非分割財の確率的割当て問題に関する分析
An Analysis of the Random Assignment Problem
制度設計理論(経済学) プログラム
13M43012 安部 航 指導教員 大和 毅彦
Economics Program
Wataru Abe, Adviser Yamato Takehiko
ABSTRACT
I research
the assignment rule, which is used in Nihon Professional Baseball’s (NPB’s)
draft committee. I focus on the first round pick and consider this as a random
assignment problem.
In the first round of NPB’s draft committee, each team designates
its most preferred player. If multiple teams designate the same player, the fair lottery
determines which team obtains the right to negotiate with this player. The similar
processes are repeated until every team obtains a right to negotiate with a player. I find
that if the numbers of teams and players are equal to three, NPB’s draft committee rule
is the only rule satisfying the following four axioms: stochastic dominance (sd) efficiency,
equal treatment of equals, respect of top rankings and bounded Maskin monotonicity.
Also, I reform NPB’s draft committee rule in the view of sd efficiency.
1． 序論
割当て問題とは複数個の分割できないものを、エージェン
ト間に割り当てる問題である。たとえば、部屋を人に割当て
きる。特に、球団の数と、指名されうる選手の数が同じであ
るとした場合、確率的割当て問題の枠組みで分析することが
容易になる。
ることや、人材を部署に割当てる状況などが考えられる。こ
先行研究の一つである、Bogomolnaia and Moulin(2001)
のとき、割当ての方法についての公平性を確保するために、
では、あらかじめくじ引きによってエージェントでの優先順
不確実性を含んだ割当てのルールを考えることがある。これ
位をつける、Random Priority Rule と、
「同時消費アルゴリ
が、確率的割当て問題である。
ズム」を用いて割当ての確率分布を決定する、Probabilistic
日本のプロ野球におけるドラフト会議は、確率的割当て問
Serial Rule についての分析がなされている。この中で、
題の一例である。毎年、シーズン終了後に行われるドラフト
Random Priority Rule は、エージェントの数と、財の数がと
会議では、まず 12 球団がそれぞれ 1 人、選手を指名するこ
もに 3 であるとき、Random Priority Rule は確率的支配の
とから始まる。各球団の「1 位指名」である。このとき、12
意味での効率性（sd 効率性）
、平等性、確率的支配の意味で
球団の指名した選手が全て異なればそれぞれの球団が指名し
の耐戦略性（sd 耐戦略性）によって特徴づけられることが示
た選手の交渉権を獲得する。しかし、現実には、しばしば、
されている。これに倣い、本論文では、エージェント、財の
複数の球団から指名される選手が出てくる。このような場合
数がともに 3 である場合について、ドラフト会議のルールを
には、当該選手を指名した球団の代表者がくじを引くことで、
sd 効率性、平等性、第一志望優先性、制限されたマスキン単
どの球団が交渉権を獲得するか決める。1 位指名された全て
調性によって特徴づけることに成功した。
の選手に関して交渉権を得る球団が決まった後、残った球団
Random Priority Rule とドラフト会議のルールは、財、
は 1 位指名されていない選手の中から 1 人指名し、1 位指名
エージェントの数が 4 以上になったとき、sd 効率性を満たさ
のときと同じ手順でその選手の交渉権をどの球団が獲得する
ない。これに関連して、本論文では、ドラフト会議のルール
か決める。これを繰り返していくことで、全ての球団に 1 つ
が sd 効率性を満たさないような選好組においては、Random
ずつ、選手に対する交渉権が割当てられることになる。この
Priority Rule も sd 効率性を満たさないことを示している。
ルールは、全ての球団を平等に取り扱っており、ある種の公
また、財、エージェントの数がともに 4 である場合について、
平性を満たしている。
ドラフト会議のルールで導かれる割当てが、sd 効率性を満た
このルールは球団の数が 12 でなくても実行することがで
さない場合を明らかにするとともに、それを回避する方法を
がある。確率的割当て行列 A が、事後的効率性(ex post
示す。
efficiency)を満たすとは、A が sd 効率性を満たす確定的な割
2． モデルと公理
当て行列の凸和で表せことをいい、割当てルールφが、
∀≻∈Pｎ,φ(≻):事後的効率性を満たす
本論文では、問題の簡単化のために、財、エージェントの
数がともに等しいものとして分析し、その数を n とする。以
下、分析結果を伝えるために便利な記号を定めていく:
となるとき、φが、事後的効率性を満たす、という。
割当てルールの公平性に関する公理として、確率的支配の
N : エージェントの集合
意味での非羨望性(sd 非羨望性)というものがある。割当てル
G : 財の集合
ールφが、sd 非羨望性を満たすとは、
≻i: エージェント i が持つ G 上の強選好
P:エージェントが持ちうる選好の集合
Pｎ:エージェントが持ちうる強選好の組の集合
U0(≻i,g)={h∈G|h≻i g}∪{g}:g の優位集合
∀≻∈Pｎ, ∀i, j ∈ N, φ(≻)i ≻sd φ(≻)j
が成立することである。
sd 非羨望性よりも弱い公理として、平等性(equal
treatment of equals)というものがある。割当てルールφが平
確率的割当て問題では、財の割当ては n×n 行列で記述さ
等性を満たすとは、
れる。n×n 行列 A=(ai,g)i∈N,g∈G が確率的割当て行列である
∀≻∈Pｎ,∀i, j ∈ N, ≻i =≻j ⇒ φ(≻)i = φ(≻)j
とは、以下の性質を満たすことである。
が成り立つことである。つまり、エージェント i およびエー
∀i ∈ N, ∀g ∈ G, ai,g ≥ 0
ジェント j の選好が等しいとき、割当てルールによって出力
∀i ∈ N, ∑g∈G ai,g = 1
される行列の i 行目と j 行目が等しくなるということを意味す
∀g ∈ G, ∑i∈N ai,g = 1
る。
これは i 行 g 列目に、エージェント i が財 g を得る確率を記
本研究で登場する、割当てルールに関する公理のうち、最
した行列である。確率的割当て行列全体の集合を A と書く。
も特徴的なものが、第一志望優先性(respect of top rankings)
また、確率的割当て行列 A=(ai,g)が
∀i ∈ N, ∀g ∈ G, ai,g ∈ {0,1}
である。割当てルールφが第一志望優先性を満たすとは、
∀i, j ∈ N, ∀≻∈Pｎ,∀g ∈ G
となるとき、A を、確定的な割当て行列とよび、確定的な割
「U(≻i , g) = {g} かつ U(≻j , g) ≠ {g}」⇒ φ(≻)j,g = 0
となることである。これは、財 g を最も好むエージェントが
当て行列全体の集合を、D と書く。
ｎ
割当てルールとは、P を定義域とし、A を値域とする写像
存在するとき、g はそれを最も好ましいと思っていないエー
ジェントには割当てられない（確率 0 で割当てられる）とい
である。
確率的割当て行列A = (ai,g ), B = (bi,g )の第 i 行だけに注目
すると n 個の成分を持つベクトルとなる。ここで、エージェ
うことを意味する。
これは元々、マッチングの分野における Boston
ント i の選好が≻i であるとき、Ai が Bi を（弱い意味で）確率
Mechanism の研究に用いられた公理を、確率的割当て問題の
的支配するとは、任意の財 g に対して、
ためにアレンジしたものである（Chen(2011)）
。マッチング
の学校選択問題においては、進学する学生のモチベーション
ai,g + ∑ ai,h ≥ bi,g + ∑ bi,h
h≻i g
を維持するという観点から、この公理は満たされることが望
h≻i g
ましい。ドラフト会議においても、選手はその選手を最も望
が成立する、つまり、g をどのようにとっても、g またはそれ
んでいる球団に入団した方が、活躍の機会に恵まれ、リーグ
よりも良い財を得る確率が A の方が大きいまたは等しいとい
全体として、魅力的な選手を多く試合に出場させることにつ
うことであり、これを、≻i
sd という記号を用いて、A
i
≻i
sd
Bi と
表す。また、A が B を（弱い意味で）確率的支配するとは、
∀i ∈ N, Ai ≻i
となることであり、これをA
≻sd
sd
ながるだろう。
戦略操作に関する公理として、確率的支配の意味での耐戦
略性(sd 耐戦略性)というものがある。割当てルールφが sd 耐
Bi
Bと書く。
これを用いて、確率的割当て行列を経済的効率性の観点で
評価することができる。確率的割当て行列 A が sd 効率性を
満たすとは、
戦略性を満たすとは、
∀≻∈Pｎ, ∀i ∈ N, ∀≻fi ∈P,φ(≻)i ≻sd φ(≻−i , ≻fi )i
が成立することである。
また、戦略操作に関する公理として、もう一つ、
∀B ∈A,B ≠ A ⇒ ¬(B
≻sd
A)
Bogomolnaia and Heo (2012)が導入した、制限されたマスキ
を満たす、つまり、A が A 自身を除く行列に確率的支配され
ン単調性(bounded Maskin monotonicity)を定義する。割当て
ないことである。また、割当てルールφが sd 効率性を満たす
ルールφが制限されたマスキン単調性を満たすとは、
∀≻∈Pｎ, ∀g ∈ G, ∀i ∈ N, ∀≻fi ∈P,
とは、
∀≻∈P ,φ(≻):sd 効率性を満たす
「U0 (≻i , g) = U0 (≻fi , g)かつ
となる、つまり、任意の選好組に対して、sd 効率性を満たす
∀h1 , h2 ∈ U0 (≻i , g), h1 ≻i h2 ⇔ h1 ≻fi h2 」
ｎ
割当て行列を出力することを指す。
sd 効率性よりも弱い概念として、事後的効率性というもの
⇒ ∀j ∈ N, φ(≻)j,g = φ(≻−i , ≻fi )j,g
が成り立つことである。つまり、エージェント i が選好を、
財 g よりも好ましくない財の順番に関して偽って表明したと
を出力する。
き、g が誰にどのくらいの確率で割当てられるかは、選好を
NPB のドラフト会議ルール(DC ルール):
偽らずに表明したときと変わらないという性質である。
選好組≻に対して、以下のアルゴリズムによって現れる（不
確実な）割当てに対応する確率的割当て行列を導出する関数
を、ドラフト会議のルール DC: Pｎ→A とする:
3． 具体的な割当てルール
本節では、Bogomolnaia and Moulin (2001)で分析されて
[Step 1] 全てのエージェントは自身の最も好む財を指名する。
いる、Random Priority Rule と Probabilistic Serial Rule お
その財を指名したエージェントの数が 1 であれば、その財を
よび、本論文で分析する NPB のドラフト会議ルールを定義
得る。その財を指名したエージェントが複数であれば、その
する。
中で誰がその財を得るか、公平なくじで決める。
Random Priority Rule:
[Step k] ステップk − 1までに財を得ていない全てのエージ
選好組が≻であるとする。また、{1,2 ⋯ , n}から N への全単射
ェントは、ステップk − 1までに指名されていない財の中で、
全体の集合をΘとする。全てのθ ∈ Θに対して、確定的割当
最も好む財を指名する。その財を指名したエージェントの数
て行列Prio(≻, θ)を次のように定める:
が 1 であれば、その財を得る。その財を指名したエージェン
[1]: θ(1)にとって G の中で最も好ましい財をg1 とする。
トが複数であれば、その財を指名したエージェントの中で誰
Prio(≻, θ)のθ(1)行g1 列目を 1 とする。
がその財を得るか、公平なくじで決める。
[2]: θ(2)にとってG − {g1 }の中で最も好ましい財をg 2 とする。
[Halt] 全てのエージェントが財を得るまで上記のステップ
Prio(≻, θ)のθ(2)行g 2 列目を 1 とする。
を繰り返し、終了する。
⋮
⋮
[k]: θ(k)にとってG − {g1 , g 2 , ⋯ , g k−1 }の中で最も好ましい財
をg k とする。Prio(≻, θ)のθ(k)行g k 列目を 1 とする。
⋮
これを[n]まで繰り返し、
行列の残りの成分を 0 とすることで、
4． 分析
ここまで紹介した 3 つのルールが、2 節で紹介した公理を
満たすかどうかを表にまとめる（S は satisfied、N は not
satisfied を意味する。）
。
Prio(≻, θ)を得る。
RP
PS
DC
以上のことを用いて、Random Priority Rule は、確率的割当
sd 効率性
N
S
N
て行列
事後的効率性
S
S
S
sd 非羨望性
N
S
N
平等性
S
S
S
第一志望優先性
N
N
S
Probabilistic Serial Rule:
sd 耐戦略性
S
N
N
選好組を≻とする。まず、任意の財 g に対して、それに対応
制限されたマスキン単調性
S
S
S
1
RP(≻) = ∑
Prio(≻, θ)
𝑛!
𝜃∈Θ
を出力する。
(n=3 における sd 効率性)
する可分財 C(g)を 1 単位ずつ用意する。全てのエージェント
はこの可分財を以下に示すような法則で取得していく:
また、以下の命題が成り立つ。
[0] 可分財を取得する速さは、全てのエージェント、全ての
命題 1 (Bogomolnaia and Moulin (2001)): n=3 において、
可分財に関して等しい。
Random Priority Rule は、sd 効率性、平等性、sd 耐戦略性
[1] 全てのエージェントは同時に可分財を取得し始める。こ
を満たす唯一のルールである。
のとき、全てのエージェントは、それぞれが最も好む財に対
応する可分財を取得し始め、それがなくなるまで取得し続け
命題 2 (Bogomolnaia and Heo (2012)): 任意の n に対して、
る。
Probabilistic Serial rule は、sd 効率性、sd 非羨望性、制限
[2] 可分財がなくなったとき、それを取得していたエージェ
されたマスキン単調性を満たす唯一のルールである。
ントはまだ残っている可分財の中で、最も好む財に対応する
可分財を取得し始める。ここでも、可分財がなくなるまでそ
命題 3: n=3 において、DC ルールは sd 効率性、平等性、第
の可分財を取得し続ける。
一志望優先性、制限されたマスキン単調性を満たす唯一のル
[3] 全ての可分財がなくなるまで[2]を繰り返し、終了する。
ールである。
エージェント i が可分財 C(g)を取得した割合を s(i,g)とする。
n ≥ 4のケースにおいては、Random Priority Rule, ドラフト
Probabilistic Serial Rule は確率的割当て行列
会議のルールは、ともに sd 効率性を満たさないが、DC ルー
PS(≻) = (s(i, g))i∈N,g∈G
ルが事後的効率性を満たすという事実と、次の定理は、DC
ルールが効率性の面で Random Priority Rule よりも優れて
sd 効率性を満たさない例 2:
いることを示している。
1:a ≻ b ≻ c ≻ d 2:a ≻ b ≻ d ≻ c:
3: b ≻ a ≻ c ≻ d 4: b ≻ a ≻ d ≻ c
定理: n を任意にとる。φを、事後的効率性を満たす割当てル
このとき、DC ルールによって出力される割当て行列は、
ールとする。任意の≻∈P に対して、φ(≻)が sd 効率的な確率
ｎ
a
b
c
d
的割当て行列でないならば、RP(≻)は sd 効率的な確率的割当
1
1/2
0
3/8
1/8
て行列でない。
2
1/2
0
1/8
3/8
3
0
1/2
3/8
1/8
4
0
1/2
1/8
3/8
この命題の逆は成り立たない。例えば N={1,2,3,4},
G={a,b,c,d}としたとき、各エージェントの選好が、
となるが、これは、
1,2:a ≻ b ≻ c ≻ d
3,4: b ≻ a ≻ d ≻ c
a
b
c
d
1
1/2
0
1/2
0
である場合、Random Priority Rule によって出力される確
2
1/2
0
0
1/2
率的割当て行列は、
3
0
1/2
1/2
0
4
0
1/2
0
1/2
a
b
c
d
1
5/12
1/12
5/12
1/12
2
5/12
1/12
5/12
1/12
これらのことを踏まえて、ドラフト会議のルールを改良す
という行列に確率的支配される。この行列をR 2 とする。
3
1/12
5/12
1/12
5/12
る。例 1 のような選好組の場合、Step1 で 1 または 2 が a を
4
1/12
5/12
1/12
5/12
得た場合は、3, 4 のみが Step2 の b を得るためのくじ引きに
となるが、DC ルール（事後的効率性を満たすルールの一つ
参加し、3 または 4 が a を得た場合は、1, 2 のみが Step2 の
である）によって出力される確率的割当て行列は、
くじ引きに参加することとする。くじに参加しないエージェ
a
b
c
d
ントは次の Step まで何もしない。これにより、例 1 のケース
1
1/2
0
1/2
0
でR1 を出力することができる。例 2 のような選好組の場合、
2
1/2
0
1/2
0
Step2 で指名されうる財が実際に Step2 で指名されるように、
3
0
1/2
0
1/2
財 a に関するくじ引きのみを行い、1 が財 a を得た場合は 4
4
0
1/2
0
1/2
が財 b を得る、2 が財 a を得た場合は 3 が財 b を得ることと
となり、Random Priority Rule だけが、sd 効率的でない確
する。これにより、例 2 のよう場合には行列R 2 を出力するこ
率的割当て行列を出力する。
とができる。このように、特定の場合についてはくじ引きの
結果に相関を持たせ、それ以外の場合には元のドラフト会議
5． DC ルールの改良
のルールと同じ行列を出力することとすると、ドラフト会議
では、ドラフト会議のルールが sd 効率的でない確率的割当
のルールを、sd 効率的なルールに変えることができる。
て行列を出力するのはどのような場合であるのか。n=4 にお
いては、sd 効率性が満たされない選好組は 2 パターンのみで
本論文では n=3 のケースについて DC ルールの特徴づけを
あることがわかった。
N={1,2,3,4},G={a,b,c,d}とする
与えたが、一般のケースにおける特徴づけはなされていない。
sd 効率性を満たさない例 1:
1,2:a ≻ b ≻ c ≻ d
6． 今後の課題
また、n=4 のケースにおいて DC ルールを改良する方法を示
3,4:a ≻ b ≻ d ≻ c
このとき、DC ルールによって出力される割当て行列は、
したが、これも一般のケースにおいてなされるべきである。
これらは、今後の課題となる。
a
b
c
d
1
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1/4
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1/12
7． 主要参考文献
2
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1/4
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1/12
[1] Anna Bogomolnaia and Eun Jeong Heo, ``Probabilistic
3
1/4
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1/12
5/12
assignment of Objects: Characterizing the Serial rule’’
4
1/4
1/4
1/12
5/12
Journal of Economic Theory, Vol.147 (2012), 2072-2082
a
b
c
d
to the Random Assignment Problem’’ Journal of Economic
1
1/4
1/4
1/2
0
Theory, Vol.100 (2001),295-328
2
1/4
1/4
1/2
0
[3] Yajing Chen, ``Characterizing the Boston Mechanism’’
3
1/4
1/4
0
1/2
G-COE GLOPE II Working Paper Series, No.52 (2011)
4
1/4
1/4
0
1/2
[2] Anna Bogomolnaia and Hervé Moulin, ``A New Solution
となるが、これは、
という行列に確率的支配される。この行列をR1 とする。
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