場Ｐ１
35
4
2
6
5
工場Ｐ２
20
3
6
8
10
工場Ｐ３
15
時間があれば、ソルバーを使って、最適解を計算し、手計算と一致することを確かめなさい。ソルバーの
結果から、工場P1 から需要地M3 への輸送単価だけが変化したとき、どの範囲で最適解が変わらないか示
しなさい。
最適解が変化しないP1からM3の輸送単価の範囲：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
7
演習課題５．７倉庫の数を m、需要地の数を n として、練習３．８（p.101）の数理計画問題の一般的
定式化を示しなさい。
ヒント：倉庫ｉを借りる場合は 1、さもなければ 0 とする 0-1 変数ｙi と、倉庫ｉから需要地ｊへの輸送
量を表す非負実数変数ｘij を用いた「混合整数計画問題」として定式化すればよい。
8

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