BD xxの

【ＲＣ長方形柱の許容曲げモーメント算定式】
【基本的仮定】
・コンクリートの引張応力は無視する。
・曲げ変形時に断面は平面保持し、コンクリートの圧縮応力度は中立軸からの距離に比例する。
・隅角部を除いて、直交側主筋の影響は無視する。
【記号】
b
: 断面幅
D : 断面成
xn : 最大圧縮縁端から中立軸までの距離
dt : 引張側縁端から引張鉄筋中心までの距離
d c : 最大圧縮縁端から圧縮鉄筋中心までの距離
at : 引張鉄筋断面積合計
ac : 圧縮張鉄筋断面積合計
εc
σc
ε1
ε2
: 最大圧縮縁端のコンクリート歪
: 最大圧縮縁端のコンクリート応力度
: 引張鉄筋の歪
: 圧縮鉄筋の歪
at
bD
a
: 圧縮鉄筋比 = c
bD
:コンクリートの許容圧縮応力度
pt : 引張鉄筋比 =
pc
fc
ft : 鉄筋の許容引張応力度 = 鉄筋の許容圧縮応力度
Ec :コンクリートのヤング係数
Es : 鉄筋のヤング係数
n
: ヤング係数比 = Es Ec
M : 断面に加わるモーメント
N : 断面に加わる軸力
M a : 断面の許容モーメント
N a : 断面の許容軸力
ac
図・１の断面について、軸力と x − x 軸に関する曲げを
xD
x
受ける場合についての計算式を誘導します。
青点線で囲っていない鉄筋（主筋）は存在を無視します。
at
b
図・１柱の断面
1
の場合
(1) N < 0（引張軸力）
(1) - 1 xn ≤ 0 の場合
ε2
図・２を参照して、
⎧
d c − xn
ε1
⎪ε 2 =
D − dt − xn
⎪
⎪⎪
T1
" (1)
⎨ε1 =
at Es
⎪
⎪
T
⎪ε 2 = 2
ac Es
⎪⎩
D
ε1
ですから、圧縮側の鉄筋引張力は引張側鉄筋引張力で
d c − xn
p
d c − xn
T1
= c
T2 = ac Es ε 2 = ac Es
T1
D − dt − xn at Es
pt D − dt − xn
⇒ T2 =
-xn
dc
dt
図・２ケース (1) − 1
pc d c1 − xn1
T1 " (2)
pt 1 − dt1 − xn1
のように表されます。また、
⎧ N = −T1 − T2
⎪
" (3)
⎨
⎛D
⎞
⎛D
⎞ D
⎪ M = T1 ⎜ 2 − dt ⎟ − T2 ⎜ 2 − d c ⎟ = 2 {T1 (1 − 2dt1 ) − T2 (1 − 2dc1 )}
⎝
⎠
⎝
⎠
⎩
の関係があります。「引張側（図下側）」の鉄筋が許容力に達する事から、
T1 = at ft = pt ft bD " (4)
となります。
(2), (4) 式の関係を (3) 式に代入して整理すると、次式の関係が得られます。
⎧
⎛
dc1 − xn1 ⎞
⎪ N a = − ⎜ pt + pc
⎟ ft bD
1 − dt1 − xn1 ⎠
⎝
⎪
" (5)
⎨
ft bD 2 ⎧
d c1 − xn1 ⎫
⎪
⎪ M a = 2 ⎨ pt (1 − 2dt1 ) − pc (1 − 2d c1 ) 1 − d − x ⎬
t1
n1 ⎭
⎩
⎩
(1) - 2 0 < xn ≤ d c の場合
xn
εc
ε2
dc
D
図・３を参照して、
⎧
D − dt − xn
εc
⎪ε1 =
xn
⎪
⎪⎪
d c − xn
ε1
⎨ε 2 =
D − dt − xn
⎪
⎪
σ
nσ
T
T
⎪ε1 = 1 , ε 2 = 2 , ε c = c = c
at Es
ac Es
Ec
Es
⎪⎩
ε1
" (6)
dt
図・３ケース (1) − 2
ですから、圧縮側の鉄筋引張力は引張側鉄筋引張力により(2) 式で表されるのは (1) - 1 と同じです。
軸力と曲げモーメントは次式で表せます。
⎧
bx
x
⎪ N = −T1 − T2 + n σ c = −T1 − T2 + n1 bDσ c
2
2
⎪
⎪⎪
bx
D
D
⎛D x ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
n
" (7)
σc ⎜ − n ⎟
⎨ M = T1 ⎜ − dt ⎟ − T2 ⎜ − d c ⎟ +
2
3⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎪
⎪
x
⎫
2
D⎧
⎪ = ⎨T1 (1 − 2dt1 ) − T2 (1 − 2dc1 ) + n1 ⎜⎛1 − xn1 ⎟⎞ bDσ c ⎬
2⎩
2 ⎝
3 ⎠
⎭
⎩⎪
2
圧縮側最外縁のコンクリート応力度は次式で表されます。
σc =
Es
xn
xn1
1
Es ε 1 ⇒ σ c =
T1 " (8)
εc =
n
n ( D − dt − xn )
n (1 − dt1 − xn1 ) pt bD
コンクリートの圧縮で許容力が決まる場合は、(4), (6), (7) 式を使って、次式が得られます。
⎧σ c = f c
⎪
" (9)
n (1 − dt1 − xn1 )
n ( d c1 − xn1 )
⎨
pt f c bD, T2 =
pc f c bD
⎪T1 =
xn1
xn1
⎩
(9) 式の関係を (7) 式に代入して整理すると、次式の関係が得られます。
⎧
d c1 − xn1 ⎞ ⎪⎫
⎪⎧ xn1 n (1 − dt1 − xn1 ) ⎛
−
⎪ Na = ⎨
⎜ pt + pc
⎟ ⎬ f c bD
xn1
1 − dt1 − xn1 ⎠ ⎪⎭
⎪⎩ 2
⎪
⎝
⎨
2
⎡ n (1 − dt1 − xn1 ) ⎧
d c1 − xn1 ⎫ xn1 ⎛
2 ⎞ ⎤ f c bD
⎪
=
−
−
−
+
−
M
p
1
2
d
p
1
2
d
1
x
(
)
(
)
⎢
⎥
⎨
⎬
t
t1
c
c1
n1 ⎟
⎜
⎪ a
xn1
1 − dt1 − xn1 ⎭ 2 ⎝
3 ⎠ ⎦⎥ 2
⎩
⎣⎢
⎩
引張鉄筋の耐力で許容力が決まる場合は、(9) 式と同様にして、次式が得られます。
" (10)
d c1 − xn1
⎧
⎪T1 = pt ft bD, T2 = 1 − d − x pc ft bD
⎪
t1
n1
" (11)
⎨
x
n1
⎪σ =
f
⎪⎩ c n (1 − dt1 − xn1 ) t
(11) 式の関係を (7) 式に代入して整理すると、次式の関係が得られます。
⎧
xn21
dc1 − xn1 ⎪⎫
⎪⎧
− pt − pc
⎪ Na = ⎨
⎬ ft bD
1 − dt1 − xn1 ⎭⎪
⎪
⎩⎪ 2n (1 − dt1 − xn1 )
⎨
⎧⎪
⎫⎪ ft bD 2
dc1 − xn1
xn21
2 ⎞
⎪
⎛
M
p
d
p
1
2
1
d
x
1
2
=
−
−
−
+
−
⎬
c (
c1 )
n1 ⎟
t1 )
⎜
⎪ a ⎨ t(
3 ⎠ 2n (1 − dt1 − xn1 ) ⎭⎪ 2
1 − dt1 − xn1
⎝
⎩⎪
⎩
(1) - 3 d c < xn < D − dt の場合
図・４を参照して、
⎧
D − dt − xn
εc
⎪ε1 =
xn
⎪
⎪⎪
xn − dc
" (13)
ε1
⎨ε 2 =
D − dt − xn
⎪
⎪
nσ
σ
T
C
⎪ε1 = 1 , ε 2 = 2 , ε c = c = c
at Es
ac Es
Ec
Es
⎪⎩
ですから、軸力と曲げモーメントは次式で表せます。
⎧
bx
x
⎪ N = −T1 + C2 + n σ c = −T1 + C2 + n1 bDσ c
2
2
⎪
⎪⎪
⎛D x ⎞
⎛D
⎞
⎛D
⎞ bxn
σc ⎜ − n ⎟
" (14)
⎨ M = T1 ⎜ − dt ⎟ + C2 ⎜ − dc ⎟ +
2
3⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎪
⎪
x ⎛
⎫
2 ⎞
D⎧
⎪ = ⎨T1 (1 − 2dt1 ) + C2 (1 − 2d c1 ) + n1 ⎜1 − xn1 ⎟ bDσ c ⎬
2⎩
2 ⎝
3 ⎠
⎪⎩
⎭
" (12)
xn
ε 2 dc
D
ε1
dt
図・４ケース (1) − 3
コンクリートの圧縮で許容力が決まる場合は、(13) 式を使って、次式が得られます。
⎧σ c = f c
⎪
" (15)
n (1 − dt1 − xn1 )
( n − 1)( xn1 − dc1 )
⎨
pt f c bD, C2 =
pc f c bD
⎪T1 =
xn1
xn1
⎩
3
εc
(15) 式の関係を (14) 式に代入して整理すると、次式の関係が得られます。
⎧
⎡ xn1 n (1 − dt1 − xn1 ) ⎧
n − 1 dc1 − xn1 ⎫⎤
−
⎪ Na = ⎢
⎨ pt + pc
⎬⎥ f c bD
xn1
n 1 − dt1 − xn1 ⎭⎦⎥
⎪
⎩
⎣⎢ 2
⎨
2
⎡ n (1 − dt1 − xn1 ) ⎧
d c1 − xn1 ⎫ xn1 ⎛
2 ⎞ ⎤ f c bD
n −1
⎪
=
−
−
−
+
−
1
2
1
2
1
M
p
d
p
d
x
(
)
(
)
⎨ t
⎬
t1
c
c1
n1 ⎟ ⎥
⎜
⎪ a ⎢
1 − dt1 − xn1 ⎭ 2 ⎝
3 ⎠ ⎦⎥ 2
xn1
n
⎩
⎣⎢
⎩
引張鉄筋の耐力で許容力が決まる場合は、(15) 式と同様にして、次式が得られます。
" (16)
xn1 − d c1
⎧
⎪T1 = pt ft bD, C2 = 1 − d − x ( n − 1) pc ft bD
⎪
t1
n1
" (17)
⎨
xn1
⎪σ =
f
⎪⎩ c n (1 − dt1 − xn1 ) t
(17) 式の関係を (14) 式に代入して整理すると、次式の関係が得られます。
⎧
⎧⎪
xn21
n − 1 d c1 − xn1 ⎪⎫
− pt − pc
⎪ Na = ⎨
⎬ ft bD
n 1 − dt1 − xn1 ⎭⎪
⎪⎩ 2n (1 − dt1 − xn1 )
⎪
⎨
⎧⎪
⎫⎪ ft bD 2
dc1 − xn1 n − 1
xn21
2 ⎞
⎪
⎛
1
2
1
2
1
M
p
d
p
d
x
=
−
−
−
+
−
⎬
t1 )
c (
c1 )
n1 ⎟
⎜
⎪ a ⎨ t(
1 − dt1 − xn1 n
3 ⎠ 2n (1 − dt1 − xn1 ) ⎪⎭ 2
⎝
⎪⎩
⎩
(2) N ≥ 0（圧縮軸力）
の場合
" (18)
(2) - 1 d c < xn < D − dt の場合
(1) - 3 の場合と同じです。
(16), (18) 式の小さい方の N a に対応する式を使用する事になります。
(2) - 2 D − dt ≤ xn < D の場合
xn + dt − D
x − dc
⎧
εc , ε2 = n
εc
⎪ε1 =
xn
xn
⎪
" (19)
⎨
⎪ε = C1 , ε = C2 , ε = σ c = nσ c
2
c
⎪⎩ 1 at Es
ac Es
Ec
Es
ですから、軸力と曲げモーメントは次式で表せます。
⎧
bx
x
⎪ N = C1 + C2 + n σ c = C1 + C2 + n1 bDσ c
2
2
⎪
⎪⎪
D
D
⎛D x ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞ bxn
" (20)
σc ⎜ − n ⎟
⎨ M = −C1 ⎜ − dt ⎟ + C2 ⎜ − d c ⎟ +
2
3⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎪
⎪
x ⎛
⎫
2 ⎞
D⎧
⎪ = ⎨−C1 (1 − 2dt1 ) + C2 (1 − 2dc1 ) + n1 ⎜1 − xn1 ⎟ bDσ c ⎬
2 ⎝
3 ⎠
2⎩
⎭
⎩⎪
コンクリートの圧縮で許容力が決まる場合は、(19) 式を使って、次式が得られます。
⎧σ c = f c
⎪
" (21)
( n − 1)( xn1 + dt1 − 1)
( n − 1)( xn1 − dc1 )
⎨
pt f c bD, C2 =
pc f c bD
⎪C1 =
xn1
xn1
⎩
(21) 式の関係を (20) 式に代入して整理すると、次式の関係が得られます。
⎧
⎡ xn1 ( n − 1) (1 − dt1 − xn1 ) ⎧
d c1 − xn1 ⎫⎤
−
⎪ Na = ⎢
⎨ pt + pc
⎬⎥ f c bD
xn1
1 − dt1 − xn1 ⎭⎦⎥
⎪
⎩
⎣⎢ 2
⎨
2
⎡ ( n − 1)(1 − dt1 − xn1 ) ⎧
d c1 − xn1 ⎫ xn1 ⎛
2 ⎞ ⎤ f c bD
⎪
⎨ pt (1 − 2dt1 ) − pc (1 − 2d c1 )
⎬+
⎜ 1 − xn1 ⎟ ⎥
⎪M a = ⎢
1 − dt1 − xn1 ⎭ 2 ⎝
3 ⎠ ⎥⎦ 2
xn1
⎢⎣
⎩
⎩
4
" (22)
圧縮鉄筋の耐力で許容力が決まる可能性はあるのですが、通常はそのような「強いコンクリート」
と「弱い鉄筋」の組合せは用いないので、検討を省略します。
(2) - 3 D ≤ xn の場合
図・５を参照して、
xn + dt − D
x − dc
x −D
⎧
εc , ε2 = n
ε c , ε c′ = n
εc
⎪ε1 =
xn
xn
xn
⎪
" (23)
⎨
⎪ε = C1 , ε = C2 , ε = σ c = nσ c
c
2
⎪⎩ 1 at Es
ac Es
Ec
Es
ですから、軸力と曲げモーメントは次式で表せます。
ε c′ は曲げの引張側コンクリート縁端の歪、σ c′ は ε c′ に対応する応力度、です。
⎧
2x − 1
bD
bDσ c
σ c + σ c′ = C1 + C2 + n1
⎪ N = C1 + C2 +
2
2 xn1
⎪
⎪⎪
⎛D
⎞
⎛D
⎞ bD
⎛D D⎞
σ c − σ c′ ⎜ − ⎟ " (24)
⎨ M = −C1 ⎜ − dt ⎟ + C2 ⎜ − d c ⎟ +
⎝2
⎠
⎝2
⎠ 2
⎝2 3⎠
⎪
⎪
D⎧
1 bD ⎫
⎪ = ⎨−C1 (1 − 2dt1 ) + C2 (1 − 2dc1 ) +
σc ⎬
2⎩
xn1 6
⎪⎩
⎭
(
)
)
(
コンクリートの圧縮で許容力が決まる場合は、(21) 式が成立しています。
(21) 式の関係を (24) 式に代入して整理すると、次式の関係が得られます。（図・６参照）
⎧
⎡ 2 xn1 − 1 ( n − 1)( xn1 + dt1 − 1) ⎧
xn1 − dc1 ⎫⎤
+
⎪ Na = ⎢
⎨ pt + pc
⎬⎥ f c bD
xn1
xn1 + dt1 − 1 ⎭⎥⎦
⎢⎣ 2 xn1
⎪
⎩
⎨
2
⎡ ( n − 1)(1 − dt1 − xn1 ) ⎧
d c1 − xn1 ⎫
1 ⎤ f c bD
⎪
1
2
1
2
M
p
d
p
d
=
−
−
−
+
(
)
(
)
⎥
⎨ t
⎬
t1
c
c1
⎪ a ⎢
1 − dt1 − xn1 ⎭ 6 xn1 ⎦⎥ 2
xn1
⎩
⎣⎢
⎩
やはり、圧縮鉄筋の耐力で許容力が決まる場合の検討を省略します。
(3) まとめ
" (25)
εc
ε2
以上の結果から、中立軸比 xn1 をパラメタ
dc
とする N z − M a 関係が得られました。
D
まとめると、以下の通りです。
(a) xn ≤ 0 の場合
D
(5) 式を用います。
(b) 0 < xn ≤ d c の場合
ε1
ε c′
(10), (12) 式を用います。
得られる値の内 N a 値が小さい
xn
dt
図・６ケース (2) − 3 の応力状態
方の式の値を採用します。
図・５ケース (2) − 3
(c) dc < xn < D − dt の場合
(16), (18) 式を用います。
得られる値の内 N a 値が小さい方の式の値を採用します。
(d ) D − dt ≤ xn < D の場合
(22) 式を用います。
(e) D ≤ xn の場合
(25) 式を用います。
5
b = 40cm, D = 60cm, d c = dt = 5cm の柱について、N a − M a 関係を求めた例を、図・７に示します。
コンクリート：Fc = 1.8kN / cm 2
：SD 295, 5 − D16 ⇒ ac = at = 9.95cm 2
主筋
としました。
青線は「長期」、赤線は「短期」の許容力の関係を示します。
3500
3000
2500
Na kN
2000
1500
1000
500
0
0
50
100
150
-500
-1000
Ma kNm
図・７ N a − M a 関係の計算例
6
200
250

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