確率統計三章
「大数の法則」
カジノがかならず勝つ理由
カジノで勝負する客
• 一回一回の賭けでは，勝つ人もいれば，負け
る人もいる．
• 大金持ちになる人もいれば，破産する人もい
る．
• 一日中賭け続ける人もいれば，ほんの数分
で去ってゆく人もいる．
カジノは着実に利益をあげる
• 個々の客が儲けたり，損をしたりすることはあ
るが，それは賭けの回数が少ないからである．
• カジノの営業成績全体は，個々の賭けが無
数に積み重なった結果であるということだ．
• カジノは，様々な種類の賭けを客に提供する
が，どれも少しだけカジノに有利にできている．
• つまり，カジノの理論的な勝率が５割を少し超
えているならば，数多くの賭けをするとき，カ
ジノが実際の勝つ割合は，まず間違いなく，５
割を超える．
大数の法則
• 理想的なコインに十分な回転を与えて振り続け
ると，表のでる割合は 1/2 に近づいてゆく．
• 理想的なサイコロを十分な回転を与えて振り続
けるとき，6 の目の出る確率は 1/6 に近づいて
ゆく．
• 勝率が p の勝負を繰り返し数多く行うとき，実際
の勝利の割合は p に近づいてゆく．
• 何であれ，ランダムな実験を十分な回数だけ繰
り返すと，成功の割合は，真の確率に近づいて
ゆく．
クイズ
• 次の勝負のうち，カジノが嫌う賭けはど
ちらか？
– カジノの勝率が 0.52 の賭けを，掛け金
$100 で 1000 人の客がそれぞれ 100 回 行
う．
– カジノの勝率が 0.52 の賭けに，一人の客
が掛け金 $10,000,000 の一発勝負を挑ん
できた．
実験をしてみよう
• コインを投げて表が出たら $1 もらえ，裏が出
たら $1 失う賭けを100回続ける．
• 最初の持ち金を $0 として，持ち金がどのよう
に変化するかを観察しよう．
• 勝ちの相対度数がどのように変化するかを観
察しよう．
カジノは理論的に計算できる確率が
実現するよう努力する
• サイコロは，どの目も等しい確率で現れるよう，
偏りのないものを用いて，出る目に傾向の出
ないように振る．
• カードはよく作られたものを，よくシャッフルし
て用いる．
• ルーレットは，どの数も等しい確率で出るよう
に精密に作ったものを使い，ホイールを十分
回転させる．
• 「大数の法則」がカジノの利益を保証する．
バスただ乗りの罰金
• ヨーロッパの国の中には，バスや電車の支払
いは客の良心に任されている．
• 友人のチャーリーは，乗車券が €1 で，ただ乗
りの罰金は €10 その確率は 1/20 だと推測し，
大数の法則に従えば１乗車あたり €0.5 で済
むと考えているようだ．
• あなたは，交通局に罰金を €20 にするよう提
案する．
大数の法則（期待値の場合）
• 同じ設定の賭けを数多く繰り返すとき，一回
当たりの利益（損失）の平均値は，賭け１回あ
たりの期待値に近づいてゆく．
• ルーレットで赤か黒に賭けるとき，確率 18/38
で $1 を獲得し，20/38 で $1 を失う．このとき
の期待値は，
18
20
2
1×
+ −1 ×
=−
= −0.0526
38
38
38
• である．
ギャンブラーの破産問題
（ルーレットの赤黒を例にとる）
• ギャンブラーが $1000 の元手から始めて，ルーレッ
トの赤黒に $10 ずつ賭け続ける．
• 彼の持ち金が 2 倍になる前に破産する確率はいく
らだろうか？
• この勝負は，$100 の元手から始めて，$1 ずつ賭け
続けるとき，持ち金が $200 になるまえに破産する
確率であり，
200
100
20
20
18
18
p (100)
200
20
1
18
0.999973
より一般的には
• ギャンブラーが $1 を元手に，$𝑛 になるまで賭
けを続ける．
• 賭けは勝率 𝑝 で，勝てば $1 を獲得し，負ければ
$1 を失う．𝑞 = 1 − 𝑝
• このとき，持ち金が $n に前に破産する確率は，
n
k
q q
p p
p(k )
n
q
1
p
ルーレットの賭け方
（ダズン：12個の数字に賭ける）
• 「ダズン」： 1～12，13～24，25～36のいずれ
かに賭ける方式．
• 勝てば掛け金が戻りさらに掛け金の 2 倍を受
け取る，負ければ掛け金が没収される．
• この賭けで，一回あたり $1 をかけるときの期
待値は，
12
26 2
2 (1)
0.0526
38
38 38
ルーレットの賭け方
（シングル：１個の数に賭ける）
• 「シングル」： 1～36のいずれかに賭ける方式．
• 勝てば掛け金が戻りさらに掛け金の 11 倍を
受け取る，負ければ掛け金が没収される．
• この賭けで，一回あたり $1 をかけるときの期
待値は，
1
37 2
35 (1)
0.0526
38
38 38
カジノは少しだけ有利な賭けを数多く
行うことにより安定的に儲ける
• 様々な客が集まって，期待値が $1 あたり， マイ
ナス$ 0.0526 の勝負を膨大な回数を行ってくれ
れば，カジノの一勝負あたりの平均利益は，プラ
ス $0.0526 に近づいてゆく．
• この勝負を膨大な回数行えば，カジノの利益は，
ほぼ，
• （賭け金の総和）× 0.0526 となるる．
• 要点は，少しだけ有利な賭けを，膨大な数こな
すことなのだ．
• 賭けに勝つ唯一の方法は，賭けの胴元になるこ
とである．
イソップ寓話 「ウサギとカメ」
• 事実のみに目を向ければ，要するにウサギと
カメの平均速度の問題である．
• 道徳的な問題にするのはいかがなものか，と
著者は言っているが・・・・・
• ウサギにカメのように歩けと言っても，それは
苦痛でしかない．
「キーノ」とは，
• 客は，1 ～80 までの番号の中から，10 個の
番号を選ぶ．
• カジノはブローアーという器具を使って，20 個
の番号をランダムに選ぶ．
• 20 個の番号のうちいくつの番号を客が選ん
でいたか（マッチ数）で，客の賞金が決まる．
キーノの賞金
$10 を支払ったときの配当金
•
•
•
•
•
•
•
•
10 個マッチしたら： $120,000
9 個マッチしたら： $50,000
8 個マッチしたら： $5,000
7 個マッチしたら： $1,050
6 個マッチしたら：
$200
5 個マッチしたら：
$20
4 個マッチしたら：
$10
3 個以下のマッチなら： $0
マッチ数とその確率
• 1 ～80 までの番号のうち，20個の番号が選
ばれる組み合わせの数は，
80
80!
80 C 20
20 20! 60!
80 79 78 61
20 19 3 2 1
3,535,316,142,212,174,320
マッチ数とその確率（４個のとき）
• 客が選んだ 10 個の番号の中から 4 個が選
ばれ，残りの70個の番号の中から 6 個が選
ばれる組み合わせは，
10!
70!
520,818,874,870,186,200
10 C 4 70 C16
4! 6! 16! 54!
• 客が選んだ 10 個の番号の中から 4 個が選
ばれ，残りの70個の番号の中から 6 個が選
ばれる確率は，
10
C4
80
70
C16
C20
520,818,874,870,186,200
0.1473
3,535,316,142,212,174,320
マッチ数とその確率（8個のとき）
• 客が選んだ 10 個の番号の中から 8 個が選
ばれ，残りの70個の番号の中から 12 個が選
ばれる組み合わせは，
10!
70!
10 C8 70 C12
8! 2! 12! 58!
478,750,232,633,400
• その確率は，
10 C8 70 C12
80 C 20
478,750,232,633,400
0.000135419
3,535,316,142,212,174,320
マッチ数とその確率
マッチ数
確率
払い戻し金
戻ってくる金額の期待値
0
4.58%
$0
$0
1
2
17.90%
29.53%
$0
$0
$0
$0
3
4
5
6
7
8
9
10
26.74%
14.73%
5.14%
1.15%
0.16%
0.014%
0.00061%
0.000011%
100%
$0
$ 10
$ 20
$ 200
$1,050
$ 5,000
$50,000
$120,000
$0
$ 1.47
$1.03
$ 2.30
$ 1.69
$ 0.68
$ 0.31
$0.01
$ 7.49
合計
ロト６の賞金（ 200円 支払って）
等数
当選条件
賞金額
確率
1等
6 個すべて一致
約
100,000,000
2等
5 個一致し，残りは
ボーナス番号と一致
約
15,000,000
3等
5 個一致
約
500,000
4等
4 個一致
約
9,500
5等
3 個一致
1,000
1
6,096,454
6
6,096,454
216
6,096,454
9,990
6,096,454
155,400
6,096,454
合計
0.02717
期待値
16.403
14.763
17.715
15.567
25.4902
89.938
２個のサイコロを投げるときの確率
• 起こりうるすべての結果は、以下の36通りで、ど
の結果も等しく起こりやすいと仮定して計算する．
表3・4 ２個のサイコロの目の和の分布
目の合計
2
3
ペアの数
1
2
確率
1/36
2/36
%
2.78%
5.56%
4
5
3
4
3/36
4/36
8.33%
11.1%
6
7
8
9
10
11
12
5
6
5
4
3
2
1
36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
36/36
13.9%
16.7%
13.9%
11.1%
8.33%
5.56%
2.78%
100%
計
サイコロを４回振るとき，六の目が一
回は出る確率はいくらか？
• ４回振って一度も六の目が出ない確率は，
•
5
5
×
6
6
5
×
6
5
6
× =
625
1296
= 0.482253 だから，
• 少なくとも１回は六の目が出る確率は，
•
1−
5 4
( )
6
≅ 0.51775
• と，0.5 よりも少しだけ大きい．
• １７世紀のフランスで，アントワーヌ・ゴンボーは，
サイコロを４回振ったら一度は六の目がでる方
に賭けて大儲けした．
サイコロ２個を24回振れば，一度は六
のぞろ目が出る確率はいくらか？
• 一度は六のぞろ目が出る確率は
35 24
36
• 1−
= 0.491
• であり，0.5 よりわずかに小さい．
• この賭けを行いゴンボーは損をし始めた．
• ゴンボーは途方に暮れ，ブレーズ・パスカルに相
談する．
• パスカルは，天才数学者 ピエール・ド・フェル
マーと手紙を交わし，これらの賭けの確率に取り
組んだ．
クラップス
• 客は２個のサイコロを振り，合計が { 7, 11 } な
らば客の勝ち，{ 2, 3, 12 } ならば客の負け，そ
れ以外ならばその合計を客のポイントとして，
延長戦に突入する．
• 客は再び２個のサイコロを，その合計が客の
ポイントか７になるまで振り続け， 先に客のポ
イントがでれば客の勝ち，７が先に出れば客
の負けとなる．
クラップスを樹形図で表す
{7, 11}
{2, 3, 12}
{4}
{5}
⋮
{10}
{4}
{7}
{4,7 以外}
{10}
{7}
{10, 7 以外}
クラップスで客が勝つ確率
•
8
3
3
4
4
5
5
+ ×
+ ×
+ ×
+
36
36
3+6
36
4+6
36
5+6
5
5
4
4
3
3
244
×
+ ×
+ ×
=
36
5+6
36
4+6
36
3+6
495
• と求まり，1/2 よりもわずかに小さい
0.492929 である．
• カジノが勝つ確率は，0.507071 である．
• クラップスで $10 賭けるときの期待値は，
• $10 × 0.492929 + −$10 × 0.507071 =
− $0.141 であり， −14.1 セントの損となる．
サイドベット
他の客がカジノが勝つ方に賭ける
• 正式には「ドントパス・ライン」に賭けるという．
• ただし，６のぞろ目が出ると合計が１２であり，
カジノが勝つが，「ドントパス・ライン」に賭け
た人はこの場合引き分けとなり，掛け金は払
い戻される．
• こうすることにより，カジノが少しだけ有利な
賭けとなる．
大数の法則を意識しよう
• 実験（観察）の数が少なければ，本来の確率
とは異なる結果が起こり得る．
• 結果を数多く観察することにより，偏りのない
判断が可能になる．
• 大数の法則は長期戦で効いてくる．
• 短期戦では，ランダムな効果の影響により，
必ずしも強い方が勝つとは限らない．
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