8 三陸海岸の複雑さを測る

８三陸海岸の複雑さを測る
自然界にはらせんや秩序ある構造体によって複雑に構成されている。この複雑さは比較できるだろう
か。ものの形を比較したいとき，丸や三角などの質的違いではなく，数量で比較する必要がある。そう
すれば比較自体には恣意的要素の入り込む余地はない。そのためには比較対象が数量で表現されなくて
はならない。
大きさを比べる
山間の町に住んでいる A さんと海辺に住む友達の B さんは地理的に離れていることもあってメールで
の話が多くなる。会社での収入を見込んで平屋を新築した A さんと違い，B さんは定年近くまでに貯め
た資金で家をやはり平屋を新築してその外観と内部のいくつかを A さんに送った。写真を見た A さん
は自分の家に比べて B さんの家が大きく見えたので，「私の家は 5LDK なのに，あなたの家のほうが大
きく見えるけど」という。しかし，以前に A さんの家を見たことのある B さんの見方は反対だった。そ
こで各自の家の間取りを調べてみたら同じだった。なぜ二人はお互いに違っていると思ったのだろうか。
ここには他の要素，気持ちなどの感性が入り込んでいることになる。
感性だけで互いに思いを比較しても大きさの違いがわからない，しかし，測ってみればはっきりする。
ここは長さを測るしかないと思った。周辺の長さを同じ寸法の巻尺で測ったところ，B さんの家の面積
のほうが僅かに大きいことがわかった。そしてもう一つ，お互いが友達として尊重していることもわか
った。ここでの違いがわかったのは決まった長さで測った数量で比較したからである。では，どうすれ
ば複雑さが比較できるだろうか。
複雑さを比較する
真っ青な夏空にモクモクと湧き上がる入道雲には力強さがあ
る。その湧き上がる雲には凸凹があり，その凹凸のコブをよく
見るとそれよりも小さな凸凹があって，しかもその構造が目に
見える速さで動いている。だから躍動感があり，力強さの源が
ある。
高い空にできるうろこ雲は氷の粒でできていてやはり凸凹し
ている。この両者はどちらが複雑か。両者を比較するのであれ
ば，数量化しなくてはならない。前の例に習えば，同じ面積に
ある雲を決まった長さで測れば比較できるはずである。そこで，
同じ面積になるように入道雲の写真を大きく引き伸ばし，決ま
った長さのコンパスで測ろうとする。近づいてみると一つと思
っていたコブはいくつかの小さなコブから構成されている。測
るにはもっと小さな幅のコンパスが必要になってくる。さらに
小さな部分を測ろうとするとより小さな幅のコンパスが必要と
なる。この複雑さについて，マンデルブロは「ブリテン島の海岸線の長さはどれくらいか？」と世に問
い，フラクタル（Fractal）概念の必要性と有用性を提起した（Mandelbrot,）。複雑さの比較のために海岸
線を計ってみよう。
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海岸線の長さ
大きく異なる海岸線を対象にとりあげる。左は三陸海岸の釜石付近の入り組んだ荒々しい崖のある複
雑な地形である（Google
Earth,）。他方，右は鹿島
灘の鉾田付近であり，砂
浜のある優しい感じで
月の砂漠に例えられた
りする場所である（同）。
このような上空から見
三陸海岸・釜石付近
ると，二つの海岸線の地
鹿島灘・鉾田付近
形についての違いがわ
れわれにはすぐにわか
宮古
る。しかし，マンデルブ
日立港
ロが登場する以前での
われわれの違いの見方
は，一方を
複雑，他
方を端整という質的
違いでしか表現できな
かった。同じ地域の海岸
線を国土地理院の白地
図から作ったのが下図
である。地図上の気仙沼
から宮古までと犬吠埼
から日立港までは共に
直線距離で約 90km あ
るので，この両者の海岸
線の長さをここでもコ
気仙沼
犬
ンパスで計る。
吠崎
そこで三陸地方の
気仙沼から宮古まで
三陸地方の海岸線
鹿島灘の海岸線
の海岸線の長さを拡大した地図上でコンパスを使って計測する。固定したコンパスの地図上の長さ 1km
で計ると 297km となる。同じ海岸線を 2km のコンパスでは 264km，4km では 220km，そして 8km では
168km となる。コンパスの幅によって海岸線の長さは大きく異なる。他方，鹿島灘では，固定した長さ
の 1, 2, 4, 8km で計った海岸線の長さはそれぞれ 108, 104, 100, 96km となる。海岸線の長さはコンパスの
幅によって異なり，その変化の仕方は海岸線によって大きな違いがあることがわかる。コンパスでの長
さ測定では誤差が大きいのであらかじめ決まった大きさのボックスを用意して計ることを考えよう。
複雑さを計る
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対象全体を覆う小さなボックスの網を準備し，一つのボックス内にその対象があるかないかで判定し
て，その対象ボックスを数える方法で計る。この方法
はボンクスカウンティング法と言われ，決まった図形
を使って次のような手順で計る。
1）海岸の長さを特徴的な決まった図形（円ほか，
釜石
ここでは正方形）で覆う。右に一部を示す。
2）海岸線の一端（気仙沼）を始点とし，一辺が l の
正方形で考えている海岸線の一部を含む正方形
ボックスの数を終端（宮古）までの海岸線のすべ
てについて数える（N1）。
3）一辺が 2l の正方形でも同様に数え（N2），一辺
が 4l, 8l, …でも数える（N4, N8, … ）。
釜石付近のボックス(a=1,2,4)の様子
4）結果について，横軸に al（a=1, 2, 4,…）の a の対
数，縦軸に対応する数えた数 N の対数をプロットする（両対数グラフでは数字をそのままプロッ
トする）。縦軸は N を距離に換算した値でもよい。この場合の傾きは 0∼−1 の間になる。
プロットした点の結果のグラフについて最も
確からしい直線（最確直線）を引き，その傾きを
求める。この計算値を得たい場合には最小二乗法
×
を使う。傾きは両対数グラフでの直線だから，直
線上の 2 点を使って求められる。その傾きは D
が DK= ̶1.09 となる。
これがマンデルブロの提起した新しい複雑さ
カウント数N
を使って表され，三陸海岸は DS= −1.39, 鹿島灘
×
×
三
陸
海
100
×
岸
×
の概念とその計量方法である。グラフの傾きはフ
鹿
ラクタル次元 D と呼ばれるが，それはマンデル
島
灘
ブロが自己相似な形一般をフラクタルの造語で
×
×
×
意味づけしたによる（マンデルブロ）。このフラ
10
クタル次元 D によって三陸海岸と鹿島灘は，数
値として比較できるようになる。自己相似に関わ
1
10
ボックス一辺の長さ a
100
る次元はハウスドルフ次元その他として使われてきたが，このフラクタルに関しては高安（2010）が詳
しい。
両対数グラフでの傾きを示す D とはいったい何だろうか。この D はグラフから示されるように非整
数である。次元が非整数とは何か。鹿島灘の海岸線は１本の直線状で一次元に近く，三陸海岸ではたく
さんあった谷筋がそのまま入り組んだ入り江になる複雑な海岸線を形成して平面を埋め尽くすように
広がり，二次元に近づく。これこそフラクタル次元が示す複雑さの意味である。フラクタルと言えば，
マンデルブロ集合に代表される色彩豊かな自己相似構造の図形を思い浮かべる人も多いと思う。そこに
はまた魅力ある別の世界があるかもしれないが，マンデルブロは数学の歴史に捨てられていた事象を見
直し，自己相似な形を含む複雑さを示す尺度としてフラクタル次元を世に示した。
このボックスを使う方法によれば，ボックス内に含まれるのは海岸線のように連続した曲線である必
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要はない。細かい線が多い少ないとか，点が濃い淡いとか，その他比較できるものは数量化できること
になり，後で紹介するように適用範囲が飛躍的に広がる。
複雑な地形ゆえに 2011 年 3 月の大津波では平地以上に甚大な被害に見舞われた三陸地方は，今もな
お復興の途上にある。このような複雑さの量的表現を対策に生かす方法があると思われる。
流れ構造の複雑さを測る
アマゾン川は雨量の多い地域特有のたくさんの川の支流が集まって大河になっている（高山）が，ナ
イル川は上流のエチオピア付近では雨量が多いも
のの下流のエジプト地方は広大な砂漠地域で大河
に流れ込む見える支流は目立たない。これらの特
徴を比較するにはどうしたらよいだろうか。
ボックスカウンティング法や経験則のハック
(Hack)の法則（同）を使うことも可能だが，ここ
では流れに注目して，ホートンによって提起され
(Horton)，ストレーラーによって確定して(Strahler)
使われるようになった水路法則（高木）を検討す
る。ある流域での合流で集まる最後の流れを最高
次の次数とし，次数 j での合流水路数 N(j)を求め
アマゾン川の流域水路
るものである（補足 D）。その合流の決まりは，
i+1←i+i， i←i+(i-1)… である。つまり末端の支流の 1 次と 1 次の合流は 2 次とするが，2 次と 1 次の
合流は 2 次のままであり，3 次と 1 次や 2 次の合流も 3 次のままとするものである。
このホートンの法則を利根川の水路に応用してみよう。
左図は埼玉県の栗
a
橋から上流の利根川
log10 56  log10 1
4 1
水系の流域水路であ
る（国土交通省）。右
図はその水路を上の
ホートン・ストレーラ
ーの決まりで次数を
数えてその水路数を
片対数グラフにプロ
ットしたものである。
近似的に描いた上図
利根川流域図
の直線から傾きは a = ̶ 0.58 となる。ここで重要なことはこの流れ構造の特徴がグラフ上で直線状に載
ることであり，流れの複雑さの程度が傾きの違いによって表現され，比較できることである。これは大
きな収穫である。流れ構造は流れるものによって異なる。水路では葉脈などと同じように水や養分が流
れ，ガラスのひび割れや雷ではエネルギーが流れ，組織やコンピュータデータなどでは情報が流れる。
これらが流れの構造として一般的に扱えることが知られ（高木），その利点は大きい。
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例えば，富士山麓にある河口湖は自然の活動
にとってできたもので周辺の凹凸が多いが，人
造の谷中湖は端整である。この特徴はフラクタ
ル次元に反映されることから，小川らはマヤ文
明の遺跡にある人造湖を見いだす研究に活か
している(Ogawa)。自然界には各種の複雑さが
河口湖
谷中湖
あり，海岸線や河川だけでなく，寺田寅彦が検
討した田んぼのひび割れ（Terada）に始まり，トンネル掘削での壁面でのひびの複雑さからの掘削の危
険性の評価（宇田川）やコンクリート壁のひび割れからの老朽化の判定（西脇智哉），道路交通網の評
価，など幅広い応用はすでに始まっている（高木）。
マンデルブロの提起したフラクタルは複雑さという感性の一部を科学で扱う領域に含める画期的な
ものであり，人類に多大な貢献をしている。フィールズ賞に 40 才以下という条件があるのは残念なこ
とである。
Ogawa, S.(2012): “Extraction of Artificial Lakes in the Mojos Culture from Satellite Images”，Forma, Vol.27,
77-82.
Google Earth (2014): スクリーンショットから作成.
Horton, R. E. (1945): Bull. Geol. Soc. Am., Vol.56, 275-370.
Mandelbrot. B., (1967): “How Long Is the Coast of Britain?”, Science, Vol.156, 636-638.
Strahler, A. N. (1952): Bull. Geol. Soc. Am., Vol.63, 117-142.
Terada, T. (1931); Sci. Papers I.P.C.R.(The Institute of Physical and Chemical Research)，現 RIKEN Review.
宇田川義夫（1996）：「フラクタル幾何学を応用した断層破砕帯評価に関する研究」，千葉大学博士論文.
国土交通省（2014），Web ページ関東地方整備局，利根川流域図.
国土地理院（2014），Web ページの白地図から作成.
高木隆司（1992）：「形の数理」，朝倉書店.
高木隆司（2002-03）：「かたちの紙芝居」，形の科学会誌，Vol.17-No.1~ Vol.18-No.3.
高安秀樹（2010）：新装「フラクタル」，朝倉書店.
高山茂美(1974)：河川地形，共立出版，復刊された.
西脇智哉（2005）：東北大学，学位論文など.
「フラクタル幾何学」
，ちくま学芸文庫, 16（初版は同名で日経サ
マンデルブロ, B. ／弘中平祐訳(2011)：
イエンス社，1985）.
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