量子化とビット数

「情報科学概論」
映像１年前期・選択
担当：浦谷則好
http://uratani-n.com/info-science/
[email protected]
第２回
 量子化とビット数
 標本化
情報量
 M者択一の情報量は log2(M) ビット
と決めることができる
 nビットで2n者択一から１つを選べる！
2bit なら 4, 3bit なら 8, 4bit なら 16
 nビットあれば2n個の数を表現できる
符号化（２進符号化）（１）
 コンピュータは２値しか扱えない
スイッチのON/OFF; 電流の有／無
 通常これを０と１で表している
 符号：対象に割り当てられた０と１の組み合わせ
 符号化：対象の符号を決めること
 解釈：符号から元の対象を求めること
符号化（２進符号化）（２）
 ４者択一なら２ビットで符号化できる
 ０と１の順番にも意味があることに注意！
選択肢
「花粉が多い」
「花粉がちょっと多い」
「花粉が少ない」
「花粉がほとんどない」
ビット列
00
01
10
11
符号化（２進符号化）（３）
 漢字の符号化の例
情
シフトＪＩＳ
0x8FEE
EUCコード
0xBEF0
UTF-8
0xE68385
1000111111101110
1011111011110000
111001101000001110000101
報
0x95F1
0xCAF3
0xE5A0B1
指数
 累乗： a1，a2，a3, ・・・をaの累乗(power)
という。（またはベキという）
右肩の1, 2, 3,・・・が指数(exponent)
a は底(base)
 累乗根： n a （n乗すればaとなる数）をaのn乗根
という。 a , 3 a , 4 a ・・・をまとめて累乗根
(root)という。２乗根は平方根(square
root)、３乗根は立方根(cube root)と
いうこともある。
指数の公式
 a,x,y を実数とし、(ただしa≠0)
m,n を自然数とすると、
1)
a0=1,
a1=a
x
2) a 
1
ax
3) ax×ay=ax+y
ax
x y
4) y  a
5) (ax)y=axy 6) (ab)x=axbx
a
x
ax
a
7)    x
b m
b
1
8) a>0のとき、a n  n a m 特に、m=1のとき a n  n a
指数の問題
 25×27= 212
 29÷23= 26
 (29)3= 227
 20= 1
対数 (logarithm)
 指数の逆関数である
 a>0, a≠1 のとき、正の実数x に対して、
x=ay となる実数y がただ１つ定まる。
このy をa を底とするx の対数といい、
y=loga x と表記する。
また、loga x におけるx を真数という。
一般に n=logaan が成立
対数の公式
 a,c を正数とし、(ただしa≠1, c ≠1)
M>0, N>0, b>0 とすると、
1) loga1=0, logaa=1
2) logaMN=logaM+logaN
M
 log a M  log a N 4) log a M p  p log a M
3) log a
N
5) log b  log c b 特に、 log b  1
a
a
log c a
log b a
対数の問題（１）
 以下の式の値を求めよ
1) log24096 2) log232+log2128
【解答】
1)
log 2 4096  log 2 2  12
12
2) log 2 32  log 2 128  log 2 2  log 2 2
5
 5  7  12
7
対数の問題（２）
 以下の式の値を求めよ
1) log432 2) log927
【解答】
1)
2)
5
log 2 32 log 2 2
5
log 4 32 


2
log 2 4 log 2 2
2
3
log 3 27 log 3 3 3
log 9 27 


2
log 3 9 log 3 3
2
デジタルの有利な点
 コピーしたとき劣化しない
→ カセットテープや複写では劣化するのが当然！
 経年変化を受けない
→ カセットテープや印画紙の経年変化は
避けられない
 コンピュータで処理できる！
→ 格納場所の圧縮。複製が容易。
アナログ量をデジタル化
 量子化
 連続量を離散値に 36.538…. → 36.5
 標本化（サンプリング）
 時間的に連続 → 離散的な時間のみ
量子化
 di ≤ gs[n]+Δd/2 < di+1 のとき，di を割り当てる
 今、元の値が 0  q  256 で、mビットで量子化す
るとします。（mは4~8） (Δd = di+1 – di)
 m=8 のとき 0,1,2,3,・・・,254,255
 m=6 のとき 0,4,8,12, ・・・,248,252
 q=59.3 のとき
 m=8 なら量子化誤差は？
 m=7 なら量子化誤差は？
 m=5 なら量子化誤差は？
0.3
0.7 ← 59.3-60
3.3 ← 59.3-56
ビット数は？
 アルファベット（大文字だけ;26文字）を符号化
するためのビット数は？ 5ビット（25＝32）
 ひらがな（97文字）を符号化するためのビット
7ビット（27＝128）
数は？
 第１水準漢字（2,965文字）を符号化するため
のビット数は？
12ビット（212＝4096）
 全漢字（諸説あるが約６万字とする）を符号化
するためのビット数は？ 16ビット（216＝65536）
標本化定理（１）
 ある関数f(x)をフーリエ変換した関数F(s)の成分
（スペクトル）が， s  W の範囲でF(s)=0である
ような関数f(x)に対して，s=2W に相当する周期
より小さい周期をもつ標本化関数で標本化したとき
に得られる関数は、そのスペクトルのうち s  W
が原関数のスペクトルに一致する。
 原信号に含まれる最大周波数成分f の２倍以上の
周波数 fs (≧2f)で標本化すれば原信号を完全に
復元することができる
標本化定理（２）
 原信号が復元可能な最大周波数 fs /2 を
「ナイキスト周波数」と言う
 もし原信号が最大周波数 fs /2より大きな周波数f
を含んでいると、この周波数成分は fs-f が偽信
号（エイリアス信号）として復元される
※標本化定理は1928年ハリー・ナイキストが予想。1949年
にクロード・E・シャノンと日本の染谷勲によってそれぞれ独立
に証明された。
標本化定理（３）
 信号x(t) の復元
ここで ts=1/fs （つまりサンプリング間隔）
 標本化関数
標本化関数
×
π
サンプリング周波数
 人の可聴域は 20Hz~20kHz
（老人など高音が聞こえぬくい人は15kHz以下）
 それでは、ＣＤなどのサンプリング周波数は
いくら以上にする必要があるか？
40kHz
 実際のＣＤのサンプリング周波数は？
44.1kHz
AD変換，ＤＡ変換
 AD変換 (Analog Digital変換)
 アナログ量 → デジタル量
 デジタル体温計，デジタル体重計
 DA変換 (Digital Analog変換)
 デジタル量 → アナログ量
 CDプレーヤ
 アンプ（増幅器）やスピーカーはアナログ信号しか
扱えない
AD変換の例（ＣＤの作成）
DA変換の例（ＣＤプレーヤ）
アナログ化
ディスク（HD,CD,DVD）の構造
 トラック：円の部分（右図のＡ）
 セクタ（「扇形」）は数学的（幾何学的）
には、右図のＢ
 デイスク上でデータのかたまり（一度
に扱う大きさ）を示す領域をセクタと
呼ぶ右図のＣ
（つまりＡとＢの共通部分）
 磁気ディスクでは、1セクタは512バイトが典型的
 光ディスクでは、1セクタは2048バイトが典型的
 セクタの（読み書きのための）集まりをクラスタとよぶ
CD-ROMの容量
 約333,000セクタ、1セクタあたりのデータ容量
は2,048バイト（実際はヘッダやエラー訂正を
含めて2,352バイト）だから、
333,000×2,048=682,000,000 バイト
=650MB
 約360,000セクタのものなら
360,000×2,048=737,000,000 バイト
=703MB
音楽CD (CD-DA)の容量
 約333,000セクタ、1セクタあたりのデータ容量
は2,352バイトだから、
333,000×2,352=783,000,000 バイト
=746MB
（これを前述の定義から 650MB と言っている）
 360,000セクタ(700MBと称する方）なら
360,000×2,352=847,000,000 バイト
=807MB
音楽CDには何分の音楽が入る？
 サンプリング周波数44.1kHz, 量子化16ビット
なので，１秒当たりステレオ(2ch) で
16×44,100×2÷8= 176,400 バイト
 650MBのCDなら（実質746MB)だから
746×1024/172 = 4441秒= 74 分
 700MBのCDなら（実質807MB)だから
807×1024/172 = 4804秒= 80 分
写真１枚（1280 × 960 ピクセル）の容量は？
 RGB各８ビット（１バイト）として
1280×960×3=3.52MB
 実際にはJPEGで符号化すると
200KB ~ 1MB
DVDの容量は？
 約2,300,000セクタ、1セクタあたりのデータ
容量は2,048バイトだから
2,300,000×2,048=4,710,000,000 B
=4,490 MB
=4.38 GB
次回（第３回：4/28）の予定
 ２進数と基数変換

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