第12回：回転座標系における運動方程式

静止座標系と物体の運動
z軸
第１２回：回転座標系におけ
る運動方程式
y軸
1
x軸
2
r ベクトルの導入
静止座標系と回転座標系
z軸
z軸
ω
z軸
ω
x軸
R
r
ω
Rr
r
r
r
3
x軸
ω
力を静止座標系で測ると・・・
赤ベクトル
向心力が出てくるはず
z軸
z軸
ω
y軸
向心力
v2 v = rω
= −mrω 2
r
= 質量 × 加速度
= −m
加速度
−rω 2 = − r ω 2
x軸
ω
ω
r
力
静止座標系
5
y軸
x軸
P
d 2 r d ⎛ dr ⎞
= ⎜ ⎟
dt 2 dt ⎝ dt ⎠
加速度
P
⇒
力=質量×加速度
ω
y軸
x軸
r
r
ω
y軸
r
ω
ω
ω
R
回転ベクトルと向心力
r に着目
y軸
ω
R
4
回転座標系
赤ベクトル
ω
x軸
z軸
ω
R
r
r
x軸
ω
ω
R
y軸
z軸
ω
R rrr
R r
rr
r
r = R+ r
赤ベクトル
y軸
が自動的に向心力を与えること
6
調べる
1
P
d 2 r d ⎛ dr ⎞
= ⎜ ⎟
dt 2 dt ⎝ dt ⎠
加速度
P
⇒
力=質量×加速度
力
z軸
z軸
ω
y軸
r
r = R+ r
d 2r
⇒ 物体に働く力
d 2t
z軸
ω
赤ベクトル
P
dr
dR
dr
=
+
dt
dt
dt
力=質量×加速度 2
P
d r d ⎛ dr ⎞
d dR dr ⎞
⇒
= ⎜ ⎟ = ⎛
力
+
dt 2 dt ⎝ dt ⎠ dt ⎜⎝ dt dt ⎟⎠
2
d R d 2r
= 2 + 2
dt
d t
重心の速度
R
r
y軸
x軸
d 2R
⇒ 重心に働く力
dt 2
2
d r
⇒ 物体に働く力
dt 2
e1
R
r = Xe1 + Ye1 + Ze1 より
dr
d 2r
を計算し 2 計算する
dt
dt
dr d ( Xe1 ) d (Ye2 ) d ( Ze3 )
=
+
+
dt
dt
dt
dt
r
r : ( x, y , z )
r = xi + yj + zk
k
i
r : ( X ,Y , Z )
r = Xe1 + Ye2 + Ze3
=
⇐
d ( AB )
dt
=
dA
dB
B+ A
dt
dt
de
dX
de dY
de dZ
e1 + X 1 +
e2 + Y 2 +
e3 + Z 3
dt
dt dt
dt
dt
dt
de y
de x
de z
= ω × ex ,
= ω × ey ,
= ω × ez
dt
dt
dt
⇐
y軸
第１１回の中の「回転座標系での回転速度」より
7
=
x軸
dX
dY
dZ
8
e1 + X ω × e1 +
e 2 + Y ω × e2 +
e3 + Z ω × e3
dt
dt
dt
dr
= v + ω × r ( v = 0 の場合 )
dt
円盤上から見てる人(回転座標系)
dr dX
dY
dZ
=
e1 + X ω × e1 +
e2 + Y ω × e 2 +
e3 + Z ω × e3
dt
dt
dt
dt
dX
dY
dZ
=
e1 + ω × ( Xe1 ) +
e2 + ω × (Ye2 ) +
e3 + ω × ( Ze3 )
dt
dt
dt
dX
dY
dZ
=
e1 +
e2 +
e3 + ω × ( Xe1 ) + ω × (Ye2 ) + ω × ( Ze3 )
dt
dt
dt
⎧r = Xe1 + Ye2 + Ze3
dX
dY
dZ
⎪
=
e1 +
e2 +
e3 + ω × ( Xe1 + Ye2 + Ze3 ) ⇒ ⎨ dX
dY
dZ
dt
dt
dt
⎪⎩v = dt e1 + dt e2 + dt e3
r
v
= v +ω ×r
いつも正面にいる ⇒ 何も変化しない ⇒
dr
=
dt
P
0
零ベクトル
外から見てる人(静止座標系)
ω
ω
ω
ω
dr
ぐるっと一周する ⇒ 回転している ⇒
= ω ×r
dt
9
10
⎧ r = Xe1 + Ye2 + Ze3
dr
⎪
= v +ω ×r ⎨
dX
dY
dZ
dt
⎪⎩v = dt e1 + dt e2 + dt e3
dr
= v + ω × r ( v ≠ 0 の場合 )
dt
v
y軸
x軸
j
dr dX
dY
dZ
=
e1 + X ω × e1 +
e2 + Y ω × e2 +
e3 + Z ω × e3
dt dt
dt
dt
⎧ r = Xe1 + Ye2 + Ze3
dr
⎪
= v +ω ×r ⎨
dX
dY
dZ
dt
v=
e1 +
e2 +
e3
dt
dt
dt
⎩⎪
e2
e3
赤ベクトル
x軸赤ベクトル
赤ベクトル
z軸
円盤上から見てる人(回転座標系)：ボールが少し速く動く
dv
dv
dr
dr
d 2r
d 2r d
計算する
計算する ⇒
+ω ×
より 2 計算する ⇒ 2 = ( v + ω × r ) =
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
r →v
⎧r = Xe1 + Ye2 + Ze3
⎪
⎨
dX
dY
dZ
⎪⎩v = dt e1 + dt e2 + dt e3
dr
=v
だんだん左に真っ直ぐそれてゆく ⇒
dt
外から見てる人(静止座標系)
ω
ω
より速く回りながら移動している ⇒ぐるっと一周する ⇒
dX
⎧
⎪ X → dt
⎪
dr
d 2r ⎪
dY
→ 2 ⎨Y →
dt
dt ⎪
dt
dZ
⎪
⎪ Z → dt
⎩
dX
dY
dZ
e1 +
e2 +
e3
dt
dt
dt
=v
d ⎛ dX ⎞
d ⎛ dY ⎞
d ⎛ dZ ⎞
⎜
⎟ e1 + ⎜
⎟ e2 + ⎜
⎟ e3
dt ⎝ dt ⎠
dt ⎝ dt ⎠
dt ⎝ dt ⎠
=a
v→a
ω
dr
= v +ω ×r
dt
ω
11
dr
= v +ω ×r
dt
dv
= a +ω × v
dt
dX
dY
dZ
⎧
⎪⎪v = dt e1 + dt e2 + dt e3
dv
= a + ω ×v ⎨
2
2
2
dt
⎪a = d X e + d Y e + d Z e
1
2
3
⎪⎩
dt 2
dt 2
dt 2
12
2
dr
= v + ω × r,
dt
dv
= a + ω ×v
dt
向心力
F =m
d dr ⎛ d r ⎞ d
dv
dr
+ω ×
⎜=
⎟ = (v + ω × r ) =
dt dt ⎝ dt 2 ⎠ dt
dt
dt
2
d r
= ma + 2mω × v + mω × ω × r
dt 2
向心力???
向心力を調べるために円運動・・・
= a + ω × v + ω × (v + ω × r )
= a + ω × v + ω ×v + ω ×ω × r
= a + 2ω × v + ω × ω × r
F =m
2
ω
向心力
= −m
r
ω ⋅ r = 0 (ωとrは垂直だから)
ω × ω × r = (ω ⋅ r ) ω − (ω ⋅ ω ) r = − (ω ⋅ ω ) r = −ω 2 r
d 2r
= m ( a + 2ω × v + ω × ω × r )
dt 2
= ma + 2mω × v + mω × ω × r
内積
内積
外積
【公式】
A× B ×C = ( A⋅C ) N
B − ( A⋅ B) C
N
ベクトル
ベクトル
ベクトル
ある数値
d 2r
F = m 2 = ma + 2mω × v + mω × ω × r
dt
m [kg]
r [m]
向心力 = mω × ω × r = m ×
=
向心力 = mω × ω × r
F =m
ω × r を作図する
d2X
d 2Y
d 2Z
e1 + m 2 e2 + m 2 e3 = ニュートンの力
dt 2
dt
dt
物体に働く力
ニュートンの力
P
P
F
=
ma
+ 2mω × v + mω × ω × r
ma = ニュートンの力 ⇒
ω × ω × r を作図する
中心から見てる人(静止座標系)
ω
向心力
r
15
重力など？？？
P
F
遠心力
物体に働く力
=
− 2mω × v − mω × ω × r =
ω
mω × ω × r
r [m]
コリオリの力 = 2mω × v = 2m ×
=
運動方程式
− mω × ω × r
遠心力
r
ニュートンの運動方程式
ma = F − 2mω × v − mω × ω × r
16
重力落下とコリオリの力
ma = F − 2mω × v − mω × ω × r
ω
回転による
遠心力
z軸
v
ma = F − 2mω × v − mω × ω × r
m [kg]
ニュートンの
球に乗って見てる人(回転座標系)
r
ω ×r
ma = F − 2mω × v − mω × ω × r
LL＝
＝rr××pp ω
ω
P
ma
ニュートンの力
回転とコリオリの力
v [m/s]
dX
dY
dZ
⎧
v=
e1 +
e2 +
e3
d r
⎪⎪
dt
dt
dt
= m ( a + 2ω × v + ω × ω × r ) ⎨
2
2
2
2
dt
d
X
d
Y
d
Z
⎪a =
e1 + 2 e2 + 2 e3
⎪⎩
dt 2
dt
dt
2
⇒
ω ×ω × r
14
ma = m
r
ω ×r
ω
= mω × ω × r
回転座標系と遠心力
向心力 = mω × ω × r
ω
向心力
向心力 = mω × ω × r
13
ベクトルの外積と向心力
v [m/s]
ある数値
mω × ω × r = − mω 2 r ⇒ −m r ω 2
向心力???
LL＝
＝rr××pp ω
ω
v2 v= rω
= −mrω 2
r
ω
−ω × v を作図する
v
v
ω
−ω × v
−mg
F = −mg
北極
r
v
−ω × v
v
y軸
x軸
コリオリ力 = −2mω × v
コリオリの力 = −2mω × v 進行方向右向き
17
18
コリオリの力＝進行方向に向かって右側にずらす
3
見かけの力とコリオリの力
ω
外から見てる人(静止座標系＝本当の力)
ω
ω
回転座標系とニュートンの運動方程式
ω
ma = F − 2mω × v − mω × ω × r
まっすぐ投げただけ＝移動中は何処にも力は働いていない（重力無視する）
円盤上から見てる人(回転座標系＝自分中心＝見かけの力)
曲がって行くから力が働いているはず
F = 重力など
−2mω × v = コリオリの力嘘の力
慣性力
−mω × ω × r = 遠心力
コリオリの力＝嘘の力＝慣性力
19
進行方向に向かって右側にずれる＝コリオリの力
20
4

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