124 第 21 講三角比の図形への応用（ⅱ）数学Ⅰ 【問題 1】半径2 の円

第 21 講三角比の図形への応用（ⅱ）
数学Ⅰ
【問題 1】
半径 2 の円に内接する △ABC があり，3 辺の比が BC : CA : AB = 7 : 5 : 3 であるという．この
とき， ÐA = ア
， BC = イ
である．
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【問題 2】
△ABC において， AB = 7，BC = 8，CA = 5 のとき， △ABC の面積は
接円の半径は
，内接円の半径は
， △ABC の外
である．
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【問題 3】
△ABC があり， AB = x + 3 ， BC = -x + 4 ， CA = 3 であるという．このとき，
（1） x のとり得る値の範囲を求めよ．
（2） △ABC の面積を x を用いて表せ．
（3） △ABC の面積の最大値とそのときの 3 辺の長さを求めよ．
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【問題 4】
円に内接する四角形 ABCD において，辺の長さは AB = 3，BC = 5，CD = 1 であり，cos B = 2
3
とする．このとき，
（1）対角線 AC の長さは
である．
である．
（2）円の半径は
（3）辺 AD の長さは
である．
（4）四角形 ABCD の面積は
である．
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第 21 講三角比の図形への応用（ⅱ）解答
数学Ⅰ
【問題 1】
半径 2 の円に内接する △ABC があり，3 辺の比が BC : CA : AB = 7 : 5 : 3 であるという．この
とき， ÐA = ア
， BC = イ
である．
BC : CA : AB = 7 : 5 : 3 から， k ＞ 0 とすれば，
BC = 7k ， CA = 5k ， AB = 3k とおける．
ここで，余弦定理を用いると
cos A =
=
AB2 + CA 2 - BC2
2 × AB × CA
9k 2 + 25k 2 - 49k2
= -1
2 × 3k × 5k
2
0° ＜ A ＜ 180° より ÐA = 120°
正弦定理より
BC = 2 × 2
sin A
\ BC = 2 3
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【問題 2】
△ABC において， AB = 7，BC = 8，CA = 5 のとき， △ABC の面積は
接円の半径は
，内接円の半径は
， △ABC の外
である．
s = 1 (AB + BC + CA) = 1 (7 + 8 + 5) = 10 とおくと，面積 S は
2
2
S = s( s - AB)( s - BC)( s - CA) = 10(10 - 7)(10 - 8)(10 - 5)
= 10 × 3 × 2 × 5 = 10 3
よって， S = 1 AB × ACsin A より 10 3 = 1 × 7 × 5sin A
2
2
外接円の半径を R とすると，正弦定理より
\ R = 8× 7 ×1 = 7 3
2R = BC
sin A
3
4 3 2
また，内接円の半径を r とすると S = r (AB + BC + CA)
2
r
\ 10 3 = (7 + 8 + 5)
\ r= 3
2
\ sin A = 4 3
7
（別解）
実は ÐC は有名角で，余弦定理より
82 + 52 - 72 1
cos C =
=
\ C = 60°
2 ×8 ×5
2
\ △ABC = 1 × 8 × 5sin 60°= 10 3
2
AB
\ R=
= 7
2sin60°
3
また，内接円の中心を I ，接点を D，E，F とすると，
CD = CE = 3
\ AE = AF = 2，BF = BD = 5
であることが分かる．もちろん， r = 3 である．
A
F
E
I
3
B
D
C
30°
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【問題 3】
△ABC があり， AB = x + 3 ， BC = -x + 4 ， CA = 3 であるという．このとき，
（1） x のとり得る値の範囲を求めよ．
（2） △ABC の面積を x を用いて表せ．
（3） △ABC の面積の最大値とそのときの 3 辺の長さを求めよ．
（1）三角形の成立条件は，
|AB - BC|＜ CA ＜ AB + BC
\ |( x + 3) - ( -x + 4)|＜ 3 ＜ ( x + 3) + ( -x + 4) \ |2x - 1|＜ 3
\ -1＜ x ＜ 2
（2）余弦定理より，
BA 2 + AC2 - CB2
2 BA × AC
( x + 3)2 + 32 - ( -x + 4)2
=
2( x + 3) × 3
7
+
1
x
=
3( x + 3)
よって， △ ABC の面積を S とすると，
S = 1 AC × ABsin A
2
1
= AC × AB 1 - cos2 A
2
2
= 1 × 3( x + 3) 1 - 7x + 1
2
3( x + 3)
2
1
=
9( x + 3) - (7x + 1)2
2
= -10( x 2 - x - 2)
cos A =
{
(
)
}
2
-10 x - 1 + 45 であるから，
2
2
-1 ＜ x ＜ 2 のとき， S は，
x = 1 で最大値 45 = 3 10
2
2
2
（3） S =
をとる．
このとき，3 辺の長さは，
AB = 7 , BC = 7 , CA = 3
2
2
130
【問題 4】
円に内接する四角形 ABCD において，辺の長さは AB = 3，BC = 5，CD = 1 であり，cos B = 2
3
とする．このとき，
（1）対角線 AC の長さは
である．
である．
（2）円の半径は
（3）辺 AD の長さは
である．
（4）四角形 ABCD の面積は
である．
（1） △ABC に余弦定理を用いて
AC2 = AB2 + BC2 - 2AB × BC cos B
= 32 + 52 - 2 × 3 × 5 × 2 = 14
3
\ AC = 14
（2） sin B = 1 - cos2 B
( )
2
2R = AC
sin B
3
B
5
3
これを用いて，△ABC に正弦定理を半径
R として適用すると
= 1- 2
3
D
A
=
1
C
5
B
AC = 3 70
2sin B
10
2
（3） cos D = cos(180°- B ) = - cos B = 3
これを用いて， △ADC に余弦定理を適用すると
( 14 )2 = 12 + AD2 - 2 × 1 × ADcos D
\ AD2 + 4 AD - 13 = 0
3
よって， (3AD + 13)(AD - 3) = 0 を解くと AD = 3
（4） sin D = sin(180° - B ) = sin B = 5 より
3
四角形 ABCD = △ABC + △ADC
= 1 × 3 × 5sin B + 1 × 1 × 3sin D = 3 5
2
2
\ R=
131

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