平成 28 年度 解析力学 講義ノート [8]（担当：井元信之）
2016 年 6 月 16 日
前回の演習問題の答
［問 3.3］天井走行クレーンに関して、(3.55) を導け。
解答：L =
m 2 2
ℓ θ̇
2
+ mℓθ̇ẏ0 cos θ +
m 2
ẏ
2 0
+ mgℓ cos θ より
∂L
= mℓ2 θ̇ + mℓẏ0 cos θ
∂ θ̇
d ∂L
= mℓ2 θ̈ + mℓÿ0 cos θ − mℓẏ0 θ̇ sin θ
dt ∂ θ̇
⇒
∂L
= −mℓθ̇ẏ0 sin θ − mgℓ sin θ
平成 27 年度 解析力学 ∂θ講義ノート [9]（担当：井元信之）
ラグランジュの運動方程式より (1) と (2) 最右辺同士を等しいとおくと
mℓ2 θ̈ + mℓÿ0 cos θ = −mgℓ sin θ
前回の演習問題の答
(1)
(2)
2015 年 6 月 11 日
(3)
左辺第二項と右辺を移項して交換し両辺を mℓ2 で割るとただちに (3.55) を得る。
［問 3.3］天井走行クレーンに関して、(3.55) を導け。
解答：L =
m 2 2
ℓ θ̇
2
+ mℓθ̇ẏ0 cos θ +
m 2
ẏ
2 0
+ mgℓ cos θ より
∂L
= mℓ2 θ̇ + mℓẏ0 cos θ
∂ θ̇
⇒
d ∂L
= mℓ2 θ̈ + mℓÿ0 cos θ − mℓẏ0 θ̇ sin θ
dt ∂ θ̇
∂L
= −mℓθ̇ẏ0 sin θ − mgℓ sin θ
∂θ
ラグランジュの運動方程式より (1) と (2) 最右辺同士を等しいとおくと
mℓ2 θ̈ + mℓÿ0 cos θ = −mgℓ sin θ
(1)
(2)
(3)
左辺第二項と右辺を移項して交換し両辺を mℓ2 で割るとただちに (3.55) を得る。
第 3 章 ラグランジュ形式の力学 — 一般編 —
46
3.2.3
回転座標系
回転座標系は座標変換が陽に時間を含む典型例である。等速直線運動する座標系（ガリレイ変換による動く
座標）であれば慣性系であるが、回転座標系は慣性系ではないため、みかけの力がいろいろ発生する。デカル
ト座標 x, y を角度 θ だけ回転した座標を X, Y とすると
X = x cos φ + y sin φ
Y = −x sin φ + y cos φ
Z=z
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(3.82)
の関係にある。これも慣性系のデカルト座標である。しかし角度が φ = ωt のように時間に比例して増える場合、
⎫
⎪
X(t) = x cos ωt + y sin ωt ⎪
⎪
⎬
(3.83)
Y (t) = −x sin ωt + y cos ωt
⎪
⎪
⎪
⎭
Z=z
となる。この X, Y, Z を一般座標としたのが回転座標系である。これを逆に解いた
⎫
⎪
x = X cos ωt − Y sin ωt ⎪
⎪
⎬
y = X sin ωt + Y cos ωt
⎪
⎪
1
⎪
⎭
z=Z
(3.84)
を使うと
⎫
⎪
ẋ = Ẋ cos ωt − Ẏ sin ωt − ω(X sin ωt + Y cos ωt) ⎪
⎪
⎬
ẏ = Ẋ sin ωt + Ẏ cos ωt + ω(X cos ωt − Y sin ωt)
⎪
⎪
⎪
⎭
˙
(3.85)
z=Z
3.2. 時間を含む扱い
を使うと
47
⎫
⎪
⎬
と定義すると、T ′ − U ′ は同じラグランジアンになる。この
U ′+は一般ポテンシャル（
generalized potential）あ
⎪
ẋ = Ẋ cos ωt − Ẏ sin ωt − ω(X sin ωt
Y cos ωt) ⎪
るいは一般化ポテンシャルと呼ばれる。回転座標系とともにある観測者にとっては、質点の運動エネルギーは
(3.85)
ẏ = Ẋ sin ωt + Ẏ cos ωt + ω(X cos ωt − Y sin ωt)
⎪
⎪
⎪
⎭
T ′ と思う一方、速度にも依存する
ż = Ż U ′ という一種のポテンシャルの下で運動している、というように見える。
コリオリの力をこのように「U ′ にしまい込む」ことができるのは、コリオリの力が仕事をしないことによる。
したがって運動エネルギーは
この「速度にも依存するポテンシャルにしまい込む」ことは、次節の電磁場の中を動く荷電粒子のラグランジ
m 2
m 2 2
2
2
2
T =
(Ẋ + Ẏ + Ż ) + mω(X Ẏ − Y Ẋ) +
2
アンを求めることに利用できる。
2
ω (X + Y )
(3.86)
となる。いま力は元の座標
x, y, z で保存力すなわちポテンシャル
U (x, y, z) から導かれる力とすると、回転座
ポテンシャル U が軸対称でない場合は、元々の
U (r) が時間に依存せず空間に固定されていたとしても、
U (R)
標系では
を使って X(t), Y (t), Z(t) の関数となる。そうしてできた U (X, Y, Z) は X, Y, Z を通じて t を
は時間 t (3.84)
に依存することになる。その中を動く質点の運動方程式は複雑化する。ポテンシャルが軸対称であれ
陽に含んでいるが、Ẋ, Ẏ , Ż は含んでいない。そのことに注意してラグランジュの運動方程式を立てると
ば、U (R) も空間だけの関数となり、回転座標系は使いやすいものとなる。
⎫
∂U
⎪
mẌ = − ∂X
+ 2mω Ẏ + mω 2 X ⎪
⎪
⎬
∂U
(3.87)
mŸ = − ∂Y − 2mω Ẋ + mω 2 Y
⎪
⎪
3.2.4 速度に依存する力 (1) — ローレンツ力
⎪
⎭
mZ̈ = − ∂U
∂Z
ラーモアの定理
となる。右辺第二項は初等力学でなじみ深いコリオリの力、第三項は遠心力である。ここでコリオリの力は
(3.86)
右辺第二項から生じており、遠心力は第三項から生じていることに注意されたい。このことは次節で電
静止系（慣性系）でも現れる速度に依存する力の例としてローレンツ力がある。電荷
e を持つ9 質量 m の質
磁場中の荷電粒子のラグランジアンを求めるときに立ち戻る。
点が電場 E および磁束密度 B がある空間を速度 v= ṙ で進むとき、ローレンツ力
ところで回転座標系におけるラグランジアンは (3.86) から U を引いたものであるが、ここで新たに
B)
(3.90)
mF =2 e(E 2+ v ×
(Ẋ + Ẏ + Ż 2 )
(3.88)
2
が働く。いま電場は電位ポテンシャル
φ(r)
から
E = −∇φ
m によって導かれるとすると、運動方程式は
U ′ = U − mω(X Ẏ − Y Ẋ) − ω 2 (X 2 + Y 2 )
(3.89)
2
T′ =
mr̈ = −e∇φ + e ṙ × B
3.2. 時間を含む扱い
(3.91)
47
となる。特に磁場が z 方向に一様で
⎛
⎞
と定義すると、T ′ − U ′ は同じラグランジアンになる。この U ′ 0
は一般ポテンシャル（generalized potential）あ
⎜
⎟
⎜
⎟
B=⎜ 0 ⎟
るいは一般化ポテンシャルと呼ばれる。回転座標系とともにある観測者にとっては、質点の運動エネルギーは
⎝
⎠
T ′ と思う一方、速度にも依存する U ′ という一種のポテンシャルの下で運動している、というように見える。
B
(3.92)
コリオリの力をこのように「U ′ にしまい込む」ことができるのは、コリオリの力が仕事をしないことによる。
とすると、(3.91) は
⎫
mẍ = −e ∂x + eB ẏ ⎪
⎪
⎬
アンを求めることに利用できる。
∂φ
mÿ = −e ∂y − eB ẋ
⎪
⎪
ポテンシャル U が軸対称でない場合は、元々の U (r) が時間に依存せず空間に固定されていたとしても、
U (R)
⎪
∂φ
⎭
mz̈ = −e
この「速度にも依存するポテンシャルにしまい込む」ことは、次節の電磁場の中を動く荷電粒子のラグランジ
∂φ
⎪
(3.93)
∂z
は時間 t に依存することになる。その中を動く質点の運動方程式は複雑化する。ポテンシャルが軸対称であれ
となる。これと
(3.87) を比べると、(3.87) 右辺の第三項に相当するもの（遠心力）が (3.93) に存在しないこと
ば、U (R) も空間だけの関数となり、回転座標系は使いやすいものとなる。
を除いて全く同じ形をしている。(3.87) 右辺の第一、第二、第三項のもとになったのがそれぞれ (3.86) 右辺の
第一、第二、第三項であったことを考えると、運動方程式 (3.93) を導くラグランジアンは
速度に依存する力 (1) — ローレンツ力
m
eB
L = (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) +
(xẏ − y ẋ) − eφ
ラーモアの定理
2
2
3.2.4
(3.94)
静止系（慣性系）でも現れる速度に依存する力の例としてローレンツ力がある。電荷 e を持つ9 質量 m の質
とすればよいことがわかる。つまり (3.94) の eB/2 を mω と置き換えれば、(3.86) 第二項のコリオリの力とな
点が電場 E および磁束密度 B がある空間を速度 v= ṙ で進むとき、ローレンツ力
る。このことから「z 方向の静磁場 B が（静止座標系における運動方程式に）与える効果は、磁場がない場合
に −eB/2m の角速度で回る回転座標系に乗って見たときの質点の運動と（遠心力を除けば）同じ」となる。こ
F = e(E + v × B)
(3.90)
の ω = eB/2m をラーモア周波数という。
が働く。いま電場は電位ポテンシャル φ(r) から E = −∇φ によって導かれるとすると、運動方程式は
9 ここで
mr̈ = −e∇φ + e ṙ × B
(3.91)
e は電荷一般を指す。陽子であれば e は電気素量であり、電子の場合は電気素量にマイナスを付けたものである。
となる。特に磁場が z 方向に一様で
⎛
0
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
B=⎜ 0 ⎟
(3.92)
が働く。いま電場は電位ポテンシャル φ(r) から E = −∇φ によって導かれるとすると、運動方程式は
mr̈ = −e∇φ + e ṙ × B
となる。特に磁場が z 方向に一様で
⎛
0
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
B=⎜ 0 ⎟
⎝
⎠
B
とすると、(3.91) は
(3.91)
(3.92)
⎫
⎪
⎪
mẍ = −e ∂φ
+
eB
ẏ
⎪
∂x
⎬
∂φ
mÿ = −e ∂y − eB ẋ
⎪
⎪
⎪
⎭
mz̈ = −e ∂φ
(3.93)
∂z
となる。これと (3.87) を比べると、(3.87) 右辺の第三項に相当するもの（遠心力）が (3.93) に存在しないこと
を除いて全く同じ形をしている。(3.87) 右辺の第一、第二、第三項のもとになったのがそれぞれ (3.86) 右辺の
第一、第二、第三項であったことを考えると、運動方程式 (3.93) を導くラグランジアンは
L=
m 2
eB
(ẋ + ẏ 2 + ż 2 ) +
(xẏ − y ẋ) − eφ
2
2
(3.94)
とすればよいことがわかる。つまり (3.94) の eB/2 を mω と置き換えれば、(3.86) 第二項のコリオリの力とな
る。このことから「z 方向の静磁場 B が（静止座標系における運動方程式に）与える効果は、磁場がない場合
に −eB/2m の角速度で回る回転座標系に乗って見たときの質点の運動と（遠心力を除けば）同じ」となる。こ
の ω = eB/2m をラーモア周波数という。
9 ここで
e は電荷一般を指す。陽子であれば e は電気素量であり、電子の場合は電気素量にマイナスを付けたものである。
第 3 章 ラグランジュ形式の力学 — 一般編 —
48
(3.94) の第一項は運動エネルギー、第三項は静電ポテンシャルである。磁場に関する第二項はどちらでもな
いが、これを「ポテンシャルにしまい込む」ことを考えよう。それは (3.89) を踏襲して新たなポテンシャルを
U (x, y, z, ẋ, ẏ) = −
eB
(xẏ − y ẋ) + eφ
2
(3.95)
とすればよい。次にこれを ω で回転する回転座標系で表現してみる。(3.84) と (3.85) を使うと、
xẏ − y ẋ = X Ẏ − Y Ẋ + ω(X 2 + Y 2 )
となるので、これと 12 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) に対応する (3.86) を組み合わせると、(3.94) は
!
"
!
"
m
eB
mω
eB
L = (Ẋ 2 + Ẏ 2 + Ż 2 ) + m ω +
(X Ẏ − Y Ẋ) +
ω+
(X 2 + Y 2 ) − eφ′
2
2m
2
m
あるいは回転座標系の一般ポテンシャル U ′ に磁場と電場を組み込んで
!
"
!
"
eB
mω
eB
U ′ = −m ω +
(X Ẏ − Y Ẋ) −
ω+
(X 2 + Y 2 ) − eφ′
2m
2
m
(3.96)
(3.97)
(3.98)
を得る。φ′ は回転座標で見た静電場で、一般に時間を含む。しかしもし z 軸対称性があるならば、これはもち
ろん φ そのものである。
仮に ω として ω = −eB/m を選んだとしよう。すると遠心力は打ち消されて
U′ =
eB
(X Ẏ − Y Ẋ) − eφ′
2m
(3.99)
となる。すなわちサイクロトロン周波数で回転する座標で見れば、コリオリの力だけが残る。ここで注意すべ
きは、遠心力が打ち消されるといっても、勝手に選んだ z 軸回りにサイクロトロン運動する粒子の遠心力を打
ち消したに過ぎない。サイクロトロン運動はあちこちで様々な半径の円運動として起こっているので、そうい
う大多数の粒子に対しては遠心力を打ち消してはいないし、コリオリの力はもちろん残るので、ω = −eB/m
の選択はあまり意味がない。
2m
となる。すなわちサイクロトロン周波数で回転する座標で見れば、コリオリの力だけが残る。ここで注意すべ
きは、遠心力が打ち消されるといっても、勝手に選んだ z 軸回りにサイクロトロン運動する粒子の遠心力を打
ち消したに過ぎない。サイクロトロン運動はあちこちで様々な半径の円運動として起こっているので、そうい
う大多数の粒子に対しては遠心力を打ち消してはいないし、コリオリの力はもちろん残るので、ω = −eB/m
の選択はあまり意味がない。
一方、ω として ω = −eB/2m を選んだとしよう。今度はコリオリの力が打ち消されて
U′ =
m
2
!
eB
2m
"2
# 2
$
X + Y 2 − eφ′
(3.100)
となる。コリオリの力は速度に比例するので、粒子がどこで運動していようと等しく打ち消される。すなわち
ラーモア周波数で回転する座標で見れば、どの荷電粒子に対しても遠心力（z 軸回りの）だけが残る。打ち消
した結果残った (3.100) 右辺第一項は B 2 に比例しているので、|B| が小さい場合は遠心力は初めから無視でき
るし、残ったコリオリの力はどの粒子に対しても打ち消すことができる。
そこで我々は ω = −eB/2m を選んで、(3.100) において遠心力も無視できる弱い磁場の場合を考えよう。こ
のとき U ′ = −eφ′ となる。さらに φ に z 軸対称性があれば φ′ = φ だから、以上の結果は、Bz の下での運動は
Bz = 0 としたときの運動を ω = −eB/2m で回転する座標系で見た運動と同一である ということを意味してい
る。これを ラーモアの定理（Larmor theorem）といい、このときの周波数を ω = eB/2m を ラーモア周波数
（Larmor frequezncy）またはラーモア振動数という。特に円環状に動く荷電粒子があった場合、その円環軌
道自体がラーモア周波数で回転することになる。円環状に動く荷電粒子は磁束密度を発生することを考える
と、その磁束密度自体がラーモア周波数で回転することを意味する。さらに、電子その他の素粒子や原子核
にスピンがある場合、スピンは荷電粒子の円環運動により発生しているわけではないが同じく磁石であるの
で、そのスピンの向きがラーモア周波数で回転することになる。これをスピンの 歳差運動（precession）とい
う。コマの歳差運動と同じである。その周波数に合わせた電磁波（通常 RF 波すなわちラジオ周波数の電磁波）
3.2. 時間を含む扱い
49
をスピンに照射すると共鳴吸収が起こる。これは 核磁気共鳴（NMR:nuclear magnetic resonance）あるいは
電子スピン共鳴（ESR*electron spin resonance）の原理になっている。核磁気共鳴の医療応用が磁気共鳴映像
法（MRI：magnetic resonance imaging）である。
電磁場中の荷電粒子のラグランジアン
荷電粒子のラグランジアン (3.94) をベクトルポテンシャル A で表現しておく。静止系（慣性系）のデカル
ト座標でそれは
L=
m 2
|ṙ| + e (A · ṙ) − eφ
2
(3.101)
で与えられる。このラグランジアンからローレンツ力が導かれることを見る。まず
∂L
= mẋ + eAx ,
∂ ẋ
より
d ∂L
dt ∂ ż
∂L
= mż + eAz
∂ ż
"
∂Ax
∂Ax
∂Ax
∂Ax
+
ẋ +
ẏ +
ż
∂t
∂x
∂y
∂z
!
"
∂Ay
∂Ay
∂Ay
∂Ay
= mÿ + e
+
ẋ +
ẏ +
ż
∂t
∂x
∂y
∂z
!
"
∂Az
∂Az
∂Az
∂Az
= mz̈ + e
+
ẋ +
ẏ +
ż
∂t
∂x
∂y
∂z
d ∂L
= mẍ + e
dt ∂ ẋ
d ∂L
dt ∂ ẏ
となる。一方
∂L
= mẏ + eAy ,
∂ ẏ
∂L
=e
∂x
∂L
=e
∂y
!
!
!
!
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂φ
ẋ +
ẏ +
ż −
∂x
∂x
∂x
∂x
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂φ
ẋ +
ẏ +
ż −
∂y
∂y
∂y
∂y
"
"
"
(3.102)
(3.103)
(3.104)
(3.105)
(3.106)
(3.107)
d ∂L
= mz̈ + e
dt ∂ ż
となる。一方
∂L
=e
∂x
50
散逸関数
!
∂Az
∂Az
∂Az
∂Az
+
ẋ +
ẏ +
ż
∂t
∂x
∂y
∂z
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂φ
ẋ +
ẏ +
ż −
∂x
∂x
∂x
∂x
"
(3.105)
"
(3.106)
"
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂φ
ẋ +
ẏ + 第 3ż章
− ラグランジュ形式の力学 — 一般編
(3.107)—
∂y
∂y
∂y
∂y
!
"
∂L
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂φ
=e
ẋ +
ẏ +
ż −
(3.108)
∂z
∂z
∂z
∂z
∂z
∂L
=e
∂y
3.3
!
!
と計算されるので、まず x に関するラグランジュの運動方程式は
3.3.1 速度に依存する力 (2) — 粘性力
!
"
!
"
∂Ax
∂Ax
∂Ax
∂Ax
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂φ
mẍ
+
e
+
ẋ
+
ẏ
+
ż
=
e
ẋ
+
ẏ
+
ż
−
(3.109)
粘性のある流体中を物体が移動するとき、粘性抵抗が働いて物体を静止させようとする。この粘性抵抗によ
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
∂x
∂x
る力 F は、物体の移動速度 v の大きさに比例し、向きは逆向きとなる。流体中に限らず、このような特性を持
すなわち
10
つ制動力は粘性抵抗または摩擦抵抗
!
" と呼ばれる。このような制動力は物体の速度ベクトルと垂直でなく平行
!
"
!
"
∂φ ∂A
∂Ay
∂Ax
∂Ax
∂Az
x
11
mẍ
=
−e
+
+
e
−
ẏ
−
e
−
ż
(3.110)
な成分を持つため、仕事をする 。この点がローレンツ力やコリオリの力と異なる。
∂x
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
#
$
#
$
いま質点系の座標 xi の速度 ẋi に比例した制動力を Fi′ とする。比例定数を ki （正の値）とすると、
= −e ∇φ + Ȧ + eẏ (∇ × A)z − eż (∇ × A)y = −e ∇φ + Ȧ + e [ṙ × (∇ × A)]x(3.111)
x
同様に
#
x
Fi′
$
= −ki ẋi ,
(i = 1, 2, · · · , n = 3N )
(3.115)
mÿ = −e ∇φ + Ȧ + e [ṙ × (∇ × A)]y
(3.112)
y
となる。力にプライムを付けているのは保存力でないことを示すためである。また一つの質点について
x 方向、
#
$
mz̈
=
−e
∇φ
+
Ȧ
+
e
[ṙ
×
(∇
×
A)]
(3.113)
z
y 方向、z 方向の比例係数が異なるのは自然な系ではないが、質点ごとに異なることは普通にあるので、一つ
z
の k でなく i ごとに ki としている。微小変位 dxi に伴い粘性抵抗力が質点系にする仕事は
となるので、(3.111)(3.112)(3.113)
をまとめると
!
!
δ′ W =
Fi′ dxi = −
k ẋ dx
mr̈ = eE + e (ṙ × B) i i i
i
i
(3.116)
(3.114)
となる。微小仕事の δ にプライムを付けたのは全微分でないことを示すためである。ここで、通常のポテンシャ
となってローレンツ力が導かれる。ここで
E = −∇φ − (∂A/∂t) および B = ∇×A を使った。
ル U の場合力 Fi を −∂U/∂xi によって導くのを模して、「速度に依存する散逸的ポテンシャル」を
50
D≡
1!
ki ẋ2i第 3 章 ラグランジュ形式の力学 — 一般編
(3.117)
—
2 i
3.3
散逸関数
で定義し、これを散逸関数（
dissipation function）と呼ぶ。そうすれば粘性抵抗力は
3.3.1
速度に依存する力 (2) — 粘性力 Fi′ = − ∂D
∂ ẋi
(3.118)
粘性のある流体中を物体が移動するとき、粘性抵抗が働いて物体を静止させようとする。この粘性抵抗によ
と表される。これが一般座標
qj に移って一般力 Q′j になっても Q′i = −(∂D/∂ q̇i ) となってくれれば、機械的計
る力
F は、物体の移動速度 v の大きさに比例し、向きは逆向きとなる。流体中に限らず、このような特性を持
算をするだけでよいのでありがたいわけであるが、それは次のように示される。
つ制動力は粘性抵抗または摩擦抵抗10 と呼ばれる。このような制動力は物体の速度ベクトルと垂直でなく平行
な成分を持つため、仕事をする11 。この点がローレンツ力やコリオリの力と異なる。
3.3.2
一般座標における散逸関数と散逸の一般力
いま質点系の座標 xi の速度 ẋi に比例した制動力を Fi′ とする。比例定数を ki （正の値）とすると、
Fi′ の一般力 Q′j を (3.22) で定義する。この式で定義しておけば、自動的に (3.23) 式すなわち
Fi′ = −ki ẋi , (i = 1, 2, · · · , n = 3N )
(3.115)
!
′
′
δW =
Qj dqj
(3.119)
となる。力にプライムを付けているのは保存力でないことを示すためである。また一つの質点について
x 方向、
j
yを満たすのであった。これを導いたときの
方向、z 方向の比例係数が異なるのは自然な系ではないが、質点ごとに異なることは普通にあるので、一つ
(3.20)〜(3.23) 式の議論は力が保存力か否かとは無関係に成立する
の
k でなく i ごとに ki としている。微小変位 dxi に伴い粘性抵抗力が質点系にする仕事は
ものであったので、いま考えている粘性抵抗力でも成立する。ではその定義式
(3.22) と (3.118) を使うと、
! ! " !#
!
′
∂D k∂x
∂D
′ ∂xi Fi′ dxi = −
i ẋiidx
Q′j = δ WF=
=
−
=i −
i
∂q
∂
ẋ
∂q
∂
q̇j
j
j
i
i
i
i
(3.116)
(3.120)
となる。微小仕事の
δ にプライムを付けたのは全微分でないことを示すためである。ここで、通常のポテンシャ
となる。最後の等式では
5 月 30 日の演習問題の一般論 (∂xi /∂qj ) = (∂ ẋi /∂ q̇j ) を使った。
ル U の場合力 Fi を −∂U/∂xi によって導くのを模して、「速度に依存する散逸的ポテンシャル」を
1!
ki ẋi
2 i
(3.117)
2
10 動摩擦は速度に依らず垂直抗力に比例した大きさで制動される現象であるが、用語として摩擦抵抗という場合、粘性抵抗を指すこと
D≡
が多い。
11 物体の速度低下により余ったエネルギーは、通常は熱として散逸する。うまく充電に回す機構も考えられるが。
で定義し、これを散逸関数（dissipation function）と呼ぶ。そうすれば粘性抵抗力は
Fi′ = −
∂D
∂ ẋi
(3.118)
i
i
となる。微小仕事の δ にプライムを付けたのは全微分でないことを示すためである。ここで、通常のポテンシャ
ル U の場合力 Fi を −∂U/∂xi によって導くのを模して、「速度に依存する散逸的ポテンシャル」を
D≡
1!
ki ẋ2i
2 i
(3.117)
で定義し、これを散逸関数（dissipation function）と呼ぶ。そうすれば粘性抵抗力は
Fi′ = −
∂D
∂ ẋi
(3.118)
と表される。これが一般座標 qj に移って一般力 Q′j になっても Q′i = −(∂D/∂ q̇i ) となってくれれば、機械的計
算をするだけでよいのでありがたいわけであるが、それは次のように示される。
3.3.2
一般座標における散逸関数と散逸の一般力
Fi′ の一般力 Q′j を (3.22) で定義する。この式で定義しておけば、自動的に (3.23) 式すなわち
δ′ W =
!
Q′j dqj
(3.119)
j
を満たすのであった。これを導いたときの (3.20)〜(3.23) 式の議論は力が保存力か否かとは無関係に成立する
ものであったので、いま考えている粘性抵抗力でも成立する。ではその定義式 (3.22) と (3.118) を使うと、
! ∂xi
! " ∂D # ∂xi
∂D
Q′j =
Fi′
=
−
=−
(3.120)
∂qj
∂ ẋi ∂qj
∂ q̇j
i
i
となる。最後の等式では 5 月 30 日の演習問題の一般論 (∂xi /∂qj ) = (∂ ẋi /∂ q̇j ) を使った。
10 動摩擦は速度に依らず垂直抗力に比例した大きさで制動される現象であるが、用語として摩擦抵抗という場合、粘性抵抗を指すこと
が多い。
11 物体の速度低下により余ったエネルギーは、通常は熱として散逸する。うまく充電に回す機構も考えられるが。
3.4. 剛体の運動
51
さてこの Q′j はもともとポテンシャルに収まり切れなかった力すなわち (3.33) 式の Q′j に相当するものであ
るから、上式を使って (3.33) 式をもう一度書くと、
!
"
d ∂L
∂L
∂D
−
=−
dt ∂ q̇j
∂qj
∂ q̇j
(3.121)
となる。
［問 3.4］xy 平面上に二点 P（座標は X1 , Y1 ）と Q（座標は X2 , Y2 ）がある。原点 (0, 0) を O とするとき、三角形 OPQ
の面積を求めよ。ただし x 軸から測って OP のなす角より OQ のなす角の方が大きい場合（すなわち P から Q に
向かって原点を左に見る場合）に正となるようにせよ。
xy 平面を動く点の軌跡を、時間 t を媒介変数として x(t), y(t) で表す。時刻が t から t + ∆t の間の軌跡は、
∆t が小さければほぼ直線と見なせる。このとき三点 (0,0) と (x(t), y(t)) と (x(t + ∆t), y(t + ∆t)) が作る細長い
三角形の面積を求め、∆t で割ってやり、∆t → 0 の極限をとると
1
2
(xẏ − y ẋ) となる。これを面積速度と呼ぶ。
［問 3.5］面積速度を極座標で表せ。
［問 3.6］二次元の xy 平面内の中心力場で kx = ky ≡ k の粘性抵抗力を受けながら動く質点の運動方程式を立て、面積
速度の時間変化を求めよ。一般座標は極座標とせよ。
3.4
剛体の運動
剛体の自由度は 6 である。剛体を代表する剛体内の 1 点（O とする）の空間座標と、剛体の向きを指定する
［問 3.6］二次元の xy 平面内の中心力場で kx = ky ≡ k の粘性抵抗力を受けながら動く質点の運動方程式を立て、面積
速度の時間変化を求めよ。一般座標は極座標とせよ。
3.4
剛体の運動
剛体の自由度は 6 である。剛体を代表する剛体内の 1 点（O とする）の空間座標と、剛体の向きを指定する
オイラー角 3 つで自由度 6 である。もし O の位置が時間的に変化しないときは、オイラー角に対する運動方程
式で剛体の運動が決まる。その代表はコマである。
3.4.1
オイラー角
剛体の向きを決めるためには、剛体に付随する直交座標軸 ξ, η, ζ の原点 O（これはその剛体を代表する 1 点）
の位置を決める必要があるが、それを空間座標 x, y, z で指定することにより、まず自由度を 3 つ使う。次は O
を含む回転軸の向き θ, φ を決める必要がある。回転軸は通常 ζ 軸とするが、θ, φ の指定によりその向きが決ま
る。これで自由度 2 つを使う。最後に、その軸の回りに回す角度 ψ を決める必要がある。これで自由度は合計
6 である。この θ, φ, ψ をオイラーの角という。
O の位置は決めたとして、θ, φ, ψ を決める手続きは次の通りである。まず剛体の ξ, η, ζ 軸の向きを空間座標
x, y, z に合わせる。次に z 軸の回りに xy 平面を φ だけ回す。新しい座標軸を x′ y ′ z ′ とすると、z ′ 軸は z 軸と同
じだが、xz 平面は回転して青で示した x′ z ′ 平面になる。次に y ′ 軸の回りに x′ z ′ 平面を θ だけ回転する。新し
い軸を x′′ y ′′ z ′′ 軸とすると、この回転により y ′′ 軸は y ′ 軸と同じだが、z ′ 軸は z ′′ 軸まで倒れるとともに、x′ 軸
も x′′ 軸まで下に下がる。x′ y ′ 平面は赤で示した x′′ y ′′ 平面まで回転する。この z ′′ 軸に剛体の ζ 軸を合わせる。
最後に z ′′ 軸（ζ 軸）の回りに x′′ y ′′ 軸を赤い面内で ψ だけ回す。最終的にできた軸を剛体の ξηζ 軸とする。
52
z
第3章
ラグランジュ形式の力学 — 一般編 —
η
ψ
y ′ y ′′
!"#
z′
z ′′
ζ
θ
φ
φ
y !"#
θ
ψ
x !"#
ξ
x′
x′′
図 3.3: オイラー角
3.4. 剛体の運動
3.4.2
53
コマの運動方程式
コマの芯を ζ 軸とし、軸の先端すなわち床に接する点をコマに付随する ξ, η, ζ 座標の原点 O とする。床の微
3.4. 剛体の運動
53
小なくぼみにとらわれて回っているときなどのように O が一点に接して動かないとすると、コマの運動はオイ
3.4.2 φ, θ,
コマの運動方程式
ラー角
ψ のみの運動方程式で記述される。(O の空間座標 x, y, z は固定されているから)
まず
ζ 軸回りの角速度
ωζ を考える。これに比例係数 1 で直接寄与しているのは
ψ̇ であることは図
3.3 から
コマの芯を
ζ 軸とし、軸の先端すなわち床に接する点をコマに付随する
ξ, η, ζ 座標の原点
O とする。床の微
明らかであるが、それ以外に
φ̇ も関与している。θ の動きは
ζ 軸を含む面内の動きなので、ωζ への寄与はな
小なくぼみにとらわれて回っているときなどのように
O が一点に接して動かないとすると、コマの運動はオイ
い。
φ̇ がどの程度
ωζ に寄与するかを求めるには、フーコーの振り子を考えればよい。フーコーの振り子は北
ラー角
φ, θ, ψ のみの運動方程式で記述される。
(O の空間座標 x, y, z は固定されているから)
極に置いたときにちょうど地球の自転周期である
1 日でその振動面が一回転するが、赤道に置けば全く回転し
まず ζ 軸回りの角速度 ωζ を考える。これに比例係数
1 で直接寄与しているのは ψ̇ であることは図 3.3 から
ない。一方緯度が
30 度の場所では
2 日で一回転する。すなわち振動面の回転（角速度
ωζ ）への地球自転（角
明らかであるが、それ以外に
φ̇ も関与している。
θ の動きは ζ 軸を含む面内の動きなので、
ωζ への寄与はな
速度
cos θ である。以上をまとめると、
い。φ̇）の影響の係数は
がどの程度 ωζ に寄与するかを求めるには、フーコーの振り子を考えればよい。フーコーの振り子は北
極に置いたときにちょうど地球の自転周期である 1 日でその振動面が一回転するが、赤道に置けば全く回転し
ωζ = φ̇ cos θ + ψ̇
(3.122)
ない。一方緯度が 30 度の場所では 2 日で一回転する。すなわち振動面の回転（角速度 ωζ ）への地球自転（角
である。同じ理由で
ωη に与える
θ̇ の寄与は、係数にして cos φ である。もう一つ φ̇ も寄与しているが、その係
速度 φ̇）の影響の係数は
cos θ である。以上をまとめると、
数も同じ原理で次のように求められる。まず φ̇ が z ′′ 軸回りの角速度に寄与する係数は同じ原理で cos ̸ (ηOz ′ )
ωζ = φ̇ cos θ + ψ̇
(3.122)
であるが、これは図の球の半径を 1 としたとき、η と書いた地点の高さ（z 軸座標）である。これは η と書い
た地点から
y ′ 軸に下ろした垂線の長さ（
= sin ψ ）に赤い面の傾き角の
sin を掛けたものだから、
sin ψ sin θ で
である。同じ理由で
ωη に与える θ̇ の寄与は、係数にして
cos φ である。もう一つ
φ̇ も寄与しているが、その係
数も同じ原理で次のように求められる。まず φ̇ が z ′′ 軸回りの角速度に寄与する係数は同じ原理で cos ̸ (ηOz ′ )
ある。以上をまとめると、
であるが、これは図の球の半径を 1 としたとき、
η と書いた地点の高さ（
z 軸座標）である。これは η と書い
ωη = θ̇ cos
ψ + φ̇ sin θ sin ψ
(3.123)
た地点から y ′ 軸に下ろした垂線の長さ（= sin ψ ）に赤い面の傾き角の sin を掛けたものだから、sin ψ sin θ で
全く同様にして ωξ については詳細を書かなくてよいだろう。結果は
ある。以上をまとめると、
ωξ =
= θ̇θ̇ cos
sin ψ
sin θθ sin
cosψψ
(3.124)
ω
ψ−
+ φ̇
φ̇ sin
(3.123)
η
となる。
全く同様にして ωξ については詳細を書かなくてよいだろう。結果は
さてコマ慣性モーメントは、その芯 ζ の回りのものと、それと直交する 2 軸のものがある。後者はもし軸対
ωξ = θ̇ sin ψ − φ̇ sin θ cos ψ
(3.124)
称でないコマの場合 2 つあるが、一般にコマは軸対称なので、それを I1 とする。そして ζ の回りの慣性モー
となる。 I2 とすると、運動エネルギーは
メントを
さてコマ慣性モーメントは、その芯 ζ の回りのものと、それと直交する
2 軸のものがある。後者はもし軸対
"
1!
T =
I1 (ω 2 + ω 2 ) + I2 ω 2
(3.125)
ξ
η
ζ
2
称でないコマの場合 2 つあるが、一般にコマは軸対称なので、それを
I1 とする。そして ζ の回りの慣性モー
メントを(3.122)
I2 とすると、運動エネルギーは
となる。
〜(3.124) をこれに代入すると
T =
$
"
1 ! 2 22 2
1#
2
2
I1 (ω
ω+
IT1 (=
θ̇2 + φ̇
sin
cos
2ω
ξ +θ)
η ) I+
ζ θ + ψ̇)
2 (Iφ̇
2
2
(3.125)
(3.126)
となる。(3.122)〜(3.124) をこれに代入すると
となる。一方ポテンシャルエネルギーは重心の位置に依存するが、点
O から芯に沿って ℓ のところにあるとす
#
$
1
ると、
T# =
I1 (θ̇2 + φ̇2 sin2 θ) + I2 (φ̇ cos θ +
ψ̇)2
(3.126)
$
1
2
L=
I1 (θ̇2 + φ̇2 sin2 θ) + I2 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 − M gℓ cos θ
(3.127)
2
となる。一方ポテンシャルエネルギーは重心の位置に依存するが、点 O から芯に沿って ℓ のところにあるとす
となる。ただしコマの質量を M とした。この L は φ と ψ の関数ではないので、これらが循環座標となるため、
ると、
∂L 2 2
∂L 2 $
1#
const.1
pψcos
≡ θ + ψ̇)
= const.2
(3.128)
L = pIφ1 (≡
θ̇2 + φ̇=
sin
θ) + ,I2 (φ̇
− M gℓ cos θ
(3.127)
2
∂ φ̇
∂ ψ̇
となる。ただしコマの質量を
M とした。この L は φ と ψ の関数ではないので、これらが循環座標となるため、
と積分される。あとは
θ に関する運動方程式であるが、それを使う代わりにエネルギー保存則
$
∂L
1 #∂L 2 const.1
2
= const.2
(3.128)
ψ I≡(φ̇ cos
const.3 ≡ E p=φ ≡ I∂1φ̇(θ̇=
+ φ̇2 sin2, θ)p+
+ M gℓ cos θ
(3.129)
2 ∂ ψ̇ θ + ψ̇)
2
と積分される。あとは θ に関する運動方程式であるが、それを使う代わりにエネルギー保存則
を使ってもよい。ここから先は特殊関数の知識が必要となるので、ここではこれ以上立ち入らない。
$
1#
const.3 ≡ E =
I1 (θ̇2 + φ̇2 sin2 θ) + I2 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 + M gℓ cos θ
(3.129)
2
を使ってもよい。ここから先は特殊関数の知識が必要となるので、ここではこれ以上立ち入らない。

複素関数論演習問題解答

ドレンかご - 栗原建材産業;pdf

9 円の数学

Document 5388243

中間テストの救済措置（追加レポートについて）

正素数角形の任意の 3 本の対角線は 頂点以外の 1 点で交わらない

newton1