動的計画法とメモ化 - Taurus

「アルゴリズム」資料
18. 動的計画法とメモ化
奈良女子大学理学部情報科学科鴨浩靖
2010 年 6 月 30 日初版
2014 年 1 月 20 日第二版
1
例1
次の式で定義される数列の第 n 項を求める。
a0 = 1
an = a⌊n/3⌋ + a⌊n/2⌋
2
(n > 0 のとき)
素朴な再帰呼び出し
漸化式の通りに再帰呼び出しで実装する。
3
素朴な再帰呼び出しによる例 1 の実装
int mikan(int x)
{
if (x > 0) {
int y3, y2;
y3 = mikan(x / 3);
y2 = mikan(x / 2);
return y3 + y2
} else {
return 1;
}
}
4
素朴な再帰呼び出しの実行例
a12 gOo O
OOO
OOO
OOO
OOO
OOO
OOO
OOO
OO
a4 oQ
h QQ
QQQ
QQQ
Q
a1 oQ
h QQ a0
a0
a2 ohQQQ
a0
a1 ohQQQ a0
a0
a3 hQo QQ
a1 ohQQQ a0
a6 ohPP
PPP
QQQ
QQQ
PPP
a0
Q
PPP
PPP
a1 ohQQQ a0
PPP
PPP
a0
a0
a2 ohQQQ
a1 ohQQQ a0
a0
同じ計算を何度も行っている。
5
動的計画法
小さいほうから計算し、計算結果は記録し再利用する。
6
動的計画法による例 1 の実装
int mikan_array[SIZE];
void init_mikan_array()
{
int i;
mikan_array[0] = 1;
for (i = 1; i < SIZE; i ++) {
mikan_array[i] = mikan_array[i / 2] + mikan_array[i / 3];
}
}
int mikan(int x)
{
return mikan_array[x];
}
7
動的計画法による例 1 の（ちょっとトリッキーな）実装 1
int mikan(int x)
{
static char initialized;
static int array[SIZE];
if (!initialized) {
int i;
array[0] = 1;
for (i = 1; i < SIZE; i ++) {
array[i] = array[i / 3] + array[i / 2];
}
initialized = 1;
}
return array[x];
}
8
動的計画法による例 1 の（ちょっとトリッキーな）実装 2
int mikan(int x)
{
static int *array = NULL;
if (array == NULL) {
int i;
array = malloc(SIZE * sizeof(int));
array[0] = 1;
for (i = 1; i < SIZE; i ++) {
array[i] = array[i / 3] + array[i / 2];
}
}
return array[x];
}
9
動的計画法の実行例
a0
+
a1
a2
a3
a4
a5
a6
不要なものまで計算している。
10
a7
a8
a9
a10
a11
a12
メモ化
途中の計算結果を記録しながら計算し、同じ計算が必要になったら以
前の計算結果を再利用する。
11
メモ化による例 1 の実装
int mikan(int x)
{
static char marks[SIZE]; static int array[SIZE];
if (!marks[x]) {
if (x > 0) {
int y3 = mikan(x / 3); int y2 = mikan(x / 2);
array[x] = y3 + y2;
} else {
array[x] = 1;
}
marks[x] = 1;
}
return array[x];
}
12
メモ化の実行例
a12 Yol YYYYY
YYYYYY
YYYYYY
YYYY
a6 a o
a4 olXXXXXX
XXX
a3 bj
13
a2 o h
a 1 ok
a0
アルゴリズムの選び方
• 計算の重複が起きる心配がないか、気にならないほど頻度が低い場
合は、素朴な再帰呼び出しで十分。
• 計算に必要な値がとびとびの場合は、メモ化が計算時間を節約でき
て良い。
• 計算に必要な値がぎちぎちの場合は、動的計画法が計算時間を節約
できて良い。
うまく使い分けると良い。
14
ACM ICPC 問題
1999 年アジア地区予選京都大会問題 A Square Coins
素朴な再帰でもメモ化でも動的計画法でも可。
2007 年アジア地区予選東京大会問題 C Minimal Backgammon
動的計画法が最適。
15

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