1 string 勉強会 (2015/7/3) のまとめやったこと • 3.2.1 節「BRST チャージの構成」について • 3.2.1 節の前半は一般論を扱う – ある対称性演算子 Ki がなす Lie 代数 G を [Ki , Kj ] = fij k Kk (3.2.1) とする。G の adjoint 表現で変換されるものとして「反ゴースト」bi を、G の adjoint 表現の双対で変換されるものとして「ゴースト」ci を定義する。 – bi , ci の正準反交換関係 {ci , bj } = δji – ゴーストの個数演算子は U= ∑ ci bi (3.2.2) (3.2.3) i で定義する。そのため bi が消滅演算子、ci が生成演算子になっている。 – BRST 演算子を 1 k i j Q = ci Ki − fij c c bk 2 (3.2.4) と定義する。この演算子の基本的な性質は Q2 = 0 (3.2.5) – ゴースト数 k の状態 χ(U χ = kχ) が BRST 不変な状態であるとは Qχ = 0 (3.2.7) – ゴースト数 0 で BRST 不変な状態は G による変換に置いて不変である： U χ = 0 and Qχ = 0 → Ki χ = 0 (3.2.10) • 後半では, 最初に考えていた Ki を Virasoro 演算子で置き換えて考える。 – 前半の議論は群 G が無限次元の時に少し違ってくる。具体的には Q2 にアノーマリーが含まれるようになる。また normal ordering をいれて Virasoro 代数を扱う必要がある。 1 – BRST 演算子 Q とその二乗は Q= ∞ ∑ −∞ (α) L−m cm ∞ 1∑ − (m − n) : c−m c−n bm+n : −ac0 2 −∞ (3.2.11) ∞ Q2 = 1∑ ([Lm , Ln ] − (m − n)Lm+n )c−m c−n 2 −∞ (3.2.19) である。ただしここで Virasoro 演算子 Lm は物質場とゴースト場を含めたものになっていて、Q2 のアノーマリーは Virasoro 代数のアノーマリーに比例する形になっている。 → 3.1.3 節の議論からアノーマリーは a = 1, D = 26 の時消える。 – 個数演算子 U は U= ∞ ∑ : c−m bm : (3.2.13) −∞ = ∞ ∑ 1 (c0 b0 − b0 c0 ) + (c−n bn − b−n cn ) 2 n=1 (3.2.28) であり、normal ordering のために c0 , b0 の順序が決められなくなっている。 – そのため n > 0 に対し、bn , cn は消滅演算子、b−n , c−n が生成演算子であるが、c0 , b0 は生成、消滅どちらとも取ることができる。 – ゴーストを含まない状態を (ゴーストの) 消滅演算子で消える状態として書くと、 cn |χ⟩ = bn |χ⟩ = 0 n>0 (3.2.30) – 更に、c0 あるいは b0 のどちらかによって消える状態を考えることができる。 b0 |↓⟩ = 0 c0 |↑⟩ = 0 {c0 , b0 } = 1 であるからこれらは互いに c0 |↓⟩ = |↑⟩ b0 |↑⟩ = |↓⟩ (3.2.29) という関係にある。したがって、b0 , c0 の両方で消える状態は作れない – 以上から BRST 不変で、かつゴーストを含まず、b0 で消える状態を考えると、 ∑ (α) 0 = Q |χ⟩ = (c0 (L0 − 1) + c−n L(α) (3.2.31) n ) |χ⟩ n>0 を満たす。これは共変量子化での物理状態の条件と一致する。(b0 ではなく c0 で消える状態を指定すると (L0 − 1) |χ⟩ = 0 の条件式は出てこない) 2 ゴースト数について。normal ordering をとっているために、個数演算子には本来 normal ordering 定数が含まれている。そのため、固有値としてのゴースト数にはその定数が含まれることになる。ここで |↓⟩ , |↑⟩ のゴースト数を U |↓⟩ = U↓ |↓⟩ , U |↑⟩ = U↑ |↑⟩ とすると、(3.2.29) 式から U↑ = U↓ + 1 であることが分かる。しかしその大きさ自体は normal ordering 定数のために決まらない。しかし、対称性や単純のために U↓ = −1/2, U↑ = 1/2 と取るのが自然である。実は個数演算子を書き下した式 (3.2.28) はそうなるように定めている。結論 – BRST 演算子の Q2 = 0 という性質は元の代数の次元が無限次元の時アノーマリーが含まれる。Virasoro 代数の時は Virasoro 代数のアノーマリーが出てくるので、a = 1, D = 26 の時にそのアノーマリーは消える。 – (共変量子化でやった)「ボソンひも理論の物理的状態」の条件は、「ゴースト数が-1/2 であり、BRST 不変な状態」という条件と同じである。 3