経済学部・最適化と制御 (1)

経済学部・最適化と制御 (1)
Resumé
1. 3 つの例
2. 必要な道具
問題
1. 類似の例を考えよ。
[参考]
講義ノートと問題の解答
URL:https://www.cis.fukuoka-u.ac.jp/ nyamada/講義ノート
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1
経済学部・最適化と制御 (2)
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1. 連立 1 次方程式
2. 連立 1 次方程式と直線のグラフ
問題
1. 次の連立 1 次方程式を、拡大係数行列を用いて解け。
(1)
{
x + 4y = 16
(2)
{
2x + 5y = 30
3x + 2y = 18
4x + y = 24
2. 次の連立方程式を直線を用いて表せ。
{
7x + 5y = 35
x + 2y
2
=8
経済学部・最適化と制御 (3)
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1. 1 次不等式の表す領域
2. 連立 1 次不等式の表す領域
3. 線形計画法の数学的表現
問題
1. 次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) 3x + y ≦ 18
(2) 2x + 5y ≦ 30
2. 次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
{
7x + 5y ≦ 35
x + 2y
3
≦8
経済学部・最適化と制御 (4)
Resumé
1. 2 次元の線形計画法 —幾何学的アプローチ—
2. 多次元問題の考え方 —シンプレックス法—
問題
1. 目的関数 P = x + 2y を、制約条件
3x + 8y ≦ 200
5x + 4y ≦ 240
と非負条件
x ≧ 0,
y≧0
のもとで最大化する問題を考える。次の問いに答えよ。
(1) 実行可能領域を図示せよ。
(2) 実行可能領域の端点の座標を求めよ。
(3) 目的関数 P の最大値とそれを実現する x, y の値を求めよ。
4
経済学部・最適化と制御 (5)
Resumé
1. シンプレックス法と幾何学的アプローチ
2. いくつかの例題
問題
1. 目的関数 P = x + 2y を、制約条件
3x + 8y ≦ 200
5x + 4y ≦ 240
と非負条件
x ≧ 0,
y≧0
のもとで最大化する問題を考える。次の計算はこの問題をシンプ
レックス法で解いたときの計算である。空欄を埋めよ。ただし下線
の数字はピボットを表している。


8
1 0 0


4
0 1 0


0 0 1
0

3
8
7
2
1 18 0 0
0 − 21 1 0


− 14 0
1
4


0 1

5
3
0 1 28
− 28
0

1
2
0
1 0 − 7
7
3
1
0 0 14
1
14
これにより、目的関数 P の最大値は P =
,y=
のときに実現される。
5




であり、それは x =
経済学部・最適化と制御 (6)
Resumé
1. 関数の変化率、微分
2. 微分の計算
3. 関数の増減、極値
4. 平均値の定理
5. 応用
問題
1. 次の関数の導関数を求めよ。
(1) y = 3x3 − x2
(2) y = −5x2 + 10x
(3) y = x3 − 6x2 + 3
(4) y = (4x2 − 1)(3x + 2)
√
(5) y = x2 + x
2. 次の関数の増減を調べてグラフの概形を描け。
(1) y = x3 − 12x − 1
(2) y = −2x3 − 3x2
6
経済学部・最適化と制御 (7)
Resumé
1. 2 変数関数と曲面
2. 偏微分
3. 極値
問題
1. 次の関数の偏導関数を求めよ。
(1) z = 2x2 + xy + y 2
(2) z = 3x2 − 2x2 y + y 4 − 2
(3) z = (x − y)(x2 + 3y)
√
(4) z = x2 + x y + y 3
(5) z = x3 y + 2x1/3 y 2/3
7
経済学部・最適化と制御 (8)
Resumé
1. 等式制約条件つき最適化問題
2. ラグランジュ乗数法
問題
1. 次の関数の極値を求めよ。
(1) z = x2 + 2y 2 − 2x + 4y + 1
(2) z = 3x2 − 6xy + 2y 3 − 3
8
経済学部・最適化と制御 (9)
Resumé
1. ラグランジュ乗数法の例
2. ラグランジュ乗数法の幾何学的解釈
問題
1. 次の等式制約条件つき最適化問題を、ラグランジュ乗数法を用いて
解け。
(1) maximize 3x + y subject to x2 + y 2 = 1
(2) maximize xy subject to x2 + y 2 = 2
9
経済学部・最適化と制御 (10)
Resumé
1. 不等式制約条件をもつ最適化問題
2. クーン・タッカーの定理
問題
1. 次の不等式制約条件つき最適化問題を、クーン・タッカーの定理を
用いて解け。
(1) maximize 2x − y subject to x2 − y ≦ 1 ≧ 0
(2) maximize xy subject to 2x + y 2 ≦ 3
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経済学部・最適化と制御 (11)
Resumé
1. 不定積分
2. 公式と計算
3. 定積分
4. 例
問題
1. 次の不定積分を求めよ。
∫
(1) (x2 + 3x + 1) dx
∫
(2) (x + 1)(2x − 1) dx
∫
(3)
t(3t + 1) dt
)
∫ (
1
(4)
dx
x+
x
∫
(5) (et + e−t ) dt
2. 次の定積分を求めよ。
∫ 3
(1)
(x2 − 2x) dx
1
∫
1
(2)
−1
1
(3x2 + 14x − 8) dx
∫
e2t dt
0
)
∫ e(
1
(4)
x+
dx
x
1
(3)
11
経済学部・最適化と制御 (12)
Resumé
1. 動的最適化問題
2. 例と数学的定式化
3. 最適化の必要条件
4. オイラー方程式
問題
1. 次の数式で表現された動的最適化問題の具体例を考えてみよ。
∫ 1
minimize F [x] =
(x(t) + ẋ(t)) dt subject to x(0) = 0,
0
x(1) = 1
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経済学部・最適化と制御 (13)
Resumé
1. オイラー方程式の導出とその解法
2. 製造計画の問題
3. 懸垂線の問題
問題
1. 動的最適化問題の具体例を考えてみよ。
13
経済学部・最適化と制御 (14)
Resumé
1. 動的最適化問題の解法
2. 問題演習
問題
次の動的最適化問題を，オイラー方程式を用いて解け。
∫ 3
1. minimize F [x] =
(12tx(t) + ẋ(t)2 ) dt
1
subject to x(1) = 0, x(3) = 6
∫ 2
2. minimize F [x] =
(ẋ(t)2 + tẋ(t) − x(t)) dt
0
subject to x(0) = 2, x(2) = 4
∫ 1
3. minimize F [x] =
(x(t)2 + ẋ(t)2 ) dt
0
subject to x(0) = 1, x(1) = 1
∫ 1
4. minimize F [x] =
e−rt (t2 + ẋ(t)2 ) dt
0
subject to x(0) = 0, x(1) = 2
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経済学部・最適化と制御 (15)
Resumé
1. まとめ
2. 総合演習
問題
1. 練習問題を配付予定。
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