プロセス制御工学 2 プロセスモデル 2．プロセスモデル

1
プロセス制御工学
２プロセスモデル
２．プロセスモデル
京都大学
加納学
Division of Process Control & Process Systems Engineering
Department of Chemical Engineering, Kyoto University
[email protected]
http://www-pse.cheme.kyoto-u.ac.jp/~kano/
講義内容
2
 プロセスモデルの構築
 ラプラス変換
1
動的なプロセスモデルの必要性
3
 プロセス制御を実現するためには，プロセスの入力変数
（操作変数と外乱）が変化したときに出力変数（制御変
数）が時間的にどように変化するかすなわちプセ
数）が時間的にどのように変化するか，すなわちプロセ
スの動特性を表現できるモデルが必要である．
 プロセス設計に利用されるモデルは，定常状態におけ
る変数間の関係を表現するものであり，動特性は無視
されている場合が多い．
 アクセルやブレーキと車速の関係を
知らなかったら，どうなるだろうか？
プロセスモデルの種類
4
 物理モデル（現象論的モデル）
物理や化学の法則に基づいて化学プロセスの動特性を
一連の微分方程式や代数方程式で表現するモデル
連微分方程式や代数方程式表現するデル
 ブラックボックスモデル（統計的モデル）
プロセスの運転データから導出されるモデル
例えば，操作変数を人為的に変化させることによって，操
作変数が制御変数に与える影響を知ることができるため，
そのときの入出力データからモデルを構築できる．
システム同定：入出力データから統計的モデルを構築す
ること
 グレイボックスモデル＝現象論的モデル＋統計的モデル
2
5
状態変数と状態方程式
 プロセスの動特性を表現するためには，プロセスの状態
を表す変数（状態変数）とその時間的変化を表す数式
（状態方程式）が必要である．
例）物質収支式や熱収支式などのプロセス方程式
状態方程式
dx
 f ( x, u )
dt
状態変数
x
 初期状態 x0 と入力 u が与えられれば，プロセスの状態
が
ばプ
が変化する様子を知ることができる．
プロセス方程式から状態方程式へ
6
 プロセス方程式が 1 階微分方程式で与えられるとは限
らないが，状態変数の 1 階から n-1 階微分までを状態
変数に加えることにより， n 階微分方程式に変形できる．
d2y
dy

 g ( y, u )
a
dt 2
dt
x1  y, x2 
dy
dt
x2

d  x1  

dt  x2   g ( x1 , u )  ax2 
3
定常状態と非定常状態
7
 定常状態
状態変数が時間的に変化しない状態
0  f (~
x , u~ )
 非定常状態
状態変数が時間的に変化する状態
dx
 f ( x, u )
dt
例題２．１
物質収支
エネルギー収支
8
dL
 Fi  F
dt
d ( LT )
c p A
 c p FiTi  c p FT  Q
dt
A
4
9
例題２．１
エネルギー収支
A
dL
 Fi  F
dt
d ( LT )
Q
A
 FiTi  FT 
dt
c p
A
物質収支
d ( LT )
dT
dL
dT
 AL
 AT
 AL
 T ( Fi  F )
dt
dt
dt
dt
AL
dT
Q
 F (Ti  T ) 
dt
c p
10
例題２．１
状態方程式
dL
 Fi  F
dt
dT
Q
AL
 F (Ti  T ) 
dt
c p
A
状態変数
L
T
5
11
自由度
 プロセス自由度
プロセスの定常状態を決めるために必要十分な変数の
数，あるいは互いに独立に変化させることのできる変数
の数
プロセス自由度＝変数の数－式の数
 制御自由度
制御可能な変数の数
制御自由度＝プロセス自由度－外部条件変数の数
自由度の計算例（例題２．２）
12
状態方程式
dL
 Fi  F
dt
dT
Q
AL
 F (Ti  T ) 
dt
c p
A
プロセス自由度
４
＝
制御自由度
２
プロセス自由度
４
＝
変数の数
６
ー
式の数
２
－
外部条件変数の数
２
6
13
線形化
 化学プロセスの物理モデルの多くは非線形微分方程式
で与えられる．しかし，プロセスが狭い条件範囲で運転
される場合には，線形モデルによって非線形モデルを
十分な精度で近似できる．
十分な精度で近似できる
 プロセスをある定常状態に保つことが目的である場合
には，その定常点周りでのプロセスの動特性は線形近
似したモデルを用いて表現できるため，その線形モデル
に基づいて制御系を設計すればよい．
 近年，反応器など非線形性が強く，かつ高い制御性能
を要求されるプロセスに対して，非線形モデルに基づく
モデル予測制御の適用などが進められている．
14
線形化
テイラー展開
x  x0
( x  x0 ) 2
( 2)
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )
 f ( x0 )

1!
2!
( x  x0 ) n
(n)
 f ( x0 )

n!
f (x)
２次以上の項を無視
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )
x0
x
7
例題２．３
A
15
dL
 Fi  a L
dt
1
~
~
L L
L

L
(
)
~
2 L
dL
a
~
~
A
 Fi  a L 
(

)
L
L
~
dt
2 L
定常値からの変化量に着目
16
定常値からの変化量
x  x  ~x
状態方程式の線形近似
dx
 f ( x)  f ( ~
x )  f ' (~
x )( x  ~
x)
dt
定常状態
d~
x
0
 f (~
x)
dt
dx
 f ' (~
x )x
dt
8
17
例題２．４
定常値からの変化量
A
物質収支式
定常状態
A
~
L  L  L
dL
 Fi  a
dt
~
0  Fi  a
a
~
~
L
(
L

L
)
~
2 L
~
L
dL
a
 Fi 
~ L
dt
2 L
~
Fi
 Fi  ~ L
2L
撹拌槽型加熱器の線形モデル（例題２．５）
18
~
dL
Fi
A
 Fi  ~ L
dt
2L
AL
dT ~
~ ~ Q
 Fi (Ti  T )  Fi (Ti  T ) 
dt
c p
状態空間表現
~
 Fi
d L   2 AL~

dt T  
0

 1

0  L  
A
~      T~  T~
i
F T
 i     AL

AL 

0
~
Fi
AL
 F
 i 
 
1  Ti 
c p AL  Q 
0
9
19
講義内容
 プロセスモデルの構築
 ラプラス変換
ラプラス変換
20
 ラプラス変換の定義と基本特性

定義
L[ f (t )]  F ( s )   f (t ) e  st dt
線形性
L[af (t )  bg (t )]  aF ( s )  bG ( s )
合成積
L[  f (t   ) g ( )d ]  F ( s )G ( s )
0
t
0
10
ラプラス変換
21
 微積分のラプラス変換
L[ f ( n ) (t )]  s n F ( s )  s n 1 f (0)    f ( n 1) (0)
L[ f ( n ) (t )]  s n F ( s )
t
t
0
0
L[   f (t )(dt ) n ] 
初期値がすべて０の場合
1
F ( s)
sn
 指数関数のラプラス変換
プ
換
L[e  at ] 
1
sa
例題２．６
22
b (t  0)
dx
 ax  f (t ), x(0)  0, f (t )  
dt
0 (t  0)
ラプラス変換
逆変換（合成積）
sX ( s )  aX ( s )  F ( s )
F ( s)
X (s) 
sa
t
x(t )   e  a (t  ) f ( )d
0

b
(1  e  at )
a
11
23
ラプラス変換
 移動定理
L[ f (t  d )]  e  ds F ( s )
 最終値定理
lim f (t )  lim sF ( s )
t 
s 0
24
例題２．７
b (t  0)
dx
 ax  f (t ), x(0)  0, f (t )  
dt
0 (t  0)
F (s) 
b
s
X (s) 
b
s( s  a)
最終値定理
li x(t )  lim
lim
li sX
X (s)
t 
s 0
 lim
s 0
b
b

sa a
t
x(t )   e  a (t  ) f ( )d
0

b
(1  e  at )
a
12
ラプラス逆変換（例題２．８）
F (s) 
25
7 s  20
7 s  20
a
b
c




s 3  7 s 2  10 s s ( s  2)( s  5) s s  2 s  5
s を掛けて s=0 を代入
s+2 を掛けて s=-2 を代入
F (s) 
項ごとに逆変換
20
a b0 c0

 
25 1 s  2 s  5
7(2)  20
a0 b c0

 
(2)(2  5)
s
1 s5
2 1
1


s s2 s5
f (t )  2  e 2t  e 5t
おわり
26
 宿題？
13

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