第 8 章 成長における技術の役割
1
人的資本と物的資本と技術
第 8 章 成長における技術
の役割
• 労働者 1 人当たり人的資本の量 h ← 無限に増加でき
ない
• 労働者 1 人当たり物的資本の量 k ← 限界生産性逓減
全ての資源を生産要素の生産に使用しても定常状態で成長
⋆ 講義ノートは
http://www2.asia-u.ac.jp/˜ shin/lecture/growth.html にある．
⋆ 第 2 版のスライドは
http://wps.aw.com/aw weil econgrowth 2/ → Classrom ReR Slides にある．
sources → PowerPoint⃝
⋆ 第 3 版のスライドは
http://wps.aw.com/aw weil econgrowth 3/ → Classrom Re-
は止まる (∵ 限界生産性逓減)．しかし，
• A 増加 −→ 所得は持続的に増加
8.1.1
技術の創出
R Slides にある．
sources → PowerPoint⃝
• 技術創造のためには投資が必要
• 経済成長 → 技術進歩が重要
成長会計の計算は生産性の変化が国々の経済成長に大き
く貢献したことを示している．生産性が向上すると同じ量
の生産要素でもより多くを生産できるようになる．
研究開発 (R&D) 支出
第 8 章では，
1. 技術進歩の性格 → 発明家が直面する技術創造に対す
Table 1
研究者数と研究費: 2005 年
るインセンティブ (incentives)
2. 技術創造と経済成長 → 技術創造に配分される資源の
量の変化が産出量増加率に与える影響
3. 国家間技術伝播 → 技術がどのように国境を越えて伝
• アメリカ: GDP の 2.5% を研究開発 (R&D) に投資
播されるのか
4. 国家間技術移転の障壁 → 豊かな国から貧しい国へ技
術移転を妨げる要因
技術生産者
8.1
技術進歩の性質
• 19 世紀中半以前: 物好きな人，tinkerer(修繕工)
コンピュータに新しいソフトウェアーをインストールし
た場合
}
資本 (コンピュータ) 変化無し 同様の資本と労働
−→
産出量増加
労働 (使用者) 変化無し
ほとんどの R&D は利潤最大化を求める民間会社による
ものである．しかし，技術特有の性質によって長い間政府
技術進歩はコブ・ダグラス生産関数
y = Ak α h1−α
• それ以降: 利潤最大化を追求する民間企業と政府
が主導してきた．
(8.1)
の係数 A の変化を意味する．ここで，y は労働者 1 人当た
り生産，A は生産性，k は労働者 1 人当たり物的資本，h は
• 1714 年，イギリス政府は経度 (longitude) の正確な測
定方法を開発する人に 2 万パウンドを賞金
労働者 1 人当たり人的資本を表わす．
• 技術改善は，前と同じ物的・人的資本の量を組み合わ
せてより多くの生産ができるようなることを意味する．
• 技術変化の決定的側面は，収穫逓減が果たして制限を
超越できるようにすることである．
• 2006 年アメリカ研究開発 (R&D) の 31% は政府がス
ポンサー (生産的な用途 (productive appications) で
はなく軍事的な用途 (military appications)
• インタネットも政府の後援による
第 8 章 成長における技術の役割
2
• 資本不足 → 新しい資本形成のために投資が必要 →
豊かな国から資本導入 → 豊かな国の所得 ↓，貧しい
国の所得 ↑
技術保護
政府が R&D を援助する最も重要なものは投資家にその
仕事の模倣を防ぐ法的保護を特許権として与えられること
である．
技術の場合: 非競合性
• 特許 (partent) 政府が発明者に単独に製造する権利，
• 技術不足 → 技術水準が高い国から技術移転 → 技術
水準が高い国の所得 ↓ (×)，貧しい国の所得 ↑
利用する権利，売る権利を一定期間の間保障するもの
(一般的に 20 年).
■ 特許権，営業秘密，ターミネーター遺伝子
• 1474 年のベニスの特許法 (Venice’s patent law of
非排除性
1474)
• 排除性 (excludability) (財や生産の投入要素の) 所有
者が他人が許可なく利用することを防ぐことができる
– もし偉大な天賦の才能を持つ人によって発
明された仕事や工夫に，その発明を見た他
程度．
の人々がそれらを作ったり発明家の名誉を
アイディアはしばしば非排除的である．その性質はその
横取りしたりしてしまうことがないように
条件が付けられたら，(中略) より多くの人
ものが他人の使用を妨げることを難しくしている．
が発明家の才を利用するようになり，わが
しばしば非排除性のゆえに，新しい技術は創出した人は
国に大きな効用をもたらす作品を作るよう
その創出による利益をほとんど手にすることができなくな
になるだろう．
る．この事実は技術を創造する誘因を減少させている．
• アメリカ合衆国の憲法
– 科学の進歩と有用な技能を促進するために，
著者と発明家がその著作と発見に関した占
有権を有限な期間につき保証するような立
8.1.3
研究開発費の決定要因
研究開発費の大半は民間企業が支出する．
法を許す権限を持つことを認める．
• 品質改善
• アメリカ特許局は 2006 年に 196,436 件を許可
した．
• 費用削減
• コカコーラ
• モンサント株式会社 (Monsanto Corporation)
– モンサント社は第 1 年目の作物には正常に伸
びるが，その種は実を付けないことが保障さ
利潤動機，利潤志向
(1) 何を開発
れた”ターミネーター (Terminator Gene)”
技術を開発する．
研究開発を行う企業
• 新製品
8.1.2
技術移転
• 今ある製品の新しくもっと効率的な製造方法
非競合的
• 競合的 (rival) 同時に 1 つの生産的活動に使われるこ
としかできない性質を持っている投入要素の性質．
(2) インセンティブ
• 非競合的 (nonrival) 技術のように，ある生産者が使う
開発に成功すると
程度を減らすことなく同時に無数の生産者が利用でき
る投入要素．
資本の場合: 競合性
}
独占的地位を確保
競争優位から発生する超過利潤
← 研究開発を行うインセンティブ
第 8 章 成長における技術の役割
(3) 研究開発の量
1. 企業は R&D に支出したいと望む金額は新発明がどれ
だけの利点を生むかに依存している．
• 特許など，複製からの保護 → 研究開発 ↑
2. その製品を販売できる市場の規模に影響を受けるだ
ろう．
3
8.2.1
1 国モデル
労働人口
• LY : 産出物の生産に参加する労働者
• LA : 新しい技術の創造に参加する労働者
• L: 経済活動人口
• 市場の規模 ↑ → 研究開発 ↑
3. 企業は新発明からもたらされる利点がどれだけ長く続
くかを考慮するであろう．
L = LY + LA
式 (8.2) の両辺を L で割ると
• 持続性 ↑ → 研究開発 ↑
1=
LY
LA
+
L
L
|{z} |{z}
1−γA
4. 研究過程の不確実性は企業の R&D に影響するだろう．
• 不確実性 ↓ → 研究開発 ↑
研究開発に参加する経済活動人口の比率 γA とする．
LA
L
LA = γA L
創造的破壊
シュンペーターは，新発明が企業に利益をもたらし，その
された新技術は，結局はさらに新しい技術によって更新され
ていく，このプロセスに創造的破壊 (creative destruction)
という名称を与えた．
(8.3)
γA
γA =
利益が研究に従事する誘因となり，さらにそうして作り出
(8.2)
(8.4)
産出物の生産に参加する経済活動人口の比率は (1 − γA )
となる．
LY
L
産出物の生産に参加する労働者数は
1 − γA =
LY = (1 − γA )L
• 創造的破壊: 新しい発明がある企業には利益をもたら
(8.5)
(8.6)
すが，他には事業からの退出をもたらす過程．
新しい技術の創造により，
• 新技術を創造した企業 → 利潤 ↑
• 新技術によって退出される企業も出てくる
Luddites (技術革新反対者，ラダイト): 19 世紀初，労働
者に代わる製織機械 (weaving machinery) を破壊したとさ
れる労働者．
• 技術変化は極めて破壊的であるから技術変化を促進す
るような経済組織を設立することは微妙な事業である．
生産
産出物の生産に投入される要素は労働者のみであると仮
定する．総産出量は産出物の生産に投入された労働者と生
産性の積である．
Y = |{z}
A LY
|{z}
|{z}
産出量
(8.7)
生産性 生産要素
式 (8.6) と式 (8.7) から総産出量は
(1 − γA )L
| {z }
Y =A
(8.8)
産出物の生産に参加する労働者数
• 経済組織は動機を正しく受け取るとは限らないので，
新技術の採用はしばしば妨げられる．
労働者 1 人当たり産出量
式 (8.8) の両辺を L で割ると
8.2
技術の創出と成長の関係をモデル化
する
技術と成長に関する 2 つのモデルを学ぶ．
• 1 国モデル (One-Country Model)
• 2 国モデル (Two-Country Model)
Y
= A(1 − γA )
L
y = A(1 − γA )
(8.9)
• 生産性 A ↑ → 労働者 1 人当たり産出量 ↑
• 研究開発に参加する経済活動人口の比率 γA ↓ → 労
働者 1 人当たり産出量 ↑
第 8 章 成長における技術の役割
4
• 研究開発に参加する人が少ない → 産出物の生産に参
加する人が多い
動学
γA の増加
• しかし，現在研究開発に参加する人が少ない → 将来
の生産性 ↓ → 将来の産出量 ↓
1. 式 (8.13) から
• 産出量 y の増加率 (つまり ŷ) ↑
• かつ，技術水準 A の増加率 (つまり Â) ↑
新技術創造
技術は式 (8.10) のように進歩するとする．
 =
LA
µ
2. 式 (8.9) から
• γA ↑ → 産出量 y ↓
(8.10)
• LA は研究開発に参加する労働者数
Figure 1
労働の R&D への移動効果
• µ は新しい発明のために必要な労働者数
– 一種の技術の価格
– µ が大きいほど技術進歩のために必要な研究開発
人力がより必要となる．
• LA ↑ → Â ↑
• (a) 生産性の経路
• µ ↓ → Â ↑
– 横軸: 時間
式 (8.4) を式 (8.10) に代入すると
 =
γA
L
µ
– 縦軸: 生産性 (対数目盛，比例目盛)1
(8.11)
• (b) 労働者 1 人当たり生産量の経路
– 横軸: 時間
労働者 1 人当たり産出量の成長
– 縦軸: 労働者 1 人当たり生産 (対数目盛，比例
目盛)
式 (8.9) から
パネル (a)
y = A(1 − γA )
ln y = ln A + ln(1 − γA )
ẏ
Ȧ
= +0
y
A
• γA ↑ → 生産性の増加率 Â ↑
(8.12)
パネル (b)
ŷ = Â
• γA ↑ → y の傾き (=ŷ=y の成長率) ↑
式 (8.12) と式 (8.10) から
γA
L
ŷ = Â =
µ
(8.13)
• 研究開発に参加する人口の比率 (γA ) が高いほど産出
量の増加率も高い
– γA ↑ → ŷ ↑
• γA ↑ → 直後 (immediately) y ↓ → その後 y は回復
→ 以前より高い y 水準
短期と長期
多くの資源を R&D に配分する国は短期的には生産量は
減少するが，長期では豊かになる．
• 新しい技術の発明費用 (µ) が小さいほど産出量の成長
率は高い
– µ ↓ → ŷ ↑
1 一定率で成長する変数は，比例目盛では直線になる．
• 短期: 生産量 ↓
• 長期: 生産量 ↑
第 8 章 成長における技術の役割
物的資本との比較
R&D に多くを費やすと短期の生産量は減らすが，長期で
はそれを引き上げるという結論は，物的資本への投資に似
ている．(第 3 章を参照のこと)
5
8.2.2
2 国モデル
• 技術革新 (innovation) 技術の発明
• 模倣 (imitation) 技術のコピー，特に他の国から
投資率 γ の増加と研究開発に参加する人口の比率 γA の
基本仮定
増加
• 国 1 と国 2
(1) 類似点: ソロー・モデル
• 経済活動人口の規模は等しい
• 投資を増やすために，短期的に消費 ↓
• 投資 ↑ → 資本 ↑ → 生産 ↑ → 長期的に消費 ↑
L1 = L2 = L
(8.14)
A1 ̸= A2
(8.15)
• 技術水準は異なる
(2) 相違点
相違点
• 投資の増加が産出量増加率に与える影響は一時的であ
労働者 1 人当たり産出量
• 国 1 の労働者 1 人当たり産出量
y1 = A1 (1 − γA,1 )
る．成長効果無し
• 研究開発の増加が産出量増加率に与える影響は恒久的
である．成長効果有り
人口規模と技術向上
(8.16)
• 国 2 の労働者 1 人当たり産出量
y2 = A2 (1 − γA,2 )
(8.17)
ここで，γA,1 と γA,2 はそれぞれ国 1 と国 2 で研究開発で従
事する経済活動人口の比率
µ と γA が一定であるとすると，式 (8.13) から，
• 経済活動人口 L が大きいほど技術進歩率 Â も高い．
– L ↑ → Â ↑
• 両国において研究開発に参加する経済活動人口比率が
同じであるとすると人口が多い国の方が研究開発に参
リーダーとフォロワー
(1) 技術リーダー
• 技術先導者 (technology leader): 国 1
• リーダーは発明によって新技術を獲得する．
加する人数が多い
• 多い人が研究開発に参加するほど新しい技術が開発さ
れる可能性が高い
• よって，人口が多い国の方が技術進歩が速い
このモデルの問題点と解釈
このような所見は，長い目で見ると人口が多い国は少な
い国よりも技術水準も高く，それゆえに豊かでもあること
(2) 技術フォロワー
• 技術追随者 (technology follower): 国 2
• 発明と模倣
技術開発費用
もし，ある技術が先導国に存在しているなら，自分でそ
の技術を再開発するより模倣した方が費用は少ない．
を示唆している．しかし，この予測はデータからは正しい
とはいえない．人口が多い国が経済の成長速度が速いとか
研究開発で参加する経済活動人口の比率
系統的に豊かであるという証拠はない．
このモデルの失敗の解釈は，国の技術水準は R&D に依
存するが，それは国境内だけでなく海外でも該当する．技
術は国境を越えて広がる．
個々の国レベルよりも地球的規模で見たとき，より大き
な人口はより高い技術進歩を意味する．
γA,1 > γA,2
(8.18)
この仮定は (国々が同一規模の労働力であると仮定ととも
に)，モデルの定常状態で国 1 が技術リーダーで，国 2 が技
術フォロワーであることを保証している．
第 8 章 成長における技術の役割
6
国 1 における新技術創造過程
国 2 における新技術創造過程
技術リーダー (technology leader) における新技術創造
技術フォロワー (technology follower) における新技術創
過程
γA,1
L1
Â1 =
µi
ここで，µi は発明費用
造過程
(8.19)
Â2 =
国 2 の模倣費用
模倣を通して新技術を獲得する費用を µc とする．
•
A1
A2
↑ → µc ↓ → Â2 ↑
•
A1
A2
↓ → µc ↑ → Â2 ↓
• Figure 3 で Â2 は横軸
• 技術格差が大きいほど模倣費用 ↓
Â2 =
模倣費用仮定の正当性
• Â1 は横軸
• 1 つの正当化は，すべての技術はどれも容易に真似で
A1
A2
γA,2
L2
µc
A1
A2
(8.21)
に対して右上がり
γA,2
γA,2
L2 = ( ) L2
µc
1
c A
A2
と無関係 → 水平線
Â1 =
きるものではなく，リーダーとフォロワーとの差が大
γA,1
L1
µi
きいほど，より簡単に模倣できる技術が利用できるの
でコストが低くなることである．
定常状態
• あるいは，模倣コストに影響するものは新技術が発
明されてからの時間である．ゆえにフォロワーがリー
ダーに後れをとると，それだけフォロワーが模倣し
Figure 3
2 国モデルの定常状態
たいと思う技術は古くなっていく．ゆえに模倣もやさ
しい．
数式的に定式化
(A )
1
µc = c
A2
• 横軸:
(8.20)
1. If
1. この勾配は右下がりである．つまり，2 国の技術ギャッ
プが大きくなるにつれて模倣コストは低下する．
2.
2. If
の比率が無限に近づくにつれて模倣コストはゼロ
A1
A2
いくとすれば，模倣は費用なしで可能になる．
A1
A2
= 1，技術水準の成長は国 1 で速い
A1
A2
= ∞，技術水準の成長は国 2 で速い
• なぜならば，国 2 における新技術創造 (模倣) 費
用は 0
に下がっていく．技術ギャップが無限に大きくなって
3.
技術進歩率 Â
• なぜならば，γA,1 > γA,2
模倣コスト関数
A1
A2
A1
A2
A1
A2 ，縦軸:
の比率が 1 と無限大の間に入るどこかの比率で，2 国
は同率の A の成長率を持つことになり，2 国の技術水準は
が 1 に近づくにつれて模倣コストは発明コストに
一定に留まる．これは定常状態である．
近づく．フォロワーがリーダーに近くなると，自分で
発明するよりも模倣による利益は少なくなってしまう．
Figure 2
追随国の模倣コスト
定常状態の安定性
1
1. A
A2 SS の右側
• If
↓
2.
• 横軸:
A1
A2 ，縦軸:
模倣費用
A1
A2 SS
A1
A2
>
A1
A2 SS
→ A2 が A1 より増加が速い →
A1
A2
A1
A2 SS
→ A1 が A2 より増加が速い →
A1
A2
の右側
• If
↑
A1
A2
<
• この定常状態は安定的である．
第 8 章 成長における技術の役割
7
定常状態における技術水準
(2) 生産性と生産量のパスの変化
γA,1
γA,2
L = Â1 = Â2 =
L
µi
µc
(8.22)
Figure 4
追随国の R&D の増加が定常状態に与える効果
定常状態における模倣費用
式 (8.22) から模倣費用 µc は
γA,2
µi
γA,1
µc
γA,2
=
µi
γA,1
µc =
• 横軸:
(8.23)
γA,2
µc L2 ，γA,2
Â2 =
γ
国 2 の R&D が国 1 の半分 (つまり， γA,2
= 12 ) とすると
A,1
国 2 の技術模倣費用は国 1 の新技術開発費用の半分 (つま
り， µµci = 12 )
A1
A2 ，縦軸:
技術の成長率 Â
の増加
• Â2 曲線が上にシフト ← 国 2 の技術の成長率 ↑
• Old 定常状態における
る
A1
A2 SS
A1
A2 SS
> New 定常状態におけ
• 両国間の技術格差 ↓
定常状態における技術水準の比率
定常状態における µc が分かれば両国の技術水準の比率
A1
A2
Figure 5
γA,2 の増加が生産性と生産に与える影響
が求められる．
両国の労働者 1 人当たり所得
技術リーダーは技術フォロワーより必ず豊かなのか?
技術リーダーの場合
• 生産性は高い
• 研究開発に従事する人が多い → 財の生産に参加する
人は少ない．
答えは No．模倣費用による．
• (a) 生産性の経路
– 横軸: 時間，縦軸: 生産性 A (ratio scale)
– 短期: 2 国の生産性 A2 増加率 ↑
– 長期: 2 国の生産性 A2 増加率は元水準に戻る
– 技術フォロワー国 2 の定常的技術進歩率は，技
術リーダー国 1 の技術進歩率で決定されるから
• 模倣費用 µc が高い場合
• 模倣費用 µc が安い場合
である．
• (b) 労働者 1 人当たり生産量の経路
– 横軸: 時間，縦軸: 労働者 1 人当たり産出量 y
(ratio scale)
政策
(1) シナリオ
• 両国は定常状態にある
• γA,1 > γA,2
• 2 国で γA,2 増加，しかし，γA,1 > γA,2
– 短期: 2 国の生産水準 y2 ↓, ∵ 生産従事者数 ↓
– R&D 努力の増加は A2 の成長促進になり，こう
して y2 び成長は高くなる．
– 2 国の成長は一時的には高い．
1
– いったん A
A2 の新しい定常状態の比率に到達する
と，国 2 の成長は γA,2 の変化以前の水準に戻っ
てしまう．
第 8 章 成長における技術の役割
8
(3) モデル 1 との比較
中立的技術進歩
技術フォロワー国 2 の R&D の増加は生産量の成長率の一
生産関数
時的な (temporary) 上昇を引き起こすという論証は 1 国モ
y = Ak α
デルの結果 – そこでは，R&D の増加が成長の永続的 (per-
manent) 増加を引き起こすという結果と際立った対比をな
している.
(8.24)
Figure 6
中立的技術進歩
(4) 政策変化の結果
政策の変化 (γA,2 の増加) は
• 産出量の増加率に一時的な変化をもたらす
• しかし，結局には産出量の増加率は元の水準にもどる．
• 横軸: 労働者 1 人当たり物的資本
• 産出量水準は恒久的な変化
• 縦軸: 労働者 1 人当たり産出量
先進国の benefit ↑
技術進歩 →
発展途上国の benefit ↑
一般的な教訓
すべての技術において technology leader
• 19 世紀初のイギリス
• 第 2 次世界大戦直後のアメリカ
資本偏向型技術進歩
しかし，現代世界では技術的優越性の多くは拡散しており，
多くの国は “技術的フロンティア (technological frontier)”
Figure 7
資本に偏った技術進歩
でひしめき合っていて，さまざまな産業でさまざまな国が
先導している．
ある国の R&D 支出の増加は 2 つの効果を持つ．
1. R&D 支出の増加は世界の技術的順位を上げ，国内の
技術と所得の一時的な成長をもたらす．
2. ある国での R&D の増加は世界全体の技術成長をより
促進することになる．
■ 国際間技術移転
8.3
• 横軸: 労働者 1 人当たり物的資本
国際間技術移転の障害
• 縦軸: 労働者 1 人当たり産出量
先進国の benefit ↑
技術進歩 →
発展途上国の benefit×
研究開発はほとんど先進国で行われている．2000 年 1 人
技術移転
• 先進国から先進国: 容易
• 先進国から発展途上国: 容易ではない
当たり R&D 支出額
• アメリカ 932 ドル
• 日本 775 ドル
8.3.1
適切な技術
適切な技術
• 先進国から先進国: 特許
• 先進国から発展途上国: 技術自体が適切ではない
• 南アメリカ 42 ドル
• アフリカ 6 ドル
• アフリカ 世界人口の 13.3% に対して，世界 R&D 支
出の 0.6%
第 8 章 成長における技術の役割
世界の生産関数
9
8.5
基本用語
• Kumar and Russell (2002)
• patent (特許)
• Technological Change, Technological Catch-up, and
• rival (inputs into production) (競合的生産要素)
Capital Deepening:
Relative Contributions to
Growth and Convergence, American Economic Review, Vol.92, No.3, pp.527-548.
• 世界の生産関数 (World production frontier)
• nonrival (inputs into production) (非競合的生産要素)
• excludability (排除性)
• creative destruction (創造的破壊)
• innovation (革新)
先進国の R&D 実験室がなぜ発展途上国が使える技術を開
発しないのか?
発展途上国では新技術に対する財産権 (property rights to
new technology) の保護されない場合が多い．
→ インセンティブ ↓
8.3.2
• imitation (模倣)
• tacit knowledge (暗黙的知識)
• embodied technological progress (体化した技術進歩)
• leapfrogging (カエル跳び)
暗黙の知識
8.6
• 暗黙的知識 (tacit knowledge) 経験や人から人へイン
フォーマルな訓練によって伝えられる生産過程につい
問題
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
ての知識
暗黙的知識の存在 → 技術移転が難しい
8.7
付録: 技術進歩を含むソロー・モデ
ルの統合
• 先進国から先進国: 容易
• 先進国から発展途上国: 難しい
8.7.1
• 暗黙的知識は特定技術だけではなく，類似した技術に
生産関数
も適用される
Model
コブ・ダグラス生産関数を仮定する．
• ある技術が発展途上国へ移転されれば，その外部効果
は大きいだろう．
Y = AK α L1−α
(8.25)
Y は産出量，A は生産性，K は物的資本，L は労働である．
8.4
結論
生産性
⋆ memo
A が時間とともに増加する場合を考える．A の成長率を
 で表わすことにする．
生産性の尺度 (A) を次のように変形し，新しい変数 e を
定義する．
1
e = A 1−α
■ 体化した技術進歩とカエル跳び的発展
• 体化された技術進歩 (embodied technological
progress) 新しい技術が新しい資本に組み込まれ
ないかぎり，新しい技術が実際に使われない状況
• カエル跳び (leapfrogging) 技術的遅れた国や企業
が先導者を飛び越える過程
or
e1−α = A
生産関数は次のように書ける．
Y = e1−α K α L1−α
= K α (eL)1−α
(8.26)
(8.27)
技術水準と関係がある変数 e は労働者 1 人当たり効率性
を測定するものと考えられる．
}
e の増加
→ 産出量に対しての効果は等しい
L の増加
第 8 章 成長における技術の役割
10
効率単位労働投入当たり
経済活動人口の増加率 (L̂) を 0 と仮定すると，
eL は効率単位で表示した労働投入量である．
˙
k̃ = γ ỹ − (ê + δ)k̃
生産関数 (8.27) の両辺を eL で割って，産出量と資本を効
率単位労働投入当たりの量 (per-effective-worker terms) で
= γ k̃ α − (ê + δ)k̃
表記する．
• 効率単位労働投入当たり産出量 = ỹ =
Y
eL
• 効率単位労働投入当たり資本量 = k̃ =
K
eL
(8.33)
この式から直感的に読み取れるのは実際の労働者 1 人当
たりの有効労働者数の成長 ê は第 4 章でのソロー・モデル
で演じた人口成長と同じ枠割りを果たしていることである．
今 1 ついうと，ê が大きいときは，有効労働者 1 人当たり資
本量が希釈されることになる．
生産関数
効率単位労働投入当たりで表記した生産関数は
ỹ = k̃ α
Y = K α (eL)1−α
( K )α
( eL )1−α
Y =
(eL)α
(eL)1−α
eL
eL
( K )α
Y =
eL
eL
(
)
Y
K α
=
eL
eL
ỹ = k̃ α
(8.28)
8.7.2
定常状態
効率単位労働投入当たり資本量の成長率を 0 とし，(つま
˙
り，k̃ = 0 とし) 定常状態を求める．
α
0 = γ k̃SS
− (ê + δ)k̃SS
(8.34)
(8.29)
定常状態における効率単位労働投入当たり資本量
式 (8.34) を k̃SS に対して解くと，
k̃SS =
1
( γ ) 1−α
ê + δ
(8.35)
資本量の動学
資本量の変化に関する式を導出するために，効率単位労
定常状態における効率単位労働投入当たり産出量
働投入当たり資本量の定義を時間に対して微分する．
式 (8.35) を式 (8.28) に代入すると
˙
d( K )
K̇eL − K (eL)
˙
k̃ = eL =
dt
(eL)2
K̇eL − L̇Ke − ėKL
(eL)2
K̇
L̇ ( K ) ė ( K )
=
−
−
eL L eL
e eL
L̇
K̇
ė
− k̃ − k̃
=
eL L
e
K̇
− (L̂ + ê)k̃
=
eL
α
=
ỹSS = k̃SS
(8.36)
定常状態における効率単位労働投入当たり産出量は一定で
=
ある．
(8.30)
総産出量
Y
(8.37)
eL
なので，両辺に対数をとって時間に対して微分すると
ỹ =
式 (8.30) に資本蓄積方程式
K̇ = γY − δK
α
( γ ) 1−α
ê + δ
(8.31)
ỹˆ = Ŷ − ê − L̂
を代入する．ここで γ は資本投資の総産出量に対する比率，
δ は減価償却率である．
(8.38)
経済活動人口 L は一定であると仮定しているので (つまり，
L̂ = 0) 式 (8.38) は
˙
k̃
˙
k̃
γY − δK
− (L̂ + ê)k̃
=
eL
Y
K
=γ
−δ
− (L̂ + ê)k̃
eL
eL
˙
k̃ = γ ỹ − δ k̃ − (L̂ + ê)k̃
˙
k̃ = γ ỹ − (L̂ + ê + δ)k̃
Ŷ = ỹˆ + ê
(8.39)
となる．最後に定常状態では ỹˆ = 0 なので，式 (8.39) は
(8.32)
Ŷ = ê
となる．総産出量は e と同じ速度で増加する．
(8.40)
第 8 章 成長における技術の役割
11
式 (8.26) の両辺に対数をとって時間に対して微分すると
( 1 )
ln e =
ln A
1−α
(8.41)
( 1 )
ê =
Â
1−α
したがって，総産出量の増加率は
( 1 )
Ŷ =
Â
1−α
• 技術進歩の直後
– ∆ê ↑ → 総産出量の増加率 (1 − α)∆ê ↑
• 新しい定常状態に近づく
– ỹˆ は 0 に近づく → 総産出量の増加率 ∆ê ↑
(8.42)
–
Ŷ = ỹˆ + ê + ∆ê = ê + ∆ê
となる．
8.7.3
技術成長の変化の効果
(8.49)
Figure 8
技術進歩向上の効果
式 (8.36) は定常状態における効率単位労働投入当たり産
出量を表す．
技術水準の増加率 ê の増加は定常状態における効率単位
労働投入当たり産出量を減少させる．
技術水準の増加率êの増加
効率単位労働投入当たり産出量の水準 ↓
→
労働者 1 人当たり産出量の水準 ↑
• 横軸: 時間，縦軸: 労働者 1 人当たり効率性 e (ratio
scale)
技術進歩が加速化 → 労働者の効率性 e ↑
Ŷ = ỹˆ + |{z}
ê
|{z}
|{z}
(c)
(a)
• 横軸: 時間，縦軸: 効率単位労働投入当たり産出量 ỹ
(ratio scale)
(8.43)
(b)
定常状態では ỹˆ = 0 である．定常状態にある経済の技術
進歩率 ê が増加する．
• 横軸: 時間，縦軸: 総産出量 Y (ratio scale)
• (追加) 横軸: 時間，縦軸: 労働者 1 人当たり産出量 y
の成長率 (ratio scale)
1. ê の増加，つまり (b) ↑ による Ŷ の増加，つまり (c) ↑
2. 短期では，ỹˆ の減少 (0 からマイナス)，つまり (a) ↓
による Ŷ の減少，つまり (c) ↓
1 と 2 どちらが大きいか ? 式 (8.33) の両辺を k̃ で割ると
˙
ˆ k̃
k̃ = = γ k̃ α−1 − (ê + δ)
k̃
ŷ = ỹˆ + ê + ∆ê
(8.44) は，
(8.50)
• 技術進歩の直後
ˆ
k̃ = −∆ê
ŷ = −α∆ê + ê + ∆ê
= ê + (1 − α)∆ê
ỹ = k̃ α
(8.46)
ˆ
ỹˆ = αk̃
(8.51)
ŷ = ê + (1 − α)∆ê
• New 定常状態近傍
ˆ
k̃ = 0
式 (8.45) を式 (8.46) に代入すると
ỹˆ = −α∆ê
ˆ
= αk̃ + +ê + ∆ê
(8.45)
ˆ
となる．ỹˆ と k̃ の関係は式 (8.28) から
ln ỹ = α ln k̃
労働者 1 人当たり産出量の増加率は
(8.44)
ˆ
定常状態では k̃ = 0．ê の増分を ∆ê とする．ê の上昇後，式
ˆ
k̃ = −∆ê
補足
(8.47)
ŷ = 0 + ê + ∆ê
= ê + ∆ê
したがって，総産出量の増加率は
(8.52)
ŷ = ê + ∆ê
Ŷ = ỹˆ + ê + ∆ê
= −α∆ê + ê + ∆ê
= ê + (1 − α)∆ê
(8.48)
L̂ = 0 と仮定しているので，労働者 1 人当たり産出量の
増加率と総産出量の増加率は等しい．
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