日常生活の中の数学
山崎稀嗣
目次
1
はじめに
4
2
教養としての数学
2.1 問題提起 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
小町算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
5
6
2.2
2.3
数学を学ぶ目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
8
2.4
６人の盲人と象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
健康と数値
12
肥満度 BMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1
3.2
3.3
メタボ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4
3.5
賢者の知恵
体脂肪率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
数学的な考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
勘定：数える
20
4.1 個数を数える原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
数字について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2
4.3
4.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
単位の接頭語 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5
数字と語呂合わせ・日本人的洒落 . . . . . . . . . . . . . . . . 27
大数と小数
生活の中の無理数
29
円周率 π について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1
5.2
黄金比と白銀比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3
5.4
アキレスと亀 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
人口問題と数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
数学の学力とは？
6.1 コンピュータの能力
6.2
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
高校数学を Mathematica で . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
7
8
6.3
考える力とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4
誕生日当てクイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
生活の中の座標系
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
座標系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.3
7.4
7.5
生活の中の曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
平面曲線の曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
水平線までの距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
行列とベクトルと整理学
8.1
9
44
自分の位置
7.1
7.2
53
OPAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
行列とベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.2
8.3
「整理」学再考 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.4
8.5
ISBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ISBN-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
生活の中の関数関係
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.1
単位の換算：正比例
9.2
9.3
9.4
摂氏と華氏
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
相関関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
日常生活に現われるその他の関数 . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.5
9.6
損益分岐点
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
確定申告の数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.7
9.8
じゃんけん
指数関数と対数関数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10 p 進法について
81
10.1 2 進数遊び . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.2 ２進数の工学的な応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.3 身の回りの p 進法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11 ローン返済額を知る
91
11.1 金利計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11.2 グレーゾーン金利 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11.3 金利の落とし穴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.4 ローン返済 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.5 消費者金融の実態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.6 多重債務 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.7 割引と割増 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2
12 ベンフォードの法則
111
12.1 Benford’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.2 Mathematical statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.3 Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.4 Applications and limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.5 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.7 ベンフォードの法則の説明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.8 数値実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13 平均について考える
120
13.1 平均について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
13.2 日常生活の中の算術平均の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.3 データの散布度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
14 統計調査について
126
14.1 全数調査と抜き取り調査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
14.2 アンケート調査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
14.3 サンプリングの仕方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
14.4 アンケート方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
15 統計データの判断基準
134
15.1 視聴率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
15.2 正規分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
15.3 推定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
15.4 標本数の決め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
16 仮説検定
142
16.1 基本的な考え方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.2 適合度検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
16.3 分割表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3
はじめに
1
講義の表題から受けるイメージとしては，日常生活に役に立つ数学を教え
て貰えそうな期待を抱かせるかもしれません。しかし， その期待は的外れで
すし，高校時代の数学の時間のように，数学の問題を解いて快感を味わうと
いう講義でもありません。
この講義では，小学校の算数から高等学校の数学までの中で， 生活に密着
した数学的な概念や思考方法を題材にして，数学的な見方・考え方を解説し
ます。これまではテストや宿題に苦しめられて，数学は暗記科目と思ってい
た人が，数学は意外に役に立っていて考え方は面白いと気付いてくれること
を期待します。
この講義に関連した話題は，1996 年から島根大学の教養科目「日常生活の
中の数学」で内容を変化させながら増やしたものです。当初は赤井逸著「数
学外論」に沿った部分と，純粋数学の公理と日常生活の原理との関係，応用
数学の中の日常的な話題を取り上げてきました。
作成した講義のレジュメは，受講生から大不評でしたが，時事ニュースや
テレビ番組からの話題や話の種，余談は好評でした。物や現象に対する見方
を変えることで，数学的な考え方や数学的な題材が身の回りに沢山転がって
おり，これらを利用することで，数学に対する好奇心が生じて，数学嫌いか
ら脱皮して数学に興味を持つ学生が増えてくれることを望みます。
追記
この講義で受講生の好評を得たことは，毎回のレポートで印象的なコ
メントを次回に紹介したことでしたが，それなりの苦労が伴いました。平成
15 年 3 月に島根大学を退職後，平成 17 年度に嘱託講師としてこの講義を再
度担当しました。平成 15 年度担当の古用教授と平成 16 年度担当の相川教授
の講義ノートの中の話題を取り込んで少しだけリ講義内容をニューアルしま
した。平成 18 年度には，これまでの経験を集大成するつもりで，これまでの
講義ノートに手を加えました。従来の講義のレジュメは受講生数 100 名∼320
名に配布するための資料配布という目的で作成しましたが，講義時間内には
すべてを説明できないままになっていました。受講生がせめて 40 人以下で，
私の考えを伝えることができたら，受講生が満足できる講義になると考えた
ことが幾度もありました。このような思いを払拭するために，講義で述べた
かったことの手の内をすべて明らかにしようと考えました。そのため，説明
が必要以上にくどくなりました。何を問題にするかを問題それを説明する形
で解説の説明方式にしました。
この講義を開設したことの目的は，
「日常生活でのさまざまなデータによる説
得術の本質を見抜く力」「日常生活において数学的な考え方は生きているこ
と」を大学教育の教養として伝えたいということでした。マスコミ情報を初め
としてさまざまな情報に取り巻かれた現代社会を無難に生き抜く知恵は, 「A
ならば B である」という計算機的な単純思考パターンから脱却して，
「A で
あっても B とは限らないのではないか」と考えることができるような思考力
4
を獲得することだと考えるこの頃です。
平成 19 年度はあまり講義内容を変更しませんでしたが, 今年度は平成 18 年
度の内容を取捨選択して内容を充実させたいと考えています。
5
教養としての数学
2
2.1
問題提起
問題 2.1
大学教育の中の教養教育とは何かを考えよう。
問題 2.2
学力と体力の相違点と類似点について考えよう。
問題 2.3
数学を学ぶと論理的な思考能力が身につくということは本当だろ
うか。
2.2
小町算
遊び心と頭の柔軟性を養うために，小町算を紹介します。
小野小町は平安時代の歌人で六歌仙の一人です。小野篁（たかむら）の孫で絶
世の美女といわれ，生涯は伝説化されていて明らかではありません。彼女を
恋した男は多数いたといわれていますが，最も熱中したのが深草少将で，小
町は「自分のもとに，百夜続けて通って来るなら結婚しよう」と約束しまし
た。少将は雨の日も風の日も小町のもとに通いましたが九九夜過ぎ，あと一
夜という日に，急死したということです。
後に老いて，訪ねる友もいなくなった小町は，深草を思い出し，次の数遊び
の算数「小町算で時を過ごしたそうです。
クイズ 2.1 (小町算)
1∼9 までの数字を使って九九や百を作る計算を考え
なさい。
問題の意味を次の例を見て理解し，自分で小町算を作りなさい。
加減正順
1∼9 の数字の順序を変えず各数の間に＋，−の演算記号を入れてその結果が
100 になるようにしなさい。
(1) 1 + 2 + 34 − 5 + 67 − 8 + 9 = 100
(2) 12 + 3 + 4 + 5 − 6 − 7 + 89 = 100
(3) 123 + 45 − 67 + 8 − 9 = 100
(4) −1 + 2 − 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
加減逆順
(1) 9 − 8 + 7 + 65 − 4 + 32 − 1 = 100
(2) 98 + 7 − 6 + 5 − 4 − 3 + 2 + 1 = 100
(3) −9 + 8 + 7 + 65 − 4 + 32 + 1 = 100
四則正順
(1) 1 + 234 × 5/6 − 7 − 89 = 100
(2) 12 + 3 × 45 + 6 × 7 − 89 = 100
(3) 123 + 4 × 5 − 6 × 7 + 8 − 9 = 100
6
分数
1 6 5+3
+ +
+ 97 = 100
2 4
8
2005 年度受講生の小町算
123 − 45 − 67 + 89 = 100
12/3 × 45/6 + 78 − 9 = 99
9 − 8 + 76 + 54 − 32 + 1 = 100
1 + 23 × 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 = 100
1 + 23 − 4 + 5 + 6 + 78 − 9 = 100
98 + 7 − 6 + 5 − 4 + 3 − 2 − 1 = 100
−1 + 2 − 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
−12 + 3 + 45 − 6 + 78 − 9 = 99
9 + 87 − 6 − 5 − 4 − 3 + 21 = 99
1 + 2 + 34 + 56 + 7 + 8 − 9 = 99
98 − 76 + 54 + 3 + 21 = 100
123 − 45 − 67 + 89 = 100
1 + 23 − 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99
1 × 2 × 3 × 4 + 5 + 6 + 7 × 8 + 9 = 100
1 + 23 − 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
9 + 8 + 76 + 5 + 4 − 3 + 2 − 1 = 100
123 − 4 − 5 − 6 − 7 + 8 − 9 = 100
1 + 2 + 3 − 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
9 − 8 + 76 + 54 − 32 + 1 = 100
123 + 4 − 5 + 67 − 89 = 100
123 + 4 × 5 − 6 × 7 + 8 − 9 = 100
1 × 2 + 34 + 4 × 5 + 6 × 7 − 8 + 9 = 99
1 + 23 + 45 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 99
1 + 2 + 34 + 56 + 7 + 8 − 9 = 99
9 + 87 − 6 + 5 + 4 − 3 + 2 + 1 = 99
98 + 7 − 6 + 5 − 4 + 3 − 2 − 1 = 100
−1 + 2 × 3 − 4 × 5 + 6 × 7 + 8 × 9 = 99
−1 という概念はないので逆順にすれば正解
1 + 23 × 4 − 5 + 6 + 7 + 8 − 9 = 100
12 − 3 − 4 + 5 − 6 + 7 + 89 = 100
1 + 23 − 4 + 5 + 6 + 78 − 9 = 100 9 + 8 + 76 + 5 − 4 + 3 + 2 + 1 = 100
3+7 2+8
+
+ 96 = 100
5
1+4
7
86 +
2.3
15 49
+
+ 2 = 100
3
7
数学を学ぶ目的
「高等学校数学の目標」
1. 数学における基本的な概念や原理・法則の理解を深め，
2. 事象を数学的に考察し処理する能力を高めるとともに
3. 数学的な見方や考え方のよさを認識し，
4. それらを積極的に活用する態度を育てる。
さらに，いくつかの興味深いキーワードを紹介します。
数学的な資質：見通しをもち筋道を立てて考える能力 (単なる数学の知識や技
能ではない)。 数学教育においては， 知識や技能をいかに多く教え込むかで
はなく， どういう考え方の下にどのような取り組み方をすればよいかを教え
ることが重要です。
情報化社会における数学教育の目標 社会人の素養として数学を活用する能
力を養成すること。将来携わる専門分野において発展のよりどころとなる数
学的思考力を高めることです。
数学を活用する能力:(知識の広さや計算の技巧よりも) 論理的な思考力や直観
力，それに基づく判断能力をさします。
余談 2.1
理想 (目的) と現実のギャップについて考えます。
数学教育についての各自の体験 (現実) と，文部科学省が掲げる数学教育の目
的 (理想) とのギャップを感じた受講生が相当数いました。受講生のレポート
には，
「最初から数学を学ぶ目的を教えてもらっていれば少しは，数学に対す
る取組方が違っていたかも」，あるいは「指導要領に書いてあるような数学
の授業を受けたとはまったく思えい」，
「数学は，問題のパターンを覚えて解
答を作るものと思っていた」などの感想が書かれていました。
余談 2.2
日本の数学の教科書の特徴は無駄がないことです。
「数学における基本的な概念や原理・法則の理解」について，エッセンスが詰
まった日本の教科書は，教室での授業に適するように作られています。しか
し「事象を数学的に考察し処理する能力を高めるとともに数学的な見方や考
え方のよさを認識し， それらを積極的に活用する態度を育てる。」ための配
慮に欠けていると思われます。数学的に考えれば事象の解析がうまくいくと
いう具体的な例題を豊富に示した後で，それらを統一的に扱うための抽象化
（定義）と解決方法（定理）を与えるテキストが，自学・自習型の学習者には
望ましいと考えます。性急な教育成果を求めて近道を選んでも，教育目的の
真髄を達成するためには遠道になっています。
数学の問題を早く正確に解けることは素晴らしいことかも知れませんが，そ
8
れがマニュアル化された教育の範囲での問題であるとしたら，数学教育の目
的を達成できたことになるでしょうか。最近の「学力低下」に対する一般的な
声を聞く度に，テストで測れる学力に疑問を抱いています。数学教育と野球
指導を対比させた東京理科大学理学部芳沢光雄教授のコメントを引用します。
余談 2.3 数学を好きにする指導法と嫌いにさせる指導法
理解が遅いことは悪いことでも何でもなく，むしろ理解が早い人では気付か
ないことを発見する可能性すらもっていることに留意すべきである。
日米の野球指導者の本質的な違い
日本「欠点を指摘して矯正させる」ことに重きを置く
アメリカ「長所を指摘して励ます」ことに重きを置く
数学を教える場合も，勉強態度や理解力など，その人に合ったものをほめる
ことによって，生徒は前向きになるはずである。生徒の欠点ばかりに注目し
たり，ましてやオリジナルな解法を認めないのは論外というしかない。
日本の数学教科書は諸外国のそれと比べてあまりにも「数学のための数学教
科書」といった色彩が強い。すなわち，面白い応用の話題がほとんどないの
である。これでは多くの生徒から数学は「祭りのない宗教」のように感じ取
られても仕方がないかもしれない。
2.4
６人の盲人と象
教養教育とはという問に対する学生諸君の意見を読んでいるうちに、次の
お話を思い出したので引用します。
６人の盲人と象…The Blind Men and the Elephant
南インドの海遊漁民タミール族の「6 人の盲人が象を触って、それぞれ触っ
たところによって異なった全体像を想像した」ということわざで、米国の詩
人 John Godfrey Saxe(1816-1887) が現代英語に翻訳して、実際に触っても、
全体を見ることができなければ、それぞれが触った部分から勝手に全体を想
像することになり、理解は 10 人 10 色であるという「ことわざ」として世界
中に知られるようになった。
It was six men of Indostan to learning much inclined Who went to see the
elephant though all of them were blind, That each by observation might
satisfy his mind.
The First approached the elephant, and happening to fall Against his broad
and sturdy side, at once began to bawl: ’God bless me! But the elephant
is very like a wall!’
The Second, feeling of the tusk, cried, ’Ho! What have we here So very
round and smooth and sharp? To me ’tis mighty clear This wonder of an
elephant is very like a spear!’
The Third approached the animal, and happening to take The squirming
9
trunk within his hands, thus blodly up and spake: ’I see,’ quoth he, ’the
Elephant is very like a snake!’
The Fourth reached out an eager hand, and felt about the knee, ’What most
this wondrous beast is like is mighty plain,’ quoth he; ’ ’Tis clear enough
the Elephant is very like a tree!’
The Fifth, who chanced to touch the ear, Said: ’E’en the blindest man can
tell what this resembles most; deny the fact who can This marvel of an
elephant is very like a fan!’
The Sixth no sooner had begun about the beast to grope, than, seizing on
the swinging tail that fell within his scope, ’I see,’ quoth he, ’the Elephant
is very like a rope!’
And so these men of Indostan disputed loud and long, each in his own
opinion exceeding stiff and strong, though each was partly in the right, and
all were in the wrong!
Moral:
So oft in theologic wars, the disputants, I ween, rail on in utter ignorance
of what each other mean, and prate about an elephant; not one of them has
seen!
この話は各自が実際に観察して納得しようとして、盲人だったけれども像を
見に行った学問好きな六人のインド人のお話です。
一番目の人は、象に近づくなりその幅広いどっしりした脇腹にもたれかかり、
すぐ大声で言いました。「何ということだ、象は壁のようなものだ」
二番目の人は、牙に触ってから大声で言いました。
「ホォー！ 丸くて滑らか
で先が尖っている、これは一体なんだろう？ わかったぞ、象は槍のような
ものなんだ！」と。
三番目の人は、象に近づいていって両手でブラブラしている鼻を手にして言
いました。「わかったぞ。象というのはまるで蛇に似ているよ。」と。
四番目の人は、静かに手を伸ばして象の膝を探しあて、
「この不思議な動物が
似ているものと言えば、えらい判りやすいもので、象はまさに木のような動
物だよ。」と言いました。
五番目の人は、偶然、耳に触って言いました。
「一番目の悪い人でさえ、象が
何に似ているか言い当てれるともさ。象が団扇うちわのようなものだという
驚くべき事実誰が否定できようか。」と。
最期の六番目の人は、象を手探しし始めると程なく手に触れたブラブラして
いる尻尾をつかんで、
「判ったぞ、象というのはちょうどロープのようなもの
さ」と言いました。
こんなふうにして六人の盲人は、それぞれ部分的には正しく相対的には正し
くなかったけれども、自分の意見を理不尽にも限度を超えてまで主張し、大
声で長い時間議論をしたのです。
10
見解１
6 人の盲人がそれぞれ触ったところによって異なった全体像を想像
したという有名な話である。物事には幾つかの側面があり、解釈も様々だが、
自分が正しいと思っていても、それは全体の一部でしかないという教訓だろ
う。
見解２
セールスが顧客から話を聞いた時に、自分の聞いた話が実態だと主
張するのでなく、全てのセールスから得られた話を正として顧客の欲する全
体像をつかみ、今後の経営に反映させるかが重要なことと思う。声の大きい
セールスの話が事実としてもそれだけでは全体には成りえないのである。
見解３
よく神学上の論争の中で、当の討論者は相手が何を言っているのか
お構いなしにののしりあう様は、盲人と象についての話と同じだと思います。
誰一人として象の全体を理解していないのにですよ！
君の見解は？
****＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ quoth 《古》
〈…と〉言った (said) 《★
直説法 13 人称過去形で，常に主語の前に置く》.”Very true,” ∼ he. いかに
もと彼は言った.
tis 《詩古》 it is の短縮形.
e’en《詩》 ＝→ even
oft 《古文語》 しばしば，たびたび. oft-quoted しばしば引用される.
11
健康と数値
3
3.1
肥満度 BMI
日常生活の中では, さまざまな数値が健康のバロメータとなっています。健
康診断の際に測定する身長・体重・視力・聴力から始まり, 少し体調が優れな
いと体温・血圧, 更にもっと詳しい各種の検査結果などすべて数値で表されま
す。
健康管理の面から話題を提供します。
話題 3.1 2000 年 10 月 11 日 の朝の NHK テレビニュースで， 日本肥満学
会が開催されることに併せて， 肥満度 BMI が次の式で定義されていること
が報道されました。
体重 (kg)
(身長 (m))2
身長の単位がメートルであることに注意が必要です。
BMI =
クイズ 3.1
最近では BMI はよく知られるようになりましたが,BMI は何
の略語でしょうか。
日本肥満学会によると, BMI が 22 の場合が標準体重。BMI が 25 以上の場合
を肥満, BMI が 18.5 未満である場合をやせとしています。BMI の計算式は
世界共通ですが, 肥満の判定基準については国により揺らぎがあり, アメリカ
では 25 以上を「標準以上（overweight）」, 30 以上を「肥満（obese）」とし
ています。
”カウプ指数” は幼児, 学童のために紹介されることが多いのですが, BMI と
まったく同じものです。 基準値を成長段階に応じて用意することで対処して
います。一応の標準の目安としては以下のようにすると良いようです。乳児
（3ヵ月以後）:16∼18, 幼児満 1 歳: 15.5∼17.5, 満 1∼2 歳: 15∼17, 満 3∼5
歳: 14.5∼16.5, 学童期: 18∼22。
コメント 3.1 多様な肥満の病態を, 身長と体重の関係のみに抽象して算出さ
れるこの指数には自ずから限界がある。内臓肥満はメタボリック症候群の原
因でありながらこの数値に表れにくいこともあり, 隠れ肥満となる場合があ
る。こういった問題は残されているものの計算式が簡便なこともあり, 成人
の肥満の指標として多用されるもののひとつである。身長が高ければ体重も
重いはずなのでこの計算でいけば必ず限界点は発生するため, あくまで体格
のみの指標と言える。
余談 3.1
ローレル指数 - 主に小中学生に用いる指数。
ローレル指数（ローレルしすう,Rohrer index）は児童・生徒の肥満の程度を
表す指数。以下の計算式で示される。
ローレル指数 =
体重（kg ）
体重（kg ）
× 107 =
× 10
3
(身長（cm）)
(身長（m）)3
12
ローレル指数が 130 程度で標準的な体型とされ, プラスマイナス 15 程度に収
まっていれば標準とされる。またプラスマイナス 30 以上となると, 太りすぎ・
やせすぎと判断される。
話題 3.2
標準体重とは, ヒトが肥満でもやせでもなく, 一定期間内の死亡
率や罹患率が有意に低いなど, 最も健康的に生活ができると統計的に認定さ
れた理想的な体重のことであり, 年齢・身長・体脂肪率といった要素の全部,
あるいは一部から求めるものである。用途によっていくつかの方法がある。
理想体重とも言う。
統計上, BMI(body mass index) 法によって BMI=22 となるとき, 高血圧, 高
脂血症, 肝障害, 耐糖能障害等の有病率が最も低くなるとされている。このと
きの体重を理想体重と考える方法であり, 標準体重は
標準体重 (kg) = (身長 (m))2 × 22
で得られる。広く世界的に採用されている。体脂肪率は考慮されない。
ローレル指数（Rohrer 指数）を用いた場合
標準体重 (kg)
× 10 = 130
(身長 (m))3
から
標準体重 (kg) = (身長 (m))3 × 13
で計算される値であり, 学童期の子供に適用される。
日本で簡易に用いられてきた算出方法は,
標準体重 =（身長 (cm) − 100）× 0.9
男性もしくは身長の高い女性には, 身長から 110 を引いたものを, 女性では
105 を引いたものを標準体重の目安とする。
3.2
体脂肪率
話題 3.3 体脂肪率とは, 人の体内に含まれる脂肪の割合のことを意味します。
肥満は「体脂肪が必要以上に増えた状態」を指すが, 体脂肪率の測定には困
難が伴い, そのため BMI など簡易的な診断法が広く一般に使われていた。と
ころが, 近年体脂肪計（体組成計）が一般にも普及し始め, 体脂肪率によって
肥満の判定を行う場合も増えるようになってきている。体脂肪率は, 低ければ
低いほど良い, というものではなく, 低すぎると体温の低下や筋力の低下（筋
肉を分解してエネルギーを作り出すため）を招くことがある。女性の場合は
ホルモンバランスの異常から, 生理不順や早発性閉経を招くこともある。適
13
正な体脂肪率は, 以下のように言われている。
男性の場合
30 歳未満 14∼20%:適正値 25%以上：肥満
30 歳以上 17∼23%:適正 25%以上：肥満
女性の場合
30 歳未満 17∼24%:適正値 30%以上：肥満
30 歳以上 20∼27%:適正値 30%以上：肥満
注：上記の基準は東京慈恵会医科大学で判定基準として使用されている値を
基にしたものであり, 世界的な基準ではない。世界共通の明確な基準は未だ
決められていない。
余談 3.2
主な体脂肪率測定法
水中体重秤量法（水中体重測定法)
アルキメデスの原理を応用したもので,
水中に全身を沈めて水中にある体重計で体重を量り, 大気中での体重との差
から身体密度を計算して測定するもの。比較的正確な測定方法で, 他の測定
方法の基準とされる方法
しかし, 体表面や体内の空気による浮力の影響を排除するため, 息を吐ききっ
た状態で測定しなければならない。そのため, 測定に苦痛が伴うという問題
点もある。
空気置換法
密閉された装置内に入り, 空気の圧力変化を測定して身体密度
を計測する方法。水中体重秤量法とほぼ同じ原理に基づき, 比較的正確な測
定方法で, かつ測定が簡便で苦痛を伴わない方法である。大相撲の力士がこれ
によって測定していることが知られている。
二重 X 線吸収法（DXA,DEXA）
二種類の異なる波長の X 線を全身に照
射し, その透過率の差から身体組成を計測する方法。本来骨密度を測定する方
法だが, 体脂肪率の測定でも比較的精度が高く, 近年医療設備に広まりつつあ
る。また, 近年は水中体重秤量法に代わって測定方法の基準とすることが多
い。
生体インピーダンス法
体に微弱な電流を流し, 生体の電気インピーダンス
を測定し, そこから体脂肪率を推定する方法。現在最も簡便で, 最も普及して
いる方法であり, 市販されている体脂肪計のほとんどはこの方法である。
しかし, 以下のような問題点から, 正確な値を算出するのは難しい。生体電気
インピーダンスは, 起床直後や就寝直前などの身体状態による変化が大きく,
同じ日でも測定した時間で大きなばらつきがある。生体電気インピーダンス
から体脂肪率を推定するノウハウが, 測定機器製造各社によって異なる。そ
のため, 機器によるばらつきが大きい。筋肉の比率が高い人は, 生体電気イン
ピーダンスが一般の人と異なり, 正確な測定ができない。
14
3.3
メタボ
話題 3.4
メタボリックシンドローム（英 metabolic syndrome, 代謝症候群,
単にメタボとも）とは, 内臓脂肪型肥満（内臓肥満・腹部肥満）に高血糖・高
血圧・高脂血症のうち 2 つ以上を合併した状態をいう。
WHO, アメリカ合衆国, 日本では診断基準が異なるため注意を要する。以前
よりシンドローム X, 死の四重奏, インスリン抵抗性症候群, マルチプルリス
クファクター症候群, 内臓脂肪症候群などと呼称されてきた病態を統合整理
した概念である。
日本では特に内臓脂肪の蓄積による肥満が共通の基盤として着目し, 腹部肥
満=男性型肥満ともいわれている上半身型肥満=リンゴ型肥満に対して注意
が呼びかけられている。
診断基準
日本肥満学会（JASSO）基準 (2005 年)
腹囲男性 85cm, 女性 90cm 以上が必須。かつ血圧 130/85mmHg 以上。中性
脂肪 150mg/dL 以上または HDLc40mg/dL 未満。血糖 110mg/dL 以上。の
3 項目中 2 項目以上。
九州大学（久山町研究グループ）の提案 (2006 年) JASSO 基準の腹囲を男性
90cm, 以女性 80cm 上に置換したもの。
余談 3.3 2008 年 4 月 から始まる特定健診制度（糖尿病等の生活習慣病に関
する健康診査）では, メタボリックシンドロームの概念を応用して糖尿病対策
を行う事を目指し, 40 歳から 74 歳までの中高年保険加入者を対象に健康保険
者に特定健診の実施を義務化すると共に, メタボリックシンドローム該当者,
または予備軍と判定されたものに対して特定保健指導を行うことを義務づけ
る。5 年後に成果を判定し, 結果が不良な健康保険者には財政的なペナルティ
を課す事によって実行を促す。厚労省は, 中年男性では二分の一の発生率を見
込むなど, 約 2000 万人がメタボリックシンドロームと予備軍に該当すると考
えており, これを平成 24 年度末までに 10%減, 平成 27 年度末までに 25%減
とする数値目標を立てている。これにより医療費 2 兆円を削減する。
「医療制
度改革大綱（平成 17 年 12 月 1 日 政府・与党医療改革協議会）の数値目標」。
コメント 3.2 2005 年 に, 国際糖尿病連盟（IDF）は腹部肥満を必須項目とす
るメタボの世界統一診断基準を作成している。しかし, その直後,2005 年 に,
アメリカ循環器学会と国立心臓肺血液研究所はＩＤＦ診断基準よりも NCEP-
ATP 診断基準の方が優れているという共同声明を発表し, アメリカ糖尿病
学会とヨーロッパ糖尿病学会は, どの診断基準も問題であり, 人々にメタボリッ
クシンドロームというレッテルを貼ってはいけない, という共同声明を発表
した。
メタボリックシンドローム（代謝症候群）の場合, 動脈硬化の発生・進展防止
が治療目標となり, そのための脂肪蓄積の進行防止・解消を目的に食事療法
15
による摂取カロリーの適正化と, 脂肪燃焼を促す目的での運動療法が基本と
なる。更に, 食事・運動といった生活習慣の改善により解消されない危険因
子（耐糖能異常, 脂質代謝異常, 高血圧など）に対しては薬物療法を並行して
実施する場合もある。また, 喫煙は個別の動脈硬化の危険因子である事が疫
学的に証明されているので, 禁煙努力も並行して行うべきとされている。
メタボリック症候群を予防するために, 肥満者の「流行」を予防する事が重
要視されている。現在, BMI 30 以上の肥満の頻度は, アメリカでは 30%以上,
日本では 3%であり, これは肥満が個人の生活習慣というよりも, 集団レベル
の生活環境によって「流行」することを示していると考えられている。最近
の研究で, 肥満が社会的絆を介した「伝染病」であり, 異性よりも同性に「伝
染」し易いことが明らかにされている。肥満の「流行」を防ぐためには, 個人
の努力のみでは困難である事から, 保健上の政策・制度的取り組みの必要性
が生じている。特に高カロリー食品の規制が重要と考えられ, 日本では野菜,
魚, 米を中心とした日本食を見直すようにともされて, 日本国外ではこうした
日本食が肥満防止に役立つ為に日本食ブームとまでなっている。肥満者は自
分が責められていると感じる事から, このメタボリックシンドローム自体を
否定することがあるが, 肥満防止として個人の努力, 家族の協力, 政策・制度
上の取組み実行は, メタボリック症候群予防に効果がある。
しかしながら、いくつかの医学論文では「 肥満をメタボリック症候群の必須
条件とすることは, 予防医学的にも医療経済学的にも不適切である」との見解
がある。
3.4
数学的な考察
健康に関する 3 つの話題に関しては, テレビや新聞で各種の情報が流布さ
れており, それに便乗した健康食品や健康器具の販売も行われています。
情報を分析し正しい判断を行える能力を養うことは，非常に大切なことです。
問題 3.1
ある人の身長を y メートル (m)， 体重を x キログラム (kg) とし
ます。一昔前の肥満度は z = 100y − 110 (または、z = 100y − 100) と x と
の比較で，無名数（単位の付かない数）z ，x を比較して，z < x のとき肥満，
z > x のとき肥満でないと判定していました。一昔前の方式と BMI の相違点
と類似点について考えてなさい。
|x − z| の値がどの程度あれば心配なのかの情報は曖昧でした。
x
kg
BMI では，判定基準が z = 2 と表せます。名数としては
です。BMI の
y
cm2
場合には，数値 z によって痩せすぎ・標準・肥満の幅があるので，判断基準
解説
としては進化したといえます。相違点はすぐにみつかりますね。類似点はあ
るのでしょうか。式だけを見ていると気がつきませんが，肥満度を数値尺度
で測ろうとする考え方が類似点です。その際，成人では身長がほとんど変化
16
しないと考え，体重に注目して何かの目安で肥満度を測りたいという考え方
も同じです。
さて，BMI について知ったら，あなたならどうしますか。
考えられる行動パターンをあげてみます。
行動 0.
何もしない。
行動 1.
自分のデータを公式に代入して肥満度を確かめる。
行動 2.
どの程度までなら体重を増減させるかを考える。
行動 3.
日常生活で対処する。
行動 0 のパターンが意外に多いかもしれませんが，行動１はちょとその気に
なれば誰でも実行可能です。計算嫌いな人はポケコンを使ってください。肥
満度の判定に満足できる場合にはここで終了ですが，そうでない場合に次の
行動２に移る方が賢明です。行動２で戦略を立て，目標達成のための行動３
を開始することが肝要ではないでしょうか。現状で満足している人は何もす
る必要はありません。BMI を信じないということも一つの選択肢です。
問題 3.2 自分の身長と体重から，BMI を計算し，それを基にどのような行
動をとるかを述べなさい。
発展
(1) 身長 y(m), 体重 x(kg) の人の BMI は
f (x, y) =
x
y2
です。BMI 標準体重 22 を考えると f (x, y) = 22 すなわち
x = 22y 2 （放物線）
となります。このグラフを描けますか？
この人の標準体重の公式として z =（y − 100）× 0.9 = 90(y − 1) 採用したと
き、BMI は x = z として
g(y) = f (90（y − 1), y) =
90（y − 1）
y2
となります。
私の場合：
身長 y = 1.68(m) 体重 x = 67(kg) ですので BMI は
f (67, 1.68) =
67
= 23.7
1.682
です。y = 1.68 として、計算すると標準体重は z = 90(1.68 − 1) = 61.2、BMI
は g(1.68) = 21.9 となります。
標準体重の公式を z = y(m) − 100(kg) として計算すると, y = 1.68(m) の場
合、標準体重 z = 68、BMI は
g(1.68) = f (168 − 110, 1.68) =
17
68
= 24.09
1.682
標準体重の公式を z = 身長 (cm)-110(kg) として計算すると, y = 1.68(m) の
場合、標準体重は z = 58、BMI は
58
= 20.54
1.682
さらに、標準体重の公式を z = 身長 (cm)-105(kg) として計算すると, y =
1.68(m) の場合、標準体重 z = 63、BMI=22.32 となります。
こうしてみると、標準体重の公式「身長 (cm)-105(kg)」が BMI の標準体重
と大体同じであるといえそうです。
(2) BMI = m の人を数学的に表現するとどうなるか。
身長 y(m), 体重 x(kg) とすると x = my 2 と表せます。身長を y 軸, 体重を x
軸にとれば, これは焦点 (m/4, 0), 準線 x = −m/4 の放物線を表します。
x
です
c2
から、BMI は体重だけの関数になります。すなわち, 成人の場合には, 体重が
また、身長を一定 y = c として, BMI= z を x の関数と考えると z =
増えれば BMI も増えることになります。
コメント 3.3
BMI は重さを面積で割ったものと考えることができる。体
重を体積（身長・肩幅・胸の厚さ）で割る方が合理的ではと思いたくなりま
すが，測定が面倒ですね。BMI をどの程度まで信用できるかに疑問をもつこ
とも科学する心だと思います。
BMI の限らず，情報化社会では，現象を分析するために，様々な尺度が作ら
れており，その尺度で判断がなされていることに注意しましょう。
3.5
賢者の知恵
クイズ 3.2 (賢者の知恵)
昔アラビヤで，ある老人が 14 頭のアラビヤ馬の
分配を遺言書に「長男には 5 分の 2，次男には 3 分の 1，三男には 5 分の 1 を
与える」と書き残しました。3 人の息子はそれぞれ何頭の馬を遺産できるか考
えなさい。
これは私の高校時代に，英語の教科書に載っていたお話です。単純計算では
2
5
1
14 ×
3
1
14 ×
5
14 ×
=
=
=
3
5
2
4
2
4
2
5
5
長男
次男
三男
となり，生きた名馬を切り分けることになります。息子達は親父が何故こん
な遺言を残したのかと頭を悩ませました。そこに，賢い老人が馬に乗って通
りかかり，兄弟の相談に乗りました。話を聴いてた老人は，自分の乗って来
た馬を入れ 15 頭で計算するように助言しました。すると，今回はうまく割り
算できて長男６頭，次男５頭，三男３頭となりました。老人は自分の馬にま
18
たがって去って行ったというお話です。
2 1 1
6
5
3
14
+ + =
+
+
=
.
5 3 5
15 15 15
15
別解 物を分けるときは分数だという思い込みでは，3 人の息子のように困っ
たことになりますが比を考えると
6
5
3
2 1 1
:
:
=
:
:
=6: 5: 3
5 3 5
15 15 15
6 + 5 + 3 = 14 となることから解答がすぐに見つかります。
クイズの答え
BMI= Body Mass Index (ボディマス指数) です。
19
勘定：数える
4
4.1
個数を数える原理
日常生活で必要な能力は，
「読み」
「書き」
「ソロバン」といわれてきました。
ここでいう「ソロバン」とは，いわゆる算盤の計算だけでなく，生活上必要
最低限の算数能力を示しています。日常生活において最近では，足し算・引
算をする必要がなくなっています。スーパーマーケットに買物に出かけると，
レジ打ちも殆どバーコード入力に変わり，端数をつけた代金支払にもレジス
ターがきちんと釣銭を計算して出してくれます。客や店員の仕事はレジ打ち
で割引商品を間違えないこと，支払われたお金がレジスターの指示通りであ
るかを勘定するだけになっています。
余談 4.1
外国旅行で買物をしたとき，店員が客に釣銭を，小さい桁から足
し算でお客に確認しながら渡していたことを思い出しました。例えば，3765 円
の買物をして客が 5 千円札 1 枚を出したとき，店員は 1 円玉で 6，7，8，9，(5 枚
目を置いて）70，次に 10 円玉で 80，90，(3 枚目の 10 円玉を置いて）800，次
に 100 円玉で 900，(2 枚目の 100 円玉を置いて）4000，次に 1000 円札を 1 枚
置いて 5000 円と言って，そこで客に釣銭を渡します。
日本では， 全く逆の釣銭の渡し方ですね。これは，文化の違いかそれとも算
数教育の違いでしょうか。因みに，外国旅行で便利なレジスターのない小さ
な店で買物をした際に，札と小銭をつけて会計を頼んだら定員が随分困って
いました。
話題 4.1
日常的に使っている数について考えます。
物の個数を数えるときに無意識に使っている自然数は、1 から始まり 2，3，· · ·
とどこまでも（無限に）続くものです。経済活動に伴い，自然数の加減乗除
（四則演算）の必要性から，負の数，整数，ゼロの発見にとどまらず、小数や
分数が考案されました。日常生活では
自然数は、物の個数を数えるときやお金の計算で使われます。
小数は、預金やローンの利率，野球選手の打率等で使われます。
分数は、物を分けるたときの割合を説明する概念としては非常に分かり易い
便利なものです。分数の四則演算は算数の難しい部分になります。
分数は見かけよりも抽象的な概念で，分数を見ただけではその大きさを実感
できないことに気付いたことがありますか。例えば
54321
54
5
= 0.44，を簡単に
= 0.439，更に簡単に
= 0.417
1234567
123
12
となります，計算してみると，分数て意外な面をもっていることに気が付き
ます。またポケコンで，1/3 はポケコンで１割る 3 を実行すると、0.3333333
と有効桁数だけ数字 3 が並びます。これは循環小数ですから 0.3̇ と表示され
ます。ポケコンでこの数に 3 を掛け算してみると：1/3 × 3 = 1 とはなりませ
20
ん。
負の数は引算を可能にするために必要な概念で，負の数の生活実感は借金生
活ですから避けて通りたいですが，それができない現在の仕組みについては，
ローン返済の話題で詳しく述べる予定です。
自然数の割り算を可能とするために，有理数（互いに割り切れない２つの自
然数で作られる分数）があることを小学校で学習します。計算機を使って数
値を処理するためだけなら，小数の範囲の知識だけで十分ですが，自然現象
を正確に記述したり数学的な理論展開のためには，数の範囲を有理数だけに
制限してしまうとまくいきません。例えば半径 1 の円周の長さ 2π ，長さ 1 の
√
2，自然対数の底 e（ネピアの数）などのように，有
正方形の対角線の長さ
理数でない有用な数（無理数）が中学・高校数学の教科書に現われます。
問題 4.1
有理数とはどんな数か, また無理数とはどんな数かを答えなさい。
問題 4.2
有理数と無理数の個数はどちらが多いのでしょうか。
まず最初に，日常生活で個数を数える行動が， どのような数学的な原理に
基づいているかを考えてみます。物心ついて以来，日常的に行っている「数
える」ことに，どんな数学的原理が潜んでいるのでしょうか。いくつかの例
題から始めます。
問題 4.3
初等教育を受けることができない国で，羊飼いの男が毎朝，羊を
囲いの中から牧草地に送り出して，夕方は囲いの中に迎え入れます。彼は，数
字や数えることを教わっていませんが，羊の頭数の管理はきちんとできてい
ます。彼はどんな方法を用いていたかを考えなさい。
類題
豊臣秀吉が木下籐吉郎とよばれて織田信長の台所奉行だったころの「太
閤出世話」の中に面白い話があります。当時は暖房用として、炭の確保は台
所奉行の重要な仕事でした。彼は、炭焼きのために必要な本数の山の木を調
達する仕事に従事しました。そのとき、一山に木が何本あるかを知る必要が
生じました。前任者達は，一山に何本の木があるかを「確かめようがない」
と思って，業者のいいなりの数で金を支払っていました。当然のことながら，
歴代の台所奉行は業者の手厚いもてなしを受けていました。ところが，経済
的にすべてを見直そうと意欲的だった籐吉郎は，前任者と同じように，業者
の手厚いもてなしをうけたのですが，業者が翌朝、籐吉朗の所に挨拶に出か
けてみると意外なことが起きていました。籐吉朗は，早朝から山に出かけて，
予め本数を調べてある縄を足軽に命じて，山の木々に結わえさせる方法で木
の本数を調査しました。業者の申告した木の本数と実際に調査した木の本数
に非常な相違があったことは想像に難くありません。籐吉朗は業者に灸をす
えて庶民的人気度をアップしただけでなく，経済的業績で信長に認められた
というお話です。
問題と類題に数学的な共通点があります。籐吉朗は予め縄の本数を知ってい
21
ましたが，家来の足軽はただ命令どおり，木に縄を結わえただけでした。数
を数える（家畜を管理する）際に行っていることは，数えたいもの（対象）と
手元にあって管理しやすいものとの対応が 1 対１であるかどうかの作業だっ
たということが共通点です。
物の個数を数えるという行動を数学的に見直すとどうなるでしょうか。
「みかん箱の中のみかん」や「玉入れの篭の中の玉」を「集合」とよびます。
集合の要素（みかんや玉）をまず取り出して，これに自然数 1（番号 1）を対
応させます。次に取り出したものに自然数 2（番号 2）をというふうに順に作
業を行います。最後に取り出された要素が自然数 n（番号 n）であれば，そ
の集合の要素の個数は n であると言っています。もちろん， 同じ要素を２
度以上は数えないというルールがあります。数学では，この考え方を「集合
と自然数の部分集合とが１対１に対応している」といいます。
数学では，単に物の集まりという漠然とした意味で「集合」という言葉は使
わないことは覚えておいてください。気だてがよい人の集まり，美人の集ま
り等は集まりであっても数学でいう集合ではないことは理解してもらえます
ね。
便利な数学記号
a が集合 A の要素 Element（あるいは，元，点）であ
る (あるいは a が A に属す) ということを記号化して、数学記号を用いて
「a ∈ A」 と表します。数学論理で, すべての (All), 存在する (Exist) を表す
ために、頭文字を逆さにした記号「∀」、「∃」が用いられます。
問題 4.4
2 つの集合 A，B の要素の個数を比較する方法を考えなさい。
日本では，幼稚園・小学校時代の算数教育のお陰で，物の個数を数えて数字
で表現できますので，A と B の要素が有限個（沢山あってもいつか数え終え
ることができる）なら，要素の個数の比較はできます。学校で「数えること」
を教わっていない人，学校教育を受けていない人は世界には沢山います。そ
んな人達でも，手足の指を使って 20 個までは識別できるでしょう。では，彼
等は 21 以上の要素をもつ２つの集合の要素の個数の比較は出来ないといえる
でしょうか。羊飼いの話を思い出してください。もっと身近にも似た場面を，
運動会で見かけます。玉入れ競争の勝敗を決めるとき，玉を複数チームでか
け声と共に１個づつ取り出していき，最後まで残ったチームが優勝です。た
しかに掛け声として，玉の数を数えていますが，数を数えなくても，太鼓か
笛の合図で１個づつ取出しても優勝チームは決まります。ここでも 1 対１対
応の考え方が使われています。
ところで，A と B の要素が無限個（いくら数えても数え終えることができな
い）の場合はどうなるでしょうか。引分け勝負なしとして片付けてよいでしょ
うか。
集合の大小関係
集合 A の要素が必ず集合 B の要素になっている場合に，集
合 A は集合 B の部分集合 (subset) であるといい，数学記号 A ⊂ B で表し
ます。2 つの集合 A，B が等しいということは，関係 A ⊂ B と関係 B ⊂ A
22
が同時に成立つことと定めます。集合に対するこの包含関係 ⊂ は，実数に
対する不等式 ≤ に似た性質があります。すなわち，集合 A1 ，A2 ，A3 に対し，
A1 ⊂ A2 ，A2 ⊂ A3 ならば A1 ⊂ A3 となります。包含関係は集合の集まりに
おける大小関係を示す道具になります。実数の大小関係と，著しく異なる点
は，任意の 2 つの集合 A，B に対して，大小関係をつけることができないこ
とがある，すなわち A は B の部分集合でなくしかも B は A の部分集合でも
ない場合が生じます。簡単な例として A = {1，2，4，6}，B = {1，3，5} で考え
てみて納得してください。
1 対１方式で数えた集合 A の要素の個数を A の濃度 (cardinal number) とい
い，記号 card(A) で表します。
集合 A が集合 B の部分集合 A ⊂ B) でしかも A 6= B のとき，card(A) と
card(B) の大小関係を調べます。濃度の大小関係は，集合 A の要素と集合 B
の要素を１対１に対応させ，残りがある方が要素の個数が多い（濃度が大き
い）と判断します。
問題 4.5
1 対１方式で数えるとするとき、 次の２つの集合 A，B では，
どちらの要素が多いか調べなさい。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
説明
偶数全体 A と奇数全体 B
偶数全体 A と自然数全体 B
自然数全体 A と分数全体 B
有理数全体 A と実数全体 B
直線上の点の全体 A と円周上の点の全体 B
解答は次の通りですが，信じられますか？
(1) card A = card B
(2) card A = card B
(3) card A = card B
(4) card A < card B
(5) card A < card B
集合 A の要素が自然数と 1 対１の対応がつく場合に，集合 A を可算（可付
番）集合といいます。(1)(2) は簡単ですが (3)(4)(5) は簡単ではありません。
(4) は，数学の基礎的な定理「実数全体は可算集合ではない」を言い換えたも
のです。この定理の証明方法にカントールの対角線論法が使われます。
問題 4.6
髪の毛の本数，1 合の米粒や小豆の個数は，杉山の木の総数，イベ
ントへの参加者数など多数のものを数えるときはどうしたらよいでしょうか。
4.2
数字について
問題 4.7
算用数字 1，2，· · · ，9 はなぜアラビヤ数字というか説明しなさい。
23
数の表記の歴史を振り返ると，(くさびがたもじ)【楔形文字】(cuneiform) が
現われます。これは， 紀元前 3500∼前 100 年頃，アッシリア・シュメール・
ヒッタイト・バビロニアで用いられていました。名前の由来は，字画が楔の
形をしているからとも，文字を粘土板に刻むのに鉄の楔（鉄筆）を用いたか
らとも言われています。ギリシャの数字，エジプトの数字（象形文字）は図
形的に興味ある数字です。950 年頃に使われていたインド（神聖）数字が 8
世紀頃アラビアに伝わり，さらにアラビアから 10， 11 世紀頃，西ヨーロッ
パに伝わり，現在の姿のアラビア数字（1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，
10）になりました。アラビヤ数字が言語の境界を越えて，現在世界で最も使
用されていることは言うまでもありません。アラビア数字 (Arabic numerals)
という名称は，当時のヨーロッパ人がつけた名前ですが，それが現在でも使
われているわけです。アラビア語では，現在でも，このアラビア数字をイン
ド数字とよんでいます。ややこしい話ですが，現在のアラビア語で使用する
「アラビア数字」も，やはりインド数字の変種で，アラビアで独自に変化した
ものです。ちなみに右から左に向かって書かれるアラビア文字ですが，数字
は左から右に向かって書かれます。
ローマ数字 (や算木）を使った数の表し方を調べます。1 から 10 までの数字
は
I， II， III， IV， V， VI， VII， VIII， IX， X
です。基本数字としては，縦棒 I = 1， V = 5， X = 10 の他に L = 50， C
= 100， D = 500， M = 1000 などを使います。同じ基本文字の並びは足し
算という規則です。例えば，III = 3 となります。基本数字の左にある数は基
本数から引く数，右にある数は足し算となっています。IV= 5 - 1 = 4， XI
= 10 + 1 = 11 という規則です。これらの規則にしたがって 1 単位のローマ
数字の意味を読み取り，それらを足し算した数がローマ数字が表す数となり
ます。
クイズ 4.1
解説
次のローマ数字が表す数はいくらでしょう。MCMLXXXVIII
M = 1000， CM= 1000 − 100 = 900， L= 50， XXX= 30， VIII= 8
だから，MCMLXXXVIII= 1000 + 900 + 50 + 30 + 8 = 1988 となります。
蛇足
5000 や 10000 を示すローマ数字記号もありますが，現代ではローマ数
字は 3999 以下の数字を表すときのみ使用し，それらの記号はあまり使用され
ないようです。
話題 4.2
ゼロの役割を考えます。
アラビア数字を使用する記数法が他の記数法よりも格段にすぐれているのは，
ゼロを利用した「位取り」ができるからです。たとえば，漢数字表現「三千四
十五」，ローマ数字表現「MMMXLV」とアラビア数字「3045」を比べてみて
ください。紙上で計算する加減乗除において，この「位取り」の威力は，他
24
の記数法の比ではありません。 8 世紀頃インドからアラビアに伝わった「ゼ
ロ」
（サンスクリット語で shunya シューニャ）は，アラビア語で sifr スィフル
「空（から）」と翻訳されました。この sifr が，13 世紀のはじめ，アラビア記
数法（つまりインド記数法）が伝わったイタリアでラテン語化して zephirum
となり，最終的には zero となりました。一方，中世ヨーロッパの数学界では
「ゼロ」をあらわすために，もとのアラビア語とほぼ同じ語 cifra を長く使い
続けました。英語の cipher の語源はここからきています。英語の cipher の
もつ意味のうち「暗号，符丁」は，当時の一般の人々が「ゼロ」に対し抱い
ていた神秘や秘密なものへの驚きの名残であるといわれています。
cipher 零 (zero); つまらぬ人〔物〕; アラビア数字; 暗号 (文); 暗号を解くかぎ.
◎ in cipher 暗号で
(vi) 計算する; 暗号で書く
4.3
大数と小数
話題 4.3
大きな数の漢数字の表示について
日常生活で使われる漢数字は、
一（いち）= 100 ,
十（じゅう）= 101 ,
の他には、万（まん）= 104 ,
百（ひゃく）= 102 ,
十万 = 105 ,
百万 = 106 ,
千（せん）= 103
千万 = 107 の後
に「円」をつけたものです。それ以上の単位のお金は
億（おく）= 108 ,
兆（ちょう）= 1012 ,
までです。億や兆の前に十、百、千をつけることで、位取りができます。千
兆より大きな数の表し方は、日本では、1627 年（寛永 4 年）の『塵劫記』の
初版において初めて現われます。
京（けい、きょう）= 1016 ,
28
穣（じょう）= 10 ,
正（せい）= 1040 ,
垓（がい）= 1020 ,
漢字?（し）= 1024 ,
32
溝（こう）= 10 , 澗（かん）= 1036 ,
載（さい）= 1044 ,
恒河沙（ごうがしゃ）= 1052 ,
極（ごく）= 1048 ,
阿僧祇（あそうぎ）= 1056 ,
那由他（なゆた）= 1060 , 不可思議（ふかしぎ）= 1064 ,
無量大数（むりょうたいすう）= 1068
話題 4.4
小数を表す漢数字の表記法
一（いち）= 100 ,
分（ぶ）= 10−1 ,
毛（毫）（もう）= 10−3 ,
厘（釐）（りん) = 10−2
糸（絲）（し）10−4
までは使われることがあります。それより、小さな数を表す位は
忽（こつ）= 10−5 ,
微（び）= 10−6 ,
沙（しゃ）= 10−8 ,
塵（じん）= 10−9 ,
25
繊（せん）= 10−7 ,
埃（あい）= 10−10 ,
渺（びょう）= 10−11 ,
漠（ばく）= 10−12 ,
逡巡（しゅんじゅん）= 10−14 ,
瞬息（しゅんそく）= 10
−16
刹那 (せつな) = 10−18 ,
虚空（こくう）= 10−20 ,
,
模糊（もこ）= 10−13 ,
須臾（しゅゆ）= 10−15 ,
弾指（だんし）= 10−17 ,
六徳（りっとく）= 10−19 ,
清浄（せいじょう）= 10−21 ,
, 阿摩羅（あまら）= 10−23 ,
涅槃寂静（ねはんじゃくじょう）= 10−24
阿頼耶（あらや）= 10
−22
なお、
「六徳（りっとく）」は「徳」の 6 倍という意味ではなく、
「六徳」で一
つの単位である。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
4.4
単位の接頭語
話題 4.5
大きな量，小さな量を表すための接頭語について調べます。
基本単位として m，kg ，s，A · · · を定めてありますが， 対象領域によっては
それらの単位が小さすぎたり大きすぎたりして不便なことがあります。そこ
で， 主として 103n (n は整数) を表す接頭語を定義して， 必要に応じてそれ
を単位記号の前に付けて使うように定められています。
da : 10（デカ)， h : 102 (ヘクト)， k : 103 (キロ)， M : 106 (メガ)，
G : 109 (ギガ)， T : 1012 (テラ)， P : 1015 (ペタ)， E : 1018 (エクサ)
d : 10−1 (デシ)， c : 10−2 (センチ)， m : 10−3 (ミリ)， µ : 10−6 (マイクロ)，
n : 10−9 (ナノ)， p : 10−12 (ピコ)， f : 10−15 (フェムト)，a : 10−18 (アット)
SI 単位系 SI=Système International d’Unités（国際単位系）について
日常生活での SI 基本単位（フランス語）
長さ m(metre， メートル)
質量 kg(kilogramme， キログラム)
時間 s(second， 秒)
電流 A(Ampr̀e， アンペア)
基本単位記号の記号の前に接頭号を一つだけ付けたものを，単位記号の基本
因子とします。質量については， kg が基本単位であるが接頭語を付ける際
には， それが g に k がついたものであるかのように扱う。
圧力（応力，気圧等）は「単位面積にかかる力」ということで
N/m2 = m−1 · kg · s−2
を単位として測る単位を Pa(Pascal，パスカル) としています。１気圧 (SI の
単位ではない) は 101.3kPa(キロパスカル)(＝ 1013 ミリバール＝ 1013 ヘクト
パスカル) です。
参考書 伊理正夫：現代応用数学， 放送大学教材 56377-1-8711
問題 4.8
世界共通の単位接頭語を漢字表記法で表せ。
26
4.5
数字と語呂合わせ・日本人的洒落
日本や中国では，年齢を漢字で表すおしゃれな文化があります。よく知ら
れていることが
クイズ 4.2
次の漢字は何歳を意味するでしょう。答えはこの節の終わりに
あります。
志学（しがく） ＝
而立（じりつ）
＝
不惑（ふわく）
知命（ちめい）
＝
＝
耳順（じじゅん）＝
還暦（かんれき）＝
古希（古稀）（こき）＝ 喜寿（きじゅ）
＝
米寿（べいじゅ）＝
白寿（はくじゅ）＝
卒寿（そつじゅ）＝
茶寿（ちゃじゅ）＝
傘寿（さんじゅ）＝
傘寿の読み方を訂正しました。
「傘」の略字が「八十」と読めるところか
ら 八十歳のこと。また、八十歳の賀の祝い。
蛇足
単位について
１ナノ秒 ＝ 光が 30cm 足らずの距離しか進めない短い時間
刹那（せつな）＝ 全速力で疾走する白馬の影を，閉ざした扉の隙間から見
る時間
π の値の桁数を覚えるための数字のゴロ合わせがよく知られています。
円周率πの値
3.141 592653 58979 323846
身一つ世一つ生くに無意味違約無く 身文や読む
(みひとつよひとつ いくにむいみ いやくなく み ふみやよむ)
3.14159265 358979
3238462 643383279 502884197
産医師異国に向かう 産後厄無く 産婦御社に 虫散々闇に鳴く 御礼には早よ行くな (さんいしいこくにむこう さんごやくなく さんぷ みやしろに むしさんざんやみになく ごれいには はよいくな) 暦の年代，九九の計算さらには数学の公式を語呂合わせする日本人の知恵と
日本語の威力は素晴らしいですね。
”Yes， I have a number.” = 3.1416
と比較してみてください。
√
√
蛇足
3 = 1.7320508「人並みにおごれや」， 5 = 2.2360679「富士山ろく
にオーム鳴く」等はよく知っているでしょう。私は，受講生に教わった次の
27
(座標軸を θ 回転する) 重要公式
Ã
cos θ
− sin θ
sin θ
!
cos θ
を丸暗記するための語呂合わせが，非常に印象的でしたので一度聞いたら忘
れられなくなりました。それは，
「狡いばーさん死んでも狡い」という語呂合
わせです。cos を「コスイ」と読み，sin を「サン」
「シン」と読み，最も間違
え易いマイナス記号を「バー」と読んで，
「コスイ バー サン シン（でも）
コスイ」が出来上っています。
答え
漢字は何歳を意味するかの答え（論語・為政篇」より）
志学（しがく） ＝ 15 而立（じりつ）
＝ 30
不惑（ふわく）
＝ 50
＝ 40 知命（ちめい）
耳順（じじゅん）＝ 60
還暦（かんれき）＝ 60
古希（古稀）（こき）＝ 70
喜寿（きじゅ）
杜甫の曲江詩「人生七十古来稀」
＝ 77 七十七 「喜」の字の草書体
米寿（べいじゅ）＝ 88 「米」の字を分解して八十八と読める
白寿（はくじゅ）＝ 99 「白」は百引く一
卒寿（そつじゅ）＝ 90 「卒」の略字「卆」を分解して九十
茶寿（ちゃじゅ）＝ 108「茶」の字を分解して
廿（にじゅう）プラス八十八
傘寿（かさじゅ）＝ 80 傘の略字を分解して八十
28
生活の中の無理数
5
5.1
円周率 π について
無理数というものは，日常生活とは全く無縁だと思っていませんか。小学
校の算数教育で π = 3.1415 の値を π = 3 として教えることの是非が話題に
なったことがあります。
問題 5.1 問題
もし π を 3 であるとしたら，この世の中の円（丸いもの）は
どのように見えますか。
説明
π を 3 にすれば，世の中の丸いものはすべて正六角形に見えるはずで
す。この根拠は，半径１の円周の長さ 2π や円の面積 π をどのようにして求
めるかの方法論にあります。円周の長さに注目します。曲線（円周）の長さ
はどのように測られるでしょうか。それは，曲線を細かく分けて，各部分は
直線とみなして長さを測り，それらの和を曲線の長さの近似値として採用し
ます。この近似値は曲線をどんどん細かく分ければ分けるほど，曲線の長さ
に近づきます。
そこで，半径 1 の円に内接する正 n 角形の周の長さの半分 (1/2) が π の近似
値ということになります。
半径 1 の円に内接する正 6 角形の周の長さは 6 でその半分は 3 です。このこ
とから，π = 3 ということは，円周を正 6 角形とみなしたという論理ができ
あがります。
半径 1 の円に内接する正 6 角形の 1 辺の長さが 1 であることから出発して，
正 3 · 2n (n = 1，2，· · ·) 角形の周の長さ (2π の近似値) を計算するための簡単
なプログラムを BASIC で書いてみました。計算は正 12 角形から正 6144 角
形までですが，文番号 20 の数字 10 を変更することで，更に詳しい結果が分
かります。
10 x = 1
20 for n=1 to 10
30 x = SQR(2 - SQR(4 - x^2))
40 m = 3*2^n: L =m*x
50 print "正";2* m ，"角形"，"x ="; x， "L ="; L
60 next n
70 end
5.2
黄金比と白銀比
問題 5.2
日常生活の中で
√
2 を見つけなさい。
説明
中学校のとき，ピタゴラスの定理の後で，1 辺の長さ 1 の正方形の対
√
√
角線の長さが 2 であることを教わりますが，日常生活の中で 2 のお世話
29
になっていることに意外に気付いていません。私達が日頃使用しているノー
トや用紙は B 判や A 判と呼ばれている規格品です。この 2 つの規格判には共
√
通点があります。それは縦・横の寸法の比が 2(約 1.4) となっていることで
す。
（問題：長さを測らずにこのことを確かめるにはどうしたらよいでしょうか）
(2 回紙を折ることで納得できます。)
規格判の紙を半分に畳んだときの形は元の形と相似となる特徴があります。
√
√
√
何故なら， 2 : 1 = 1 : 1/ 2 というわけです。このため比 2 : 1 を白銀比
(platinum ratio) ということがあります。
問題 5.3
A1 判の用紙を 3 回折ると A4 判の用紙が 8 枚できます。A1 判の
用紙に A4 原稿 16 頁分を裏表 1 枚にまとめて印刷し，折り畳んで製本しま
す。用紙の無駄がなく，経済的ですが，どのような順に印刷するかを考えま
しょう。
解答
解答は次の通りです。実際に紙を折って頁付けを試してください。折
り畳んで製本するということは、折り目に沿ってナイフを入れて開くことを
意味します。
表
（原稿をそのまま置く）
1
8
16
9
裏
13
12
4
5
2
7
15
10
14
11
3 （原稿をそのまま置く）
6 （原稿を上下逆に置く）
（原稿を上下逆に置く）
裏面の表し方は用紙を単に裏返すと次のようになる。
3
14
15
2 （原稿をそのまま置く）
6
11
10
7
（原稿を上下逆に置く）
規格判の用紙には，A 判 B 判の２種類があります。 A0 判の面積は１平方米，
B0 判の面積は 1.5 平方米です。それぞれ紙を２等分するごとに A，B の後の
数字が 0，1，2， · · · と大きくなります。例えば，A3 判の半分が A4 判，そ
の半分が A5 判となります。つまり，An 判は A0 判の面積の 1/2n 倍になっ
30
ています。因みに，文庫本は B6 判です。
A列
0判
1判
寸法 (mm)
841 × 1189
594 × 841
B列
0判
1判
寸法 (mm)
1030 × 1456
728 × 1030
2判
3判
420 × 594
297 × 420
2判
3判
515 × 728
364 × 515
4判
5判
6判
210 × 297
148 × 210
105 × 148
4判
5判
6判
257 × 364
182 × 257
128 × 182
7判
8判
74 × 105
52 × 74
7判
8判
91 × 128
64 × 91
9判
10 判
37 × 52
26 × 37
9判
10 判
45 × 64
32 × 45
問題 5.4
A4 判の原稿を A3 判に拡大コピー，A5 判に縮小コピーあるいは
B5 判を A4 判に拡大コピーするときに，複写機に表示される数字は何を意味
しているか説明しなさい。
説明
拡大・縮小の対象となった面積の比の平方根です。拡大・縮小された
とき，正方形の 1 辺がどのように拡大・縮小されたかの目安です。規格判ど
うしなら，An 判から A(n + 1) 判への縮小比率，Bn 判から B(n + 1) 判への
√
1
縮小比率は同じ値 √ = 0.706 (70%) です。逆数 2 = 1.414(141%) が拡大
2
√
√
3
率です。An 判から Bn 判への拡大率は 1.5 =
= 1.224(122%) です。
2
蛇足 新聞用紙の寸法（単位 mm）は 813×546(比の値は 1.49) です。また，官
製はがきの規格寸法は 100×148 です。私製はがきは (140 ∼ 154)×(90 ∼ 107)
重さ 2 ∼ 6)g となっています。 問題 5.5
黄金比とはどんな比かを説明しなさい。
√
解説 ( 5 + 1):2 比の値＝ 1.618 です。もう少し，詳しくいえば，黄金比と
は「線分を１点で分け，長い部分 a と短い部分の b 比が，全体 a + b と長い
部分 a との比に等しくなるようにしたときの比」です。別の説明「線分を２
つに分かち，短い方の線分と全体とでできる長方形の面積と長い方の線分で
できる正方形の面積が等しくなるような分けたときの比」。
最初の定義から a : b = a + b : a となりますが，比の性質から a2 = (a + b)b
a
と書けます。これが第２の黄金比の説明になっています。比の値を x = と
b
おくと，
√
1+ 5
x2 − x − 1 = 0 ， x =
= 1.618
2
31
√
1+ 5
黄金比をもつ長方形の特徴 縦１横 a =
の長方形 R から１辺の長
2
さ 1 の正方形を切り取った残りの長方形 R1 の 2 辺の比は
√
1
2
5+1
=√
=
=a
a−1
2
5−1
となります。すなわち，R と R1 は相似で，R1 は黄金比をもつ長方形です。
さらに，R1 から正方形を取り除いても，また黄金比をもつ長方形が残ります。
この状況は永遠に続きます。言い換えれば，正方形に，だんだん小さくなる
正方形を付け加えていって，完全に充填できる長方形が黄金比をもつ，とも
言えます。
フィボナッチ数列と黄金比の関係
{an } がフィボナッチ数列であるとは，
a1 = a2 = 1，an+2 = an + an+1 (n = 1，2，· · ·)
で定まる数列です。この数列の規則は，前の２つの項の和が次の項の値になっ
ています。この数列を始めて本格的に研究した人は，レオナルド・ピサノと
いう数学者（１３世紀頃）ですが，彼のお父さんがボナッチという名だった
ので，その息子と言う意味のフィボナッチと呼ばれるようになりました。
彼はウサギのつがいについて，
「ウサギのつがいは，生まれてから２か月経つ
と雌雄一対の子どもを産むという。このとき，一つがいのウサギはどのよう
に増えていくか」という問題で，この数列を研究しました。
an+1
フィボナッチ数列の隣合う 2 数の比
を bn とおきます。定義式の両辺を
an
an+1 で割ると
an+2
an
1
=1+
， bn+1 = 1 +
an+1
an+1
bn
数列 {bn } は収束することが分かる（証明は必要）ので，その極限値を α > 0
とすると，
α=1+
これから，
1
， α2 − α − 1 = 0
α
√
1+ 5
an+1
=
(黄金比)
n→∞ an
2
lim
フィボナッチ数列は，草木の枝分かれの仕組みを上手く表現できます。木は，
幹がある程度太くなると枝を出します。その枝もある程度太くなるとさらに
枝を出します。この様に，枝の本数にもフィボナッチ数列が現れます。
枝分かれについては，黄金比も関連しています。それは，幹の周りのどの方
向に枝を出すかに関係しています。木は自分の枝の葉が，上からの太陽光線
を最大限に受けられるように，最適に枝を出す傾向にあります。最初に出し
た枝から，ある一定の角度で次の枝を出すとすると，どんな角度がよいでしょ
うか。それは，１周 360◦ を黄金比に分けた角，すなわち黄金角ごとに枝をだ
すのが，最適であることが知られています。
32
黄金比は正 5 角形の 1 辺と対角線の長さにも等しいことも知られています。
黄金比を 2 辺とする長方形（黄金長方形）は，油絵を描くときに使う 10 号と
か 20 号といったキャンバスや特殊な絵葉書の形に使われます。古代エジプト
のピラミッド，古代ギリシャのパルテノン神殿には黄金比が用いられていま
す。わが国では，白銀比が昔からよく使われていましたが，桂離宮には黄金
比がいたるところで使わているという説があるようです。
（宮崎興二編著：か
たちの科学 おもしろ事典，日本実業出版，1996）
蛇足 黄金分割については，Web 上に沢山の資料が提供されています。彫刻
「ミロのビーナス」の身体の様々な部分に黄金比が見られ，理想的な均斉美を
持っていると言われています。また，黄金分割比 1:1.618 をもつスタイルか
どうかを調べる目安は，お臍から踵までの高さを１として，身長がその 1.618
倍であるとされています。
話題 5.1
ピアノの中にある無理数
ピアノの鍵盤でドからドまでの１オクターブは，黒鍵を含めた隣同士の鍵盤
の音と音の間隔が半音で，半音 12 個分上がると 1 オクターブ上がることに
√
なる。ピアノの弦の振動数は，半音上がるごとに， 12 2 倍になり，それゆえ，
√
1 オクターブ上がるごとに 2 倍になります。なお 12 2 = 1.059463 です。この
ことを「ピアノの鍵盤は計算尺のようなもの」と表現できます。一番低い音
は弦が緩く振動し音が高くなるにつれてその割合が増していきます。１オク
ターブずつで振動は 2 倍になります。各音は１つ下の音よりおよそ 6 % 早く
振動します。鍵盤上の一定の間隔を進ことは，ある一定の割合でかけ算をす
ることになります。
5.3
人口問題と数学
話題 5.2
人口の変化の見積もりは人類にとって重要問題です。マルサスと
ヴェアフルトの理論を紹介します。
この問題を解くためには、無理数のネピア数 e = lim (1 +
n→∞
が使われます。
注意
1 n
) (近似値 2.718)
n
ある仮定から出発して「微分方程式」を導くという過程が，事象を数
学的に解析するという部分です。微分方程式を解くことが本題ではありませ
ん。数学的に得れた理論式と実際の人口変動を比較する所が，科学的な考察
といえます。
マルサス（1766∼1834）
：論文「人口論」(1798 年)
ある国のある時刻 t における総人口を N = N (t) とします。N = N (t) は整
数値ですが滑らかな変化をすると仮定します。
マルサスの仮定
33
• ∆t(微小時間) 内における出生数と死亡数は，人口の大きさと時間区間に
比例する。
出生数を αN ∆t (α > 0)，死亡数を βN ∆t (β > 0) とすると，∆t 時間内の
N の増分 (変化した量) ∆N は
∆N = αN ∆t − βN ∆t = γN ∆t
となります。簡単のために γ = α − β とします。両辺を ∆t で割り，∆t → 0
として理想化すると，微分方程式
dN
= γN
dt
が得られます。初期条件 N (0) = N0 (時刻 t = 0 の時の人口) として微分方程
式を解けば
N (t) = N0 eγt
となります。
蛇足
ここで現われた微分方程式は，変数分離形の 1 階の常微分方程式です。
人口予測 N (t) は定数 γ に大きく依存していることが分かります。時刻が十分
に経過したときの状況を調べるために，t → ∞ という極限状態を計算すると
(1) γ > 0 ならば N (t) → ∞
(2) γ = 0 ならば N (t) = N0
(3) γ < 0 ならば N (t) → 0
となります。
これを現実問題に当てはめてみます：
米国における 1790 年から 1930 年までの 140 年間の人口増加を 10 年刻みで
調べたデータを用いる。1790 年を t = 0 として
N (0) = N0 = 3.9 × 106
米国の人口予想値は
N (t) = 3.9 × 106 × eγt
t = 1 すなわち 1800 年の人口は 5.3 × 106 だから
5.3 × 106 = 3.9 × 106 × eγ
となり
eγ = 1.359
γ = log(5.3/3.9) ∼ 0.307
34
これらを用いて，統計値と予測値を表にします:
統計値と予測値のずれ:
予測値−統計値
× 100%
統計値
予測値 × 106
統計値と予測値のずれ%
1790 3.9
1800 5.3
1810 7.2
3.9
5.3
7.2
0
0
0
1820 9.6
1830 12.9
10.0
13.7
4.2
6.2
1840 17.1
1850 23.2
1860 31.4
18.7
25.6
35.0
8.6
9.4
11.5
1870
1880
47.8
65.5
23.8
30.5
1890 62.9
1900 76.0
1910 92.0
89.6
122.5
167.6
42.4
61.2
82.2
1920 106.5
1930 123.2
229.3
313.7
115.3
154.6
年
統計値 × 106
38.6
50.2
この表から，統計値と予測値のずれがどんどん大きくなっていることが分か
ります。このことからモデル（予測値）は余り役に立たないといえます。仮
定の何が悪かったのでしょうか？。マルサスのモデルでは γ > 0 の場合には，
t → ∞ の場合には N (t) → ∞ となりますが，現実には食料難 エネルギー
不足 環境の変化 人口過密などが人口の増加を抑制するはずです。
ヴェアフルトは「人口過密」の要因を考慮に入れて 1837 年に修正案を提案し
ました。ヴェアフルト・モデルの仮定：
• 人口は増加するが上限（それを N∞ とする）がある。
• 人口変化率 dN/dt は次の (i)(ii) に比例する：
(i) 現在の人口レベル N
(ii) 未利用の人口資源上限（すなわち 1 − N/N∞ ) に比例する
ヴェアフルト・モデルは N が満たす微分方程式は
dN
N
= γN (1 −
) (γ は正の定数）
dt
N∞
となり，初期条件 N (0) = N0 を満たす解は
N (t) =
N∞
1 + (N∞ /N0 − 1)e−γt
ヴェアフルトは米国の 1790 年∼1810 年の統計値から N0 = 3.9 × 106
e−γ =
74763
∼ 0.731 γ ∼ 0.3134
102343
35
を得ました。これを用いて統計値と予測値を表にします：
年
統計値 × 106
予測値 × 106
統計値と予測値のずれ%
1790 3.9
3.9
0
1800 5.3
1810 7.2
5.3
7.2
0
0
1820 9.6
1830 12.9
1840 17.1
9.7
13.0
17.4
1.0
0.8
1.8
1850 23.2
1860 31.4
23
30.2
−0.9
−3.8
1870 38.6
1880 50.2
1890 62.9
38.1
49.9
62.4
−1.3
−0.6
−0.8
1900 76.0
1910 92.0
76.5
91.6
0.7
−0.4
1920 106.5
1930 123.2
107.0
121.0
0.5
−1.0
誤差は 3.8% 以内（− 3.8%∼1.8%) でかなり良い予測となっています。しかし現
在（2002 年）は 288×106 にもなっているからヴェアフルトの N∞ = 197×106
はもっと大きくする必要があります。
5.4
アキレスと亀
南イタリアのエレアに生まれた哲学者ゼノンはいくつかのパラドックス（逆
説）問題を作りました。そのうち，
「アキレスと亀」というパラドックス問題
を紹介します。
話題 5.3
「アキレスが亀に追いつけない」というお話。
アキレスが自分より前を歩いている亀を，亀と同じコースを通って追いかけ
ます。勿論，走る速度はアキレスの方がはるかに速い。ところが，アキレス
が先程まで亀がいた場所にたどり着いたときには，亀はアキレスがそこに来
るまでにかかった時間の分だけ少し先に進んでいます。アキレスがそこにた
どりついたときにも，亀はその間にかかった時間の分だけ先に進んでいます。
アキレスがその亀の場所にたどりついたときにも，亀はやはりその時間分だ
け先に進んでいます。
こうしていくと，亀よりも早い速度で進むアキレスは永遠に亀に追いつくこ
とができなくなってしまいます。
古代ギリシャ神話に出てくる，足が速いことで有名な英雄アキレスが，足が
遅い代表とされる亀を追い抜けないというのですから，なんとも不思議で面
36
白い話です。
パラドックスの根拠： 一定の量をもつものが無限に分割されることが可能
とすることから起きる矛盾
アキレスが毎秒 10 メートルの速さで走り，亀が毎秒 5 センチメートルの速
さで走るとする。亀がアキレスより 100 メートル前にいて，同時に走り始め
ます。2 直線 y = 10t,
y = 0.05t + 100 の交点 t = 100/9.95 秒で両者は並び
11 秒後にはアキレスは亀よりも 9.45 メートル先にいるはずです。
ここで，パラドックに従って計算してみます。最初に亀のいた地点までのア
キレスの所要時間は 10 秒です。その間に亀は 0.5 メートル進んでいます。ア
キレスが 0.5 メートル進む時間は 0.05 秒ですが、10.05 秒後もアキレスは亀
に追いついてはいません。その間に亀は 0.0025 メートル進んでいますので、
0.00025 秒たった 10.05025 秒後も追いついていません。
・
・
・
・
こうして，時間を細かく分割し続けていけば，アキレスは亀に追いつくこと
はできません。時間は無限に分割することが可能だということから起きる矛
盾である。
類題：ゼノンの飛矢
1 本の矢が飛んでいます。時間が瞬間の無限の集まりだとすると，どの瞬間
をとってみても矢は静止していることになる。静止している状態ばかりを無
限に集めても矢が飛んでるはずがありません。つまり，矢は飛んでいないこ
とになります。
時間を無限に分割できるとしたことからの矛盾。
37
数学の学力とは？
6
コンピュータは数値計算だけが得意であると信じ込んでいませんか。因数
分解や式の計算といった初歩的な数式処理に留まらず、微分・積分の計算や
その応用問題、高度な最大最小問題などの理論的な計算までコンピュータで
扱うことができるようになりました。経済学・統計学・社会学・工学などの
あらゆる分野で数学が必要とされるようになりましたので、高等学校や大学
で数学が苦手だった人の悩みは解消されました。
コンピュータに数学頭脳としてのソフトウエア「Mathematica」（少し値
段が高い）をインストールして、使い方のマニュアルを理解すれば、高度な
数学が自分の道具になります。しかし、解決すべき問題を数学的に定式化し
て、どの演算を使えば求める解答に到達できるかは、コンピュータを使う人
の数学的な能力に非常に依存しています。
6.1
コンピュータの能力
話題 6.1
「パソコンで数値計算や論理計算を速く正確にできる」時代にな
りました。人間に要求される数学的能力を見直しましょう。
1970 年代には，世間でコンピュータの力を認識できる場としては，JR（旧
国鉄）の特急指定券発売窓口がありました。中規模以上の会社では，給与計
算にコンピュータを使っていたのはもう少し前のことかも知れません。コン
ピュータは工場での自動制御や社会生活のあらゆる局面でその計算能力が高
く評価され，今ではコンピュータなしには社会生活が成立たないような社会
になっています。
しかしながら，1990 年代以前には，コンピュータは数値計算は得意だろう
が，因数分解や微分・積分などの数式処理は人間だけができることだと多く
の人が考えていました。数学の論理計算能力をコンピュータに与えるという
試みは数学者を中心に思考錯誤が重ねられました。その成果は各種の計算機
ソフトウエアとして公表されました。その中で，Stephen Wolfram が開発し
た「Mathematica」というソフトウエアは，高度な能力と手軽な操作性を兼
ね備えたものとして進化しています。Mathematica は，数学，科学，工学，
といった幅広い分野で使用される世界で最も統合されたツールであり，また，
ワンクリック，もしくは，コマンドひとつで簡単に操作できる金融のための
ツールでもあります。Mathematica では数式処理，数値計算はもちろん， 3
次元グラフィックス表示，アニメーション作成などの機能を持っています。
6.2
高校数学を Mathematica で
問題 6.1
高校数学の問題を「Mathematica」で解きなさい。
38
高等学校で学んだ数学の問題を「Mathematica」を使って解いてみましょう。
まず，パソコンに「Mathematica」をインストールしてあることが前提です。
自費で買うには「Mathematica」は値段が高すぎるのが難点ですが，情報処
理センターや各学部の分室のパソコンからなら，
「Mathematica」を使えるは
ずです。
Mathematica を起動させたとします。
(1) 因数分解：組込関数 Factor を利用します。例えば，x3 − 19x + 30 を因
数分解するには
Factor[x^3 - 19 x + 30]
と入力し，コンピュータに実行命令（シフトリターン：Shift キーを押しなが
ら Return（Enter) キーを押す））と瞬時に計算結果 (−3 + x)(−2 + x)(5 + x)
が表示されます。
同じように，x100 − 1 の因数分解もできます。Mathematica の使い方は組
込関数の入力方法さえ間違えなければ非常に簡単です。因数分解の場合には
Factor の F が大文字，因数分解したい式を [ ] の中に書く，べき乗や四則演
算は通常のパソコンと同じだが，積の演算*を空白で代用できることなどの注
意だけです。
(2) 展開式：組込関数 Expand を利用します。例えば，(a + a2 x + x2 )3 を
展開したいときには，次のように入力します。
Expand[(a + a^2 x + x^2)^3] (3) 部分分数分解：組込関数 Apart を利用します。
Apart[1/(x^3 - 1)] 有理式を部分分数に分解（展開）する計算では，未定係数法を使って連立方
程式を解く問題練習になります。部分分数展開は大学での数学では，有理関
数の不定積分や像関数のラプラス逆変換の計算の際に必要な計算ですが，未
定係数法で計算する手間が省けて非常に助かります。
(4) 方程式 f (x) = 0 の解法：組込関数 Solve[f [x] == 0，x] を利用します。
Solve[x^3 - 19 x + 30 == 0， x] この組込関数を利用する際には，方程式の等号が「==」となっていること
と，どの変数について解くのかを括弧内のコンマの後に明示すること（[方程
式，x(について解く)]）について注意が必要です。方程式には x 以外の文字を
含む場合も勿論許されています。この組込関数で方程式の解を求めると，厳
密解が得られます。実用面では，厳密解よりも解の値（近似値）を知ること
が重要なので，その場合には組込関数 NSolve を利用します。
NSolve[x^5 - 3 x^4 - x^3 + 15 x^2 - 8 == 0， x]
39
N をつけると数値解を与える意味になります。この方程式で N をつけた場合
とそうでない場合を比較してみてください。
(5) 関数のグラフを描く：組込関数 Plot[f [x]，{x，範囲 }] を利用する。
Plot[Sin[x]，{x， 0， 2 Pi}] 0 ≤ x ≤ 2π における sin x のグラフを描くときの入力です。関数を Sin と大
文字で始めること，変数を示す括弧が (x) ではなく [x]，π を記号 Pi で表す
という規則があります。
(6) 関数の微分：組込関数 D を利用します。
D[x^n， x]
D[f[x]， {x， 3}]
関数の微分
３階導関数
{x，3} が x について 3 回微分する命令です。変数が x，y の関数 f (x，y) の場
合には D[f [x，y]， x] という命令は，f (x，y) の x に関する微分（偏微分）を
与えます。
(7) 積分：組込関数 Integral を利用します。
Integrate[x^n， x]
Integrate[Sin[x]，{x， 0， Pi}]
不定積分
定積分
(8) 連立一次方程式：組込関数 LinearSolve を利用します。
LinearSolve[A， B]
連立一次方程式 AX = B の解法
補足：連立一次方程式についての説明
x + 3y − 2z
=
1
x − 2y + z
=
3
3x − y − z
=
8
を解く。A は係数行列，B はベクトルを表します。
A
= {{1，3，− 2}，{1，− 2，1}，{3，− 1，− 1}}
B =
X
{1，3，8}
= {x，y ，z}
とおくと， 連立一次方程式は AX = B の形に書けます。A は 3 × 3 行列， B
と X は３次元ベクトルです。
参考書 榊原進著：はやわかり Mathematica， 共立出版，1995
40
6.3
考える力とは
中学・高校で練習した数学の問題は，答えを出すだけならば， Mathematica
を使うことにより難なく解けます。そうなると，数学の公式を暗記して， 計
算問題を素早く正確に解けることが，人間として備えるべき数学の能力かど
うか怪しくなります。
問題 6.2
考える力を数学で養うにはどうしたらよいでしょうか。
指導要領の解説部分で，
「数学的な資質」とは「見通しをもち筋道を立てて考
える能力 (単なる数学の知識や技能ではない)」だと述べられていました。つ
まり，数学の問題を解決しようとき，どのような方法で解決すればよいのか
を考える段階と考えを実践して問題を解くという 2 段階に分かれます。第一
段階が数学的な資質を高める大切な部分です。現実には，この部分が入学試
験を念頭に置いた効率的な教育「問題の類別とそれに対する解法マニュアル
暗記」のせいで，目的が達成されていないように思われます。自分で苦労し
てマニュアルを作る事こそが大切ではないでしょうか。もう一つ残念なこと
は，問題解決に頭を使うような「良問」(= 数学のための数学の問題ではな
く，問題設定が現実的でどのように定式化するかを考えさせる問題) があま
りに少な過ぎることです。これは数学教育関係者の責任だと思います。
例えば，
「微分」についての教科書をみると微分の仕方については非常に詳
しく書かれて練習問題も沢山ありますが，何故微分するのか，どういう場面
で微分が役に立つのかに関する良問が非常に少ないと感じています。現実的
な問題を、どのように定式化して数学を使えるようにするかという部分が最
も価値のある仕事だといえます。それを数学的に処理する準備ができれば，コ
ンピュータが答えを教えてくれる時代になっています。
コンピュータに人間が使われるのではなく，人間がコンピュータを使うた
めには，計算術よりも，じっくり考える能力を養う必要があります。数学以
外の学問でもそのような能力は養えると思いますが，数学では，論理的な推
論が「真か偽か」を客観的に検証できるという長所があります。
余談 6.1 数学的な挫折
算数は得意だったのに，数学は苦手だったという
人は，何処かで数学的な挫折（つまずき）があったためだと考えられます。算
数から数学への最初の難関は抽象化と記号に慣れることです。コンピュータ
的能力ではなく，人間的な能力を養成する段階です。
家庭教師のアルバイトや，将来自分の子供の教育で役に立てて欲しいとの願
いから，数学における最初のつまずきの部分を考えてみます。
問題
スーパーマーケットに買物に行って，1 個リンゴ 130 円のリンゴ 2 個，
1 個 98 円のグレープフルーツ 3 個，1 個 250 円のケーキ 5 個を買ったときの
値段はいくらですか。
これは算数の問題です。
41
2 × 130 円 + 3 × 98 円 + 5 × 250 円 = 1804 円
算数教育のおかげで，日本人の小学生はこの計算ができます。算数が不得意
でも、ポケコンがあれば答えは得られます。スーパーマーケットでの買物で
は，バーコード入力で合計金額が自動的されますので。算数の能力よりも，手
動部分の割引商品のチェックだけが必要とされる能力となっています。
さて，上の問題を抽象化してみます。
(1) 値段だけの抽象化：リンゴを x 円，グレープフルーツを y 円，ケーキを
z 円とする。上の算数の式の通りに書けば 2 × x + 3 × y + 5 × z となりますが，
数学では，文字式を扱う際には記号 × を省略するので，正解は 2x + 3y + 5z
です。いうまでもなく 2x は x + x を意味します。
(2) 個数だけの抽象化：リンゴを a 個，グレープフルーツを b 個，ケーキを
c 個買ったときの値段を求めます。算数で使った式の通りに書けば a × 130 +
b × 98 + c × 250 となります。数学では，文字と数の掛け算では数と文字の順番
で表す約束（a × 130 = 130 × a = 130a) に従うと，正解は 130a + 98b + 250c
です。
(3) 値段も個数も抽象化：算数で使った式の通りに書けば a × x + b × y + c × z
となり，正解は ax + by + cz です。
受講生の皆さんはこのような抽象化の第一段階をクリアできたから，数学が
嫌いでも大学に合格できたのです。数学の勉強では，記号と数式の使い方に
慣れることと，数学の用語（数学語）を正しく理解することが求められます。
数学嫌いになった理由として，数学教師の教え方や人柄をあげる人もいます。
しかし，本当の理由は，算数と数学のギャップを埋めることに失敗して，数
学が得意科目でなくなったことせいではないでしょうか。その数学的につま
ずいた部分を修復しないで，数学を暗記科目にしたことも影響しています。
6.4
誕生日当てクイズ
相手の人に誕生月日の変形したデータから，誕生の月日を当てるクイズを考
えます。
問題 6.3
「あなたの生まれた日を 10 倍したものに生まれた月をたしてくだ
さい。つぎにその結果を 2 倍して，それに生まれた月をたしてください。そ
の結果はいくつになりますか。」と質問して少し考えた後，
「あなたは y 月 x
日生まれですね」と言い当てることができます。その仕組みを説明しなさい。
解説
質問から分かるデータは
a = (10x + y) × 2 + y
です。これから x，y を求める方法は次の手順です。
(1) a より小さい数で a に最も近い 20 の倍数 z を見つける。
42
(2-1) a − z が 3 の倍数のとき
x=
z
a−z
， y=
20
3
(2-2) a − z が 3 の倍数でないとき
x=
z
a − z + 20
− 1， y =
20
3
この公式であなたの誕生月日を代入して計算してみましょう。少し計算練習
すれば，隠し芸になります。
数学的考察：x，y から a が計算できることは当たり前ですが，a から x，y が一
意的（ただ一通り）に定まるという仕組みがこのクイズの種明かしです。実
際に
a = 20x + 3y = 20x0 + 3y 0
となる２つの組 (x，y)，(x0 ，y 0 ) があるとすれば
20(x − x0 ) = 3(y 0 − y)
20 と 3 は互いに素なので y − y 0 は 20 で割り切れます。1 ≤ y ，y 0 ≤ 12 です
から y − y 0 が 20 で割り切れるのは y = y 0 の場合だけです。このとき x = x0
となり，答えがただ一組であることが分かります。
解法について：クイズのテーマは
a = 20x + 3y ，1 ≤ x ≤ 31，1 ≤ y ≤ 12
を満たす整数値 x，y を求める問題です。この式をながめると a という数を 20
で割った商が x， 余りが 3y であることを意味しています。しかし余りは 20
より小さくないといけません。，1 ≤ y ≤ 6(1 月から 6 月まで) の場合には
0 ≤ 3y < 19 です。ところが 7 ≤ y ≤ 12(7 月から 12 月まで) の場合には，3y
の中に 20 が含まれるので，a = 20n + m (n は商，m は余り) の形に書くとき
は m = 3y − 20 となり，m は 3 でわると余りが１になる数であることが分か
ります。つまり a = 20x + 3y = 20n + 3y − 20 から x = n − 1 となります。
このことから，a を 20 で割った商を n とするとき，a − 20n が 3 の倍数場合
(1 月から 6 月生まれ）と a − 20n が 3 の倍数でない（3 で割ると 1 余る）場
合 (7 月から 12 月生まれ）の場合分けが起こります。前者の場合には x = n，
後者の場合には x = n − 1 となり，このことから y が決まります。
43
生活の中の座標系
7
7.1
自分の位置
話題 7.1
「座標」について見直します。
「本船の現在の位置は」とか「横浜は東京の南に位置する」という「位置」の
使い方は日常的ですね。人について言う場合には，その人の果たす役割や資
格，境遇などをさすことが多いと辞書にはあります。今回は前者の意味で，自
分の位置を誰かに伝えるときに，無意識に使っている数学的な考え方を見直
すことにします。
問題 7.1 講義室で自分の座席の場所を教壇にいる先生に文字や図で伝える方
法を考えなさい。
映画館や県民会館なら自分がどこに座っているかを，友達に携帯電話で伝え
ることができます。座席に位置を表す「目印」が付いているからです。それと
同様に、講義室の机や椅子に「目印」をつければよいことがわかります。机
(または椅子）の配置を描いて，自分の位置にマークすればと考えるとき，最
小限の情報は何でしょうか。
「目印をつける」考え方が「座標」です。
「座標」という数学用語は，数学
で比例・反比例の関係をグラフに描いて調べてるときに現われます。横軸（x
軸）と縦軸（y 軸）の交点を原点とよび，xy-平面という考え方に初めて出会っ
たときのことを憶えていますか。座標は数学の時間に関数関係を調べるとき
に役に立つことを学びます。しかし，数学教育が普及していなかった昔から，
座標の考え方を使えば位置を表すことを賢い人達は知っていました。中国の
都の洛陽や長安を模して造られたという平城京（奈良市）や平安京（京都市）
の町並みは座標になっています。地図帳で目的の場所を探したい（索引があ
る場合）には，どのような表示になっていますか。身近な物で言えば，囲碁
板や将棋板も縦・横に線が入っていて座標になっています。旅行の際にお世
話になるコインロッカーも同じ仲間です。
問題 7.2
上に述べた具体的な座標について，縦・横にどんな表示の工夫が
されているか調べなさい。
余談ながら，座標の使い方には，縦線と横線の交点を使う囲碁，線で囲まれ
た部分を使う将棋のような二通りがあります。
日常生活の中での位置の決め方
位置を表すためにどのような工夫がされているでしょうか。誰もがすぐに判
読できる「数字」「文字」「記号」が使われるています。「あいうえお」「イロ
ハニホ」「A B C D E」「アラビヤ数字」，
「漢数字」などです。これらの表記
法を使うときには，文字や記号の個数を考慮に入れての工夫が必要となりま
す。「情報科学演習」で使うはず？のソフトウエア Excell では，行番号はア
44
ラビヤ数字なので個数に問題はありませんが，列番号にはアルファベット A
から Z を使いますので，Z の次には AA から AZ，BA から BZ，· · · ,HA から
HZ、最後は IA から IV まで 26 × 8 + 22 = 230 列が表示できます。
ところで，基点（原点）を何処に選んでいますか。きちんと縦横を整列して
ある場合に，
「左から何番目」＝「左から何列目」，
「前から何番目」＝「前から
何行目」という表現が使われます。「左から」「前から」というときは，基点
が何処か誰もが了解しているから誤解なく情報・命令が伝わるわけです。数
字の組（「何列目」,「何行目」）= (x, y)（座標）を使って，位置を正確に表
現できる仕組みが座標系の考え方です。
余談 7.1
「座標」という言葉を聞くと，方眼紙や xy 座標を思い浮かべて，
自分の位置を知らせるときも，左から何 (番，列) 目, 前から何 (番，行) 目と
考えるように訓練されていますが，日常生活では，もっと直接的で分りやす
い方法を使っています。それが，後で説明する「極座標」の考え方です。
7.2
座標系
話題 7.2
数学で使う座標系を紹介します。
数学での座標とは，
「点の位置を示す」ために，2 つの数の組、3 つの数の組、
4 つの数の組などを使う仕組みのことです。位置を示すための基点を原点と
よび，座標と原点をあわせて座標系といいます。もう少し詳しく調べてみま
しょう。
(A) 座標系の種類
1. 数直線上の点 P の位置: P(x)
基点（原点）からの距離（長さ）|x|(x の絶対値) と原点の右か左か (x の符
号がプラスかマイナスか) で定まる。
日常生活の中で考えると，国道 9 号線を車で走っているとき，松江のある場
所（基点から）下関方面に 95 キロメートルの地点にいるという表し方です。
道路は曲がっていて，直線ではないと考える人がいますか。
2. 平面上の点 P の位置
(1) 直交座標
平面上に原点 O と，O で互いに垂直に交わる直線を定める。 一方の直線上の
点を原点 O からの距離に応じて変数 x の値に対応させる。その直線を x 軸と
いう。他方の直線上の点を原点 O からの距離に応じて変数 y の値に対応させ
る。その直線を y 軸という。この平面のことを直交座標平面， あるいは xy
平面という。点 P の直交座標が (a，b) であるということは，この平面上で，
原点から， 横に a 目盛り進み，縦に (直角に向きを変えて)b 目盛り進んだ位
置にある点であることを意味している。
45
クイズ 7.1
Avenue と Street の違いを説明しなさい。
米国の大都市などでは Street は東西（ヨコ）;Avenue は南北（タテ）に走る
道路を表す場合があります。例えば，クリスマスツリーの綺麗な New York
のロックフェラーセンターの場所は「W 53 rd St. と Fifth Ave. の交差点」
が目印？です。通りに大統領の名前等を付けている町があり，待ち合わせ場
所として，A 大統領 St. と B 大統領 Ave. の交差点というように使われます。
(2) 極座標：原点 O を通る半直線 l を基準にする。原点 O と点 P を結ぶ半直
線 OP と l とのなす角 θ と線分 OP の長さ r の組 (r，
θ)(極座標) で点の位置を
表す方法を極座標（系）という。l を xy 平面の正の x 軸とすると，直交座標
と極座標の関係は次のようになります。P(x，y)，
x = r cos θ，y = r sin θ :
r=
p
P(r，
θ)
x2 + y 2 ，tan θ =
y
x
数式で書けば，極座標は難しそうに見えますが，私達は日常生活で極座標を
使っています。時計の文字盤は極座標です。
余談 7.2
「O’clock」の使い方: 羅針盤・標的などの目盛盤を時計の文字
盤とみなして○時という。（研究社英和辞典より）
例えば，hit the target at three o’clock は「的の輪の３時の所に（右の真横）
に命中する。」を意味します。映画「スターウオーズ」の戦闘場面で，
「○時の
方向に敵機」の表現がありますが，方向と距離を伝えることで位置を示す素
晴らしい考え方です。
応用 友達と公園を散策しているとき，素敵な（男性/女性）を見かけたと
き，指さして友達に伝えてはいけません。指さしは大変失礼な行為です。こ
んなとき，極座標を使って，
「○時の方向に素敵な人がいるよ」と表現すると
スマートです。
極座標系の数学
関数 y = f (x) は直交座標 (xy 座標) でグラフを描くと関数
の性質を調べることが容易になります。直交座標系では複雑な定義式の曲線
が極座標系を選ぶと簡単で綺麗な形で表現出来るものがあります。最も簡単
な例としては，xy 平面での円の方程式 x2 + y 2 = 1 は極座標では簡単な方程
式 r = 1 となります。極座標を用いると複雑な図形が簡単に表示できる例を
示します。
(a) カーディオイド（心臓形）:r = a(1 + cos θ) (a > 0)
a は心臓の大きさを表すパラメータ。この図形を Mathematica で描かせる
ためには a = 2 の場合には：
Needs[”Graphics‘Graphics‘”];
PolarPlot[2(1 + Cos[t])， {t，0，
2Pi}];
と入力して enter キーを叩けばよい。
(b) アルキメデスの渦巻き線：r ＝ kθ
(c) 蝸牛形；リマソン： r = a cos θ + b 46
テレビの宣伝で見かける NTT のマークを表す曲線は式 (c) で表されます。パ
ラメータ a，b をいくらにすれば綺麗な曲線を描けるか Mathematica で実験
できます。
クイズ 7.2
NTT のマークがリマソンである理由を考えなさい。
このクイズに対する受講生の解答は多様で面白いものが沢山ありました。
• 電話器に繋がった電話線
• 世界を結びイメージ
•NTT というローマ字を位相的に変形
などなどです。私は NTT が以前は日本電信電話公社とよばれていて，略称
「電々公社」の「デンデン」が「リマソン＝蝸牛＝カタツムリ＝デンデン虫」
だと推察していました。
3. 空間内の点 P の位置
(1) 直交座標：P(x，y ，z)
原点 O(0，0，0) で互いに垂直に交わる 3 直線を定めて，x 軸， y 軸， z 軸と
する。原点 O，x 軸と y 軸で定まる平面を xy 平面という。xy 平面の座標が
(x，y) である点 P’ を通り xy 平面に垂直な直線上に P’ から z の位置にある点
P の座標を (x，y ，z)(3 つの数の組）で表します。
平面上の位置だけでなく高さがある場所を表すためには，空間座標（3 次元）
が必要となります。日常生活では，住所の「市町村名から番地まで」を平面
座標とみなせば，２階建て以上のマンションやアパートの部分の表示の先頭
数字の１桁（高層なら２桁？）の数字 n は n 階に住所があることを意味して
います。n 階での番号付けは 1 次元的になっています。
(2) 半極座標：P(r，
θ，z)
平面上の極座標と高さの組み合わせで位置を決め方法です。
(3) 極座標（球面座標）：P(r，
θ，
ϕ)
点 P と原点 O を通る有向直線 g を引き， g と z 軸を含む平面と xy-平面
との交線を g 0 とする。OP = r， g と z 軸とがなす角を θ (0 ≤ θ ≤ π)， x
軸から直線 g 0 に至る角を ϕ とすると，点 P の位置は一組の数 r，
θ，
ϕ を用
いて定めることができる。このような r，
θ，
ϕ を点 P の極座標といい，r を動
径，θ を天頂角，ϕ を方位角といいます。
x = r sin θ cos ϕ， y = r sin θ sin ϕ，z = r cos θ
p
y
z
r = x2 + y 2 + z 2 ，tan ϕ = ，tan θ = p
2
x
x + y2
日常生活で最も使われている球面座標の考え方を数式にすればこのようにな
るということを知って欲しくて，シラバスで数式を使わずに講義をすると書
いたことに反することを行いました。
球面座標はクレー射撃や映画の戦闘場面で大砲を発射させる際に使われてい
ます。で的を標的の位置を捉えて，まず最初の位置から身体（または台座）を
47
（方位角だけ）回転させ，次に水平方向方角度を測り標的を狙い発射します。
正確な距離が分からなくても，標的が静止していれば，弾や砲弾が真っ直ぐ
に届く距離なら命中しますが，昔の戦闘場面でそうでないところがよかった
と思います。標的の動く速度や座標をコンピュータが計算して，発射ボタン
を押せば命中するような戦闘場面は非人間的過ぎます。
球面座標系の数学
物理現象を数学的に解明するさいには直交座標よりも球
面座標の方が扱いが便利なことが沢山あります。距離に関係した関数の取扱
いには威力を発揮しますが，詳しい説明は省略します。座標系の講義の目的
の一つは，直交座標系以外にも，便利な座標系があり，目的に応じて使い分
けることが必要だということに気付くです。同じ点を直交座標と極座標で表
した場合にその関係を示す数式が現われましたが，自分で使う必要が生じた
ときに初めて本当の意味での便利さが分かるものです。
7.3
生活の中の曲率
曲率 (Curvature) という単語を聞いたことがありますか。数学的な説明を
つけますが，ベクトル関数の微分が現われます。日常生活に関連した部分以
外は読み飛ばして結構です。
問題 7.3
解説
曲率について説明しなさい。
曲線 C 上の点 P0 を基点とし，そこから曲線 C 上のある点 P（位
置ベクトル rP ) までの距離を s とする。点 P の位置ベクトル r は，s に
よって，rP = r(s) と表すことができます。同様にして曲線 C 上の点 Q（点
P0 からの距離は s + ∆s）は，rQ = r(s + ∆s) と表すことができます。点
P における曲線 C の接線方向の単位ベクトル ((長さ１のベクトル)（t(s) は
t(s) = r0 (s)(ベクトル関数 r(s) の微分の P における値）となります。（位置
ベクトルの微小な変位分 dr において，|dr| = ds だから |r0 (s)| = 1)。点 Q
における曲線 C の接線方向の単位ベクトルは，t(s + ∆s) です。∆s を限りな
く小さくしていく (つまり，点 Q を曲線 C に沿って点 P に近づける) ときの
極限値
t(s + ∆s) − t(s)
| = |r00 (s)|
∆s
を曲率といいます。曲率の逆数が曲率半径 R です。つまり，R = 1/χ です。接
χ = lim |
∆s
線の方向ベクトル t(s) と直交するベクトルを法線ベクトルといいます。t0 (s)
と同じ向きの単位ベクトルを n(s) で表し，主法線ベクトルといいます。この
とき，t0 (s) = χn(s) です。
t が時刻を表すとき，r(t) (t0 ≤ t ≤ T ) の軌道を C とします。区間 [t0 ，t]
dt
に対応する C の弧長を s について，v = |r0 | =
が成立ちます。このとき
ds
0
00
v = r (t)(速度ベクトル) ，α = r (s)(加速度ベクトル) は
v = vt， α =
48
v2
dv
t+ n
dt
R
と表せます。つまり，速度ベクトルと加速度ベクトルは２つのベクトル t，n
で表すことができます。
話題 7.3
静止座標系と動座標系について説明します。
高等学校までの数学で現われる座標系は「静止座標系」とよばれるものです。
すなわち，運動している物体を静止している場所から観察する場合にあたり
ます。これとは対照的に，物体とともに運動する座標系を「動座標系」とい
います。物体とともに運動する場所から観察すると式が非常に簡単になる例
題として，曲率の話題をとりあげました。各点における接線方向と法線方向
が動座標系になります。静止座標系からみて曲率がどのように表せるかにつ
いての説明は省略します。
話題 7.4
日常生活の中の曲率
曲率とは曲線のカーブのきつさを表す量
です。例えば半径 r の円周の曲率は 1/r であり，カーブがきついほど曲率は
大きくなりますます。曲率よりも曲率半径の方がお馴染みの量です。高速道
路での標識 R = 400，R = 500 等の意味を考えたことがありますか。標識は
道路のカーブにさしかかった場所にあり，カーブが急なほど R の値は小さく
なっています。この R こそが，上で説明した曲率半径です。
蛇足
曲がり角やカーブでハンドルを切ると運動エネルギーの慣性による遠
心力が働き， 車は外側に飛び出そうとします。この遠心力がタイヤと路面と
の摩擦抵抗より大きいと車は横滑りを起こしたり，路外に飛び出したり， ま
たは横転します。遠心力は速度の 2 乗に比例して大きくなり， カーブの曲率
半径が小さいほど大きくなる。また， 重量に比例して大きくなる。
カーブの曲率半径 R と安全な運転速度 (km/h) 危険な速度 (km/h)（自動車
教則本より)
カーブの曲率半径 (m)
安全な運転速度 (km/h)
危険な速度 (km/h)
5
10
10
15
20
25
20
30
25
30
35
40
40
50
100
35
40
50
45
50
70
150
60
80
余談 7.3
設計速度
道路のカープの大きさは，道路の設計速度によって最
小曲率半径が定められていて，その値以上の半径で設計します。道路の設計
速度とは，道路の設計の基礎となる自動車速度のことです。
道路の幾何構造，つまり，平面線形や，縦断線形，それに横断形状などの形
をどう設計するかは，道路の種と級によって決められます。種は第 1 種から
49
第 4 種まであり，第 1 種は都市間の自動車専用道路に，第 2 種は都市内の自
動車専用道路に，第 3 種は地方部の道路，第 4 種は都市内の道路です。それ
らが，適用する設計速度で級別されます。では，どこからどこまでが，そう
いう第 3 種 2 級とか，なのか，それは，その道路の性格，重要性，地域，地形
などを考慮して，コストと運転者が混乱しないよう設計区間が定められます。
区 分
第1級
設計速度 km/h(特別の理由)
第1級
120 (100)
100 (80)
80 (60)
第2級
第3級
第4級
第2種
第1級
第3種
第1級
第2級
第2級
第3級
第4級
第5級
第4種
蛇足
60 (50)
80 (60)
60 (50 または 40)
80 (60)
60 (50 または 40)
60，50 または 40 (30)
50，40 または 30 (20)
第3級
40，30 または 20 (−)
60，50 または 40 (30)
50，40 または 30 (20)
第4級
40，30 または 20 (−)
第2級
道路（一般道路）の設計速度の基本は 60km/h ですが，様々な要因
により，この数字は変化します。 重要なのは交通量です。交通量によって
設計速度を加減します。また，周辺道路の線形も考慮にいれて設計速度を決
定します。道路の設計速度と自動車の速度制限は必ずしも一致していません。
（インターネット検索で設計速度の速度表示が (km/h， km/m， km/s) と 3
種類もありました。毎時は道路交通法で決まった用語です。)
7.4
平面曲線の曲率
公式 7.1 曲線が x = f (t)，y = g(t) で表されているとき，点 (f (t)，g(t)) に
おける曲率 χ を求める公式は次で与えられます：
g 00 (t)f 0 (t) − g 0 (t)f 00 (t)
y 00 x0 − y 0 x00
χ= p
=
3
{(x0 )2 + (y 0 )2 }3/2
{f 0 (t)2 + g 0 (t)2 }
また，曲線が y = f (x) で表されているときには，点 (x，f (x)) における曲率
を求める次の公式があります：
χ= p
f 00 (x)
{1 + (f 0 (x))2 }3
50
演習問題
次の曲線の点 (x，y) における曲率 χ と曲率半径 R を求めよ。
(1) x2 + y 2 = r2 ， (2) y = ax2 (a > 0)， (3) y = ax
解説
(1) x = r cos t，y = r sin t と表示します。
x0 = −r sin t，x00 = −r cos t， y 0 = r cos t，y 00 = −r sin t
を公式に代入します。cos2 t + sin2 t = 1 を使えば
χ=
(−r sin t)(−r sin t) − (r cos t)(−r cos t)
r2
1
= 3 =
2
2
3
{(−r sin t) + (r cos t) }
r
r
R = 1/χ = r。ゆえに円の曲率半径は，円の半径 r に等しくなります。
(2) f 0 (x) = 2ax，f 00 (x) = 2a を公式に代入しますと，(x，f (x)) における曲
率・曲率半径は
p
2a
χ= p
， R=
(1 + 4a2 x2 )3
(1 + 4a2 x2 )3
2a
1
です。放物線
2a
y = ax2 の形のカープに沿って車を走らせるとき，a の値が小さいほど緩や
曲率半径は点 (0，0) において最小となり，その値は R0 =
かなカーブになることが理解できます。
(3) 直線道路の曲率を求めます。f (x) = ax とすると f 0 (x) = a，f 00 (x) = 0
より χ = 0，R = ∞
7.5
水平線までの距離
問題 7.4
解説
地球の半径を測りなさい。
地球を球とみなしてその半径を R とします。測量の結果，北極から赤
道までの距離が l = 10，000km = 107 m と分ります。時計の文字盤で 12 時の
方向から 3 時の方向までの角度は π/2（円周の長さは全体の 4 分の 1）だか
ら π = 3.14 として
2πR ×
1
= l，から
4
R=
2l
107
=
∼ 6.4 × 106 (m)
π
1.57
地球の半径は約 6.4 × 103 = 6400km です。
問題 7.5
高い所に登ると遠くまで見えます。高さによって水平線のまでの
距離が異なることを計算しなさい。
解説
地球の中心を O，地球上の自分の位置を A とします。直線 AO をを含
む平面と球との切口は，半径 R = 6.4 × 106 (m) の円 C です。目の位置を H，
地上から目の高さまでの距離を AH= h (m) とします。点 B から円 C へ接
51
線を引き接点の一つを T とします。水平線までの距離 L = HT を求めます。
接線の性質により，接線 TH と直線 OT は直交します。ピタゴラスの定理に
より
HT2 + OT2 = OH2 ， L2 + R2 = (R + h)2
R に比べて h は小さいので h/(2R) は無視できることになり
r
p
p
√
√ √
h
2
2
2
L = (R + h) − R = 2hR + h = 2Rh 1 +
∼ 2R h
2R
が得られます。ここで R = 6.4 × 106 を用いると
√
公式 7.2
ます。
2R = 3577.7 ∼ 3.6 × 103 (m)
高さ h(m) から水平線までの距離 L は近似的に次の式で与えられ
√
√
L = 3.6 × 103 h(m) = 3.6 × h(km)
この公式を使って，高さを変えた場合の結果を表にします。
高さ
余談
例
近似値
理論値
2
人間
5.0
5.1
50
灯台
25.5
25.3
63
日御碕灯台
28.6
28.4
400
山
72.0
71.6
1000
山
113.8
113.1
1711
大山
148.9
148.0
3776
富士山
221.2
219.9
10000
飛行機
360.0
357.9
公式 L2 + R2 = (R + h)2 から L2 = 2Rh + h2 となり、h が R, L に比
べて非常に小さいので
R=
L2
2h
となる。上の例で h = 2(m) のとき、
L = 5000(m) とすると R = 6250000(m)
L = 5100(m) とすると R = 6502500(m)
となる。
√
L = 2 × 2 × 6.4 × 106 + 4 = 5059.6(m) を使えば
R=
L2
5059.12
=
= 6398623(m)
2h
4
52
行列とベクトルと整理学
8
皆さんは，子供の頃から「整理」の大切を幾度となく教わり，何パーセン
トかの人は「整理上手」や「整理魔」になれて随分得をしているはずです。
話題 8.1
「整理する」について考えてみます。
「整理・整頓」という言葉に，本当は何を求めているのでしょうか。その答は
非常に簡単なこと「捜したいものがすぐに見つかる」ということです。この
「整理法」が勉強・研究・ビジネスの現場に必要とされるスキルです。捜した
いものが 30 秒？で必ず見つかるようになっていれば，勉強・研究・仕事の効
率は格段に向上するはずです。
私は，部屋の片付けは苦手だし，若い頃は会議資料や書類の管理も得意で
はありませんでした。自分に必要な研究資料だけはファイリングキャビネッ
トにアルファベット順に収納していましたので，特に困ることはありません
でした。40 歳以降は，会議資料を (以前は) ワープロで，講義禄や科学研究費
申請書類等をパソコンで作成しているうちに，何時の間にか，多数のフロッ
ピーディスク（最初は 5 インチ，その後 3.5 インチ）が手元に集まりました。
各種のデータを入れたフロッピーディスクが多数ある場合には，各フロッピー
ディスクのラベルに几帳面に記録しておかないと探すのが大変だということ
を実感しました。「整理」が不得意な私は，フロッピーの枚数は増えても，1
枚のフロッピーには同じ種類のデータしか記録しないことにしました。ファ
イリングキャビネットの１つのフォルダに同じ種類の書類を収納するこのと
同じ考え方です。しかし，苦労して作成したフロッピーのデータのかなりの
ものが，パソコンやワープロの世代交代で使えなくなったことは残念です。
8.1
OPAC
問題 8.1
OPAC について知っていることを述べなさい。
「整理学」なる学問分野があるわけではありませんが，この講義で数学と「整
理学」について考えてみようという動機は，島根大学の附属図書館の運営委
員をしていた頃に，図書館の電子化の道具が OPAC(Online Public Access
Catalog) という計算機ソフトウエアであるということでした。
平成 18 年 3 月現在，島根大学附属図書館には，84 万 5 千冊余の蔵書があ
り，そのうち 50 万冊が OPAC で検索できるようになっています。
図書や学術雑誌（簡単に書籍とよびます）の冊数は n = 何十万冊 というオー
ダーです。以前は， 各書籍ごとにに分類カード 2 枚（著者名・書名・所在の
データは同じ）を作成し，著者名分類カード箱と書名分類カード箱に納めて
いました。箱の中はアルファベット・50 音順に並べられていました。1 冊の書
籍を探すためには，箱のカードを順番に検索して，その書籍が島根大学（附
53
属図書館あるいは教官研究室）にあるかどうかの情報と所在 (開架書架ある
いは書庫の場所)) を調べる手間がかかりました。このカード検索の面倒な手
間を十数年前からコンピュータが OPAC というソフトウエアで瞬時に行って
くれるようになりました。コンピューとソフトウエアさえあれば，図書館の
電子化ができるのならば，誰もが大歓迎ですが，1 冊の書籍を OPAC で検索
するためには，カードに代わりに電子化された書籍データがあることが前提
条件です。つまり，各書籍について次のデータを入力する必要があります：
(著者名，書名，出版者，件名，標準分類番号，所蔵分類，ISBN ，ISSN )
ISBN（国際標準図書番号）ISSN（国際標準 逐次刊行物番号）
このための費用は１冊につき，入力のための人件費 α 円が必要でした。過去
十数年の図書館職員や関係者の努力のお陰で，皆さんが容易に文献検索を行
えるようになりました。電子化にはハード面 (機械類) やソフト面の経費以外
に，システム移行のための人手＝人件費が必要だということが意外に見落と
されています。
8.2
行列とベクトル
話題 8.2
行列 (マトリックス) は役に立つ道具です。
もう一度身近な整理について考えましょう。美味しいと評判になってお客の
行列のできる店，新幹線の乗降口に並んだ人の列，宝くじ売り出しの日の売
り場に並んだ人の列，結婚式の披露宴の最後に人のアーチを作って新郎・新
婦を送り出す光景など，
「並ぶ・並べることで整理する」場面が沢山あります。
高校数学で「行列 (マトリックス)」を勉強した意味を振り返って見ます。辞
書の説明では，
「行」「列」「行列」は次ようになっています。
Row:(表の数字などの) 横の列 (まっすぐな線に並んだ人・物の) 列，行，(劇
場等の) 席の列，
Column: 縦の欄， (艦隊の) 縦列
Matrix: 行列， マトリックス (いくつかの数を長方形に並べたもの)
数学的な説明
行列は自然科学や社会科学など広い分野で用いられている数学的な道具です。
行列の重要性は 1940 年代から認識されはじめ，近年では自然現象や社会現象
を表現し解析する際の不可欠な手段となっています。
m 行 n 列の行列とは， m × n 個の数 aij を次のように並べたものです。
：






a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
am2
···
amn
54






これを簡単に (aij ) とも表し，m × n 行列といいます。
前回の座標の話との関連では，位置 (i，j) に情報 aij を記入したものと考え
ることができます。マトリックスの縦の m 個の数字の並び αj (j = 1，· · · ，n)
は列ベクトルとみなせます。また，マトリックスの横の n 個の数字の並び
βi (i = 1，· · · ，m) は行ベクトルとみなせます。


a1j


 a2j 

αj = 
 ..  列ベクトル， βi = (ai1 ，ai2 ，· · · ，ain ) 行ベクトル
 . 
amj
ベクトルというと「向き」と「大きさ」をもつ矢線として表されるという幾
何学的定義及び，平面や空間の直交座標の原点を始点とするベクトルの終点
の座標を位置ベクトルとする成分表示などを高校数学で学びます。αj や βi
のように括弧の中の数字が 4 個以上の場合にもベクトルとよぶことにします。
同じサイズの列ベクトルを横に並べる操作，あるいは，同じサイズの行ベク
トルを縦に並べることでマトリックができます。
数学の計算では，行列や（列または行）ベクトルの中身は数字です。しか
し「整理学」の立場からすれば，行列やベクトルは情報収納の道具としてだ
けでなく情報検索に非常に便利な道具として日常生活において活躍していま
す。座標を導入 (位置を表示) して，そこに情報を書き込むという考え方はよ
く利用されています。例えば
1. マンションの各部屋の販売価格
2. 劇場の各座席の値段
3. 昔風の薬タンスの中身の表示
行列あるいは表の便利な点は，「情報を見易く整理できる」ことです。多様
な情報を整理する場合には，小さな行列では対応できません。情報を整理す
るときに肝心なことは，情報を格納する（入れる）場所を間違えないことで
す。
情報を整理する道具としてのベクトル (情報ベクトル) の作り方を検討します。
問題 8.2
ある大学の学生の健康診断のデータを情報ベクトルで管理する方
法を考えなさい。データ項目は，氏名， 生年月日， 学生番号，性別， 身長
(cm)，体重 (kg)，胸囲 (cm)，座高 (cm) とします。
解説
情報ベクトルを次のようにします：
(a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 ，a7 ，a8 )
= (氏名，生年月日，学生番号，性別，身長，体重，胸囲，座高)
a1 は漢字・カナ・ローマ字等の選択，a2 から a8 は半角数字となります。a4 は
男性なら 1，女性なら 2 と数値化します。(決められた場所に決められたデー
55
タを入力しないとまったく意味のない情報になります。) 情報ベクトルの成分
は 8 個なので 7 次元（行）ベクトルです。学生１人のデータに１つの 8 次元
情報行ベクトルが対応し，学生数（例えば， 6000 人) について縦方向に整列
して書き並べると， 6000 × 8 の行列となります。このようにしてできた行列
をデータベースといいます。
個人データ保護の立場からは，最初の 3 個 a1 ，a2 ，a3 を切り離して，残り
6000 × 5 のデータのを利用して，学生全体の傾向を調べることができます。
例えば，男女別に BMI 値を計算しその傾向をグラフ化にすることなどは簡単
なことです。ただし，コンピュータの助けを借りることが前提です。データの
収納されている場所さえ規則どおりならば，情報を取出して活用することは
コンピュータ (よほど大きなデータ量でない限り，パソコン）の得意技です。
問題 8.3
解説
データベースから必要なデータを取り出す方法を考えなさい。
計算機の得意技の一つ「検索機能」を使います。場合によっては，
「並
べ替え」（ソート）の機能も活用します。
タンスから必要な物を取り出すように，パソコンを使ってデータを格納場所
から取り出して利用できることは日常生活の感覚にマッチしています。パソ
コン内部では，どのような動きで目的の物（データ）に到達しているのでしょ
うか。収納位置を平面の格子点の集合の要素として表し，これに移動可能な
順番をつけます。第 1 列目から探して第 2 列目に移る・
・
・，第 1 行目から探し
て第 2 行目に移る・
・
・，北西（左上）隅から近い順に蛇行する方法などが考え
らます。電子データは直線状につながって格納されていることは，ワープロ
作業のときに，見かけ上は独立に見える画面の文字を「del」キーで処理する
と文字列が曳づられくることから理解できます。このつながったデータをど
のように配列するかということは技術的な問題となります。
8.3
「整理」学再考
インターネットで「整理学」をキーワードに検索してみると「整理」学に
ついての関心が高いことが分かります。
林晴比古著「パソコン書斎整理学」(東京: (株) ソフトバンク，1990)
という本に出会って，この本から学んだ方法を紹介した記事がありましたの
で紹介します。
「ベタ管理」 分類も５０音順管理もしないで, 必要な書類は袋に入れて，た
だただ並べていく方法です。これなら分類で頭を悩ますことも，５０音順の
インデックスを作る必要もありません。単純このうえないシステムです。
「ど
うやって検索するのか」に対する答は，
「端から全部捜していく」ということ
になります。これが一番管理が簡単で，検索も単純な方法です。
「バカなこと
を言うな。それでは時間がかかってしようがないじゃないか」と言う声が出
てくるのは当然です。しかしそこがポイントです。
「時間がかかってしようが
56
ないこと」(汚れ仕事) はパソコンに任せてしまえばいいのです。そもそも分
類などなぜやるかというと，人間の目による検索を簡単にするためです。そ
れをパソコンにやらせようというのですから，分類そのものが不要になりま
す。(林晴比古「パソコン書斎整理学」p.26)
感想
私は退職 3 年前から, ボケ防止のために日誌（日記ではなく行動記録）
をパソコンに記録しています。毎日の行動の他に, 気になる記事や出来事を記
録しておけば, 必要なデータを電子日誌から検索機能で拾いだすことができて
助かっています。
収納カウンセラーの飯田 久恵 (ゆとり工房主宰) さんの「整理収納学講座」
(カリキュラムと日程) という記事にも出会いました。
「整理収納の法則」「捨てる！快適生活とは」「何を捨て何を残すか」などは
家庭内での誰もが悩んでいる問題への解決のヒントになると思いました。
その他に，教員が各種データをどのように整理しているかの記事もありま
した。
8.4
ISBN
問題 8.4
解説
ISBN について説明しなさい。
文献検索や本の注文の際に便利な ISBN は International Standard
Book Number（国際標準図書番号）の acronym(頭字語) です。書籍の流
通業務をコンピューター処理するための国際的な番号システムで 1971 年に
国際標準化機構の規格として制定されたものです。10 桁の数字で国籍・出版
者（社）
・書名を表示する仕組みを少しだけ調べます。手元の本の裏表紙をみ
ると，そこに ISBNα(α は数字とハイフン）があります。ISBN は各種の書籍
（単行本，漫画など）の他，CD-ROM，カセット，マイクロフィルムなどに
適用されています。10 桁のコードで表され，通常 4 つのパートからできてい
ます：
ISBN♠- AAAA - BBBB - C
A， B の各部分の桁数は決まっておらず，合計で 9 桁（必ず 1 桁の C 部分を
入れると 10 桁）の範囲内で増減します。
♠ は「グループ記号」：出版物の出版された国，地域，言語圏。国別の記号
というより言語別の記号に近いもので，桁数は，そのグループの出版点数に
よって異なります。
英語圏は 0 と１，
フランス語圏は 2
ドイツ語圏は 3(ドイツの他，オーストリア，ベルギー，スイスのドイツ語圏
を含む)
日本は 4
旧ソビエト連邦は 5(ロシア。ロシア以外の国では，ベラルーシは 985，ウク
ライナは 966 など，他の記号も使用)
57
中国は 7 (香港は 962)，
韓国は 89，
カンボジアは 99950
A 部分は「出版社 (者)」
：桁数は，出版社の出版点数などによって異なりま
す。
B 部分は「出版物に固有の番号」
：原則として図書の版ごとに付与されます。
C 部分は「チェックデジット」
：検査数字。入力した際に誤りがないか確かめ
るためのもの 0∼9，X が使用されます。（X は数値 10 をあらわす。）
日本では，ISBN に，C コード（読者対象，発行形態，内容を分類した 4 桁
の数字）や本体価格を加えた日本図書コードが，1981 年から徐々に導入され
図書の裏表紙などに表示され，図書館などで使用されています。また，日本
図書コードを JAN コードの体系に組み入れた書籍 JAN コードが 1990 年に
制定されており 2 段のバーコードで表示され，書店などの出版流通で使用さ
れています。
（978-か 979-から始まる 1 段目が ISBN 用。2 段目は C コードな
どを表示）。
これらのコードの表示は強制ではなく，登録費用もかかりますが，日本の
新刊ではほぼ 100%表示されています。ISBN は 2006 年現在では 10 桁です
が，出版物の増加等に対応するため 13 桁化の検討，規格化が進められていま
す。日本では 2007 年 1 月から，これまでの 10 桁の表示の前に 978-が挿入さ
れた 13 桁になる予定（チェックデジットも再計算）です。改定後の ISBN は，
これまでの書籍 JAN コード（の 1 段目）と完全に一致します。
出典：フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
問題 8.5
解説
「チェックデジット」の数字の意味を考えなさい。
ISBN 符号を
α = (a1 − a2 a3 a4 a5 − a6 a7 a8 a9 − a10 )，日本では a1 = 4
とするとき，a1 から a9 は 0 から 9 までの数字のいずれかです。
ak を k 倍して k = 1 から k = 9 まで加えてた数を 11 で割った余りを C = a10
としてあります。このため数字のほか X(余り 10) になることがある。数学記
号で書けば
a10 ≡
9
X
k · ak
(mod 11)
k=1
問題
手近な本の ISBN 符号を計算してみよう．
私が今年度「初級微積分学」の講義テキストに選んだ本
水田義弘著：大学で学ぶやさしい微分積分，サイエンス社，2002 年
の裏表紙の表示では ISBN4-7819-1025-4 となっています。計算式から
1·
4 + 2 · 7 + 3 · 8 + 4 · 1 + 5 · 9 + 6 · 1 + 7 · 0 + 8 · 2 + 9 · 5 = 158
158 を 11 で割ると商が 14 余り 4 となります。a10 の数字 4 と一致します。
ISBN 符号は次の２つの性質を持っています。
誤り検知． 間違いが 1 個以下という仮定の下で，正しい ISBN 符号化かどう
58
か判断できます。
誤り訂正． 不明な数字が 1 個でその桁が分かっていれば，他の数字からその
数字を復元できます。
8.5
ISBN-13
話題 8.3
ISBN-13 について
ISBN は 2006 年までは 10 桁であったが、一部のグループ記号（英語圏）で、
発番可能な出版者記号（前項例示の A 部分）の枯渇が目前となったため、13
桁 ISBN の規格が制定され、2007 年 1 月 1 日に完全施行された。（それと同
時に、過去に発番された 10 桁の ISBN は無効となった。なお、無効と言って
もあくまで国際規格上のことである。書店での書籍検索・注文など、実際に
ISBN を利用する場面においては、過去の 10 桁 ISBN も併用できるよう便宜
が図られている場合がほとんどである。）
2007 年以降の新刊書には当初から 13 桁の新規格 ISBN が付けられており、
10 桁 ISBN は新たに発番しない。また、過去に発番された 10 桁 ISBN につ
いては、その頭に 978- を挿入し、チェックデジットを計算しなおした 13 桁
のものを正規の ISBN として取り扱う。例（旧 ISBN） 4-00-310101-4 →（現
行 ISBN） 978-4-00-310101-8（チェックデジットの計算法は後述）
なお、現行規格によって表される ISBN を、旧規格の ISBN（ISBN-10）に対
して ISBN-13 と呼ぶことがある。
ISBN は 13 桁のコードで表され、通常 5 つのパートからなる。
ISBNnnn - ● - AAAA - BBBB - C ●、A、B の各部分の桁数は決まって
おらず、合計で 9 桁の範囲内でそれぞれの部分は増減する。
n 部分 - 「接頭記号」
： nnn は 978 または 979 のいずれか（数字 3 桁）であ
る。
●部分 - 「グループ記号」
：2006 年以前と基本的に同じ。上記解説を参照。た
だし、接頭記号が異なれば、グループ記号が同じでも異なる言語圏を指す可
能性もある。
A 部分 - 「出版者記号」
：2006 年以前と同じ。上記解説を参照。
B 部分 - 「書名記号」
：2006 年以前と同じ。上記解説を参照。
C 部分 - 「チェックデジット」
： 0 - 9 の数字 1 桁が入る。
以前の ISBN のチェックデジットとは計算法が異なり、10 桁→ 13 桁に変換す
る際は再計算が必要となる。
各パートの間は、ハイフン（またはスペース）で区切りを付けるのが正式な
表示法である。（区切りを付けなくても書籍を特定する上での問題はない。）
現行規格の ISBN（ISBN-13）のチェックデジットは、JAN コードと同じ
く、
「モジュラス 10 ウェイト 3・1（モジュラス 10 ウェイト 3）」という計算法
59
にて算出される。
（チェックデジットを除いた一番左側の桁から順に 1、3、1、
3…を掛けてそれらの和を取る。和を 10 で割って出た余りを 10 から引く。た
だし、10 で割って出た余りの下 1 桁が 0 の場合はチェック数字を 0 とする。）
ここで、例として ISBN978-4-10-109205-□ のチェックデジット（□部分）を
求めてみる。
9×1 + 7×3 + 8×1 + 4×3 + 1×1 + 0×3 + 1×1 + 0×3 + 9
×1 + 2×3 + 0×1 + 5×3
= 9 + 21 + 8 + 12 + 1 + 0 + 1 + 0 + 9 + 6 + 0 + 15
= 82
82 ÷ 10 = 8 あまり 2
10 - 2 = 8
よって、この ISBN のチェックデジットは 8 である。
問題 8.6
て (1)
村上・佐藤・野澤・稲葉共著「教養の線形代数」の ISBN につい
昭和 60 年出版
ISBN4-563-00185-?のチェックデジットを求めよ。
(2) 2008 年出版五訂版について
ISBN978-4-563-00376-?のチェックデジットを求めよ。
解答
(1)
話題 8.4
6,
(2)
0
ISBN の歴史について
1966 年に英国で開発された、SBN と呼ばれるイギリス国内向け規格の利用が
始まった。これが国際標準化機構（ISO）で 1970 年に採用され（ISO 2108）、
ISBN となった。日本は、1981 年に ISBN に関する国際的な枠組みに加盟。そ
の後、1988 年に JIS X 0305 として日本工業規格になっている。出版関連の
団体によって設立された有限責任中間法人日本出版インフラセンターに所属
する日本図書コード管理センターが、管理している。なお、出版物（本）に
関する国際標準化機構の国際規格は、ISBN の他に、逐次刊行物（雑誌）の
シリーズごとに付与される国際標準逐次刊行物番号（ISSN）がある。日本で
は、国立図書館である国立国会図書館が、ナショナル・センターとして管理
している。
日本国内における運用
日本では、ISBN に、C コード（読者対象、発行形態、内容を分類した 4 桁の
数字）や本体価格を加えた日本図書コードが、1981 年から徐々に導入され、
図書の裏表紙などに表示され、図書館などで使用されている（導入前は、1970
年に制定された日本独自の書籍コードが使用されていた）。また、日本図書
コードを JAN コードの体系に組み入れた書籍 JAN コードが 1990 年に制定
されており、2 段のバーコードで表示され、書店などの出版流通で使用されて
いる（ 978- か 979- から始まる 1 段目が ISBN 用。2 段目は C コードなどを
60
表示）。これらのコードの表示は強制ではなく、登録費用もかかるが、日本の
新刊ではほぼ完全表示されている。日本では 2007 年 1 月以降に新刊として発
売される書籍から、これまでの 10 桁の表示の前に 978- を挿入（の上、チェッ
クデジットを再計算）した 13 桁を表示する。改定後の ISBN は、これまでの
書籍 JAN コード（の 1 段目）と完全に一致する。なお、既刊書の ISBN 桁数
書き換えは、可及的速やかに行なうこととされているが、書籍 JAN コードが
表示されている限り流通上の支障は相当期間生じないため、書き換えのタイ
ミングは出版者に任されている。すなわち、当面の間、10 桁表記と 13 桁表
記の書籍が混在することとなる。国立国会図書館では、既に収蔵されている
過去の資料およびそれをもとにした書誌情報のうち ISBN-10 で管理されて
いるものについて、新たに ISBN-13 を付与しないこととしている。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
話題 8.5
ISSN について
ISSN（International Standard Serial Number、国際標準逐次刊行物番号）は、
逐次刊行物を識別するための番号で、ISSN ネットワーク（旧称：国際逐次刊
行物データシステム（ISDS））が管理する。日本の場合、国立国会図書館が
ISSN 日本センターとして ISSN の登録・管理を行っている。日本では、諸外
国と違い逐次刊行物の流通に ISSN が用いられることがないため（「雑誌コー
ド」が一般的）、ISSN の付与は出版者の申請があって初めて行われる。
ISSN は、逐次刊行資料のタイトルに対する固有番号であり、改題やメディ
ア変更に伴って ISSN も変更される。また、オンライン刊行物にも ISSN は付
与されているが、掲載場所の変更などにどれだけ追随していくことが可能な
のか（初号主義の目録であるためもあるが）疑問視する向きもある。
国際標準化機構 (ISO 3297) や日本工業規格（JIS X 0306-1988）にも採用さ
れている。また、RFC 3044 で、URN 名前空間として定義されている。
ISSN は 8 桁の数字で表され、通常 4 桁-4 桁に分けて表記される。上位 4 桁
が国ごとに割り当てられ、その次の 3 桁が追い番で付与される。最後の 1 文
字はチェック用であり、モジュラス 11 で計算される。このため数字のほか X
になることがある。ISBN と異なり、番号に国などの情報は含まれていない。
学術雑誌の例を挙げると、『Nature』は ISSN 0028-0836 または ISSN 0302-
2889、『Science』は ISSN 0036-8075、『Cell』は ISSN 0092-8674 である
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
話題 8.6
CODEN について
CODEN（こーでん、Code Designated）は，米国材料試験協会（American
Society for Testing Materials、略称 ASTM）が、主に自然科学分野の定期刊
61
行物を識別するために付与したコードである。1975 年以降は CAS によって
登録・管理されている。文献の機械検索に用いられる。
CODEN は、アルファベット 5-6 文字からなる。はじめの 4 文字が誌名を、5
文字目が区分をあらわす。6 文字目はチェック用であるが、無いこともある。例
えば Nature の CODEN は NATUAS、Science は SCIEAS、Cell は CELLB5
である。
62
9
生活の中の関数関係
1998 年 8 月にポーランドのポツナムに学会出張のため，関西国際空港からル
フトハンザ航空でフランクフルトに向かいました。航空機がシベリヤ上空に
さしかかったとき，テレビ画面に航空機の速さ，高度，外気温について次の
ように表示されました。
525mph
3500feet
−65◦ F
850km/h
10700m
−53◦ C
国際線の機内では，機長が何カ国語かで速さ・高度・外気温をアナウンスし
ます。外国語をはっきりとは聞き取れませんでしたが，テレビの文字画面を
メモしておきました。
注：mph， m.p.h.，MPH = miles per hour
どうして表示が２通りなのだろうかと一瞬思いました。国内線でも機長から
速さ高度・到着予定地の天候・気温のアナウンスがありますが，速さはキロ
メートル，気温は摂氏単位です。
9.1
単位の換算：正比例
問題 9.1
解説
日常生活の中で正比例の関係を探しなさい。
一歩？日本から出国すると，言葉だけでなく，生活に関連した諸単位
が日本と異なっていることを実感させられます。外国旅行や外国での暮らし
に必要な数学は「単位の換算」です。買物をしようと思うと，アメリカでは
ドルと円，ドイツ・フランスなどではユーロと円の換算，同じドルでも国に
よって換算が異なります。長さの単位，重さの単位などなど日本とは異なる
単位が使われています。単位の換算についていえば，日本国内でもメートル
法と尺貫法が併用されている部分があります。
「単位の換算」を数学的に調べ
てみましょう。
(1) 正比例: y = ax （原点を通り傾き a の直線）
：
正比例は日常生活では、単位の換算であると考えることができます。X 国で
x という値（単位付き）が Y 国では y という値（単位付き）に換算され、換
算率が a になります。
例
(a) 通貨：円対円ドル，円対ユーロ，円対元，円対ウオン
通貨の換算率 a はドル・ユーロは換算しようとする日時で変わります。
(b) 度量衡：メートル法対尺貫法，メートル法対ヤード・ポンド法
1 feet = 13 yard= 12 inchi = 30.48 cm
1 yard「さお」= 91.44cm (ヤード・ポンド法の基本単位)
1 mile = 1.609 km (時速 100 マイル= 時速 160km)
1 尺 (シャク) = 30.3cm (尺貫法の基本単位）
63
1 寸 (スン) = 3.03cm
1 町 (チョウ) = 60 間 = 360 尺 = 109m
1 間 (ケン) = 曲尺 (カネジャク) で 6 尺 = 1.82m
1 間 = 田や土地では 6 尺 5 寸; 室内の畳には 6 尺３寸 (これを京間といい，
田舎間と区別する)
里 (り)： 36 町を 1 里に統一 (明治 9 年)，1 里 = 3.9273km
蛇足
「箱根八里」の意味を考えたことがありますか。
【箱根路】(箱根山中を通ずる道路) で，小田原から箱根まで 4 里 10 町，箱根
から三島まで 3 里 20 町，合せて約 8 里あるところから箱根八里の称がある。
（広辞苑）
豆知識：尺貫法
古く中国から伝来し，以来日本で使われてきた度量衡単位
系です。基本単位として長さには尺，質量には貫，面積には歩 (ぶ)(坪)，体
積には升 (しょう) を用います計量法施行法により 1959 年 1 月 1 日 (国の機
関等では 1966 年 4 月 1 日) 以降は，特別な場合を除いて取引証明上の計量に
尺貫法を用いてはならないことになりました
日本人の暮らしに深く根ざした尺貫法は，年配者だけでなく多くの人に親し
まれています。
１升 (しょう) = 1.804l(尺貫法の体積の基本単位）
１畝 (セ) = 99.174m2 1 畝= 30 歩 (ブ) = 1/10 反 (タン) =1/100 町
１反 (段とも書く) ＝ 10 畝 (せ) = 300 歩 (ブ) = 991.74m2
同じ名前でも長さと面積を表す単位
1 町 (チョウ) = 109.09m(尺貫法の長さの単位) 1 町=360 尺
1 町 (チョウ) = 9.917.4m2 = 約 1ha(ヘクタール 尺貫法の面積の単位)。
1 町= 10 反 (たん) = 100 畝 (セ)
計量法施行法施行後も日常生活で使われている面積の単位
１坪 (ツボ) = 3.3058 m2 (尺貫法の面積の単位) = 6 尺四方:
土地，建物の面
積の単位として今でも使われています。畳２枚分の広さ。
時代劇を見る際に参考になる容積の単位
１斗 (ト) = 10 升 (しょう) = 100 合 (ごう) ≒ 18.04l
1 石 (コク) = 10 斗 = 100 升 ≒ 180.4l ≒ 0.1804m3 (尺貫法の体積の単位)
1 石 (コク) = 10 立方尺≒ 0.2783m3 (木材石材の体積の単位)
1 石 (コク) = 10 立方尺 (和船の積載量の単位)
余談 9.1
セクシーな女優として有名だった「マリリン・モンロー」のゴー
ルデンプロポーションが
(B，W，H) = (37，23，38) B=Bust. W=Waist， H=Hip
であると聞いて，そんな数値は間違いだと思いませんか？
単位はインチですので，数値ををメートル法に換算すると
(B，W， H) = (94， 58， 97)
64
ということになります。これなら，なるほどと納得でしょうね。どちらが好
まれるでしょうか？
余談 9.2
映画「スピード」の中で，バスジャックした犯人がバスの走行ス
ピードを何マイルと指定したか聞き取れましたか。時速何マイルか・時速何
キロメートルかの違いを知っていないと，
「スピード」というタイトルの雰囲
気が伝りませんね。航空機のの中のテレビ画面の２つの数字はマイルとキロ
メートルの違いだということです。
話題 9.1
メートル法について
1869 年にフランス政府の提議により，1875 年に締結されたメートル法（度
量衡同盟）は，単位間の関係が 10 進法によって規定された度量衡（長さと体
積と重さ）です。日本は 1885 年（明治 18 年）にメートル条約に加入を通告
し，翌年 4 月 20 日これを公布しました。
余談 9.3
計量器の統一と正確を期すために制作・保存されてある基本単位
の基準器を度量衡原器といいます。メートル原器，キログラム原器等があり
ます。
１メートルの定義
当初は地球の大きさに関連して，子午線の北極から赤
道に至る長さを１万キロメートルとなるように定めました。その後，1983 年
の改定では 1/299792458 秒間に光が到達する距離となりました。つまり，光
の速度 c = 2.99792458 × 108 m/ 秒 が定義値になっています。
１秒の定義
当初の定義は平均太陽日 1/(24 × 60 × 60) でしたが，１メート
ルの定義の時間単位に必要となりました。
なお，１キログラムの当初の物理学的定義は１気圧最大密度（摂氏４度）の
水 1000 立方センチメートルの 質量となっていました。
科学のより精確であることを目指して定められたメートル法，は優れた度
量衡であるにも拘わらず，各国毎に複雑な度量衡が未だに健在です。その理
由としては，従来の度量衡が，人体に適合した度量衡であり慣習を改めるこ
とが容易でないためといわれています。
ヨーロッパ，アメリカで広く使われいるヤード・ポンド法は，乗物の速度，距
離では健在で，日本でもゴルフ競技のテレビ番組で「ヤード」を耳にします。
日本では尺貫法が健在です。土地建物の面積１坪＝ 3.3 平米， 酒類の容器１
升=1.8 リットル l， １間=1.8 メートル，１坪＝１間×１間＝畳２枚の広さ
など数多くあります。
蛇足
日常生活についての単位の違いについて講義すると，
「世界共通語がな
ぜないのか？」と考える人がいます。そんな人に一読を勧めたい本：
三浦綾子著， 旧約聖書入門， 光文社文庫， (バベルの塔 (81 頁∼92 頁）)
65
9.2
摂氏と華氏
問題 9.2
映画「バグジー」で主人公が恋人に快適な暮らしをさせと口説く
場面で，彼が室温を「seventy-five degrees」にすると言ったとき，字幕では
どのように表示されていたかを当ててください。
解説
温度に関する問題は国際線の航空機内での温度表示と同じことです。
アメリカで風邪に罹り，病院で検温したら体温計が 105◦ を指しているので驚
いたという話を聞くことがあります。どうしてそんな数値が出たのでしょう
か。高熱なら 40 度前後のはずです。
温度計の目盛りのつけ方の違いがその答えです。日本では摂氏（セッシ）温
度を使っていますが，アメリカでは華氏（カシ）温度を使っているからです。
両者の目盛りのつけ方は次のようになっています：
摂氏温度：
「摂氏」はスエーデン人 セルシウス (A. Celsius) の中国語表記で
す。1 気圧における水の氷点を 0 度，沸点を 100 度とし，その間を 100 等分
した温度目盛です。氷点以下や沸点以上の温度も同じ目盛り間隔にしてあり
ます。1742 年にセルシウスが提唱しました。
華氏温度：
「華氏」はドイツ人ファーレンハイト (G.D. Fahrenheit) の中国語
表記です。水の氷点を 32 度，沸点を 212 度とし，その間を 180 等分した温度
目盛りです。1714 年にファーレンハイトが制定し，ヤード・ポンド単位系で
用いられています。
摂氏と華氏の関係は正比例でしょうか？ 正比例の関係でないことは，摂氏
0 度が華氏 0 となっていないことから明らかです。中学数学に戻って，両者
の関係を求めます。
問題 9.3
解説
摂氏と華氏の対応関係を求めなさい。
氷点・沸点という同一現象に対する摂氏と華氏の目盛りの対応は：
C = 0 −→ F = 32， C = 100 −→ F = 212
となります。横軸を摂氏 C の世界，縦軸を華氏 F の世界として，目盛りを均
等にとると， 氷点， 沸点の位置は P(0， 32），Q(100， 212) です。P と
Q を結ぶ直線が摂氏と華氏の世界のつなぎになります。2 点を通る直線の公
式から
212 − 32
F − 32 =
(C − 0)
100 − 0
が得られます。 求める関係式は
F =
9
C + 32
5
です。これは摂氏の世界から華氏の世界への変換公式ですが，この公式を C
について解いた式
C=
5
(F − 32)
9
66
が外国で温度を聞いたり見たりしたときに自分の感覚に合わせる換算公式で
す。これを使って，映画の字幕の問題を解いてみましょう。主人公は F = 75
といったのですから， F から C を求める公式に代入して
C=
5
(75 − 32) = 23.88
9
つまり，24◦ C ということになります。この映画はかなり昔のものなので，こ
の温度で快適と思ったのでしょうが，各部屋が冷暖房完備の部屋に住めるよ
うになった現在では，恋人を口説く温度設定として，字幕にそのままの数字
を出しては迫力がありませんね。
体温計の話では，摂氏 40 度が華氏 104 度，摂氏 39 度が華氏 102，2 度，摂
氏 38 度が華氏 104 度，摂氏 37 度が華氏 98.6 度と知っていれば，華氏体温計
を渡されてても驚くことはありません。
摂氏と華氏の関係を抽象化すると，次の関数になります：
(2) 一次関数：y = ax + b，(a，b は定数)
b = 0 の場合には，正比例の関係になります。
蛇足 関数 (function) と翻訳 (translation) はよく似ていますが，前者は一義
的，後者は多義的という大きな相違点があります。
9.3
相関関係
問題 9.4
２つの要因の相互関係（相関関係）を調べる方法について考える。
解説
2 つの要因についてのデータの組が多数得られる場合を考えます。例
えば，ある学校の生徒の身長と 体重のデータ，センター入試の成績 a と第 2
次の学力試験の成績 b の組 (a，b)，もっと日常的には，市内の各ブロックごと
のゴミ収集量 x とそのブロックの世帯数 y のデータの組 (x，y) など，沢山の
例を見つけることができます。
集まったデータをみて，2 つの要因にどんな関係があるか (相関関係) を調
べる方法や考え方と得られた結果の利用法を概観します。最初の 2 つの例は，
相関関係の手法を試す練習問題としてよく知られています。第３の例は，ゴ
ミの量と世帯数の関連がつかめれば，新しくできた住宅地区にゴミ収集車を
何台配車すればよいのかの決定に役立てることができます。同様に，ある植
物の収量と実験農場毎の給水量のデータを基に給水量から収量を予測する問
題も考えられます。
問題 9.5
相関関係を調べる問題を抽象化する。
2 つの要因に関するデータの組が n 個手元にあるとして，それを
(x1 ，y1 )，(x2 ，y2 )，· · · ，(xn ，yn )
で表します。これらの組を xy 座標上の点としてプロットします。このように
67
してできた図を散布図といいます。点の散らばり具合の特徴 rm（特に、一次
関数の関係）を見つけることが相関関係の問題です。
解説
これら n 個の点の間に直線的な関係 y = ax + b を期待して，ある基準
のもとにこの直線を決定します。その基準は，各点 (xi ，yi ) と直線 y = ax + b
上の点 (xi ，axi + b) の距離の 2 乗和が最小になるように直線の勾配 a と y 軸
切片 b を決めた直線を Y の X に対する回帰直線といいます。
問題 9.6
解説
Y の X に対する回帰直線を求めなさい。
2 点 (xi ，yi )，(xi ，axi + b) の距離は |axi + b − yi | なので，最小二乗
法は数式で表せば， 2 変数 a，b が変化するとき関数 f (a，b) =
n
X
(axi + b − yi )2
i=1
が最小になるように a，b を定める問題になります。変数の個数が 2 個以上の
場合ですので高校数学の範囲外ですが，高校時代に扱った，最大・最小問題
と同じように処理できまあす。f (a，b) を a の関数としても，b の関数として
も極小値をとるための必要条件：
「微分してゼロとおく」を使います。１つの
変数だけ (例えば a) に着目して他の変数を定数とみなして微分することを，
∂f
f (a，b) を a について偏微分するといい記号
を使います。すなわち
∂a
∂f
∂a
=
∂f
∂b
=
n
X
i=1
n
X
2xi (axi + b − yi ) = 0
2(axi + b − yi ) = 0
i=1
ここで簡単のため
1X
1X
xi ， ȳ =
yi ，(平均)
n i=1
n i=1
n
x̄ =
n
s2x
=
1X
(xi − x̄)2
n i=1
sxy
=
1X
(xi − x̄)(yi − ȳ)
n i=1
n
(分散)
n
とおきます。a，b は次の式で与えられます：
a=
sxy
， b = ȳ − ax̄
s2x
このとき直線
y − ȳ =
sxy
(x − x̄)
s2x
68
(共分散)
が Y の X に対する回帰直線です。データの散らばり具合を表す尺度として、
分散や共分散が使われます。
（データの平均や分散の扱いについては，別の機会に詳しく述べます。）
回帰直線から分かることは，数学的に x から y を予測できるということです。
X の Y に対する回帰直線の方程式は
x − x̄ =
sxy
(y − ȳ)
s2y
であり，y から x を予測する場合に使います。
9.4
日常生活に現われるその他の関数
正比例 y = ax と一次関数 y = ax + b（例としての摂氏・華氏の関係や回
帰直線）はグラフに描けば，直線であり不連続な点（ジャンプする点）があ
りません。日常生活の各種の料金体制のグラフを調べます。
問題 9.7
ある市のタクシー料金は，はじめの Akm までは a(初乗り料金)
円で，それをこえると Bm ごとに b 円ずつ加算されます。このタクシーに乗っ
て xkm 走ると，料金 y は何円になりますか。
説明
インターネットでタクシー料金を調べると次のようになっていました。
(平成 18 年 4 月現在)
市
松江
鳥取
山口
岡山
広島
京都
東京
A(km） a(円) B(m) b(円)
1.5
1.5
560
560
294
304
80
80
1.5
1.5
1.5
570
570
570
291
303
302
80
80
80
2
2
650
660
339
274
80
80
具体的に A，a，B ，b，x が分かっていれば，小学生の算数の問題です。料金改
定は A，a，B ，b の変更ですが，料金システム（初乗り距離 Akm 以下では一
定料金 a 円，Akm を超過すると Bm 毎に料金メーターの数字が b 円ずつ加
算される）は変わりません。
（遠距離の場合の割引は考えないことにします。）
この料金システムをグラフに描けば，どうなるでしょうか。松江市の場合，
x = 2km の距離にある目的地までの料金は 2 − 1.5 = 0.5km が加算距離です
ので，294 < 500 < 294 × 2 = 588 という算数で y = 560 + 80 × 2 = 740 円に
なります。もし，x = 2.1km ならば，600m が加算距離ですので，12m オー
バーしただけで，料金が 80 円加算されます。このように，あるところまでは
横ばい（一定）でそこを過ぎると料金が一段高くなるグラフとなります。一
69
般に，各区間ごとに一定値をとる関数を階段関数といいます。具体的な数値
が与えられていない一般化されたタクシー料金問題に対する解答は距離 x を
メートル単位にして次のようになります。
y
= a， (0 < x ≤ 1000A)
y
= a + nb， 1000A + (n − 1)B < x ≤ 1000A + nB (n = 1，2，· · ·)
となります。ガウス記号 [x] は x を超えない最大の整数を表します。例えば，
[0.5] = 0，[1.5] = 1，[−1.5] = −2 となります。この記号を使えば，上の解答は
y = a + max{−[−
x − 1000A
]，0} · b
B
ただし，max{z ，0} は z と 0 の大きい方の値をとる関数を表します。この式
の使い方を説明します。
1000A − x
x ≤ 1000A のとき，[
] ≥ 0 だから
B
max{−[
1000A − x
]，0} = 0 であり，y = a
B
1000A < x ≤ 1000A + B のとき，
−1 ≤
1000A − x
1000A − x
< 0， − [
]=1
B
B
となり，y = a + b
注意
関数の形が綺麗でないのは，ガウス記号では，整数 n に対し n ≤ x <
n + 1 のとき [x] = n であり，タクシー料金制度では n < x ≤ n + 1 のとき
f (x) = n + 1 となる関数が必要だったため，x ≥ 1000A のとき f (x) = −[−x]
を用いたためです。
タクシーと同じような料金システムは，身の回りに沢山あります。電気・ガ
ス・水道料金から電話料金・郵便料金・宅配料金などなどです。各一定料金
の枠内を限度まで使うこと，ちょっとでもはみ出すと無駄になることを知っ
た上で行動することが，この料金システムとの上手な付き合い方です。
蛇足
世界一高いタクシー料金…1km につき 2 万 3000 円
2004 年 10 月 16 日付の英『タイムズ』紙には，イラクのバクダッドにある
国際空港から国連関連施設が集まっている地区へタクシーで移動する際のレ
ポートが掲載されている。空港から国連関連施設が集まっている地区までの
距離は 24km だが，途中で外国人の誘拐が多発している地域を通過するため，
最低でも 2 台の車と 4 人のボディガードを雇わなければならない。1 台には
客が乗り，もう 1 台はマシンガンを持ったボディガードが乗って，客の乗っ
ているクルマを護衛しながら走るという。料金は 24km の距離を 2750 ポンド
（55 万円）。1km につき 2 万 3000 円の高額だが，命にはかえられない。（イ
ンターネットでタクシー料金について調べていて拾ったニュース）
70
9.5
損益分岐点
話題 9.2
自分で商売を始めようとするとき，どんなことを数学的に検討で
きるかを紹介します。
簡単な数学を使って，次の非常に基本的な経営数学の問題を考えます。実際
には，設備機器その他の準備等の多数の問題があります。
問題 9.8
ある理容師が家賃 A = 10 万円の店を借りて開業することを計画
しています。自分の人件費を月 B = 30 万円確保し，客 1 人当たりの売上げ
を a = 3 千円としたい。客１人当たりの必要経費（シャンプー，剃刀，水道
料等）を b = 2 百円と見積もり 1 月 d = 25 日働くとします。1 日何人以上の
客が来れば，商売がうまくいく（利益がプラス又はゼロ）かを考えなさい。
説明
A，B ，a，b の数値はこの問題を考える際の目安です。d 日で n 人の客
が来るとします
固定費：C = A + B = 300，000 + 100，000
原価：C + bn = 400，000 + 200 × n
売上：an = 3，000 × n
利益：売上 − 原価 = an − (C + bn) = 3，000n − (400，000 + 200n)
利益 0 の点を損益分岐点といいます。損益分岐点は
n =
=
C
A+B
=
a−b
a−b
40000
= 143/(d 日) (142.8 を四捨五入）
2800
n
143
=
= 5.72/日 となり，１日６人以上の客が来れば経営が成り立
d
25
つことになります。
従って
この経営数学の問題は，原価グラフ f (x) = bx + C と，売上グラフ g(x) = ax
を描いたとき，2 つのグラフの交点が損益分岐点になります。（x は人数を表
すので，自然数に対応する f (x)，g(x) だけが意味がありますが，グラフとし
ては実数 x について描く方がみやすくなります。）
実際に商売を始めようとする場合には，C ，b を固定して，単価 a を増やすと
損益分岐点は左に，単価 a を減らすと損益分岐点は右にずれます。客数につ
いての事前の情報がある（マーケッティング）場合には，それに応じて他の
成分 A，a，b，d などを変動させて机上の試算をする必要が生じます。ある値
の幅で，これらの値を代入して経営について検討することを，経営のシミュ
レーションを行うといいいます。
71
9.6
確定申告の数学
話題 9.3
確定申告の際に現われる数式を紹介します。
確定申告 (final return) とは，納税者自らが，自分の所得や税額を税務署に申
告することです。個人の場合，この申告で個人が一暦年中に得た所得につい
て所得税額を確定し，すでに支払った源泉徴収税額や予定納税額を精算する
制度です。
源泉徴収という制度は，1940 年に始まり，勤労所得や退職所得から税金を天
引きする源泉徴収制度です。税金は財産権の最大の侵害であり，自営業者な
どは毎年申告するから，そのたびに税の痛みを感じます。これに対し給与所
得者（サラリーマン）は，初めから税が天引きされて月給をもらうので税の
痛みが弱いといわれています。サラリーマンの大多数は「年末調整」により
所得税が清算されますので，申告の必要はありません。
確定申告書 A の主要項目
収入金額等 (A)， 所得金額 (B)， 所得から差し引かれる金額 (C)， 税金の計
算 (D)， その他 (E)
(A) は (税込みの) 給与・雑所得 (公的年金等とその他 (例えば個人年金))・配
当・一時に分類されています。
(B) は (税金対象の) 給与・雑収入・配当・一時・合計に分かれます。
(A) と (B) の違いは，(A) は源泉徴収票の給与や年金等の金額です。(B) は以
下ので計算式にしたがって算出する金額です。
給与所得の計算 所得金額の給与に記入する数値 (単位は千円)
給与 x 千円の場合の給与所得の金額 y 千円 (不等式の意味は円の位までの数
値)
0 < x < 651 ならば y = 0
651 ≤ x < 1619 ならば y = x − 650
1619 ≤ x < 1620 ならば y = 969
1620 ≤ x < 1622 ならば y = 970
1622 ≤ x < 1624 ならば y = 972
1624 ≤ x < 1628 ならば y = 974
1628 ≤ x < 6600 の場合:x を 4 で割って千円未満の端数を切り捨てた値を x0
とする。
407 ≤ x0 < 450 ならば y = 2.4x0 ，
450 ≤ x0 < 900 ならば y = 2.8x0 − 180
900 ≤ x0 < 1649 ならば y = 3.2x0 − 540
6600 ≥ x < 100000 ならば y = 0.9x − 1200
x ≥ 100000 ならば y = 0.95x − 1700
給与と給与所得の関係をグラフにする。
(i) 0 ≤ x ≤ 1619 のとき：y = max{x − 650，0}
1619 ≤ x < 1620 ならば y = 969 という定義の意味は千円未満を切捨てて (i)
72
のグラフとギャップがなくなるための操作です。グラフの x 軸の目盛りを千
円単位にしておけば，表に出ない式となります。
1620 − x
(ii) 1620 ≤ x < 1624 ならば y = 969 + (−[
])
2
1624 ≤ x < 1628 では幅が 4 千円となり (ii) の関数は使えません。
(iii) 1628 ≤ x < 6600 では x0 = x/4 を使うということは，x では４千円未
満の部分を 0 と考えることになります。この式は次の式のグラフとギャップ
がなくなるための操作です。グラフの x 軸の目盛りを 4 千円単位にしておけ
ば，表に出ない式となります。
407 ≤ x0 < 449 ならば y = 2.4x0
450 ≤ x0 < 899 ならば y = 2.8x0 − 180
900 ≤ x0 < 1649 ならば y = 3.2x0 − 540
x に戻すとどうなりでしょうか。
1628 ≤ x < 1800
1800 ≤ x < 3600
3600 ≤ x < 6600
x
y = 2.4 × [ ]
4
x
ならば y = 2.8 × [ ] − 180
4
x
ならば y = 3.2 × [ ] − 540
4
ならば
(iv) x ≥ 6600 の場合
6600 ≤ x < 100000 ならば y = 0.9x − 1200
x ≥ 100000 ならば y = 0.95x − 1700
グラフに描けば，(ii) の部分は階段関数なので，つなぎ目でジャンプがありま
すが，それ以外は傾きの異なる直線をつなぎ合わせたものです。x ≥ 1628(千
円) の場合には，税金の対象となる給与所得の計算式で所得評価の係数 (＝直
線の傾き) が大きくなっています。
公的年金等の雑所得の計算
昭和 16 年 1 月 1 日以前に生まれた場合（そうでない場合には計算式が異な
ります。）
公的年金 a 千円， 公的年金等の雑所得 b 千円とする。
a < 1200 ならば b = 0
1200 ≥ a < 3300 ならば b = a − 1200
3300 ≤ a < 4100 ならば b = 0.75a − 375
4100 ≤ a < 7700 ならば b = 0.85a − 785
7700 ≤ a ならば b = 0.95a − 1555
個人年金の場合には，税込み収入額から必要経費を引いた額が雑所得 (E/1000
千円) となります。
所得合計は，配当や一時所得がない場合には，U = y + b + E/1000（千円）
となります。
所得から差し引かれる金額としては，社会保険控除・基礎控除（38 万円）
配偶者控除（38 万円）
・配偶者特別控除・寡婦，寡夫控除・勤労学生，障害者
73
控除
生命保険控除（最高 5 万円）
・損害保険控除（最高 1 万 8 千円）
・の合計金額
d1 千円
雑損控除・医療費控除・寄付金控除の合計 d2 千円
以上の計算で課税される所得金額 w 千円 は
w = U − (d1 + d2 ) = y + b +
E
− (d1 + d2 )
1000
となります。
税金の計算
課税される所得金額 w 千円（千円未満の端数切捨て）に対する
税額 T の計算公式
w = 0(w が千円未満）ならば T = 0
1 ≤ w < 3300 ならば T = 0.1w
3300 ≤ w < 9000 ならば T = 0.2w − 330
9000 ≤ w < 18000 ならば T = 0.3w − 1230
w ≥ 18000 ならば T = 0.37w − 2490
問題 9.9
課税される所得金額 w と税金 T の関係をグラフに描きなさい。
税額 T から更に次の控除額を差引いたものを差引き所得税額といいます：
配当控除・住宅借入金等特別控除・政党寄付金特別控除
さらに，災害減免額，外国税額控除を差引いたものを再差引き所得税額 S 千
円といいます。
定率減税額
再差引き所得税額 S 千円からその 20%相当額（最高 25 万円）
を控除する制度。定率減税額は数式では V = min{2500，0.2S}
平成 18 年
度まで適用されたこの制度は、平成 19 年度には廃止され、実質的に税負担が
重くなりました。
源泉徴収税額
源泉徴収票の金額の合計額 G 円
以上の計算で求めた金額から，申告納税額 Z は
Z
=
(再差引き所得税額) − (定率減税額) − (源泉徴収税額)
= S − min{2500，0.2S} − G/1000
となります。Z の値が正の場合には，Z 千円の税金を納めること，Z が負に
場合には，Z 千円が還付されます。
数学的考察
確定申告書の説明書類の計算式には，場合分けが沢山あります。
所得金額や税金の計算では，自分の書類作成のためだけならば，該当箇所の
計算方式に従って計算する簡単な作業です。しかし，それらの計算式の場合
分けのつなぎ目や各直線部分の傾きに注目すれば，所得金額や税金の全体的
な全体の仕組みを読み取ることができます。
74
9.7
指数関数と対数関数
問題 9.10
1 枚の新聞紙を 2 つに折って重ねます。それをまた 2 つに折っ
て重ねるという作業を 20 回繰り返すと新聞紙の厚さは何センチメートルにな
りますか。新聞紙 100 枚を 1cm として考えなさい。直感的な予想値を述べた
後で計算しなさい。
解説
1 回目：1 枚が 2 枚に， 2 回目：2 枚が 4 枚に， 3 回目：4 枚が 8 枚に
となっていくことが分かります。n 回目には 2n 枚になります。n = 20 のと
き，すなわち 220 がどの位の数かを調べましょう。210 = 1024，215 = 32768
，220 = 1048576 です。新聞紙 100 枚の厚さを１ cm とした場合に 220 mm は
およそ 10485cm もっと丸めると 105m となります。
10 回繰り返した時点では，厚さ 210 = 約 10 センチだったものが 20 回目にな
ると 105 メートルになるという凄い増え方です。a > 1 の指数関数 ax の特徴
です。
類題
ある知恵者が，ある出来事で太閤秀吉から大層褒められて，望みのも
のを褒美として与えるといわれたました。その知恵者のお願いは，初日に米
粒 1 個，2 日目には米粒 2 個，3 日目には米粒 4 個というように，次の日には
前日の米粒の倍の個数を向う 1 年間頂きたいというものでした。米粒くらい
たいしたことでないとその願いは聞き届けられましたが，何日か経って，蔵
奉行からの知らせで，とんでもない褒美だったことを知るというお話です。
知者が誰？，出来事は？，太閤秀吉？はすべて作り話かも知れませんが，指数
関数のすごさを伝える話としては面白いですね。一体何日目に事の重大さを
認識できるか計算します。
そのためには，お米 1 合 (0.18 リットルの計量カップ 1 杯）は何粒なのかを
調べる必要があります。インターネットの検索で，兵庫県山崎町立戸原小学
校 4 年生が米 1 合の米粒（玄米）の数を実測したデータがありました。５班
の結果は 6591，6100，6720，6640，6395 となっていました。最大値と最小値
を除いた平均値は 6532 を 1 合の米粒数と考えることにします。第 n 日目の
褒美の米粒数を S(n) は
S(n) =
n
X
2k−1 = 1 + 2 + · · · + 2n−1 = 2n − 1
k=1
212 = 4096，213 = 8192 なので，13 日目でやっと 1 合を超えた量になります。
16 日目で１升，20 日で 160 合（1 斗 6 升），23 日目で 1284 合（1 石 2 斗 8
升 4 合)，25 日目で 5136 合（5 石余），30 日目で 164381 合（164 石余)，35
日目で 5260217 合（5260 石余）というふうに一旦あるところを過ぎると膨大
な数になります。
1 石 = 10 斗 = 100 升 = 1000 合
75
で換算しました。２人家族で毎日、米を４合ずつ１年間食べると 1460 合 (約
1.5 石）になります。普通の侍のほうろく（俸禄）[= 大名に仕えた者が受け
た給与。扶持 (ふち) ともいう] が 50 石から 150 石とすれば，蔵奉行は 25 日
目あたりで腰を抜かしたはずです。
余談 9.4
米粒２倍の話を聞いたある男が，月々 1 万円もらっていたお小遣
いの額について，奥さんに次の提案しました。毎月 1 万円の小遣いの代わり
に，これから 1 年間は，1 月目は 10 円，2 月目は 20 円，3 月目は 40 円と前月
の倍ずつという方式に欲しい。この提案を受入れたとき，この男と奥さんの
どちらが得をするか考えなさい。
説明
12 月目の小遣いが金額 20480 円で男の年間の総小遣い金額は 40960 円
である。あと 2ヶ月で総小遣い金額は 163840 円となり，毎月 1 万円を 14 月
貰うよりも，2 万円以上多くなります。2 年目の終了時には 1 月貰う金額が
83，886，080 円（8 千万円以上）となります。
話題 9.4
対数関数
対数の使い方について。
指数関数の逆関数を対数関数といいます。y = 2x の逆関数は y =
log2 x です。また， y = 10x の逆関数 y = log10 x は常用対数とよばれ，科学
技術計算で利用されています。またネピアの数
e = lim (1 +
n→∞
1 n
) = 2.71828 · · ·
n
に対し y = ex の逆関数 y = loge x = ln x は自然対数とよばれて，理論的に
重要な役割を果たしています。
常用対数に焦点を絞って，対数の特徴を調べます。x と log10 x の対応を表に
します。
x
100
101
102
103
104
105
106
y = log10 x
0
1
2
3
4
5
6
103 < x < 104 ならば 3 < log10 x < 4 ですから，大きな数 x の常用対数は x
に比べて非常に小さいことがわかります。また，A，B > 0 を常用対数で表せ
ば A = 10log10 A ，B = 10log10 B ですから指数法則により
AB = 10log10 A 10log10 B = 10log10 A+log10 B
ゆえに次の公式が得られます。
公式 9.1
積の対数は対数の和に等しい。
log10 (AB) = log10 A + log10 B
76
通常の方眼紙 (縦軸・横軸等間隔の方眼紙) またはそれをイメージした紙に，
与えられた関数のグラフを描くことで，関数の性質を調べることができるこ
とは中学校で勉強します。大学では、実験データや観測値から関数関係を調
べることが必要になります。どうしたらよいでしょうか。2 変量 (x，y) が通
常の方眼紙に描ける場合は簡単です。そうでない場合が生じます。例えば指
数関数 y = ax のグラフは，a > 2 のとき a5 > 25 = 32 ですから，x 軸の目盛
り (観測回数) に比べて y 軸の目盛り (観測値) が大きくなりすぎて，指数関
数らしいことは予測できても，a が何かを読み取ることは困難です。
このような場合に対数目盛りを使った方眼紙が役に立ちます。すなわち，通
常の方眼紙 (x，y) を次のように変換した方眼紙 (X ，Y ) を考えます。
X = x， Y = log10 y
これを片対数方眼紙 (縦軸のみ対数目盛) といいます。
問題 9.11
片対数方眼紙に，関数 y = ax (a > 0，a 6= 1) のグラフを描けば
どんな曲線になりますか。
解説
y = ax の両辺の対数をとると
log10 y = log10 ax = x log10 a
だから，片対数方眼紙では Y = AX ，A = log10 a という直線になります。
観測データのグラフを描けば，グラフから A を読み取ることができるので
a = 10A が求まります。
さらに，通常の方眼紙 (x，y) を次のように変換した方眼紙 (X ，Y ) を考えま
す。
Y = log10 y ，X = log10 x
これを両対数方眼紙 (縦軸・横軸共に対数目盛) といいます。
問題 9.12
両対数方眼紙に，実験データ (点)(x，y) を (X ，Y ) としてプロッ
ト (点を記入) したとき，データが直線 Y = AX + B の上に大体乗ってい
る場合に，x と y の関数関係を述べなさい。
解説
B = log10 b とします。B の値は常用対数表をみれば求まります。求め
る関数関係は y = bxA です。（両辺の対数をとれば納得できるはずです）
蛇足 お馴染みの関数
y = x2 ， y = x3 ，· · · ， y = xn
のグラフは曲線ですが，両対数方眼紙の世界では直線として見えます。つま
り，座標軸を変換することは， 物の見方を変えることになります。世界が変
われば，曲がったものも真っ直ぐに見えるとは素晴らしいですね。
77
9.8
じゃんけん
話題 9.5
「じゃんけん」をするときに起きる次の現象を数学的に考えます。
じゃんけんをする人数が増えると「あいこ」が増えて，なかなか勝負が着か
なくなってくる。このことを説明しなさい．
数学的な問題設定は次のようになります。
問題 9.13
1. 2 人でじゃんけんするとき「あいこ」になる確率を求めな
さい。
2. 3 人でじゃんけんするとき「あいこ」になる確率を求めなさい。
3. n 人でじゃんけんするとき「あいこ」になる確率を求めなさい。
4. 勝負が着く確率が 1%以下になるのは何人以上の時か理由を付けて述べ
なさい。ただし，log10 2 = 0.301，log10 3 = 0.477
解説
n 人でじゃんけんすると仮定します。n = 2 のときあいこになるのは，
2 人とも同時に，グー，チョキ，パーのいずれかを出したときです。グーで
あいこになる確率は
1 1
1
× =
3 3
9
チョキとパーも同じだから，あいこになる確率は，これらを加えて 1/3 とな
ります。
n = 3 のときあいこになるのは，3 人とも同時に，グー，チョキ，パーのいず
れかを出したとき，またはグー，チョキ，パーが総て出たとき．グーであい
こになる確率は
1 1 1
1
× × = 3
3 3 3
3
チョキとパーも同じだから，これらを加えて 1/32 がグー，チョキ，パーのい
ずれかに揃ってあいこになる確率です。一方，グー，チョキ，パーの総てが
出る確率は次のように考えます。3 人がグー，チョキ，パーをどのように（分
け合って）出すかの場合の数は 3! ですから，総ての可能性の数 33 で割ると
2/9 がグー，チョキ，パーの総てが出てあいこになる確率です。以上を加え
て，1/3 があいこになる確率です。
n ≥ 4 のときに，上のような考え方をすると，非常に複雑になります。少し
立場を変えて，勝負が着く場合を考えます (あいことなることの余事象です)。
勝負が着くのは，グー，チョキ，パーの 1 つに揃ってしまわないか，全部が
出てしまわないときです。すなわち，グー，チョキ，パーのうちで 2 種類だ
けが出て，しかも 1 種類だけに揃ってしまわないときとなります。
グー，チョキ，パーのうちで 2 種類を選ぶ組み合わせの数は 3 C2 ，その選
ばれた 2 種類だけを出す方法は 2n ですが，そのうち，1 種類だけに偏ってし
まうケースが 2 通りあります。もう少し分りやすく考えます。
***
78
補足説明：男子 n 人女子 n 人を n 個の椅子に座らせる方法を考えます。ただ
し全部男子と全部女子の場合を除きます。各椅子に座らせる方法は，男子か
女子の 2 通りす。全部で 2n 通りありますが，全部男子・全部女子の場合が 2
通りあります。
*****
従って勝負の着く確率は
n
3 C2 (2
− 2)
1
2n − 2
= n−1
n
3
3
この確率は n とともに急速に 0 に収束します。この確率が 1% 以下になる場
合を考えます。すなわち
2n − 2
1
≤
n−1
3
100
を満たす最小の n を求めます。
2n
3n−1
≤
1
100
を満たす n を求めれば十分です。不等式の両辺の常用対数を取って，
n log10 2 − (n − 1) log10 3 ≤ −2
これを解くと
n≥
2 + log10 3
2 + 0.477
=
= 14.0 . . .
log10 3 − log10 2
0.477 − 0.301
ゆえに 15 人以上のとき勝負が着くのは 1%以下であることが分ります。
余談 9.5
法則 1：
芳沢光雄「ふしぎな数のおはなし」（数研出版，2002 年）
「10 人近い人数で一緒にジャンケンをするときは，だまってパー
を出し続けると有利」
ジャンケンでは，グーが多くチョキが少ない。実際，725 人が行ったのべ 11567
回のジャンケン (実験) で次の結果が出ました。
グー : 4054 回， パー : 3849 回， チョキ : 3664 回
この結果で，
「10 人近い人数で一緒にジャンケンをするとき，最初に勝ち負け
がつく手はグーとパーの場合が多い」ことがわかります。
法則２:
「2 人でジャンケンをするとき，あいこになったときは，その手に
負ける手を次に出すと有利」
ジャンケンには，グー，チョキ，パーの 3 種類があるのに，同じ手を続けて
出す確率は 4 分の 1 もないからです。725 人が 2 回続けてジャンケンをした
回数 10833 回のうち，同じ手を続けて出した回数は 2465 回でした。ですか
ら，
(1) グーとグーであいこになったら，相手はパーかチョキを出す可能性が高
79
いので，グーに負けるチョキを次に出すと，勝ちか引き分けになりやすい。
(2) チョキとチョキであいこになったら，相手はパーかグーを出す可能性が
高いので，チョキに負けるパーを次に出すと，勝ちか引き分けになりやすい。
(3) パーとパーであいこになったら，相手はチョキかグーを出す可能性が高
いので，パーに負けるグーを次に出すと，勝ちか引き分けになりやすい。
余談 9.6
ジャンケンを使って 30 人程度の初対面の人達のグループを打ち
解けさせる方法。
(1) 椅子を円形に人数分並べておく。始めの合図で近くの人（誰とでも）ジャ
ンケンをして 5 回勝った人から椅子の一番から座ることにします。その際同
じ人とは続けて 2 回はジャンケンをしない規則を設けます。全員が着席した
ら，最初に座れた人 3 名程度に感想を聞きます。また最後に座った人 3 人程
度にも感想を聞きます。童心に返ってジャンケンをしているうちに皆がリラッ
クスできます。
(2) 同じゲームを今度は 5 回負けた人から，先程の順番で椅子に座れるよう
ルールでゲームをさせます。ジャンケンには勝つものという感覚が逆になる
ところが面白いゲームです。
(3) 二人ペアで左手を繋ぎ，ジャンケンして勝った方が相手の手の甲を打つ
ゲーム。負けた方は手の平でカバーします。ジャンケンに負けた方が急いで
手を離して，打たれるのを防ぐという変形もあります。
80
10
p 進法について
通常の計算では，私達は 10 進数に慣れ親しんでいます。10 進数で表され
た 19805 という数字の意味は：
19805 = 1 × 104 + 9 × 103 + 8 × 102 + 0 × 101 + 5 × 100
つまり，10n (n = 0，1，2，· · ·) の係数を高次のべきの係数から順に並べた表記
法です。（数字 0 が位取りに重要な役割を果たしています！）
このことを一般化して，自然数 p > 1 に対し
α = a0 p0 + a1 p1 + a2 p2 + · · · + an pn ，
0 ≤ ak < p，(k = 0，1，· · · ，n)，an 6= 0
の形のとき，α を (an an−1 · · · a1 a0 )p で表し，α の p-進数表現といいます。
p = 10 の場合には，括弧と添え字 p が省略されていると考えてください。
10.1
2 進数遊び
問題 10.1
解説
片手の指 5 本を使って数をいくつまで表現できますか。
「表現できる」と「数える」には違いがあります。5 本の指を親指か
ら順に折り曲げて 5 まで数え，次に小指から順に伸ばして 10 まで数えられる
といえます。しかし，例えば親指だけを折り曲げた状態は，声の助けを借り
ないと 1 なのか 9 なのかを判断できません。つまり，この方法では 1∼5 まで
の数を表現していることになります。簡単のために，折り曲げた状態の指が，
親指＝ A， 人差し指＝ B ，中指＝ C ，薬指＝ D，小指＝ E という記号
を使います。さらに，2 つ以上の記号が並ぶときは，それらに対応する指を
曲げた状態を表すことにします。ここで
A = 1，B = 2，C = 22 = 4，D = 23 = 8，E = 24 = 16
を割当て，複数に記号が並ぶ記号 x には，並んだ記号対応する数の和を x に
対応させることにします。例えば，x = ACD(親指・中指・薬指が折れ曲がっ
ている状態）には x = 1 + 4 + 8 = 13 となります。この方法で１から数を表
現してみましょう。
1 = A， 2 = B ， 3 = AB ， 4 = C ， 5 = AC
6 = BC ， 7 = ABC ， 8 = D， 9 = AD， 10 = BD
11 = ABD， 12 = CD， 13 = ACD， 14 = BCD， 15 = ABCD
16 = E ， 17 = AE ， 18 = BE ， 19 = ABE ， 20 = CE
21 = ACE ， 22 = BCE ， 23 = ABCE ， 24 = DE ， 25 = ADE
26 = BDE ， 27 = ABDE ， 28 = CDE ， 29 = ACDE ，
30 = BCDE ， 31 = ABCDE
この数え方に熟達するには，指を折り曲げと伸ばすトレーニングが必要で
すね。
問題 10.2
1 から 31 まで片手で数える方法の仕組みを説明しなさい。
81
解説
表から 23 = ABCE と書きましたが，実は
23 = 1×20 +1×21 +1×23 +0×24 +1×25 = 1×A+1×B+1×C +0×D+1×E
と 2 進数で表せます。記号の前の数字 1 がその指を折り曲げたこと，数字 0
は伸ばしたまま（折り曲げない）ことを表しています。
矢野健太郎著： 数学のおくりもの，旺文社文庫，1980
に 2 進数を使った遊びとして，
「年当てカードの作り方と遊び方」について解
説があります。配布資料がそのカードです。
話題 10.1
カードの使い方を説明します。
6 枚のカードを並べて，相手の年齢の書かれたカードをすべて選んでもらい
ます。選ばれたカードの左上隅の数を加えた数が相手の年齢です。年齢に拘
る必要はありません。相手に予め 63 以下の数字を紙に書いてもらって，それ
を同じ方法で当てることにも使えます。
問題 10.3
なぜ当たるかの理由 (種明かし) を考えなさい。
さて、手元のカードでは 63 歳までの人にしか使えませんので，お年寄り相手
にも通用するカードを作ります。
話題 10.2
年当てカードを作る手順を説明します。
(1) 10 進数表示の数 α，(1 ≤ αleq123) を 2 進数で (a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 )2 表す。
(2) カードを 7 枚用意して番号 1∼7 をつける。次の規則で数 α を 7 枚のカー
ドに順に記入する。規則：
a0 = 1 となる数 α は番号 1 のカードに 10 進数 α を記入します。
a1 = 1 となる数 α は番号 2 カードに 10 進数 α を記入します。
一般に
ak = 1 となる数 α は番号 k + 1 のカードに 10 進数 α を記入します。
(k = 0，1，2，· · · ，6)
(3) カードに便宜的につけた番号は消します。
作業 1: 2 進数をエクセルで計算 10 進数 α を 2 進数に変換する練習。
10 進数 11 を 2 進数で表示してみる。
11/2 = 5 + 1/2， 5/2 = 2 + 1/2
，2/2 = 1 + 0/2 より
11 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 から 11 の 2 進数表示 (1011)2 の数列は
11 を 2 で割って商 5 と余り 1 を出し，商 5 をさらに 2 で割って商 2 と余り 1
を出し，その商 2 を 2 で割って商 1 と余り 0 となるとき，最後の商１と余り
を最後から拾って 011 からなる数列 1011 であることが分かる。このことを
パソコンソフト「Excel」で計算します。数 α を 2 で割るとき，商は組込関数
を使えば INT(α/2) に等しい。余りは α − INT(α/2) となる。A 列の A1 に
数値 α ≤ 128 を入れれば，その 2 進数表示が Y1 列に表示されます。1 から
128 までの表を作成する場合には，A1 に 1 を入力し，連続した数値を入れる
操作で 128 までの数値を入力する。次に，B １から Y1 までをコピーして，2
82
行目から 128 行目まで（B 列から Y 列の範囲）貼り付け（ペースト）を行え
ば，求める表が得られます。
Excel 入力画面
A 列 B 列 C 列 D 列
E 列 F 列
数値 =INT(A1/2) =A1-2*B1 =INT(B1/2) =B1-2*D1 =INT(D1/2)
G 列 H 列 I 列
J列
K列
=D1-2*F1 =INT(F1/2)
L 列 M 列
=F1-2*H1
N列
=INT(F1/2) =H1-2*J1
O列
P列
=INT(J1/2)
=J1-2*L1 =INT(L1/2) =L1-2*N1
R 列 S 列 T 列 U 列 V 列 W 列 X 列
=O1
=M1
=K1
=I1
=G1 =E1 =C1
=INT(N1/2)
Q列
空白
Y列
=R1&S1&T1&U1&V1&W1&X1
（補足説明）
R1 列から X1 列までは，余りの数列を逆順に並べました。この数列を 1 つの
数列にするために結合したものが Y1 の中身です。
作業 2：カード作成のデータ
2 進数に変換した表から，カードを作る規則に
したがって，データを分類する必要があります。この作業も Excel で処理し
ます。規則での a0 は X 列のデータです。a1 は W 列，a2 は V 列，· · ·， a6
は R 列となっています。
「Excel」のデータ（D) からフィルタ・オートフィル
タを選び X 列で数値 1 を選べば X 列が 1 のデータだけを表示します。このと
きの A 列の 10 進数が 1 番目のカードに記入する数です。2 番目のカードの場
合には，W 列を選んで同じ操作を行えばよいことになります。あとは同様で
す。次頁の表は左の列の数列から順に 1 番目 · 2 番目 · 3 番目 · · · 7 番目のカー
ドに記入する数字です。これらを 7 枚のカードに記入すれば、カードは完成
です。カードには 111 までの数字を記入し、数当ては 100 までの数にします。
83
１枚目
２枚目
３枚目
４枚目
５枚目
６枚目
７枚目
1
3
2
3
4
5
8
9
16
17
32
33
64
65
5
7
9
6
7
10
6
7
12
10
11
12
18
19
20
34
35
36
66
67
68
11
13
11
14
13
14
13
14
21
22
37
38
69
70
15
17
19
15
18
19
15
20
21
15
24
25
23
24
25
39
40
41
71
72
73
21
23
22
23
22
23
26
27
26
27
42
43
74
75
25
27
29
26
27
30
28
29
30
28
29
30
28
29
30
44
45
46
76
77
78
31
33
35
31
34
35
31
36
37
31
40
41
31
48
49
47
48
49
79
80
81
37
39
38
39
38
39
42
43
50
51
50
51
82
83
41
43
45
42
43
46
44
45
46
44
45
46
52
53
54
52
53
54
84
85
86
47
49
47
50
47
52
47
56
55
56
55
56
87
88
51
53
55
51
54
55
53
54
55
57
58
59
57
58
59
57
58
59
89
90
91
57
59
58
59
60
61
60
61
60
61
60
61
92
93
61
63
62
63
62
63
62
63
62
63
62
63
94
95
84
１枚目
２枚目
３枚目
４枚目
５枚目
６枚目
７枚目
65
67
66
67
68
69
72
73
80
81
96
97
96
97
69
71
73
70
71
74
70
71
76
74
75
76
82
83
84
98
99
100
98
99
100
75
77
75
78
77
78
77
78
85
86
101
102
101
102
79
81
83
79
82
83
79
84
85
79
88
89
87
88
89
103
104
105
103
104
105
85
87
86
87
86
87
90
91
90
91
106
107
106
107
89
91
93
90
91
94
92
93
94
92
93
94
92
93
94
108
109
110
108
109
110
95
97
99
95
98
99
95
100
101
95
104
105
95
112
113
111
112
113
111
112
113
101
103
102
103
102
103
106
107
114
115
114
115
114
115
105
107
109
106
107
110
108
109
110
108
109
110
116
117
118
116
117
118
116
117
118
111
113
111
114
111
116
111
120
119
120
119
120
119
120
115
117
119
115
118
119
117
118
119
121
122
123
121
122
123
121
122
123
121
122
123
121
123
122
123
124
125
124
125
124
125
124
125
124
125
125
127
126
127
126
127
126
127
126
127
126
127
126
127
85
数当てカード
1
3
5
17 33 49 65 81
19 35 51 67 83
21 37 53 69 85
2
3
6
18 34 50 66 82
19 35 51 67 83
22 38 54 70 86
7
9
23 39 55 71 87
25 41 57 73 89
7
23 39 55 71 87
10 26 42 58 74 90
11
13
15
27 43 59 75 91
29 45 61 77 93
31 47 63 79 95
11
14
15
4
5
6
20 36 52 68 84
21 37 53 69 85
22 38 54 70 86
8
24 40 56 72 88
9
25 41 57 73 89
10 26 42 58 74 90
7
12
23 39 55 71 87
28 44 60 76 92
11
12
27 43 59 75 91
28 44 60 76 92
13
14
15
29 45 61 77 93
30 46 62 78 94
31 47 63 79 95
13
14
15
29 45 61 77 93
30 46 62 78 94
31 47 63 79 95
27 43 59 75 91
30 46 62 78 94
31 47 63 79 95
16
17
18
24 48 56 80 88
25 49 57 81 89
26 50 58 82 90
32
33
34
40 48 56 96
41 49 57 97
42 50 58 98
19
20
27 51 59 83 91
28 52 60 84 92
35
36
43 51 59 99
107
44 52 60 100 108
21
22
23
29 53 61 85 93
30 54 62 86 94
31 55 63 87 95
37
38
39
45 53 61 101 109
46 54 62 102 110
47 55 63 103 111
64
65
66
72 80 88 96
73 81 89 97
74 82 90 98
67
68
75 83 91 99
107
76 84 92 100 108
69
70
71
77 85 93 101 109
78 86 94 102 110
79 87 95 103 111
104
105
106
86
104
105
106
話題 10.3
カードの使い方を説明します。
7 枚のカードを並べて，相手の年齢の書かれたカードをすべて選んでもらい
ます。選ばれたカードの左上隅の数を加えた数が相手の年齢です。年齢に拘
る必要はありません。相手に予め 100 以下の数字を紙に書いてもらって，そ
れを同じ方法で当てることにも使えます。
なぜ当たるかの理由 (種明かし)
相手が第 1，第 2，第 5 のカードを抜き出したとすると，その人は自分の歳
を 2 進数で教えてくれたことになります。
（指で数を表現したことを思い出し
てください。）しかし，その 2 進数を 10 進数に戻すのはどうしたらよいので
しょうか。その答えはカードの作り方にあります。1 番目のカードは 20 の係
数が１，2 番目のカードは 21 の係数が 1，· · · というようになっていたことを
思い出してください。何番目のカードかを気にする必要はありません。カー
ドの左上隅の数字は，10 進法の数を１から順に 2 進数に書き換えるとき，初
めて 2k ，(k = 0，1，2，3，4，5，6) の係数が１になる数です。したがって，選ば
れたカードの左上隅の数字の和が相手の歳ということになります。具体例で
もう少し詳しく説明します。
選ばれたカードが 1 番目，2 番目，5 番目であるとします。左上隅の数の和
は 1 + 2 + 16 = 1) です。一方，2 進数 (10011)2 の定義から
(10011)_2 = 1 × 2^0 + 1 × 2^1 + 0 × 2^2 + 0 × 2^3 + 1 × 2^4 + 0
× 2^5 = 19
カード番号
１
左上の数字： １ ２
2
３
４
５
６
4
8
16
32
カードを選ぶことは 2 進数表示のどの桁を ON にするかを表しています。
蛇足
このゲームは，まずカードで遊んで見せて，自分でカードの謎を理解
し，実際にカードを作るという順番で扱えば非常に教育的な教材だと思われ
ます。 10.2
２進数の工学的な応用
長距離の情報伝達をするためには，送りたい情報を運んでくれる電波，搬
送電波に乗せることつまり変調する必要があります。変調方式としては
AM(Amplitude Modulation)：振幅変調
FM(Frequency Modulation)：周波数変調
がよく知られています。
長距離の情報伝達には，雑音の影響の少ない変調方式が望ましいわけです
が，雑音の影響は一定限度以下には小さく出来ないことが（1948 年シャノン
「通信の数学的理論」）知られています。２進法を利用した変調方式
PCM(Pulse Code Modulation):パルス符号変調
87
PPM(Pulse Position Modulation)
がほぼ最良な方式であると言われています。
1980 年，宇宙探索衛生ボイジャーは土星の写真をわずか 20 ワットの出力で
地球まで送信しました。写真は多数の点に分解され，それぞれの明暗を２進
法による符号に変換した後，毎秒４万５千ビットの速さで送り出したのです。
土星から地球への電波が伝えられるには約１時間を要します。
この通信の解析に約３カ月を費やしたといわれていますが，鮮明な土星の映
像に２進法の威力を思い知らされます。
1989 年，ボイジャーは海王星から映像を送ってきました。海王星から地球へ
電波が伝えられるには最も近いときでも約４時間を要します。
参考書 赤井逸著：数学外論，共立出版，15 頁∼16 頁
注
「ビット」とは情報処理装置の構成部分が貯蔵しうる２進数の桁数のこ
とです。太陽から地球へ電波が伝わる時間は８分２０秒です。
10.3
身の回りの p 進法
p = 10 の場合，すなわち 10 進数が生活に密着していることはいまさら言
うまでもありませんね。2 進数がコンピュータに命令する言語という意味で，
現在の情報社会を支えている大切な役割を果たしています。2 進数では，数
字が 0 と１さえあればよいという特徴が電気の ON と OFF の操作と対応し
たからです。p 6= 2，10 の場合に，p 進数によく似た p 進法があります。
７進法
日常生活の周期は 7 となっています。曜日の頭につく「日月火水
木金土」は太陽と月，肉眼で見える５つの惑星です。
「旧約聖書」によると天
地創造を終えた神が７日目に休息したといわれています。
曜日と惑星の名がどの国においても全て１対１に対応しているわけではあり
ません。諸外国で曜日にどんな名前がついているかを調べてみると面白いで
す。例えば，ドイツでは 木曜日を Donnerstag（雷神）といいます。
暦法が変わると月や日の数え方が変わりますが，曜日の方は改暦に際しても
連続して使えるという点で７進法は強力です。
問題 10.4
説明
あなたの生まれた日は何曜日だったかを答えなさい。
自分の誕生日の曜日まで覚えている人は少数派ですね。計算する方
法を考えます。
1 年と曜日の関係は「1 年 365 日のとき 365 割る 7 は商 52 余り１」です。つ
まり 1 年は 52 週で毎年 1 日ずつ曜日がずれます。例えば，2005 年 2 月 7 日
は月曜日で 2006 年 2 月 7 日は火曜日となります。
しかし 4 年に一度は閏年があるので「1 年 366 日を７で割ると商 52 余り 2」
となり，曜日は 2 日ずれることになります。自分の今年の誕生日 2005 年 10
88
月 1 日は土曜日を基にして生年月日 1984 年 10 月 1 日の曜日を計算します。
今年を起点に考えるとまず 2005 − 1984 = 21 日後ろに曜日がずれる。その間
の閏年は 1988，1992，1996，2000，2004 の 5 回なので，5 日曜日が後ろに
ずれる。つまり 21 + 5 = 26 後ろにずれる。1 週間は 7 日なので，5 日後ろに
（2 日前ろに）ずれる。土曜日から後ろに 5 日（金・木・水・火・月）前に 2
日（日・月）ずれた曜日は月曜日である。
類題
2005 年の日付・曜日と 2011 年の日付・曜日が全く同じなのはなぜで
しょう？
解説
2011 − 2005 = 6 であり，閏年は 2004， 2008， 2012 なので，2005 年
と 2011 年の間には 1 回だけとなります。。したがって，曜日の前方へのずれ
は 6 + 1 = 7 となり，日付・曜日が全く同じになります。
60 進法 角度の表示には 60 進法が使われています。
１回転の角度（４直角を 360 度）と定めたのは１年の日数に近い区切りの良
い数であるという考え方もあります。
角度：１度 = 60 分，１分 = 69 秒
余談
円周を何等分するかで角度の単位名称が異なります：
円周を 400 等分（直角を 100 等分):
10 進法の角度単位のグラード
円周を 6400 等分: 軍用に使われる mil（ミル）
円周を 32 等分: 航空・航海で使われる点
時間は 360 単位を基本にして，12 単位，30 単位の組合せで表現されていま
す。
1 年=12月，1 月=30日，1 日= 24時間，１時間=60分，１分= 60秒
蛇足 60 が基準となった要因は，1 から 5 までの全ての数で割り切れる点に
因んでいるといわれている。3 と 5 の積である 15 が四半分になっている事
で，除算にも便利です。特に，時刻や角度には六十進法が使われる 60 が 360
の約数で，30（1 箇月の日数）と 12（1 年の月数）の最小公倍数が 60 にな
る点にも因んでいると考えられている。
12 進法 12 進法は天体の運行に因んでいるといわれています。12 進法を作っ
たと考えられているバビロニア人は，新月から満月までの間隔約 30 日を 12
回繰り返すと 1 年経過することを知っていて，そのことが起源だとされてい
ます。
数学的に定式化された 12 進法では，１桁に 12 個の数字を収め，12 倍毎に桁
を繰り上げるものです。この際，0 から 9 までの数字と A（10 を表す記号）
と B（11 を表す記号）の 12 個の数字を使い，10 進数の 12 を 12 進数では 10
と記すという方法になります。この位取りによる表記法を 12 進表記といいま
す。12 進表記で記された数を 12 進数といいます。p 進数表示であることを表
す表記 (∗)12 を用いると
(50)12 = 60 (12 の 5 倍)， (100)12 = 144 (12 の 12 倍)
90 = 7 · 12 + 6 = (76)12 ， 360 = 2 · 122 + 6 · 12 = (260)12
89
類題
(1A6)12 は 10 進数ではいくらでしょうか。
説明
(1A6)12 = (100)12 + (A0)12 + (6)12 = 122 + 10 × 121 + 6 × 120 = 270
日常的に用いる 12 進法は，専ら単位系です。この場合には，10 進法を援用
して， 0 から 9 までの 10 個の数字のみを使い，9，10，11 と表記して，12
に至ると桁ではなく単位を繰り上げる方法を採ります。
12 進法の単位としては，
１ダース（1 dozen)= 12， 12 ダース = １グロス (1 gross)= 122 = 144 ，
12 グロス=1 グレートグロス (great gross)= 123 = 1728
が使われます。また，120 個（＝ 12 の 10 倍）をスモールグロス（small gross）
といいます。
ダース単位の販売品としては，鉛筆，軟式野球ボール，テニスボール，ゴル
フボールなど沢山あります。1 グロス買うと相当数あることに注意が必要で
す。
16 進数 電子計算機では 16 進数が使われています。12 進数の場合の考え方
と同じで数字 10，11，12，13，14，15 の代わりに記号 A， B， C， D， E，
F を使います。
16 進数で 1 桁の数を表す数字と記号は 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B ，C ，D，E ，F
です。
90
11
11.1
ローン返済額を知る
金利計算
貯金や借金の話を始めようとすると, 常識的に使われる用語があります。以
前には誰もが知っていたお金に関係する基本的な用語は, 生活には必要でも受
験には余り関係しない理由からか, 若い世代の人には耳慣れていないようで
す。
基本的な用語を説明します。
元金 (ガンキン・モトキン):：利息に対して貸し借りしたもとの金
利息 (リソク)：元金を利用した報酬としての金銭, 利子（リソク）interest
利率 (リリツ)：利息の元金に対する歩合 the rate of interest
歩合 (ブアイ)：ある数の元高に対する比を十進法で表したもの, 割合
年利 (ネンリ)：1 年にいくらと決めた利息
11.2
グレーゾーン金利
グレーゾーン金利 x とは、利息制限法の上限金利 a% と出資法の上限金利
b% の間の金利である。
消費者金融や商工ローンなどを含めた金融機関は、原則としては、金銭消費
貸借契約における金利を、利息制限法で定めた上限金利までとしなければな
らない。ただし、一定の条件を満たした場合だけ出資法の上限金利 29.2 ％ま
で認められる。しかし、消費者金融や商工ローンの多くは、条件を満たさな
いまま利息制限法を越えて、出資法を根拠とした金利（グレーゾーン金利）
を適用している。
利息制限法、貸金業者の金利を制限する法律。
出資法とは、貸金業者の上限金利などを定めた法律。
利息制限法では、貸金業者の貸付金利の上限を、元本 10 万円未満は年率 20%、
元本 10 万円以上 100 万円未満は年率 18%、元本 100 万円以上は年率 15%と
定めている。これを破っても罰則規定はないが、裁判で争えば業者は負ける。
利息制限法にはみなし弁済という例外規定があり、上限金利を超えた利息で
も、債務者が自由意志で支払ったことが認められれば、それを合法とすると
定められている。しかし、商工ローンや消費者金融のほとんどのケースでは、
みなし弁済の例外規定は当てはまらない。
出資法年率 29.20%（平成 12 年 5 月末までは 40.004%）がある。原則として
は利息制限法が適用されるが、
「みなし弁済」という利息制限法の例外規定を
満たすと、出資法の上限金利を適用することができる。この出資法の上限金
91
利を超えた利息を取ると、法律的に罰せられることになっている。
みなし弁済とは、利息制限法の上限金利を超える金利を合法とする例外規定の
こと。利息制限法では、その上限を超えて支払った利息について、それが債務
者の自由意志で支払ったと認められる場合には、出資法の上限金利（29.2%）
までは合法と認めるという例外規定を定めている。これを「みなし弁済」規定
という。ただし、この例外規定が認められるには、かなり厳密な条件をクリ
アする必要があり、消費者金融、商工ローンなどのほとんどのケースはこれ
が適用されることが認められない。つまり、裁判を行えば違法とされるケー
スがほとんどである。
話題 11.1
平成 18 年 1 月に、最高裁がグレーゾーンを事実上認めない判
決を出したことを受けて、金利の返還訴訟が頻発している。金融庁は、上限
金利を一本化して年率 15∼20%とする方向で、来年の通常国会で法律を改正
する予定だ。アイフルの悪質取り立て事件で批判を浴びた消費者金融業界は、
正面きって反論もできない状態である。
全国クレジット・サラ金被害者連絡協議会の本多良男・事務局長によると、弁
護士などを立てて業者側に申し立てれば、 「払いすぎた利息はすべて取り
戻すことができ、多くの場合は 5∼6%の利息をつけて返還される」 という。
こうなると、貸金業者にとってもグレーゾーン金利の存在が、かえって経
営の不安定要因になる。 大手のアコムは取りすぎた利息の払い戻しを進め
た結果、2006 年 3 月期連結決算の業績予想を約 200 億円も下方修正した。 こうした状況を踏まえ、金融庁の貸金業制度に関する懇談会は 3 月、利息制
限法と出資法の上限（金利）を一本化し、グレーゾーン金利を撤廃すること
で意見がほぼ一致、新たな上限金利の設定が焦点に浮上したのだ。 この新
たな上限金利に関する業界と借り手側の論争は熾烈を極める。借り手側を代
弁して学者らが、 「出資法の上限金利は、銀行の貸出金利や借り手の返済
能力に比べて高すぎ、多重債務の原因になっている。利息制限法の上限金利
まで引き下げるべき」 と攻めれば、業界側は、 「無担保・無保証という消
費者金融はリスクが高く、高金利はやむを得ない。金利を引き下げれば、信
用力のない人がヤミ金融に流れる」 と、路頭に迷う利用者が出てくること
を指摘する。 懇談会はこれまでに 13 回を数えたが、上限金利をめぐる業界
と借り手側の主張は、真っ向から対立したままだ。
補足
「消費者金融業者は全国で 4500 社ぐらいですが、金融機関から資金を低利で
調達できるのは上位 20 社ぐらい。あとはノンバンクなどから調達しています
が、仮に融資の上限金利が下がると、まず、こうした中小業者を直撃します」
業界が淘汰される一方で、利用者側にも大打撃を与えるという。現在の消
費者金融の貸出残高は約 11 兆円（利用者 1200 万人）にのぼる。 ただ、審
査ではねられる人もいて、契約率は約 6 割どまりという。現在のグレーゾー
92
ン金利内でも借りることができない人が大勢いるわけだ。 そんな状況で、
上限金利を引き下げれば、
「審査をさらに厳しくせざるを得ず、借りられない
人が相当、出てくるはず」（橋本さん）というのだ。
11.3
金利の落とし穴
住宅ローンを変動金利で利用している人は多いことだろう。わたしもその
一人だ。10 月末のローン残高が 1431 万円。ボーナス併用にはしておらず、毎
月の返済額は９万 447 円である。この変動金利住宅ローンの金利が、７月に
行われた日銀のゼロ金利解除を受けて、11 月返済分から変更された。わたし
が利用しているローンは、従来の 2.375 %から 0.25%上昇して 2.625%へと
なった。変動金利で契約している人はほとんどが上がったと思う。だが、これ
がどういう意味を持っているのか、はっきりと理解できている人は少ないの
ではないだろうか。そもそも、金利が上がったからといって返済額が急に変
わるわけではない。一定期間は返済額は変わらない契約になっているからだ。
わたしの契約は、一般的な変動金利住宅ローンと同じく、返済額の見直しは
５年に１回だけである。だから、今回も返済額は変わっていない。このあた
りの事情も、ほとんどの人と共通しているはずだ。だから、
「金利が上がった
と聞いていたけれど、返済額は変わらないじゃないか」と安心している人も
多いことだろう。しかし、ここに大きな落とし穴がある。変動金利住宅ロー
ンは、確かに「５年に１回しか返済額が変わらない」かもしれない。だが、そ
れは「５年間金利が不変」ということを意味しているのではない。返済額が
変わらなくても、実は金利上昇をしっかりと反映しているのである。そこを
見逃すと、あとで大変なことになりかねないのだ。
それでは、金利が上がったのになぜ返済額が変わらないのか。それは、
銀行から送られてくる返済額表をよく見ればお分かりになるだろう。確かに
返済額は変わらないが、その内訳が変わっているのである。つまり、利息相
当額と元本返済分の比率が変わっているのだ。
わたしの場合、昔の金利のままであれば、11 月返済分の利息相当額は２
万 8325 円だった。ところが、金利の引き上げを受けて、それが３万 1307 円
に増えていた。
つまり、１カ月当たりの利息負担が 2982 円増えたことになる。逆に言う
と、元本返済分が 2982 円減ったというわけだ。
ということは、元本の減り方が遅くなったということである。そして、
元本の減り方が遅くなれば、それだけ住宅ローン返済のペースが遅れること
になる。同時に、その元本に対する金利負担も増えるのは必然の結果である。
もっとも、当分の間は、それがどれほど大変ことなのか、実感すること
はないだろう。返済額が変わらないからだ。だが、返済額見直しの時期に、そ
93
のしわ寄せがやってくる。金利引き上げと元本の返済ペース低下による影響
で、返済額が一気に増加するのである。
もちろん、激変緩和措置というのが設定されており、それまでの返済額
の 25%以上にはならないようにはなっている。それでも、給料の実質額減少
に悩み、家計のあらゆる面できり詰めを迫られているサラリーマン家庭にとっ
て、返済額の上昇は厳しい。
もし、最大限の 25%までアップすると、月８万円を返済していた人は月
10 万円になり、月 12 万円だった人は月 15 万円になってしまうのだ。金利は
遅かれ早かれ再引き上げされる
今回は、金利が 0.25%の引き上げという結果になった。だが、これで利
上げが打ち止めになるという保証はどこにもない。それどころか、マーケッ
トには日銀が近々金利の再引き上げに踏み切るのではないか見ている人も少
なくないのだ。
事実、10 月 13 日の記者会見で日銀の福井総裁は、
「景気指標が悪化して
いてもそれは一時的なものである」として、
「年内の追加利上げの可能性を問
われれば否定できない」とまで述べている。
たとえ年内の利上げがなかったとしても、
「利上げを継続していく」とい
う発言から見ると、遅かれ早かれ再利上げはあるようだ。
わたしが抱えている 1400 万円の住宅ローンでさえ、0.25%の金利引き上
げで利息負担額が年間３万円増になった。これで、あと１％上昇したら年間
で 12 万円以上の負担増になる。月額１万円増だ。半端な数字ではないことが
お分かりだろう。
しかも、金利の１%アップなど、日銀がその気になればすぐにできるこ
とだ。何千万円ものローンを抱えている人は死活問題である。
繰り上げ返済か長期固定金利への借り換えがお勧め
わたしの住宅ローンの場合、返済がかなり進んでいるので、返済額のう
ち元本返済分の占める分がかなり多い。しかし、ローンを組んで間がない人
は、一般に元本返済分が少ないため、元本がまだまだ残っている。
そんな状態で金利が上がっていったらどうなるか。返済額の見直し時期
が来るまで、返済額が変わらないまま、元本が増えていくという事態も起こ
りうるのだ。そして、５年に１回の見直し時期に大きなショックを味わうこ
とになる。
変動金利で住宅ローンを組んでいるサラリーマンは多い。このコラムを
ご覧の読者も、人ごとではないと思う。
変動金利における金利上昇で問題なのは、冒頭にも述べたように、本人
が事の重大さに気づかないまま、事態が進行していくという点にある。ぜひ
とも、もう一度、ご自分の住宅ローンをじっくり検討していただきたい。
では、どういう対策をとればよいか。
手元の資金に余裕があれば、ボーナスでの繰り上げ返済をお勧めしたい。
94
その余裕がなければ、長期固定金利への借り換えを考えてはいかがだろ
うか。幸い、ゼロ金利解除の直後に上がった長期金利は、現在のところ落ち
着いている。また、銀行間での貸し出し競争が激化しているため、店頭金利
を割り引くところも出てきている。
もしかすると、いまが借り換えのラストチャンスかもしれない。借り換
えローンの概要
日銀のゼロ金利政策解除や金利上昇が現実となり、住宅ローンの借り換え
を検討する人が急増しています。
最近では多くの金融機関で借り換え用のローンを提供しており、条件も多
種多様です。
この章では、借り換えローンの概要について簡単に説明したいと思います。
＜そもそも住宅ローンの借り換えって何？＞住宅ローンの借り換えとは、
今の住宅に住み続けながら現在よりも有利な条件の住宅ローンに変更するこ
とで、これによって月々の返済額を少なくしたり、返済総額を数百万円節約
することができたりします。
公庫ローンから民間金融機関のローンへの借り換え、民間金融機関から別
の民間金融機関のローンへの切り替えといったケースが該当します。民間金
融機関のローンから公庫ローンに借り換えるということはできません。
＜借り換えをするメリットは？＞たとえば、以下のようなことができます。
・返済総額を数百万円も少なくする・長期固定金利に借り換えることで今
後の金利上昇のリスクを回避する・低金利に借り換え、さらに返済期間を短
くして返済総額を大幅に節約・低金利に借り換え、返済期間はそのままにし
て月々の返済額を少なくする
などなど・
・
・
他の章で詳しく述べますが、2
＜どのようなローンに借り換えればいい？＞ローンの借り換えを検討する
場合は、固定金利のローンに借り換えましょう。2006 年から金利を低く抑え
る政策も解除され、今後は金利の上昇が予想されます。今現在の住宅ローン
固定金利の水準は歴史的にみても諸外国先進国の状況をみてもまだまだ低金
利です。しかしいつまでこの状況が続くかわかりません。ですから、今こそ
長期固定金利のローンを利用するタイミングといえます。
＜ローン残高が担保評価額よりも多いけれど大丈夫？＞借り換えと聞くと、
「うちはローン残高が多くて担保評価額より大きいから無理」と思われる方も
います。つまり、現在利用している住宅ローンの借入残高のほうが、物件の
担保評価額（時価）よりも多いため、古いローンの完済ができないのではと
心配されているわけです。けれど心配ご無用です。担保評価額がローン残高
より少なくても借り換えは問題なくできます。そもそも、最近の地価下落の
影響もあって、多くのケースでは担保評価額がローン残高を下回っているの
です。新しいローンで差額分を上乗せして設定するため、ローン残高が大き
95
くても借り換えることが可能なのです。
以上が、借り換えローンの概要です。なんとなくイメージできたでしょう
か？次章以降は、より詳細について検討していきたいと思います。
見直しは早いほうがいい理由∼金利はこれから上昇する政府は金利をあげ
ようとしている日銀は 2006 年 3 月に 2001 年 3 月から 5 年間続いた量的緩和
政策の解除を決定し、続いて 2006 年 7 月には、ゼロ金利政策の解除を決定し
ました。そして 2007 年 2 月、日銀は金融政策決定会合で、政策金利である
短期金利の誘導目標を現行の年 0.25%から 0.5%に引き上げることを決定しま
した。
これらの出来事はこれまで約 10 年にわたって続いてきた超低金利時代が終
わったとを意味します。
日本政府は長引く景気低迷、デフレ対策として積極的に量的緩和政策を導
入し、金利を限りなくゼロに抑えて市場をお金でジャブジャブにすることで
景気浮揚をねらいました。 そして、 その政策の結果かどうかはわかりませ
んが、実際に景気が上向きになってきたために政府は従来の低金利政策を解
除することを決定したわけです。
現在（2007 年 2 月）住宅ローンの長期固定金利の水準は 3%前後ですが、
これでも過去の水準や、他の先進国の水準から比べるとまだまだ低金利です。
今後はもっと上昇するとみて間違いないでしょう。
金利が限りなくゼロに近い状態というのは経済的に不自然であり、ようや
く日本もこれから健全な金利の状態へと戻りはじめたといえます。
どこまで上昇するのか？ ∼ 過去平均は 4.4% それでは、実際にどのレ
ベルまで住宅ローン金利は上昇するのでしょうか？
実際のところは誰にもわかりませんが、過去の金利水準から判断する限り、近
い将来 5%程度にまで上昇したとしても不思議はありません。なぜなら過去 20
年間の変動金利の平均は約 4.4%だからです。ちなみにバブル期には 8.5%と
いう数値に達したこともありました。
過去 平均で 4.4%になることを考えると、今から 20 年、30 年という住宅
ローンを組む場合は最低でも 5%くらいまでは見込んでおく必要があるでしょ
う。できれば 6%以上になったとしても返済が可能なようにシミュレーション
しておくことをお薦めします。
現在はまだ金利が上昇し始めて間もない状況で、これから中長期的に上昇
トレンドを描くことが予想されます。 また、企業の業績も 2006 年頃から急
速に回復しており、2007 年の新卒採用では完全に学生側の売り手市場になっ
ている点からも景気拡大→金利上昇という流れが予想できます。アメリカや
その他先進国の住宅ローン金利はだいたい 5%∼７%程度です。
ちなみに、金利が 1%上昇するだけで、返済額は数百万円増加します。1000
万円を借り入れた場合でも 1%金利が上昇すれば 200 万円以上は利息が増え
96
るのです。
（金利変動が返済額に与える影響についてはコチラのページをご覧
下さい）
これらの事実を考えると、現在変動金利で住宅ローンを組むことは非常に
リスクが高く、現在の水準でも決して高いとはいえない長期固定金利でロー
ンを組んだほうがよいということになります。見直しは早いほうがいい理由
∼金利はこれから上昇する住宅ローンを利用するにあたり、返済総額がどの
くらいになるのか把握している人は意外と少ないものです。ここでは、金利
と返済総額の関係を表にしてわかりやすく把握できるようにしました。1%の
金利変動がどの程度の負担増になるのかイメージできると思います。 （すべ
て元利均等返済・ボーナス払いなしで計算しています）
3,000 万円を 35 年で借りたケース
金利 利息合計 返済総額
6.0% 41,843,903 円 71,843,903 円
5.0% 33,590,647 円 63,590,647 円
4.0% 25,789,617 円 55,789,617 円
3.0% 18,491,124 円 48,491,124 円
2.0% 11,739,109 円 41,739,109 円
2,000 万円を 35 年で借りたケース
金利 利息合計 返済総額
6.0% 27,895,935 円 47,895,935 円
5.0% 22,393,765 円 42,393,965 円
4.0% 17,193,078 円 37,193,078 円
3.0% 12,327,416 円 32,327,416 円
2.0% 7,826,073 円 27,826,073 円
1,000 万円を 35 年で借りたケース
金利 利息合計 返済総額
6.0% 13,947,968 円 23,947,968 円
5.0% 11,196,882 円 21,196,882 円
4.0% 8,596,539 円 18,596,539 円
3.0% 6,163,708 円 16,163,708 円
2.0% 3,913,036 円 13,913,036 円
借り換えたほうがいい人とは？
以下に該当する方は住宅ローンの借り換えを検討したほうがいいでしょう。
現在よりも返済負担を軽くできる可能性が高いです。
変動金利で住宅ローンを借りている人
現在のような低金利市場では、変動金利よりも固定金利のほうが有利です。
今後金利はあがることはあってもこれ以上の低水準になることは考えにくい
97
からです。歴史的にもても、先進国他国をみても 5%程度の水準まで金利が上
昇することは十分現実的です。ですから現在変動金利で住宅ローンを利用し
ている人は、今の長期固定金利が低いうちにぜひ借り換えを検討したほうが
よいでしょう。
段階金利適用が近づいている人
公庫を利用された方などは 11 年目以降に段階金利が適用されて金利が上昇す
るタイプのローンを利用されている場合が多いと思います。この段階金利は
通常 4%程度であり、2007 年現在に借りられる固定金利よりも 1
現在の長期固定金利よりも高い固定金利のローンを利用している人
現在固定金利の住宅ローンを利用している方でも、固定金利でより低金利の
ものがあれば借り換えを検討してみましょう。段階金利で 11 年目以降をむか
えたひとも該当します。1000 万円を超える借入において 1%の金利差は支払
総額で 200 万円以上の違いを生みます。
固定金利選択型の住宅ローンを利用している人
1%のキャンペーン金利（固定金利選択型）で借りた人など、一定期間だけ固
定金利が採用されるタイプの住宅ローンを利用している人は、できるだけは
やく長期固定金利のローンに借り換えることをお勧めします。なぜならこれ
から金利上昇が予想されるからです。今の長期固定金利水準はまだまだ歴史
的にみれば割安といえます。変動金利が適用される前に長期固定金利のロー
ンに借り換えて将来のリスクを回避しましょう。
ゆとり返済・ステップ返済または同様の返済方式のローンを利用している
人
ゆとり返済・ステップ返済または同様の返済方式の住宅ローンは返済負担が
将来増加する非常にハイリスクです。このローンが原因でマイホームを手放
さざるを得ない状況になった人や、自己破産をした人もたくさんいます。で
きるだけ早い段階で固定金利の住宅ローンへ借り換えましょう。
段階金利は要注意
段階金利とは公庫の住宅ローンで昭和 57 年から平成 17 年まで採用されてい
た方式で、最初の 10 年間と 11 年目以降返済終了までの間の金利が異なるも
のです。
10 年目までの金利を「基準金利」、11 年目以降に上昇する金利を「段階金利」
といいます。
そして問題は段階金利は高いということなのです。
11 年目以降の段階金利は 4%となっているものが多く、現在（2007 年春）の
長期固定金利の住宅ローンよりもかなり不利になります。そのため、最近で
は借り換えをする人が急増しています。 最近では平成 9 年∼10 年頃に借り
た人が段階金利が近づくにしたがって次々と民間金融機関の長期固定金利住
98
宅ローンへ借り換えをおこなっています。
ちなみに、平成 9 年の基準金利は約 3%で段階金利は 4
この段階金利という制度はすでに廃止されていますが、廃止前にこのタイプ
のローンを借りてしまった人は、早急に見直しを検討したほうがいいでしょ
う。
具体的な見直し方法ですが、いくつかのパターンがあります。
まず、段階金利がせまっている人やすでに段階金利に突入してしまった人は、
すぐにでも民間金融機関の長期固定金利住宅ローンへ借り換えをおこなうべ
きです。今後住宅ローン金利は上昇することが予想されるため、はやければ
はやいほど低金利で長期固定金利のローンを組み直すことが可能です。
まだ借りて間もない人の場合は、基準金利や今後の経済見通しによって対処
法が変わります。
まず、現在契約している住宅ローンの基準金利が現在の長期固定金利より
も高い場合ですが、このような方は、すぐに低利の長期固定金利ローンに借
り換えたほうがいいでしょう。長期固定金利が上昇する前にはやめに借り換
えを実施するべきです。
現在契約している住宅ローンの基準金利が現在の長期固定金利よりも安い場
合には、すぐには借り換えをおこなわずに内入れや毎月の返済額を増額して
低金利のうちに返済を加速するという選択肢もあります。
たとえば平成 13 年の 7 月ごろには基準金利 2.5%という超低金利でローンを
組むことができました。この低利の間に内いれ（繰上げ返済）をおこなった
り、返済額を増額して借入金残高をできるだけ減らしておき、4%に金利が上
昇する 11 年目に突入する直前に長期固定金利に借り換えるわけです。
ただしこの方法にもリスクがあります。それは長期固定金利が速いペースで
上昇した場合です。現在は長期固定金利が 2%台ですが、あと数年後もこの金
利である保証はどこにもありません。むしろ、今後の金利上昇が予想される
現状ではあまり借り換えを先延ばしにするのは賢い選択とは言えないかもし
れません。
話題 11.2
お金の貸し借りのルールを復習します。
お金を貸したり・借りたりする場合には, 必ず報酬（＝利息）がつきます。預
金者（＝個人・会社・企業等）が金融機関に預金することは, 金融機関が預金
者にお金を借りると考えます。この場合に, 金融機関が預金者に支払う報酬の
割合を預金金利といいます。逆に, 金融機関が顧客（＝個人・会社・企業等）
にお金を貸す（融資）ことは, 顧客が金融機関にお金を借りることになりま
す。この場合に, 顧客が金融機関に支払う報酬の割合をローン金利（貸出金
利）といいます。
貸出金利は預金金利に比べてかなり高いことを知ることが大切です。つい最
近までの超低金利政策の下では, 定期預金の金利 0.02%台に対し, 貸出金利は
2%台でした。なんと 100 倍ですね。昭和 40 年頃には, 預金金利が 6%台になっ
99
たこともありました。その当時の貸出金利は精々預金金利の 2 倍以下でした。
最近では, 歩合表示と百分率表示が混在しているうえに, 自分で金利計算をし
ない人が増えているようです。日常生活で小数計算が得意でも得にはなりま
せんが, 小数の意味を正しく理解していなと損をすることになります。
10% = 1 割 (ワリ), 1% = 1 分 (ブ), 0.1% = 1 厘 (リン),
0.01% = 1 毛 (モウ), 0.001% = 1 糸 (シ)
a
100 円の a%は a 円, 計算 100 ×
= a を思い出してください。歩合は
100
1 分 = 0.01, 1 厘 = 0.001, 1 毛 = 0.001, 1 糸 = 0.0001
小数表示ですので,100 円の a 分は a 円, 計算は 100 × 0.01 × a となります。利
息算の場合に, 利率が歩合表示と百分率表示のいずれであるかを注意する必要
があります。
話題 11.3
新聞・テレビのニュースで金利についての情報を紹介します。
大手銀行は 3 月中旬以降, 相次いで定期預金金利の引き上げを発表している。た
だ, その水準は 1000 万円以上の大口定期預金の 10 年物で年 0.055%と 0.3 ポ
イント程度の上昇にとどまっている。(註：ポイント＝パーセントポイントの
略 以前は0.055 - 0.3/100 = 0.025)
4 日まで募集している個人向け国債（５年物, 固定金利）の利回りが年 1.01%
であることを考えれば, 魅力は少ない。」「大手銀行が「定期預金」を相次い
で引き上げていることから, 日本郵政公社は「
, 定期貯金」のうち預け入れ期
間が 1 年以上の金利をおよそ 5 年 7 か月ぶりに (平成 18 年 4 月)3 日から引
き上げます。金利が引き上げられるのは, 1 年以上から 4 年までの「定期貯
金」で, 預ける年数によって 0.03%から 0.07%だった金利が 3 日から 0.06%か
ら 0.15%に引き上げられます。
問題 11.1
ニュースを知った時点で, もし手元に 1000 万円あれば, どのよ
うな資産運用をしますか。ただし, 株取引はハイリスク・ハイリターンなの
で, 対象外とします。
解説
お金に関する用語の馴れるための問題です。元金は A = 1000 万円
です。大手銀行定期預金 10 年に預金すると金利 0.055%これを歩合に直すと
0.055/100 = 0.00055 ですので 1 年間の利息 = 元金 × 利率：1000× 0.00055 =
0.55 万円です。元金と利息の合計額 1000.55 万円を元利合計といいます。つ
い先日までは, 預金金利 0.02%でしたので,1000 万円を 1 年定期で預金して利
子が 2000 円程度だったことに比べれば, 利子は増えています。
利率の表示には年利・月利・日歩などがあります。年利は 1 年単位の利率, 月
利＝年利/12 です。
日歩:
元金 100 円に対する 1 日の利率
例えば日歩 8 銭 (100 円につき 1 日当たり 8 銭 = 0.08 円の利息) を単利で年
利に直すには 100 円につき 365 日当たりの利息 365 × 0.08 = 29.2(円) とな
100
り, 実質年利は 29.2 パーセントです。
単利と複利
元金 A 円を年利 r(歩合表示）で預金したときの 1 年後の元利
合計は A(1 + r) 円です。
2 年目に引続いて預金するとき, 元金を A(1 + r) 円として計算する方式を複
利計算といいます。2 年目の終わりにの元利合計は A(1 + r)2 円です。複利計
算では,n 年後の元利合計は A(1 + r)n となります。
単利計算は n 年間貯金しても, 利息は元金だけにつける計算方式なので, 元利
合計は A(1 + nr) 円となります。
預金の場合は複利計算ですが, 割賦販売の際には単利計算です。
蛇足
預金利息には 2 割の税金が付きます。
問題 11.2
元金 A = 1, n = 10 として, 年利 r (歩合表示) の複利計算の元
利合計複利 (1 + r)10 の大きさを調べなさい。
f (r, n) = (1 + r)n は 0 < r < 1 を一定にすると,n の指数関数ですか
ら, 急激に大きくなることを期待しますが, r が非常に小さい場合には, f (r, n)
解説
が単利の場合 1 + nr と殆ど変わらないことを下の表で納得してください。
r
f (r, 10)
r
f (r, 10)
r
f (r, 10)
0.0001 1.00100045
0.0002 1.002001801
0.0003 1.003004053
0.001 1.01004512
0.002 1.020180963
0.003 1.030408257
0.01 1.104622125
0.02 1.21899442
0.03 1.343916379
0.0004 1.004007208
0.0005 1.005011265
0.004 1.040727734
0.005 1.051140132
0.04 1.480244285
0.05 1.628894627
0.0006 1.006016226
0.0007 1.007022091
0.0008 1.008028862
0.006 1.061646194
0.007 1.072246668
0.008 1.082942308
0.06 1.790847697
0.07 1.967151357
0.08 2.158924997
昭和 40 年頃には 10 年間で約 2 倍になるといわれていた金利 r の見当がつき
ますか。
問題 11.3
月利 r の銀行に毎月 A 円の積立預金をして n 月経ったとき元利
合計を計算しなさい。(n月目も利息が付くとします）
説明
預金した金額は nA 円です。1 月目に預金した A 円の複利計算での元
利合計は A(1 + r)n です。2 月目の A 円は A(1 + r)n−1 円に, · · · , n − 1 月の A
円は A(1 + r)2 円に,n 月の A 円は A(1 + r) 円に増えています。元利合計は
Sn
= A(1 + r) + A(1 + r) + · · · + A(1 + r) = A
2
n
n
X
(1 + r)k
k=1
(1 + r)n − 1
= A(1 + r) ·
r
101
となります。ここでは等比数列の和の公式
1 + a + a2 + · · · + an−1 =
an − 1
,
a−1
a 6= 1
を使いました。
11.4
ローン返済
お金を借りた場合には, 利息をつけて返済することになりますが, 代表的な
支払方法を調べます。
数学的な考察をするための記号の約束をします。
借入金額： S (万円)
借入月数： m (月)(完済までの月数)
貸出金利: 月利 p(歩合表示)
年利 i パーセントは 月利になおすと i/12 パーセントさらに歩合表示では
p = i/1200 となります。
話題 11.4
「元金均等毎月返済借入法」
元金を毎月均等に返済していく
借入法です。一般に，完済までに支払う利息合計額が最も少ない借入法の一
つです。
問題 11.4
元金均等毎月返済借入法における毎月支払い額と総利息を計算
しなさい。
解説
この返済方法では, 毎月の元金返済額は同じ (元金均等返済) s = S/m
です。利息は元金残高にかかるので，第 k 回目の利息 Rk は残りの元金 S −
(k − 1)s に対して計算されます。
利息の総和 R は
R
= Sp + (S − s)p + (S − 2s)p + · · · + (S − ms)p
µ
¶
m
X
k−1
m+1
S(1 −
=
)p = Sp
m
2
k=1
従って完済までの元利合計返済額 は S + R となります。利息は返済月数 k
が増えると減少するので, 第 k 回目の返済金額も減少します。具体的な数字
を当てはめてみます。
例題
元金均等支払方式で 10 万円を年利 30%で借りて 10 月払いの場合に
毎回の利息を計算しなさい。
解説
年利を月利になおすと 30/12 = 2.5%だから歩合表示では p = 0.025 と
102
なります。月数・残りの元金・毎回利息を表にします。
支払月数
元金 (万円)
毎回利息 (万円)
1
2
10
9
0.25
0.225
3
4
8
7
0.2
0.175
5
6
7
6
5
4
0.15
0.125
0.1
8
9
3
2
0.075
0.05
10
1
0.025
利息合計は 1.375(万円), 支払総額は 11.375(万円) となります。元金が A 万円
の場合にはこの数値を A/10 倍した値になります。消費者金融のような利息
でなくても, 借入期間が長くなると返済総額は大きくなります。
例えば, 元金均等支払方式で 300 万円を年利 3%(長期貸付金利) で借入れて,20
年 (=240 月) 払いとした場合には, 利息合計が 90.375(万円) となります。住
宅購入資金を勤務先から借りる場合の目安となります。
話題 11.5 「元利合計均等毎月返済借入法」 返済全期間にわたって元利合
計額を均等に毎月返済していく借入法です。 元金均等返済法では当初の返済
額が多くて大変だということから考え出された借入法です。
問題 11.5
元利合計均等毎月返済借入法における毎回の支払金額と総利息
を計算しなさい。
解説
この返済法は毎回の元利合計返済額は同じですから 第 k 回目の利息
額 Rk の他に第 k 回目の元金返済額 Sk を考える必要があります。均等であ
ることは Rk + Sk = R1 + S1 (一定) と表されます。利息は元金残高にかかる
ことに注意して，第 k 回目の利息 Rk を計算します。(利息＝元金 × 利率)
より,R1 = Sp は明らかです。初回の元金返済額 S1 を最後に決めることにす
ると, 各回の利息 Rk と元金返済額 Sk は次のようになります：
(S − S1 )p = Sp − S1 p = R1 − S1 p,
R2
=
S2
= S1 + R1 − R2 = S1 (1 + p)
R3
=
S3
= S1 + R1 − R3 = S1 (1 + p)2 ,
···
Rk
(S − S1 − S2 )p = R1 − S1 p{1 + (1 + p)},
······
= R1 − S1 p{1 + (1 + p) + (1 + p)2 + · · · (1 + p)k−2 }
103
= R1 − S1 {(1 + p)k−1 − 1},
Sk
= S1 + R1 − Rk = S1 (1 + p)k−1
借入金 S を完済するということは, 毎回の元金返済額の総和が S に等しいと
いうことです。つまり
S
= S1 + S2 + · · · + Sm =
m
X
Sk
k=1
m
¡
¢ X
(1 + p)k−1
= S1 (1 + p)m−1 + (1 + p)m−2 + · · · + (1 + p) + 1 =
k=1
(1 + p)m − 1
= S1
.
p
これから 初回の元金返済額 S1 は：S1 =
Sp
であることが分か
(1 + p)m − 1
りました。したがって, 毎月の元利合計返済額は R1 + S1 = Sp + S1 となり
ます。完済までの利息合計 R は毎回支払の合計 m(R1 + S1 ) から元金 S を除
いた金額です。
公式 11.1
元利合計均等返済法の総利息 R を求める公式： α = (1 + p)m
として
R = m(Sp +
例題
Sp
(pmα − α + 1)S
)−S =
m
(1 + p) − 1
α−1
元利合計均等支払方式で 300 万円を年利 3%で借入れて,20 年 (=240
月) 払いとした場合の総利息を求めなさい。
解説
p = 0.0025, m = 240 を公式に代入すると
R
pmα − α + 1
= = 0.331
S
α−1
利息合計が R = 300 × 0.331 = 99.3 万円となります。元金均等支払法よりも
利息は高くなっています。
蛇足
初回の元金返済額 a 円の決め方は, 金融機関に月利 p で毎月 a 円を積
立貯金をして m 月目に元利合計が S となるようにしてあります。預金金利が
借入れ金利よりはるかに低いので, お金を貯めてから買物をすることが損をし
ない方法とは分かっていても, 住宅など高額な買物ではローンに頼らざるを得
なくなります。
蛇足
元利合計均等支払法では, 当初は毎月の利息返済額 Rk が元金返済額
Sk を上回ります。どの時点で,Rk < Sk となるかは, エクセルを使えば計算で
きます。経済状況の変化で預金金利が下がった場合に, 一括返済を検討してみ
ましょう。金融機関に借金を返済していることと, 毎月同じ額を貯金する場合
及び手持ち資金とを総合的に判断して, 新しい金利で借換えするか, 一括返済
するかを考える機会です。そのとき問題になるのは, どれだけ未払いの元金が
あるかということですが, 支払通知書を見れば分ります。
104
話題 11.6
リボルビング返済 revolving loan
クレジットの支払方法の
一つで, 回転信用方式, リボ払いなどともいいます。通常の分割返済は利用額
や支払い回数によって毎回の返済額が決まるのに対して, リボルビング返済
は月々の支払金額をあらかじめ決め, 次に利用金額によって返済回数が決まり
ます。
例えば「月々２万円ずつ返す」と決めた場合は, 複数のクレジットを合計して
も支払いは毎月２万円のみ。しかし, 利用額が多くなると当然支払い回数が
多くなり, 利息の負担も大きくなるので注意が必要です。いくらでも利用でき
るわけではなく, 一定のクレジットライン（与信枠）をあらかじめ設定するた
め, その範囲内での利用となります。
ミニマムペイメント（毎月最低限支払義務額）を一定額とする定額リボルビ
ングシステムは, さらに「元利定額」と「元金定額」とに分類されます。元利
定額リボルビングシステムは, ミニマムペイメントを１万円とすると, その１
万円から, まず１ヵ月の残高に対応する利息を差し引き, 残りを元金返済に充
当する方法です。(基本的には元利合計均等返済法と同じ考え方です。）これ
に対し, 元金定額リボルビングシステムは, 元金分１万円に, １ヵ月間の発生
利息を加えた額をミニマムペイメントとする方法です。(元金均等返済法と同
じ考え方です。)
【定率リボルビングシステム】（revolving credit system based on fixed per-
centage minimum payment ）
ミニマムペイメント (毎月の最低支払義務額) を, 前月締め日における残債
(未支払元金) の一定割合（通常は 5%から 10%の範囲) と元金と１ヵ月間の発
生利息を加えた額とする方法のリボルビングシステムを定率リボルビングシ
ステムといいます。例えば, 前月の締め日における残債が 10 万円, ミニマムペ
イメントの定率が 5%, 月間金利が 1%とした場合, 定率リボルビングシステム
での当月のミニマムペイメントは,
10 万円 × 5%
= 5, 000 円（元金返済部分）と
10 万円 × 1%
= 1, 000 円（月間の発生利息）
の合計金額 (5, 000 円 + 1, 000 円 = 6, 000 円) となります。
話題 11.7
「アドオン式毎月返済借入法」
単利で借入期間内の元利合計
を計算し，それを毎月均等に返済する方法です。借入月数が小さい場合が多
く, 品物を月賦販売で購入するときなどに一般的に採用されています。借入
法のなかでは，完済までに支払う総利息額が最も多い借入法の一つであるこ
とは意外に知られていません。
問題 11.6
アドオン式毎月返済借入法における毎回支払金額と総利息を計
算しなさい。 105
解説
この支払法は完済までの利息合計額を元金とともに毎回均等に返済す
る方法です。完済までの利息合計額は R = Spm ですから, 各回の利息額は一
定で R/m = Sp です。毎回の元利合計返済額は S(p + 1/m) です。完済まで
の元利合計総返済額は S + R = S(1 + mp) です。
これまでの返済法との比較のために, 無理な設定をします。すなわち, 10 万円
の品物を月賦販売で購入し, 利率 30%の 10 回払いのアドオン返済法で計算す
ると, 利息合計は 10(万円) × 0.025 × 10(回) = 2.5(万円) となります。実際に
は, 月賦販売の年利は 5%程度ですので, 利息は 10(万円) × 0.05 × 10/12 = 0.42
(万円) 程度ですので, 消費者は返済法の中身までは気付いていないはずです。
蛇足
金利や手数料に気を配って, 金銭を効率的に使うことが大切です。身近
な例として, 土日や 17 時過ぎに銀行の ATM を利用して, お金を引出すと 1 件
につき時間外手数料 105 円が引落されます。(特定の日に限り時間外使用料を
無料としている銀行もあります。)
A 君が土曜日に銀行の ATM を利用して 1 万円引出したとすると,A 君はどの
位の金利でお金を借りたことになるでしょう。105/10000 = 0.0105 です。1
円借りるために 1 日で 0.0105 円必要ですから, 日歩になおすとこの 100 倍, す
なわち 1.05 円＝ 105 銭となります。2 万円引出せば, 金利は半分になります
が, 無駄使いしてはどうしようもありません。
11.5
消費者金融の実態
問題 11.7
解説
金融機関からの借入額の限度はどの位までと考えますか。
「借入額は担保物件の 70 パーセント以下，元利合計の毎月の返済額
は所得の 3 分の 1 以下」が望ましいこととされています。返済契約を守れな
いと軽度は違約金，重度は担保物件の差し押さえという惨めな結末になる。
担保物件がない場合 (消費者金融) は，金利が高くなります。遅延損害金の金
利は実質年利 36.50 ー 40.004 と明記されているものもあります。
担保（たんぽ）とは, 借金や融資を受ける際に, その支払いを保証するための
対象, またその仕組みをいいます。債務の支払い（返済）が困難になった際
は, 担保を債権者に引き渡し, または強制執行手続きにより差押え・換価・競
売を行うことによって債務の履行に代えるようになっています。住宅ローン
の場合には, 建物や土地の権利などの不動産担保を融資元の金融機関が抵当権
1 位に設定します。
問題 11.8
解説
消費者信用産業について説明しなさい。
消費者信用産業は無担保金融です。消費者信用産業は, 販売信用 (分割
払いや翌月一括払い等で商品やサービスを購入するもの) と消費者金融 (商品
等の移転を伴わず資金のみを借り入れるもの) に分けられます。消費者に信
用を与え融資を行う業者 (Creditor) としては, 銀行などの金融機関, 信販会社,
106
消費者金融会社があります。殆どの業者は消費者の便宜のため, カードを発行
しています。消費者はカードを携行し, 必要に応じ ATM などの自動貸出機か
ら必要額を引き出して使い, 後日また, 機械に借入額と利子を返済したり, 自
ら銀行口座等からの振り替えによって返済を行っています。この利便性によ
り, 消費者信用産業は急速な成長をしています。
消費者信用産業の規模
日本クレジット産業協会「消費者信用市場統計 2003
年度末のデータによると, 信用供与額は 73.0 兆円, 信用供与残高は 59.5 兆円
となっています。
内訳は, モノの販売に関わる販売信用市場全体で信用供与額は 37.8 兆円, 信用
供与残高 14.7 兆円, 預貯金担保ローンを除く無担保消費者ローン市場全体で
は信用供与額は 23.6 兆円, 信用供与残高 34.4 兆円です。さらにその中で「消
費者金融専業」は信用供与額は 9.7 兆円, 信用供与残高 10.1 兆円となっていま
す。バブル崩壊後, 日本の消費者信用市場全体ではほぼ横ばいの中で, この消
費者金融専業の市場規模は, 過去 10 年間で約 3 倍の高成長を遂げ,2003 年末
現在で, 約 10 兆円の市場へと成長しております。この市場は今後 5 年から 7
年はまだ成長を続けるものの, 2012 年前後に,14 兆円前後に達した後に, 徐々
に安定成長・成熟期に移行するとの予測があります。
問題 11.9
解説
出資法と利息制限法による金利規制について説明しなさい。
出資法は,1954 年 (昭和 29 年) に制定された法律で, 当初出資法に定め
られた上限金利は日歩 30 銭 (年利 109.5 パーセント) でした。その後, 段階的
に引き下げられ,2000 年 6 月から上限金利は日歩 8 銭 (年利 29.2 パーセント)
となっています。
利息制限法では, 元本の金額によって制限金利を設け, それを超える部分の利
息を無効としています。
元本が 10 万円未満の場合： 年 2 割 (20%)
元本が 10 万円以上 1,00 万円未満の場合： 年 1 割 8 分 (18 元本が 1,00 万円
以上の場合： 年 1 割 5 分 (15 となっています。消費者金融の貸付限度額で
ある 50 万円の場合には, 制限金利は 18%となります。
グレーゾーン金利 (18%を超えて 29.2%以下）は, 民事上は無効ですが, 刑罰
は受けない範囲の金利ということです。
本来は利息制限法を越える部分の金利は払う必要はなく, もし支払ったのであ
ればそれは元金充当され, 過払が生じていれば返還してもらえるのだが, 法定
の契約書類・受取証書が整備され, 契約者が納得の上で自主的に払っている場
合は金利の支払として有効となり, 消費者は返還を求めることができません。
これをみなし弁済（貸金業法 43 条）といいますが実際には, それが認められ
る条件は満たされていないことが多く, 任意整理などをする際には, これをき
ちんと利息制限法の金利で計算し直し, 過払いの残額を返させることが可能で
す。
任意整理とは, 適正な金利に基づいて借金総額を再計算し, これを元に金融業
107
者と交渉・和解を締結する事で, 債務者の状況に合わせた無理のない返済プ
ランを実行する借金整理方法です。
蛇足
平成 18 年 4 月 15 日の新聞・テレビのトップニュースは「金融庁アイ
フルに業務停止命令」でした。
消費者金融大手「アイフル」が 14 日に受けた全店舗の業務停止命令は, 業界
が抱える問題の深さをあらためて示したことになり, 執拗な取立て手法は明
きらかになったことで, 信頼低下を招いたことを指摘しています。このこと
が,2007 年に予定される貸金業制度に見直し検討に影響を与えるとの見通し
が掲載されていました。複数の消費者金融などから借金を重ねる多重債務者
の増加の背景には,「業者側の過剰な貸付や, 返済困難な高金利の問題がある」
との有識者の見解もありました。
蛇足
平成 18 年 4 月 19 日の新聞・テレビの報道では, 金融庁懇談会が貸金
業規制強化の方針として「グレーゾーン金利撤廃」で意見がほぼ一致,21 日に
まとめる中間報告を踏まえ議論をすすめるとありました。撤廃後に、どの程
度の利率で制限するかについては、出資法の上限金利（年 29.2%）を、利息
制限法の上限金利まで引き下げ、それ以上の金利で融資した業者に刑罰が課
せられる制度とすることが望ましいとする意見が多かった。
フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』の記事
平成 18 年 9 月、金融庁がまとめた貸金業規制法改正案が明らかになったが、
その内容は「貸金業制度等に関する懇談会」の答申にほど遠く、特例金利の
撤廃までの猶予期間を「9 年間」とし、その間は現行のグレーゾーン金利をほ
ぼそのまま維持するという内容だった。その背景には、自民党・金融サービ
ス制度を検討する会（甘利明代表）所属議員を中心とする族議員の圧力が存
在するといわれ、同会顧問を務める保岡興治・元法務大臣は 9 月 8 日の TBS
テレビ「朝ズバッ!」に出演して特例金利の維持を訴えた。また、同会事務局
長を務める西川公也・元郵政民営化担当副大臣は民営化後の郵貯資金を貸金
業界に流すべきだと主張した。こうした動きに対し、後藤田正純・内閣府金
融担当政務官が金融庁案は貸金業界への妥協の産物であると反発し、政務官
を辞任した。
同年 11 月、衆議院は貸金業規制法、出資法など関連法案の改正案を全会一致
で可決した。改正法公布後約 3 年後に出資法の上限金利を利息制限法と同水
準に引き下げ、また返済能力を上回る貸出を禁止する内容である。
11.6
多重債務
話題 11.8
多重債務について調べます。
各地の消費者センターや行政・弁護士会の相談窓口には, ここ数年, 多重債務
に関わる相談が数多く寄せられ, なかには, 夜逃げや自殺など深刻な状況に追
い込まれる人もいると, 報じられています。
108
話題 11.9 借りていたお金が返せなくなり多重債務に陥る原因について考
える。
解説
次のことがあげられています。
1. クレジットで無計画に買物を重ねていく。
2. 生活苦・低所得あるいは, 事業資金の資金繰りのために借りてしまう。100
万円の借金からでも多重債務は始まる
3. 友人・知人に頼まれてその責任もわからず連帯保証人になってしまい,
債務を負うことになってしまう。(自己破産する人の約 1 割が該当)
4. 借りる前に金利計算をしっかりしていなかった。
返済額がどの程度になるか, 確たる見通しもないまま借りてしまう。
5. 取り立てに追われ, その場しのぎで別のローンを借りてしまう。
6. 悪質なトイチ業者, 紹介屋, 整理屋の被害にあう。
トイチ業者は 10 日に 1 割（それ以上の場合もあると言われている）の金利を
とるためそう呼ばれているが, チラシ,DM などを使い, 貸金業の登録番号を掲
載している場合もあるので消費者も安心してしまいひっかかりやすい。
話題 11.10
多重債務に陥らないために注意すること。
解説
1. 将来の収入の見通しは慎重に考える。右肩上がりの保証はない。
2. 返済できる計画が立たないお金は借りない。（元利の返済額が可処分
所得の 20%を超えると無理が生じやすいと言われています）。
3. 限度額までだからと安易にキャシングしない。
4. クレジットカードや消費者金融を利用するときは, 金利計算を必ずやっ
てみる。
5. クレジットカードなどの枚数は, 自分で管理できる範囲に止め多くな
り過ぎないように注意し, 友人に貸さないなど自己管理を徹底する。
6. 友人・知人に頼まれても, その責任の範囲を確かめずに安易に連帯保
証人を引き受けない。
7. 返済のための借り入れはしないのが鉄則。その分借金が増え返済額も
増加する。
8. 返済できなくなったら早めに家族や周囲の人などに相談する。
9. 借金返済のための借金に頼らざるをえなくなったり, 度重なる取り立
てで困ったら, すぐに弁護士会などの相談窓口等で相談する。
多重債務に陥ったら, ともかく早めに解決のための相談をしましょう。 家
族・周囲の人, 消費生活センターや自治体の相談窓口, 弁護士会へ！
(www.shiruporuto.jp/kinyu/saimu/saimu.html)
話題 11.11
クレジットの基本的性格を考える。
解説
1. 今買って後で払う 支払い猶予という消費者信用の基本であり, 借り手を
109
信用してクレジット会社が一時的に立て替え, 販売店に支払いを済ませてくれ
ます。返済期日を守らないクレジット利用者は数回の督促の後, 期限の利益を
喪失し, しかも遅延賠償金を課されてしまいます。また, 信用がない者と判断
されると個人信用情報機関にブラック情報として登録されます。
2. 他人の金を使う 商品として現金の融通を受けるので, その一定期間の使
用料として金利を支払うことになります。クレジットの金利の高さを感じる
ことのできる人は少ないようです。
3. 将来の自分の収入を拘束する 最も見過ごされ易い点です。住宅ローン
は不動産という担保があるので, 万が一の時にも物件を手放すという最終手段
があります。クレジットは無担保融資であり, 給与や所得が将来も確実に入っ
てくるという前提条件で融資を受けています。毎月の返済額は当月分の収入
を拘束します。自らの身体が健康で事故もなく過ごしていくであろうという
仮定の上に成り立っています。
参考文献 西村隆男編著： クレジットカウンセリング 多重債務者の生活再
建と消費者教育, 東洋経済新報社, 1997.
蛇足 カードをもつ利点の一つは，外国旅行の際に，ホテルの予約や料金の
支払いの便利さです。カードは, プラスチックマネーとして現金よりも役に立
つますが, 暗証番号の設定には注意が必要です。生年月日・学生番号・電話番
号等の身近な数字を暗証番号に設定すると，身分証明書等からすぐに解読さ
れるて, 悪用される事例が発生しています。
11.7
割引と割増
問題 11.10
(1)
(2)
1 割引きを 10 回繰り返すと，只になりますか？
1 割増しを 10 回繰り返すと，2 倍になりますか？
(3)
(4)
1%引きを 10 回繰り返すと，10% 引きになりますか？
1%増しを 10 回繰り返すと，10% 増しになりますか？
解説
(1 − 0.1)10
=
0.3486784401
10
(1 + 0.1)
=
2.593742460
(1 − 0.01)10
=
0.9043820750
10
=
1.104622125 10.46%増しになります。
(1 + 0.01)
110
只にはなりません。
2.59 倍になります。
9.6%引きになります、
12
ベンフォードの法則
Even more astonishing are the effects of Benford’s Law on number sequences. Intuitively, most people assume that in a string of numbers sampled randomly from some body of data, the first non-zero digit could be any
number from 1 through 9. All nine numbers would be regarded as equally
probable.
But, as Dr. Benford discovered, in a huge assortment of number sequences – random samples from a day’s stock quotations, a tournament’s
tennis scores, the numbers on the front page of The New York Times, the
populations of towns, electricity bills in the Solomon Islands, the molecular
weights of compounds the half-lives of radioactive atoms and much more –
this is not so.
Given a string of at least four numbers sampled from one or more of these
sets of data, the chance that the first digit will be 1 is not one in nine, as
many people would imagine; according to Benford’s Law, it is 30.1 percent,
or nearly one in three. The chance that the first number in the string will
be 2 is only 17.6 percent, and the probabilities that successive numbers will
be the first digit decline smoothly up to 9, which has only a 4.6 percent
chance.
A strange feature of these probabilities is that they are ”scale invariant”
and ”base invariant.” For example, it doesn’t matter whether the numbers
are based on the dollar prices of stocks or their prices in yen or marks, nor
does it matter if the numbers are in terms of stocks per dollar; provided
there are enough numbers in the sample, the first digit of the sequence is
more likely to be 1 than any other.
The larger and more varied the sampling of numbers from different data
sets, mathematicians have found, the more closely the distribution of numbers approaches what Benford’s Law predicted.
12.1
Benford’s law
From Wikipedia, the free encyclopedia
A separate article exists for Benford’s law of controversy.
Benford’s law, also called the first-digit law, states that in lists of numbers
from many real-life sources of data, the leading digit 1 occurs much more
often than the others (namely about 30
Contents
1 Mathematical statement
111
2 Explanation
3 Applications and limitations
3.1 Limitations
4 History
5 References
12.2
Mathematical statement
More precisely, Benford’s law states that the leading digit n in base b(n =
1, · · · , b − 1) occurs with probability proportional to logb (n + 1) − logb (n).
In base 10, the leading digits have the following distribution by Benford’s
law:
Leading digit Probability
Odds(可能性，確率) of Obtaining as 1st Digit (%)
1
2
30.1 17.6
3
4
5
12.5 9.7 7.9
6
7
8
6.7 5.8 5.1
9
4.6
One can also formulate a law for the first two digits: the probability that the
first two-digit block is equal to n(n = 10, · · · , 99) is log10 (n + 1) − log10 (n),
and similarly for three-blocks without leading zeros and longer blocks.
12.3
Explanation
That in general the leading digit 1 should be more common than the
other digits can be understood as follows: start counting from 1: 1, 2, 3,
... As you reach 9, every digit will have been equally likely. But then, from
10 to 19, you only have the leading digit 1, so 1 gets a huge head start.
Only when you reach 99 will all digits be equally likely again. But then 1
gets another huge head start from 100 to 199. And so it continues: 1 has
always a lead, except for very rare exceptions (9, 99, 999, 9999, ...). This is
not particularly satisfactory as an explanation, unless some probability of
stopping counting at some point is also included.
Perhaps somewhat more precisely, suppose X is a random variable whose
probability of being equal to any positive integer x is a constant times x−s ,
where s > 1. The aforementioned ”constant” must then be 1/ζ(s), where ζ
is the Riemann zeta function (see zeta distribution). The probability that
the first digit of X is n approaches log10 (n + 1) − log10 (n) as s approaches
1.
The precise form of Benford’s law can be explained if one assumes that
112
the logarithms of the numbers are uniformly distributed; this means that a
number is for instance just as likely to be between 100 and 1000 (logarithm
between 2 and 3) as it is between 10,000 and 100,000 (logarithm between 4
and 5). For many sets of numbers, especially ones that grow exponentially
such as incomes and stock prices, this is a reasonable assumption.
Another explanation is that if a distribution of first digits exists, it should
be scale invariant. For example the first (non-zero) digit of the lengths
or distances of objects should have the same distribution whether the unit
of measurement is planck lengths, inches, feet, yards, metres, miles, light
years, or anything else. But, for example, there are three feet in a yard, so
the probability that the first digit of a length (e.g. in yards) is 1 must be the
same as the probability that the first digit of a length (e.g. in feet) starts
3, 4, 5, 6, 7, or 8. Applying this to all possible measurement scales gives a
logarithmic distribution, and combined with the fact that log10 (1) = 0 and
log10 (10) = 1 gives Benford’s law. That is, if there is a distribution of first
digits, it must apply to a set of data regardless of what measuring units are
used, and the only distribution of first digits that fits that is the Benford
Law.
Note that for numbers drawn from many distributions, for example IQ
scores, human heights or other variables following normal distributions, the
law is not valid.
However, if one ”mixes” number from those distributions, for example by
taking numbers from newspaper articles, Benford’s law reappears. This can
be proven mathematically: if one repeatedly ”randomly” chooses a probability distribution and then randomly chooses a number according to that
distribution, the resulting list of numbers will obey Benford’s law.
12.4
Applications and limitations
In 1972, Hal Varian suggested that the law could be used to detect possible
fraud in lists of socio-economic data submitted in support of public planning decisions. Based on the plausible assumption that people who make
up figures tend to distribute their digits fairly uniformly, a simple comparison of first-digit frequency distribution from the data with the expected
distribution according to Benford’s law ought to show up any anomalous
results.
In the same vein, Benford’s law can be (and is) used to analyse insurance,
accounting or expenses data and identify possible fraud.
Other uses, for example to analyse the results of clinical trials and election
113
results, have also been proposed.
Limitations Care must be taken with these applications, however. Strictly
speaking, only a set of numbers chosen at random (from a given probability
distribution) is sure to obey the law. A set of real-life data may or may not
obey the law, depending on the extent to which the distribution of numbers
it contains are skewed by the category of data under consideration.
For instance, one might well expect a list of numbers representing ’populations of UK villages beginning with A’ or ’small insurance claims’ to
obey Benford’s law. But if it turns out that the definition of a ’village’ in
this case is ’settlement with population between 300 and 999’, or that the
definition of a ’small insurance claim’ in this case is ’claim between $50 and
$100’, then Benford’s law would be manifestly false because certain numbers have been excluded by the definition of the data category. In the case
of the villages it could be applied but expecting only first numbers to be
3,4,5,6,7,8,9 each getting the same relative probabilities as in the general
case. Being then the probability of 3 equal to: p(3)+p(3)(p(1)+p(2)) Being
p(1), p(2), and p(3) the probabilities for the general Benford’s Law. In the
case of insurance claims, the data will probably not adjust since men could
adjust numbers to fit inside or outside that range.
12.5
History
The discovery of this fact goes back to 1881, when the American astronomer Simon Newcomb noticed that the first pages of logarithm books
(used at that time to perform calculations), the ones containing numbers
that started with 1, were much more worn than the other pages. However,
it has been argued that any book that is used from the beginning would
show more wear and tear on the earlier pages. This story might thus be
apocryphal, just like Isaac Newton’s supposed discovery of gravity from
observation of a falling apple.
The phenomenon was rediscovered in 1938 by the physicist Frank Benford,
who checked it on a wide variety on data sets and was credited for it. In
1996, Ted Hill proved the result about mixed distributions mentioned above.
12.6
References
Frank Benford: The law of anomalous numbers, Proceedings of the American Philosophical Society, 78 (1938), p. 551
Ted Hill: The first digit phenomenon, American Scientist 86 (July-August
114
1998), p. 358. 10pg pdf file Hal Varian: Benford’s law, American Statistician 26, p.65.
12.7
ベンフォードの法則の説明
「１ではじまる数が多いのはなぜか」という話題を紹介します。これはベ
ンフォードの法則と呼ばれている法則です。
たとえば，ベンフォードの法則の簡単な例として，2 のベキ乗 2n を順に並
べてそれぞれの最大桁の数を取り出すと
2, 4, 8, 16, 32, 128, 256, 512, 1024, 2048, · · ·
先頭の数字は
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2 · · ·
となっているのですが，最大桁が ｋ（１ ≤ k ≤ 9）である確率は n → ∞ の
とき，
k+1
k
に収束することが知られています したがって，最大桁の頻度は１が一番
log10
高く
1
→
log10 2 ＝ 0.3010
3
2 → log10 ＝ 0.1761
2
4
3 → log10
3
··· ··· ···
10
9 → log10
＝ 0.0458
9
の順になるというわけですが，驚いたことにベンフォードの法則もパワー則
の表れだというのです．
膨大な数字が並んでいる冊子（例えば会計報告書）には，ランダムに数値が
並んでいるように思えますが，意外なことに１ではじまる数が多いというの
です．
先頭の数字がどのような確率で出現するかを考えましょう．単純に各数字
(0 ∼ 9）の出現確率が同じと考えれば，同じ確率 1/9 で現れるはずですが，
実際には１から始まる数値が圧倒的に多く 30% くらいもあります．
逆に，9 から始まる数値は 4.5% 程度まで落ちるのですが，これはベンフォー
ドの法則 p(k) = log10
115
k+1
k
として知られる法則です．
n 桁の数字までの累積分布を P (n) とすると
Z
k+1
p(k) =
P (n)dn
k
と表されるのですが，ベンフォードの法則は P (n) としてベキ指数１のジッ
プ分布
P (n) ∼
1
n log 10
を仮定することにより
Z
k+1
p(k) =
P (n)dn =
k
log k+1
k+1
k
= log10
log 10
k
と再現できるというのです．
log a =
log10 a
log 10
1 から始まる数字
河川の延長一覧でも、都市の人口一覧でも、原価一覧でもいい、手元に数
字の一覧があれば、その中でどのくらいが 1 から始まっているか確認してほ
しい。おおくの場合、１が最初の桁となっている数字が 3 割前後を占める。
発見者の名をとってベンフォードの法則と呼ばれる現象だ。
手元で確認したなかから例を出すと、日本の百名山のうち 35 の標高が１
からはじまっているし、東京都内の主要地方道の 4 割が 1 から始まっている。
1990 年以降における大学入試センターの数学問題を調べたところ、正答の 4
割が 1 から始まっていたという調査もある。答えにつまったとき、単に鉛筆
を転がすより、まず最初の桁に 1 を記入する方がよいことになる。
入試センターの裏技としては、ルートの中に数字をひとつ入れる場合は 3
が正解である確率が高い、4 択や 5 択の問題では両端が正解になる確率は低
いなども知られている。不思議なことではあるけれど、世の中とはそういう
もののようで、起こりやすいことは起こりやすく、起こりにくいことは起こ
りにくい。
言語ではジップの法則というのが知られている。英語の場合、もっともよ
く使われる単語の出現頻度を 1 とすると、２番目はその 2 分の 1、3 番目は
3 分の 1 と、グラフにすればちょうど右下がりの直線になる。傾きは多少変
わってくるけれど、同様のグラフはほかでも見られる。地震の大きさと発生
頻度、論文の数と引用回数、都市の数と人口規模、戦争の数と死亡者数。新
しいところではウェブページのアクセス数でも話題になった。
116
12.8
数値実験
n
1
2
2n
2
4
3n
3
9
5n
5
25
3
4
8
16
27
81
125
625
5
6
7
32
64
128
243
729
2187
3125
15625
78125
8
9
256
512
6561
19683
390625
1953125
10 1024
11 2048
12 4096
59049
177147
531441
9765625
48828125
244140625
13 8192
14 16384
1594323
4782969
1220703125
6103515625
15 32768
16 65536
17 131072
14348907
43046721
129140163
30517578125
1.52588E + 11
7.62939E + 11
18 262144
19 524288
387420489
1162261467
3.8147E + 12
1.90735E + 13
20 1048576
21 2097152
22 4194304
3486784401
10460353203
31381059609
9.53674E + 13
4.76837E + 14
2.38419E + 15
23 8388608
24 16777216
94143178827
2.8243E + 11
1.19209E + 16
5.96046E + 16
25 33554432
26 67108864
27 134217728
8.47289E + 11 2.98023E + 17
2.54187E + 12 1.49012E + 18
7.6256E + 12 7.45058E + 18
28 268435456
29 536870912
2.28768E + 13 3.72529E + 19
6.86304E + 13 1.86265E + 20
30 1073741824
31 2147483648
32 4294967296
2.05891E + 14 9.31323E + 20
6.17673E + 14 4.65661E + 21
1.85302E + 15 2.32831E + 22
33 8589934592
34 17179869184
35 34359738368
5.55906E + 15 1.16415E + 23
1.66772E + 16 5.82077E + 23
5.00315E + 16 2.91038E + 24
36 68719476736
1.50095E + 17 1.45519E + 25
37 1.37439E + 11 4.50284E + 17 7.27596E + 25
38 2.74878E + 11 1.35085E + 18 3.63798E + 26
117
39 5.49756E + 11 4.05256E + 18 1.81899E + 27
40 1.09951E + 12 1.21577E + 19 9.09495E + 27
41 2.19902E + 12 3.6473E + 19 4.54747E + 28
42 4.39805E + 12 1.09419E + 20 2.27374E + 29
43 8.79609E + 12 3.28257E + 20 1.13687E + 30
44 1.75922E + 13 9.84771E + 20 5.68434E + 30
45 3.51844E + 13 2.95431E + 21 2.84217E + 31
46 7.03687E + 13 8.86294E + 21 1.42109E + 32
47 1.40737E + 14 2.65888E + 22 7.10543E + 32
48 2.81475E + 14 7.97664E + 22 3.55271E + 33
49 5.6295E + 14 2.39299E + 23 1.77636E + 34
50 1.1259E + 15 7.17898E + 23 8.88178E + 34
51 2.2518E + 15
52 4.5036E + 15
2.15369E + 24 4.44089E + 35
6.46108E + 24 2.22045E + 36
53 9.0072E + 15 1.93832E + 25 1.11022E + 37
54 1.80144E + 16 5.81497E + 25 5.55112E + 37
55 3.60288E + 16 1.74449E + 26 2.77556E + 38
56 7.20576E + 16 5.23348E + 26 1.38778E + 39
57 1.44115E + 17 1.57004E + 27 6.93889E + 39
58 2.8823E + 17 4.71013E + 27 3.46945E + 40
59 5.76461E + 17 1.41304E + 28 1.73472E + 41
60 1.15292E + 18 4.23912E + 28 8.67362E + 41
61 2.30584E + 18 1.27173E + 29 4.33681E + 42
62 4.61169E + 18 3.8152E + 29 2.1684E + 43
63 9.22337E + 18 1.14456E + 30 1.0842E + 44
64 1.84467E + 19 3.43368E + 30 5.42101E + 44
65 3.68935E + 19 1.03011E + 31 2.71051E + 45
66 7.3787E + 19 3.09032E + 31 1.35525E + 46
67 1.47574E + 20 9.27095E + 31 6.77626E + 46
68 2.95148E + 20 2.78128E + 32 3.38813E + 47
69 5.90296E + 20 8.34385E + 32 1.69407E + 48
70 1.18059E + 21 2.50316E + 33 8.47033E + 48
71 2.36118E + 21 7.50947E + 33 4.23516E + 49
72 4.72237E + 21 2.25284E + 34 2.11758E + 50
73 9.44473E + 21 6.75852E + 34 1.05879E + 51
74 1.88895E + 22 2.02756E + 35 5.29396E + 51
75 3.77789E + 22 6.08267E + 35 2.64698E + 52
76 7.55579E + 22 1.8248E + 36 1.32349E + 53
77 1.51116E + 23 5.4744E + 36 6.61744E + 53
78 3.02231E + 23 1.64232E + 37 3.30872E + 54
79 6.04463E + 23 4.92696E + 37 1.65436E + 55
80 1.20893E + 24 1.47809E + 38 8.27181E + 55
118
81
82
2.41785E + 24 4.43426E + 38 4.1359E + 56
4.8357E + 24 1.33028E + 39 2.06795E + 57
83
84
85
9.67141E + 24 3.99084E + 39 1.03398E + 58
1.93428E + 25 1.19725E + 40 5.16988E + 58
3.86856E + 25 3.59175E + 40 2.58494E + 59
86
87
7.73713E + 25 1.07753E + 41 1.29247E + 60
1.54743E + 26 3.23258E + 41 6.46235E + 60
88
89
90
3.09485E + 26 9.69774E + 41 3.23117E + 61
6.1897E + 26 2.90932E + 42 1.61559E + 62
1.23794E + 27 8.72796E + 42 8.07794E + 62
91
92
2.47588E + 27 2.61839E + 43 4.03897E + 63
4.95176E + 27 7.85517E + 43 2.01948E + 64
93
94
95
9.90352E + 27 2.35655E + 44 1.00974E + 65
1.9807E + 28 7.06965E + 44 5.04871E + 65
3.96141E + 28 2.1209E + 45 2.52435E + 66
96
97
7.92282E + 28 6.36269E + 45 1.26218E + 67
1.58456E + 29 1.90881E + 46 6.31089E + 67
98 3.16913E + 29 5.72642E + 46 3.15544E + 68
99 6.33825E + 29 1.71793E + 47 1.57772E + 69
100 1.26765E + 30 5.15378E + 47 7.88861E + 69
この表から、100 個のデータで先頭の数字が 1 から 5 までの個数を数えると
次のようになった。（４のべき乗の表は省略した。）
先頭の数字
先頭の数字
先頭の数字
2 のべき乗
3 のべき乗
1
30
28
2
17
19
3
13
12
4 のべき乗
5 のべき乗
32
30
17
18
12
12
119
平均について考える
13
日本人は平均＝人並みが好きであるとよく言われます。平均とはどんなも
のかをよく理解して正しい判断をしましょう。
13.1
平均について
話題 13.1 「平均」という言葉には，ある集団の特性を表す何種類かの統計
的な代表値が混在しています。「平均」の種類を調べます。
平均といえば，最初に思いつくのが小学校以来使ってきた算術平均です。
1.
算術平均（相加平均） データ n 個のデータ (数値)：x1 ，· · · ，xn を加え
て n で割った値 x̄ です。数式で書けば
x1 + x2 + · · · + xn
1X
xk
=
n
n
n
x̄ =
k=1
2. 幾何平均（相乗平均）：n 個のデータ x1 ，· · · ，xn がすべて正のとき，こ
れらデータ全ての積の n 乗根の値 G が幾何平均です。記号で書けば
!1/n
à n
Y
√
xk
G = n x1 · x2 · · · xn =
k=1
Q
（掛け算の記号として，パイ π の大文字
を使います。）
√
n
n
補足説明 a の n 乗根 x = a は x = a となる数 x として定義されます。
√
エクセルで，例えば 2 の 10 乗根 (a = 2，n = 10) の値 10 2 = 21/10 を得たい
ときは，1 つのセルに
= 2^(1/10) と入力して改行（実行）すると 1.071773463
と答えが表示されます。
a+b √
≥ ab (２つの正数の相加平均は相乗平均よ
2
り大きい) は 2 個のデータに関する不等式でしたが，データの個数が n 個の
場合には，次の不等式 (Arithmetic-Geometric Inequality:簡単に AG 不等式)
受験数学で使った公式
が成立ちます。
x1 , · · · , xn は正の数,
√
x1 + x2 + · · · + xn
≥ n x1 · x2 · · · xn
n
等号は x1 = x2 = · · · = xn のときに限り成立ちます。
例題
(幾何平均の例)「ある商人が資本金 A 円で商売を始め，１年間で資本
金を a 倍にし，次の１年間では１年目の終わりの資本金の b 倍にし，また次
の１年では更に資本金を c 倍にしました。平均１年間で資本金を何倍にした
と考えられるでしょう。」
120
解説
3 年間で資本金は abcA 円となります。毎年平均 x 倍になったと考え
ると，3 年間で x3 倍になることから，abcA = x3 A です。すなわち x は abc
の 3 乗根 (幾何平均) です。
蛇足
幾何平均の対数は各データの対数の算術平均です。G の式の両辺の常
用対数をとると
1X
log10 xk
n
n
log10 G =
k=1
3. 調和平均 n 個のゼロでないデータ x1 ，· · · ，xn の逆数 1/x1 ，· · · ，1/xn
の算術平均の逆数が調和平均 H です。すなわち，
1
1 1
1
1
1X 1
= ( +
+ ··· +
)=
H
n x1
x2
xn
n
xk
n
k=1
調和平均を初めて見たという人がいるでしょうが，これまで意識しないで使っ
てきた平均の一つであることを具体例で確かめましょう。
例題 大山登山で，往路（のぼり）は毎時 a km，復路（くだり）は毎時 b
km の速さだったとします。往復で平均の速さは毎時何 km でしょうか。
解説
平均は算術平均と単純に考えて (a + b)/2 と答えた人は、小学校の算
数の時間に勉強した、
「速さ」
「距離」
「時間」の関係を忘れたことを反省して
ください。
山道の片道の距離を d km とします。往路の所要時間は d/a， 復路の所要時
間は d/b です。往復 2d km の距離を歩くのに d/a + d/b 時間を要したので，
(平均の) 速さ =
距離
2d
2ab
=
=
所要時間
d(1/a + 1/b)
a+b
一方 a，b の調和平均 H は
1
1 1 1
a+b
= ( + )=
H
2 a b
2ab
すなわち，往復の平均速度は往路の速度と復路の速度の調和平均に等しいこ
とが分かります。
類題
箱根駅伝の往路で，ある大学チームの 5 人の走者の距離 d1 ，d2 ，· · · ，d5
と平均速度 (時速) a1 ，a2 ，· · · ，a5 から，このチームの平均速度 (時速) を求め
る。
d1
d5
+ · · · + ，全体の距離は d = d1 + · · · + d5 だ
a1
a5
から平均速度は wk = dk /d とおくと
µ
¶
d1 + · · · + d5
1
1
= 1/ w1 ·
+ · · · + w5 ·
(d1 /a1 ) + · · · + (d5 /a5 )
a1
a5
解説
所要時間の合計は
1
(k = 1，· · · ，5) となり，平均
5
速度は各走者の平均速度の調和平均そのものになる。距離が同じでない場合
特に，d1 = d2 = · · · = d5 の場合には，wk =
には，重みつき調和平均になります。
121
4.
メディアン (中位数，中央値)
n 個のデータを大きさの順に並べて，そ
の中央にくる値をメディアン (median) といいます。n が奇数ならば，中央に
丁度 1 個の値があるのでそれがメディアンです。n が偶数ならば，中央に 2
つの値があるので，その 2 個の算術平均をメディアンとします。
メディアンの使い方
あるクラスの身長の状況を数値で表すのに，全員を背
の高さの順に並べて，中央の人の身長をこのクラスの代表値に使う。
5. モード (最頻値， 並み数，流行値） データを度数分布表にするとき，
度数の一番多い階級値をモードといいます。
データ：{2，3，3，3，4，5，5，5，6，6} のメディアンとモードを求める。
10 個のデータが大きさの順に並んでいるので，5 番目と 6 番目のデー
タの算術平均 (4 + 5)/2 = 4.5 がメディアンです。3 と 5 の度数は 3 で 1 番多
例題
解説
いので，モードは 3 と 5 です。
話題 13.2
「平均」(統計データ) のトリックについて。
平均という言葉の意味が非常にルーズなことを利用して，種類の異なった平
均を使い分けることが行われることがあります。ある数字が平均だというこ
とを聞いても，それが算術平均，メディアン，モードのうちのどれであるか
が分からないとあまり意味がありません。例えば，ある町の全世帯の所得平
均は，その町に高額所得者が居れば，算術平均は「平均的な」住民の所得よ
り大きな金額になり，メディアンは高額所得者の影響を受けない小さな金額，
モードはその町のいわゆる平均的所得を表すことになります。日本人の平均
的な考え方というときの平均はモードではないでしょうか。
13.2
日常生活の中の算術平均の意味
話題 13.3
算術平均の意味。
算術平均は「統計」における代表値「ある集団の特性を表す数値」としてだ
けでなく，学校の成績や予算決算の説明，株価の変動等々，日常生活に溢れ
た数値です。算術平均はデータから簡単な計算で容易に得られるので，平均
値を計算するデータの意味について考えることなく，平均値が一人歩きして
いることがあります。
問題 13.1
A 君の成績は国語 70 点，英語 80 点，数学 90 点，B 君の成績は
音楽 100 点，体育 100 点，図工 70 点です。A 君と B 君の 3 科目の算術平均
はそれぞれ 80 点，90 点です。このことから，A 君より B 君が成績優秀である
といえますか。
解説
3 科目の平均点は何を意味しているかと問われると，テストの合計点
を 3 で割った意味しか見つかりません。平均点だけで比較しても，異なる科
目だから比較できませんが，どちらの平均点が上かという形式的な判断材料
122
には利用できます。総合大学の全学部の学生の成績を A = 4，B = 2，C = 1
と数値化して，平均値で成績の順番を議論することは意味がないことです。
しかし，現実には，大学で真面目に勉強しているかどうかの尺度の一つとい
う意味付けで使われることがあります。
問題 13.2
ある人の身長は 167cm，体重は 67kg ，動物性脂肪摂取量 21g/
日である。これらの数値の算術平均 (167 + 67 + 21)/3 = 85 は何を意味しま
すか。
解説
まったく異質・異種のいくつかの量を平均したので何の目安にもな
らないという論理でいけば，異なる科目の平均点と全く同じことになります。
しかし，体の大きいこと（身長・体重）や動物性脂肪摂取量の無意味に思え
る算術平均でも，何かの病気と関係があるという医学的研究結果が出された
途端に意味をもつデータとなります。
問題 13.3
解説
算術平均の特徴を説明しなさい。
定義から分かることは
1. 平均値に総数をかけるとデータの総和が得られます。
2. 統計的な量であり，分散や標準偏差と関わりがあります。
3. 算術平均はデータの中の特別大きい値や特別小さい値に強く影響を受け
ます。
この「算術平均の弱点」を補うために，特別大きい値や特別小さい値を除い
て算術平均をとる方法がとられます。例えば，スポーツ競技での審判員の採
点の平均値の計算法では，最高・最低を除いた得点の算術平均が採用されま
す。
4. 平均をとればデータがなめらかになります（3 項平均）
時系列的に全体の変化を把握するするときに有効な手法です。
例
親元から離れて一人暮らしを始めた諸君が，家計簿を毎日几帳面に記録
して，自分の暮らし方を経済面から検討しようと思ったとします。日々の変
化は，コンパや仲間との付き合い等で凸凹していて，特徴を掴み難いかも知
れません。このような場合には、1 日ずらす毎に前後 3 日間の支出の平均を
計算（3 項平均）してみると，1 月の支出の全体的な傾向を掴むことができま
す。日々の変化の中に「ある法則」を見出す手段として，3 項平均の考え方
は役に立ちます。
13.3
データの散布度
話題 13.4
データのちらばり具合を考慮する必要性について。
問題 13.4
A 組・B 組に同じ数学の問題 (200 点満点) に試験をした結果，
A 組の平均点と B 組の平均点が共に 160 点でした。このことから，両クラス
ともに数学の教育がうまくいっていると考えることができますか。
123
解説
実際の得点状況を調べてみると，A 組では 95 点から 190 点まで得点
の低い人も高い人も含まれていましたが，B 組では 150 点から 170 点までの
得点の似通った人ばかりでした。平均点を比べるだけでは，２つの組の得点
状況を知ることはできません。したがって，平均点だけに基づいた状況判断
は非常に怪しいと考えるべきです。
話題 13.5
データの散らばり具合（散布度）を示す数値を調べます。
1. 範囲 (range)：= (最大値) − (最小値) と定義します。
計算が簡単ですが，範囲が大きすぎる場合には，データの散らばり具合の情
報として役に立たないという欠点があります。
2. 四分位偏差: データの度数を 4 等分するときの値を四分位数といいます。
データを小さいほうから順に並べたとき，第１四分位数 Q1 ，第２四分位数
Q2 ，第３四分位数 Q3 といいます。Q2 は中央値です。
四分位偏差 =
第 3 四分位数 − 第 1 四分位数の差
1
= (Q3 − Q1 )
2
2
四分位偏差は，データの中央値からプラス・マイナス 25%，全体の 50%の範
囲を示す幅を示しています。これは，中央値より詳しいデータの散らばりを
定量的に把握する手段となります。
3. 平均偏差：n 個のデータ x1 ，· · · ，xn の平均を x̄ とするとき，データ xk
と平均 x̄ の差 xk − x̄ を平均からの偏差 (deviation) といいます。偏差の絶対
値の平均を平均偏差といいます。
1X
|xk − x̄|
n
n
平均偏差 (mean deviation) =
k=1
測定値と平均値のずれの程度を表します。統計学的には扱いが難しいのであ
まり使われることはありません。
4. 標準偏差 偏差の平方和の平均 (分散) V の正の平方根 σ を標準偏差と
いう。
n
√
1X
σ = V ， V :=
(xj − x̄)2 .
n j=1
平方根をとる意味は，平均値と同じレベルの数値にすることです。2 乗和に
ついての解説はあまり見かけません。偏差を絶対値と捉えると最大・最小問
題では非常に扱い難いが 2 乗の偏差にすると最大・最小問題の難点が克服で
きるばかりでなく，2 乗することの効果は小さい数の 2 乗はさらに小さく，大
きい数の 2 乗はさらに大きくなるということで，散らばり具合の特徴付けに
貢献しています。
標準偏差は，数値データがある値にまとまっている（各データと平均値の差
が小さい）場合には小さくなり，データが散らばっている（各データと平均
値の差が大きい）場合には大きな値になります。
124
話題 13.6
標準測度 (z スコア，Z スコア，T スコア) について。 データ x ∈ {x1 ，· · · ，xn } を次の式で基準化したものを z1 ，· · · ，zn とします。
v
u n
uX
x − x̄
， σ=t
(xk − x̄)2
z=
σ
k=1
このとき，データ z1 ，· · · ，zn の平均は 0， 標準偏差は 1 となります。これ
を z スコアといいます。この値を見易くするために，次の変形を行ったもの
を Z スコアといいます。
Z = 10z + 50 =
10(x − x̄)
+ 50
σ
データ {Z1 ，· · · ，Zn } の平均は 50， 標準偏差は 10 となります。もしデータ
が正規分布に従うときには， この Z 値を T で表し， T スコアといいます。
T スコアについては， 正規分布表を用いて， 次のことが分かります。
T ≤ 20 or T ≥ 80 は 0.1 パーセント
T ≤ 25 or T ≥ 75 は 0.6 パーセント
T ≤ 30 or T ≥ 70 は 2.3 パーセント
問題 13.5
日常生活の中の分散
A 店と B 店のある商品（例えば，卵の１ケース）の重さの平均は同じである
が，分散は A 店の方が B 店よりも小さいという。このとき， あなたはどち
らの店で卵を買いますか？ 解説
分散が小さいということは，1 ケースの重さのばらつきが少ないこと
を表しています。重いケースと軽いケースを持っただけで識別できる人なら，
分散が大きい B 店に行く方が得ではないでしょうか。子供にお使いを頼む場
合には A 店にします。
125
14
統計調査について
数学教育での「統計的知識」は，平均値や分散の計算が中学校の教科書や
高等学校の「確率統計」の教科書で勉強できる仕組みになっています。しか
し，中学校で興味の持てそうなデータを使って，平均や分散を教えようとす
ると，パソコンを自由に利用できない場合には，統計的な教育には限界があ
ります。しかも，入学試験問題の範囲外となる場合が多く，したがって，デー
タに関する知識を修得する機会がないのが現状です。高等学校の教科書でも，
データ処理の部分は入学試験に出しにくいということで，演習から外される
場合が多いようです。
高等学校で習った数学 (因数分解・微分・積分) が日常生活で役に立つ機会は
滅多にありませんが，統計的な知識は日常生活において非常に有用です。
日常生活では，自分でデータをとってその平均や分散を計算するような機会
は殆どありません。しかし，新聞・テレビのアンケート調査や各種の統計デー
タを見て正しい判断ができる能力を身に付けることが望まれます。アンケー
ト調査を行った結果の数値には不思議な説得力があるという盲点を利用して
いる側の人と騙されている側の人がいるような気がします。一般教養として、
「情報を鵜呑みにしない」知識と見識を持ちたいものです。そのためには統計
調査についての知識が要求されます。
14.1
全数調査と抜き取り調査
統計調査はある集団 Ω(母集団) についての何かの情報 A を得ることを目的
としています。
話題 14.1
統計調査の対象による調査法の分類について説明します。
統計調査を行う際には，母集団の全構成員を対象に調査を行う（全数調査）と
母集団の一部の構成員を対象に調査を行う（抜き取り調査（サンプリング））
という 2 つの方法があります。
統計法 (1947 年施行）には，国勢調査について，第四条で次のように定めら
れています。(原文引用)
1 政府が本邦に居住している者として政令で定める者について行う人口に
関する全数調査で，当該調査に係る統計につき総務庁長官が指定し，その旨
を公示したものは，これを国勢調査という。
2 国勢調査は，これを十年ごとに行わなければならない。但し，国勢調査を
行つた年から五年目に当る年には，簡易な方法により国勢調査を行うものと
する。
余談 14.1
統計法には 指定統計についての定めがあります。
第二条 (原文引用)
この法律において指定統計とは，政府若しくは地方公共
団体が作成する統計又はその他のものに委託して作成する統計であつて総務
126
庁長官が指定し，その旨を公示した統計をいう。
国勢調査は指定統計調査であることはいうまでもありません。
蛇足
国または地方公共団体が実施している統計調査は，
「統計法」と「統計
報告調整法」というふたつの法律に基づいて行われます。これらの調査につ
いては，統計調査に対する市民の信頼を確保するため，統計法で次のことが
定められています
• 調査によって報告された調査対象の秘密を守らなければならない
• 集められた調査票を，原則として，その統計を作成する目的以外に使用し
てはならない
違反した場合の罰則規定もありますので，指定統計調査に従事した場合には，
十分気をつけてください。
話題 14.2
抜き取り調査について考察します。
一般的には，母集団の構成員数があまり大きくない場合には，全数調査が行
われます。何かの意図があって，それに関連した情報が必要であるために行
う民間企業の統計調査をでは，経済性や速報性が求められます。例えば，衣
料や化粧品販売に役立てる意図で，若い女性を対象に今年の流行色について
統計調査する場合には，抜き取り調査で十分です。都市と地方の小学生の体
力測定の比較をする場合にも，抜き取り調査で十分なことが多いようです。
統計調査を行うためには，目的を明確にし，どのような項目でどこまで調査
するかを検討して「調査票」を作成し，調査対象者から回答を得ます。集まっ
た回答の集計作業を行って，統計的な判断をすることになります。電話やイ
ンターネット・パソコンが手軽に使えなかった頃は，調査資料の回収と統計
解析に経費が嵩みました。国勢調査では，調査員の調査費用は約 650 億円が
予算計上されてました。人件費がかなりの部分を占めています。
問題 14.1
解説
抜き取り調査の結果は信用できるものといえますか。
スプーン１杯の味見で鍋全体の味が分かるような理想的な抜き取り調
査は一般にはできません。コーヒー豆の深炒 200g と浅炒 400g を容器に入れ
てよく振った後でスプーンで 1 杯すくって，深炒と浅炒の豆の比率を調べる
と大体 1 対 2 になっています。母集団の成員のどれもが，同じ確率でサンプ
ルに選ばれる取出す方法が望ましいとされています。
話題 14.3
ランダム・サンプリングについて説明します。
母集団から抜取った (抽出した) 一部の成員 ((サンプル)(標本)) が母集団と同
じような情報をもっていることが望まれます。実際には，各成員のもつ特性
がどうであるかを考慮しないで，ただ偶然にゆだねてサンプルをきめるラン
ダム・サンプリング（無作為標本抽出）を行います。偶然にゆだねるという
意味は，母集団のひとつひとつの成員をサンプルとするか否かを，一定の確
率法則に従う手段で選ぶことです。
「でまかせ」や「気分」は人によって一定
127
の傾向を示すことがありますので，
「でたらめ」に決めたサンプルはランダム
サンプルとはいえません。ランダムサンプルで一般的に使われるのは，母集
団の成員のどれにも，同じ確率を与えて，サンプルを取出す方法です。
例題
市営住宅 A 戸を建設して入居者を募集したら B 申込者が B 人いまし
た。入居者をどのようにして決めますか。B 人全員が入居条件を満たしてい
るものとします。
解説
A≥ B なら入居者はすぐに決まります。A<B の場合には，(誰もが
同じ確かさで当たる) くじ引きで決めます。A に比べて B が非常に大きい場
合でも，手軽に くじ引きを行うためには，乱数表を用います。
補足
14.2
サンプリングの方法については，後で詳しく説明します。
アンケート調査
話題 14.4
アンケート調査とはどんなことかを調べます。
アンケート (仏:enquėte) とは，質問調査のことで，元来は対面による会話な
ども含めていましたが，現在では質問紙による調査研究の方法として，社会
調査で用いられています。アンケート調査の目的は，複数の人に対して，同
じ質問をすることで，比較できる意見を集めるたり，回答を定型化すること
で，意見を明確化することです。質問の仕方によって反応が変化するテーマ
について，質問を定型化することで，回答し易くなり安定した回答が得られ
るというメリットもあります。
問題 14.2
インターネットで「世論調査」をキーワードにして検索した
記事の中に朝日 VS 読売，世論調査対決 (2003 年 3 月) がありました。設問
「小泉内閣を支持しますか。支持しませんか。」に対する回答データは次のと
おりでした。この結果をどのように判断しますか。
読売新聞世論調査
(3 月 23 日朝刊)
支持する
42%
(3 月 25 日朝刊)
49.0%
支持しない
45%
13%
39.6%
11.3%
その他・答えない
解説
朝日新聞世論調査
アンケート調査を行う際には，アンケートの設問や前後の説明次第で
回等者の意向が操作できる部分があるといわれています。両新聞のアンケー
ト結果のデータを見比べると，アンケート調査には，設問方法と調査対象者
の選択によって，期待する結論に誘導きるという盲点がることあることが分
かります。アンケート結果をうのみにはできない面があることを知った上で
行動や判断の材料として使うことが肝要です。
話題 14.5
アンケートの対象者の選び方を調べます。
128
アンケートは抜き取り調査ですから，その母集団が何かを理解することが大
切です。不特定多数へのアンケートの場合は，母集団はアンケートに答える
ことができる人全部となります。事柄によっては，その事柄に関係した専門
家の集団が母集団になります。その場合には，専門家の意見を整理するため
に使うという形の調査となります。
参考資料
内閣府のホームページ http://www.cao.go.jp の「政府広報」の
中に「世論調査」の説明があります。
国民から政府へ−広聴活動
広聴活動は，国民の意識や政府施策に関する御意見，御要望を的確に把握
し，政府施策に反映させるためのものです。 広聴活動として，基本的な国
民意識の動向や政府の重要施策に関する国民の意識を把握するための世論調
査を実施するとともに，公募により選定した国政モニターから政府施策に関
する御意見，御要望をお聴きする国政モニター制度を行っています。
「世論調査」http://www8.cao.go.jp は世論調査・特別世論調査・アンケート
調査に分かれています。因みに，世論調査の中には
「外交に関する世論調査（平成 17 年 10 月）」他多数の資料があります。
アンケート調査には
「配偶者等からの暴力に関する有識者アンケート調査（平成 14 年２月）」他
多数の資料があります。
この頁を引用した理由は アンケート調査結果を読む際の注意が丁寧にされ
ていることを知って欲しいと願うからです。折角の素晴らしい説明文なので，
そのまま引用します。
アンケ−ト調査を読む際の注意
アンケート調査とは
1. ここにおけるアンケート調査とは，オピニオンリーダー，あるいは専門
家の集団（以下「有識者」という。）を調査の対象としております。 この調
査を進める上で注意しなければならないのは，有識者の母集団の適切な設定
です。さらに設定された母集団を的確に反映する標本のリスト（名簿）を確
保することです。母集団が適切に設定されていないとどのような層の意見を
聞いているのか不明確になったり，標本のリストが不備であったりすると回
収率の低下を招くなど，収集されるデ−タの信頼性が下がります。
2. 有識者は各界・各分野に渡っており，また調査のテ−マによって必要とさ
れる分野も異なります。そこで日本標準職業分類の分類区分をベ−スに，調
査の対象群として必要な職業分野を選択し，それぞれの分野における専門的
技術的職業従事者及び管理的職業従事者の中から標本の抽出可能な（リスト
が入手できる）職種を選択しています。標本は各分野ごとにリストから無作
為（等間隔）に抽出します。リストはそれぞれの分野・職種を最も代表して
いると考えられる，最新の市販リストによります。 有識者調査の結果をみ
るに当たって，以下の点に注意する必要があります。
129
(1) 有識者の定義は調査及びその主体側の目的によって様々であり，母集団が
明確に定義される「世論調査」とは異なる。従って総理府広報室では「有識
者アンケ−ト調査」という名称を用いている。
(2) 各分野ごとにサンプリングされているため，全分野を合計した結果数値
（総数の数値）は分野の単純平均という意味しかもたない。
14.3
サンプリングの仕方
話題 14.6
標本抽出法について少し詳しく調べます。
標本抽出法には，大きく分けて２種類，確率標本抽出法 (ランダムサンプリン
グ) と比較率標本抽出法があります。母集団に対してきわめて近い特徴を持っ
た標本を抽出するために使用するのが，確率標本抽出法で母集団がきわめて
大きいときや，漠然としているときには，非確率標本抽出法が用いられます。
非確率標本抽出法としては，標本を抽出する際に，母集団の代表と思われる
標本を主観的に選択抽出する 有意抽出法 が使われていた時代があります。し
かし，このようにして得られた標本には偏り（バイアス）があり，誤差の評
価において統計学的な取り扱いが不可能となることがあります。
標本を通して母集団の姿を正確にとらえるためには，標本は母集団を代表し
ている必要があります。単純無作為抽出法は，確率標本抽出法の基本となる
方法です。
問題 14.3
(単純無作為抽出法) N 個からなる母集団から n 個の標本を無
作為に抽出する方法を考えなさい。
解説
1.
2.
母集団の構成要素の全てに通し番号をつける。
N 個の番号から n 個の番号を無作為にひく。
標本を無作為に抽出するしかたは，作意や主観など人為的要素の混入を防ぐ
ために以下のような方法があります。
(1) 乱数サイ といわれる，正 20 面体のサイコロを投げて番号を決める。
(2) カードまたはくじをひく。
(3) 乱数表を用いる。
(4) 抽選器または乱数器を用いて番号を決める。
(5) コンピュータで疑似乱数を発生させる。
話題 14.7
系統抽出法について説明します。
130
母集団の全構成要素に通し番号をつけます。はじめの一つの標本だけは乱数
表などでランダムに選び，それ以降の標本はこの数字から始めて一定間隔で
抽出します。この方法は，標本抽出枠が非常に大きく，単純無作為抽出法が
難しい場合に用いられています。
例えば，母集団の数が 1500 である時その中から 100 選びたいときは，1500/100
= 15 なので，最初の番号を乱数表などを用いて抽出し，そこから等間隔 (イ
ンターバル) に 15 番目ごとに抽出する方法です。番号の付け方に一定の周期
性があるときには偏りが生じるので注意が必要です。
（例えば，生年月日順に
並べらる場合）
話題 14.8
多段抽出法について説明します。
全国規模の大がかりな調査では，前述のような抽出法は作業量が膨大なもの
になります。そこでまず，市町村を抽出単位として無作為抽出し，次に，選
ばれた市町村の中で前述の方法で個体を抽出する方法です。ただし単純無作
為抽出法などに比べると精度が落ちます。
話題 14.9
層別抽出法について説明します。
母集団を層の中では均質で層と層の間は異質になるように分けておいて，各
層から無作為に系統抽出を行います。母集団が個人の集まりである場合の最
も典型的な層別の基準は男女と年齢階級です。そこで，母集団リストを男女
の層にわけて，さらに，男女の各層を年齢別に並べ替えたうえで単純無作為
抽出または系統抽出を行えば，男女と年齢については母集団の構成と同じ割
合の標本が抽出されます。これを，比例割当といいます。こうすることで，男
女や年齢によって異なる行動や意見などその他の特性についても誤差の小さ
い標本を得ることができます。母集団を層別に分けることができる場合には，
この方法が優れています。
14.4
アンケート方法
アンケート方法には，面接法，とめおき法，郵送法，集合法，電話法，電
子法（ネット調査，Web 調査）などがあります。
問題 14.4
解説
面接調査の長所と短所を述べなさい。
調査者が調査対象者に直接会って質問を発し，回答を得る方法です。社
会調査の基本とされ，対象者に会うため身代わり回答や無回答が少なく，質
の良い回答が得られます。質問の範囲，形式，量など，ある程度の融通性を
もたせられるが，調査員によってバイアスがかかることは否めません。それ
を防ぐためには 統一された調査票を用いる場合と 必要とする質問項目を
131
調査員に指示・理解させるなどの方策が必要です。
面接調査法では，大量な調査員を雇わなければならないため経費がかかりま
す。例えば，1500 人対象の社会調査の場合，100 人の調査員を雇い，３日間程
度で担当する調査対象者から聞取り調査を行う場合に，人件費だけでも 100×a
万円かかります。a は調査員 1 人当りの賃金と交通費です。a ≥ 3 と書かれた
資料があります。
問題 14.5
とめおき法について説明しなさい。また長所と短所について吟
味しなさい。
解説
調査テーマについて一定期間の事実を，対象者の手元にとどめておく
調査票に記入してもらう手法。
問題 14.6
郵送法，ＦＡＸ調査について説明しなさい。また長所と短所に
ついて吟味しなさい。
解説
調査票の送りと回答を郵送あるいはＦＡＸでおこなう方法です。経済
的な方法ですが，身代わり回答や無回答が多く，回収率が低いなど得られる
データの質には問題があると言われています。しかし，地域的，時間的制約
に問題がある場合には便利な方法です。
問題 14.7
集合法について説明しなさい。また長所と短所について吟味し
なさい。
解説
ある場所に全員が集まって調査をする方法です。例えば，学校内で
の調査は集合調査です。
問題 14.8
電話法について説明しなさい。また長所と短所について吟味し
なさい。
解説
電話法とは，
（電話番号簿は使わずに）ランダムに作り出した番号に電
話をかけて回答を得る方法（RDD: Random Digit Dialing）を用いる方法で
す。個人でなく世帯対象ですが，無作為抽出に近い調査となります。時間的
制約がある場合，即時性が必要な場合に用いられます。質問の量が多かった
り，内容が込み入っている場合には問題があります。。
電話法の問題点
現実には，固定電話を持たない世帯は母集団から外されて
います。また，都会の一人暮らし世帯に電話がかかる確率が低く，また高齢
者層に偏った結果となることが多いといわれています。例えば，選挙予測な
どでは，伝統的価値観を重視する年齢層や，保守的な層が多く答える結果と
なることが多く，偏った結果となることがあります。さらに，最近の日本で
は，とくに若い世代においては，固定電話を持たない世帯が増えており，無
作為抽出とはならないため，方法としては限界があります。
132
問題 14.9
電子法について説明しなさい。また長所と短所について吟味し
なさい。
解説
インターネット上での調査が近年増えているが，回答者はコンピュー
ター関連企業に勤める 40 歳代以下の男性が多く，回答の代表性にはかなりの
問題がある。
133
15
統計データの判断基準
身の回り各種の統計データの作られ方が理解できたところで，統計データ
が作為的なものでない場合に，どの程度の信頼できるものなのかを統計学的
に検討します。
15.1
視聴率
問題 15.1
視聴率は番組の良し悪しを表していると思いますか。視聴率は
どのように調べているのでしょうか。
解説
視聴率には個人視聴率と世帯視聴率があります。個人視聴率は全国あ
るいは特定の地域を選びそこに居住する一定年齢以上の個人を対象にしてし
らべたもので，世帯視聴率は世帯を単位に調査したものです。世帯視聴率調
査はメータ調査で行われます。メータ調査は
ビデオ・リサーチ社：関東，関西，静岡，中京，札幌，仙台，北九州，広島
の８地区
ニールセン日本支社：関東，関西，中京の３地区
が実施しています。テレビ受像器にメータを設置し，テレビ視聴率を１分単
位で自動的に記録する調査機です。
（3 年前にニールセンがこの業界から撤退
したとの新聞記事がありました。）
問題 15.2
解説
視聴率対象世帯の選び方について調べなさい。
「ビデオリサーチ」社では，
「系統抽出法」という手法を採用していま
す。なお，テレビ局関係者のいる世帯，そして病院，事務所，店舗，寮など
は除かれます。
サンプリングの仕方を関東地区を例にすると
関東地区の総世帯数 15，798，000 世帯（2000 年国勢調査・速報値）
調査対象世帯数（関東地区) を 600 とし，インターバルを決めます。
インターバル =
総世帯数
15，798，000
=
= 26，330
調査対象世帯数
600
乱数表を用いて 26，330 よりも小さな数字をひとつ選び，スタートナンバー
とします。この数字が 1 番目の対象世帯となります。
スタートナンバーにインターバルを加算していき，選ばれる世帯の番号を求
めていきます。
余談 15.1
視聴率調査のサンプル数はイミダス 2000 の記事（860 頁）で
は，200∼300 とあります。しかし，平成 15 年 10 月 31 日山陰中央新報の「
ひょ∼論」
（もりたつや）によれば，関東地区だけでも 600 世帯（2 万 6 千数
世帯分の一）と書かれていました。
134
ある番組をどの位の世帯が視聴しているかを調べるための，視聴率の数字が
示されたとき，その数字をどの程度信用したらよいかを疑問に思うことはあ
りませんか。
モニターの世帯から送られるデータで計算された値と，母集団の行動の関係
をどのように考えたらよいのでしようか。この疑問に答えるキーワードが母
集団比率の推定です。
問題 15.3
ランダムサンプルで調査した比率を母集団の比率の推定値とし
てどの程度信用できるか考えなさい。
解説
数学的な説明から始めます。
母集団が大きく，サンプルの大きさ n がある程度大きい（目安として n ≥ 30）
のとき，調査結果のサンプルの比率（例えば，視聴率，内閣支持率等) が p̄n
であるとします。(p̄n は歩合表示ですので，百分率表現では 100 × p̄n %とな
ります。) このとき，
公式 15.1
母集団の比率 (本当に知りたい情報)p を 95%の確かさで予想で
きる範囲（信頼度 95%の信頼区間）の公式は次のとおりです。
r
r
p̄n (1 − p̄n )
p̄n (1 − p̄n )
p̄n − 1.96
< p < p̄n + 1.96
n
n
信頼度を高くして 99%にすると，信頼区間は，上の公式で 1.96 を 2.58 とし
たものとなります。つまり，信頼度を高めると，予想できる範囲を広げない
とうまくいかなくなります。予想できる範囲が狭い方が，情報としては価値
があります。
例題
ある番組の視聴率を調べるために関東地区の 2 万 6 千数世帯に１戸の
割合にあたる 600 世帯で調査したところ，視聴率は 25%でした。関東地区に
おけるこの番組の視聴率の信頼度 95%の信頼区間を求めなさい。
n = 600，̄
pn = 0.25 として
r
r
p̄n (1 − p̄n )
0.25 × 0.75
1.96
= 1.96 ×
= 0.035
n
600
求める信頼区間は 0.215 < p < 0.285 ，つまり少ない場合で 21.5%，多い場
合で 28.5%と推定して正しい確率は 95%です。
補足
マスコミから知らされる各種データは，抜き取り調査による統計デー
タだけを強調していて，母集団の動向に関するコメント，すなわち，公表し
たデータの信頼度と信頼区間の部分が疎かにされています。
15.2
正規分布
話題 15.1
統計的な事を勉強すると出会うキーワード「正規分布」について。
135
解説
試みにインターネットで「正規分布」をキーワードに検索した結果
のうち，数式を使わない説明を紹介します。(数学的にみて特に著作権に関わ
るような独創的な説明には出会えませんできたので，ホームページの URL は
省略しました。)
(1) 正規分布は，ガウス (Gauss，1777∼1855) によって発見された分布で
す。ガウスの活躍は幅広く，純粋数学から物理，天文学，測地学などに至り
ます。その中の天文学において，天体の位置を測定するときできる誤差から
誕生した分布です。
(2) 大量生産品の部品の寸法を精密に計測した計測値をヒストグラムに描く
と計測値にはいろいろの誤差を含んでおり釣り鐘上のグラフになります。こ
うした誤差を生む原因は製造，計測にかかわる複雑な多くの要因がかかわっ
ているためです。このように多数の原因が互いに不規則に作用するとき，そ
のデータの分布は正規分布になります。
(3) 正規分布は測定誤差などに出てくる分布で，ガウス分布とよばれたり，
白色雑音 (White noise) と呼ばれたりすることもあり，現在の統計理論では
一番基礎となる分布です。
(4) 中心極限定理によれば，任意の確率分布に従う独立な変数を足し合わせ
た変数は，足す変数の数が多くなると正規分布に近付いていくことが知られ
ています。何かを測定した場合の誤差は様々な独立な要因からくる変数の合
計になっているので，正規分布に従うと考えられます（ガウスの誤差論）。
(5) 正規分布のグラフは，平均値を中心とした，山の形をしています。身体
測定の結果をグラフにすると，身長も体重も，どれも正規分布に近い形にな
ります。体重の最小値が 40kg，平均値が 50kg，最大値が 60kg だとすると，
40kg の人は数人しかいませんが，45kg になると 10 人ほどに増え，50kg で
は 20 人にまで増えます。でも，55kg になるとまた 10 人ほどに減って，60kg
になるとまた数人になってしまいます。
(6) 標準的なテストの成績の場合（標準学力検査や知能検査など）は平均点
の近くの人数が一番多く，0 点や 100 点に近づくほど人数が少なくなり，左右
対称の釣鐘型になることが多くなります。このようなグラフの型を正規分布
と言います。全校生徒の１か月のお小遣いの分布，全国の高校生の身長や体
重の分布など，多くの分布の型は正規分布であることが知られています。 正規分布は中央が一番高く，両側に向かってだんだん低くなっていき，左右
対称の釣鐘型をしています。正規分布の場合，この中央の一番高い位置に平
均値がきます。
(7) 正規分布とは，
「ガウス分布」ともいい，特定の母集団における平均値の
前後に，ほぼ同程度で広がる分布のことをいいます。19 世紀に天文学者ガウ
スが発見しました。
(8) 正規分布として仮定して良い場合は以下のような場合です（自然界では，
正規分布として仮定できる分布が多いことが知られています）。
136
• 自然現象の分野: 天文学や物理や化学の実験において，何回もデータを測
定した場合。
• 品質管理の分野: ベアリングの製造において，作られたベアリングの直径
の測定値
(9) 集団の特色や傾向を調べる場合，基本統計量のほかに，度数分布という
手法があります。これは，データを一定の区間に区切り，その区間にあては
まる数を調べた表のことです。度数分布表をグラフにしたものがヒストグラ
ムです。 ヒストグラムが左右対称などの特徴を持つものを正規分布といい，
様々な統計手法を適用できるものです。
(10) 正規分布は，自然現象や社会現象の中に広く見られる分布で，ある畑
にある芋の大きさの分布や工場で大量生産している品物の（例えば，重さ）
のばらつきの分布などがあります。
正規分布の発見者の一人はガウス（Carl Friedrich Gauss 1777∼1855）です
が，アメリカの数学者アドレイン（1775∼1843）もほとんど同時期に独立に
この分布に到達しました。ガウスは天文学や測地学の観測データの処理をも
とに観測誤差論の確立を目指してこの分布を発見しました。
蛇足
正規分布について理解できましたか。数式を使えば簡単に説明できる
ことでも，数学に好意的でない人に何とか分ってもらおうとすると説明が難
しいものだということが納得してもらえれば幸いです。
余談 15.2
成績表の五段階評価法は，成績 X が正規分布 N (µ，
σ 2 ) に従う
として， 評価対象者の
(1)
(2)
6.65% が 「大変良い」 及び 「大変悪い」
24.17% が 「良い」 及び 「悪い」
(3)
38.3% が 「普通」
の評点になります。
平均 µ，分散 σ 2 の正規分布 N (µ，
σ 2 ) の正規分布曲線 y = f (x) と x 軸の間の
面積のうち
(1) x = µ − 1.5σ の左側と x = µ + 1.5 の右側の面積はいずれも全体の 6.68%
(2) µ − 1.5σ ≤ x ≤ µ − 0.5σ ，µ + 0.5σ ≤ x ≤ µ + 1.5σ の部分の面積はい
ずれも全体の 24.17%
(3) µ − 0.5σ ≤ x ≤ µ + 0.5σ の部分の面積は全体の 38.3%
となっています。
問題 15.4
解説
正規分布の数学的な定義を調べなさい。
確率変数 X の度数分布が
f (x) =
1
(x − µ)2
√ exp[−
]
2σ 2
σ 2π
137
で表されるものを， 平均 µ 分散 σ 2 の正規分布とよび， N (µ，
σ 2 ) と表しま
す. 特に， N (0，1) を標準正規分布 といいます。
記号 exp(g(x)) は eg(x) を意味します。e はネピアの数（自然対数の底）です。
実に明快ですが，数学的な予備知識がないと理解できない定義です。この定
義を，数学をなるべく使わずに，何とか初心者にも理解して欲しいと努力し
たものとしては，
「y = f (x) のグラフの形は釣鐘形（ナポレオンの帽子の形）
で x = µ (平均値) を軸にして左右対称である」というものがあります。
問題 15.5
二項分布と正規分布の関係を調べなさい。
解説
二項分布の説明から始めます。
例題
コイン投げで表 (Head) が出る確率 p をとすると，裏 (Tail) の出る確
率は q = 1 − p です。このコインを n 回投げるとき，表が x 回出る確率を求
めなさい。
解説
表の出る回数を確率変数 X とします。（確率変数というキーワードは
今は読み飛ばして結構です。）求める確率は
(k = 0，1，· · · ，n)
P(X = k) =n Ck pk q n−k
このとき「確率変数 X は二項分布 B(n，p) に従う」といいます。具体的に，
5 回中 2 回表の出る確率と聞かれたら簡単な問題でも，一般化すると難しそ
うな公式になります。二項分布の平均は np，分散は npq に等しいことが知ら
れています。
n が大きいとき（目安として n ≥ 30)，二項分布 B(n，p) は正規分布 N (np
，npq) で近似できることが知られています。つまり，確率密度関数
P(X = k) =n Ck pk q n−k ∼ √
1
(k − np)2
exp(−
)
2npq
2πnpq
は近似的に正規分布 N (np，npq) の確率密度関数の値とみなしてよいという
意味です。
問題 15.6
解説
サンプリングと正規分布の関係を調べなさい。
N 個の母集団から n 個の標本を取出す場合，異なる標本の数は NCn で
す。これらの各標本の平均値（標本平均）(x̄n ) の平均は母集団の平均値（母
平均）µ に等しいことが知られています。
また，標本の不偏分散
1 X
(xk − x̄n )2
n−1
n
u2n =
(標本分散の
k=1
を使って，
x̄n − µ
zn = p
u2n /n
138
n
倍）
n−1
を作ります。n がある程度 (大きい目安として n ≥ 30) とき，NCn 個の zn の
値の頻度分布 (度数分布表を折線グラフにしたもの) は，曲線
1
z2
f (x) = √ exp(− )
2
2π
によって近似されます。
この定理は中心極限定理から導かれます。定理の意味は「母集団の頻度分布
がどんな形をしていても大きさ n の NCn 個の異なる標本の各組の zn の頻度
分布は，n がある程度大きいと， 平均 0，分散 1 の正規分布曲線 (標準正規
分布曲線) で近似される」ということです。
α (0 ≤ α ≤ 1) に対し，|zn | が A(α) 以下となる確率が 1 − α となる， すな
わち
P(|zn | ≤ A(α)) = 1 − α
を満たす A(α) は正規分布表から読み取ることができます。
公式 15.2
信頼度 (1 − α) × 100% の母平均 µ の信頼区間は次のの公式で
与えられます。
r
x̄n − A(α) ×
u2n
≤ µ ≤ x̄n + A(α) ×
n
r
u2n
n
信頼度 95%のときは A(0.05) = 1.96， 信頼度 99%のときは A(0.01) = 2.58
を用います。
15.3
推定
問題 15.7
ある地域で 1 日の雨量 (mm) を調べるために，雨量が区画内で
は等しいと考えられる 50000 の区画に分割し，その中から 30 区画を無作為
に選んで測定したところ次の結果を得ました。このとき区画あたりの平均雨
量の信頼度 95%の信頼区間をもとめなさい。有効数字 3 桁までとします。
12，11，13，11，9，10，14，15，10，12
10，11，10，8，9，13，11，13，6，10
11，11，9，10，9，12，12，10，10，13
解説
度数分布表にまとめます：
雨量
6
7 8
9 10 11 12 13 14 15
度数
1
0 1
4
x̄30 = 10.8， u230
8
6
4
4
1
1
r
4.24
= 4.24， 10.8 ± 1.96 ×
= 10.8 ± 0.7
30
信頼度 95%の信頼区間は (10.1mm， 11.5mm) となります。
発展
母集団の頻度分布が正規分布 N (µ，
σ 2 ) で近似できることが予め分って
139
いる場合には，zn を使って母平均 µ の信頼区間を計算できます。この場合に
は，zn が自由度 n − 1 の t-分布とよばれる曲線で近似できることを使います。
(n は標本の大きさです。)
公式 15.3 信頼区間
信頼度 (1 − α) × 100% の母平均 µ の信頼区間は次の
公式で与えられます。
r
x̄n − tα ×
u2n
≤ µ ≤ x̄n + tα ×
n
r
u2n
n
自由度 n − 1 と α を指定すれば，tα は t-分布表から求まります。推定詳しく
は，統計学の本を参照してください。
問題 15.8
ある金属棒の長さを 9 回測定して，次の結果を得ました。
平均の長さ = 257.3(cm)，
不偏分散 u29 = 1.442 (cm2 )
この長さの 95%の信頼区間を求めなさい。ただし，多数回測定した結果（母
集団と考える）の頻度分布は正規曲線で近似できるものとします。有効数字
4 桁まで求めなさい。
解説
n = 9，
α = 0.05 として t-分布表から tα を求めると t8 = 2.31 です。 r
u29
1.44
257.3 ±
= 257.3 ±
= 257.3 ± 1.1
9
3
95%の信頼区間は (256.2，258.4)(cm) です。
15.4
標本数の決め方
母集団比率 P の推定を行う場合に，母集団から大きさ n の無作為標本を取出
し「ある属性 A をもつ場合に 1，そうでないときに 0」と勘定することによ
り，標本比率 pn が求まります。
公式 15.4 標本比率 pn にもとづく母集団比率 P の信頼度 (1 − α) × 100% の
信頼区間の理論的公式は次で与えられます：
Ã
!
r
r
P (1 − P )
P (1 − P )
(1)
pn − A(α)
，pn − A(α)
n
n
実際には，
P が未知なのでの代わりにを用いた式で信頼区間を決定します。
Ã
!
r
r
pn (1 − pn )
pn (1 − pn )
(2)
pn − A(α)
，pn − A(α)
n
n
問題 15.9
母集団比率の推定を抜き取り調査で行う場合に，標本数 n の決
め方を検討しなさい。
140
理論的な信頼区間の幅（信頼幅）L は
r
L = 2 × A(α)
P (1 − P )
n
です。これを標本数 n について解けば
n = P (1 − P )(
0 ≤ O ≤ 1 から P (1 − P ) ≤ (
2A(α) 2
)
L
1
P +1−P 2
) = (AG-不等式) により
2
4
A(α) 2
)
L
α(信頼度) と L(信頼幅) を決めると n(標本数) の上限（大きさの限界）が求
まります。また，予め標本比率 P についての情報
(3) n ≤ (
0 ≤ P ≤ P0 <
1
1
， または， < P0 ≤ P ≤ 1
2
2
が得られている場合には，P (1 − P ) ≤ P0 (1 − P0 ) <
1
ですから，次の公式
4
を使えば，n を小さく見積もることができる。
A(α) 2
(4) n ≤ 4P0 (1 − P0 )(
)
L
例題 ある政策について (賛成・反対) の比率を調査することを計画します。
信頼度 95%で信頼幅 0.02 以内にするためには，標本数はいくらとすればよい
かを計算しなさい。もし，予め賛成の人の比率が 30%以下だとわかっていれ
ば，標本数はどの程度減少しますか。有効数字 2 桁まで求めなさい。
解説
α = 0.05，A(0.05) = 1.96，L = 0.02 公式 (3) により
n≤(
1.96 2
) = 9606 丸めて 9600
0.02
公式 (4) により
n ≤ 4 × 0.3(1 − 0.3) × (
1.96 2
) = 8067 丸めて 8100
0.02
9600 − 8100 = 1500 の標本数の減少となります。
141
16
16.1
仮説検定
基本的な考え方
話題 16.1
母集団の統計的な特性についての判断の仕方（仮説検定）の考
え方と手法について考察します。
問題 16.1
ある正規母集団 (例えば 17 歳男子の身長) N (µ，52 ) の母平均
µ は従来 169cm とされていました。ところが，母集団に影響する条件の変
化があって， 最近の µ は従来と異なるのではないかと言われはじめました。
そこで， 大きさ n = 100 のランダムサンプルで調査したところ， 標本平均
171cm を得ました。この結果を見て， µ は従来と異なると判断して良いかど
うかを検討しなさい。
解説
母集団のあるデータがちらばり具合は変わらないが，平均値の変化を
標本データからどのように判断するかという形の問題です。169cm と 171cm
は数値的には変化していますが，どの程度の確からしさで数値の違いを検証
できるかを問題にします。すなわち，説検定という統計学的な判断方法を解
説します。
判断基準として「最近の µ は従来と同じである」という仮説を立てます。す
なわち，
「H0 : µ = 169」を仮定します。すると，母集団は N (169，52 ) に従う
ので， 大きさ 100 のランダムサンプルの標本平均 x̄n は N (169，52 /100) に
従うことが分ります。(この部分の説明は省略します)。さらに正規化すると
x̄n − 169
zn = p
= 2(x̄n − 169)
52 /100
は N (0，1) に従うことが分ります。(この部分の説明も省略します)
標本平均は x̄n = 171 より z̄n = 4 です。一般論から |z̄n | ≥ 2.58 となる確率は
0.01 であることが正規分布表から分ります。すなわち， |z̄n | が 2.58 以上に
なる確率は 0.01 (1%) であることを示しています。言い換えれば，µ = 169
と仮定した状況で，標本平均 x̄n = 171 が現われる確率が 0.01 であることを
意味します。
「起こりえないと考えられることが現実に起きた」理由は最初の仮説 H0 が
正しくなかったという結論になります。
このとき，統計学では，仮説 H0 は有意水準 1%で棄却されるといいます。H0
が棄却されたので，対立仮説 H1 :
蛇足
µ 6= 169 が有意水準 1%で採択されます。
仮説検定の考え方は「仮説 H0 が正しいとして， 統計・確率的な推
論を行った結果として，何か不都合なことや不自然なことに到達した場合に，
仮説 H0 がおかしいと考えて， H0 を棄却する」というものです。この考え
方は，数学で用いられる背理法に似ています。仮説 H1 : µ 6= 150 からは，統
計・確率的な推論ができないことに注意します。
142
適合度検定
16.2
具体的な問題を通して，仮説検定の考え方を紹介します。
問題 16.2
ある玩具店で買ったサイコロが正常なサイコロであるかどうかを
調べるために，無作為に 300 回投げる実験を行って，次の観測結果を得まし
た。このサイコロは正常なサイコロ (どの目の出る確率も等しい) と見なせま
すか。
目
回数 (観測度数)
解説
1
2
3
4
5
6
計
60 41 57 38 62 42 300
判断基準として「H0 : このサイコロは正常なサイコロである」という
仮説を立てます。つまり， どの目の出る確率も 1/6 と仮定すると， このと
きの各目の期待度数は 300 × 1/6 = 50 となります。各サイコロの目につい
て， 期待度数 Ei と観測度数 Oi の偏差の 2 乗を期待度数で割ったものから
作られる次の基準値を考えます：
χ2 :=
6
X
(Oi − Ei )2
i=1
Ei
実験観察を繰り返すとき， この値 χ2 が近似的に， 自由度 k − 1 の χ2 − 分
布に従うことが知られています。(統計学の本を参照してください)
χ2 − 分布表から χ2 − の値が数 λ より大きくなる事象の確率が α に等しくな
る， 記号で書けば
P (χ2 ≥ λ) = α
ような関係を読みとることができます。（記号 χ2 は「カイジジョウ」と読み
ます。）
有意水準 α が指定されたとき， χ2 分布表から λ を求めて定まる範囲 χ2 ≥ λ
が有意水準 α の棄却域です。
サイコロの例に戻って α = 0.05 (有意水準 5%) の場合には， χ2 − 分布表か
ら λ = 11.07 が分かります。観測値から計算した χ2 の値は 11.64 ですので，
この値は有意水準 5%棄却域（キキャクイキ）に入ります。ゆえに仮説 H0 は
棄却されて，このサイコロは正常なサイコロではないという結論を得ます。
蛇足
サイコロの目の出る確率が均等でない場合でも，それぞれの目の出る
確率 (目 k の出る確率を pk ) を予想すれば，上の問題の 1/6 の代わりに pk を
用いて期待度数を求め，観測度数を用いて同様の計算をすることで，適合度
検定ができる。仮説検定では，予め確率分布を想定することで，実験データ
を検証することに注意する。
課題
適合度検定で判断できるような例題を作りなさい。
143
16.3
分割表
話題 16.2
２つの属性 (事物の有する特徴・性質) の関連性の調べ方を考察
します。
問題 16.3
インフルエンザの予防注射を行って， 次のような調査結果を得
ました。予防注射の効果は認められるか否かを有意水準 1 パーセントで検定
しなさい。
解説
罹患 (りかん)
非罹患
計
注射群
対照群
12
28
38
22
50
50
計 40
60
100
注射群は予防注射をした人の数，対照群は予防注射をしなかった人の
数を意味します。罹患はインフルエンザに罹った (カカッタ) 人の数。
判断基準として「H0 : 注射群と対照群の， それぞれの母集団における罹患率
の差はない」という仮説を立てます。つまり， 予防注射をしてもしなくても，
インフルエンザに罹る率は同じであると仮定します。
この仮説の下で， 100 人中 40 人がインフルエンザに罹っているので， 推定
罹患率は 40/100 = 2/5 となります。これに基づいて， 罹患者の期待値を計
算します。
罹患 (りかん)
非罹患
計
注射群
対照群
20
20
30
30
50
50
計 40
60
100
サイコロの場合と同様に観測度数と期待度数から
χ2 =
(12 − 20)2
(38 − 30)2
(28 − 20)2
(22 − 30)2
+
+
+
= 10.67
20
30
20
30
となります。この χ2 は自由度 1 の χ2 − 分布に従うことが知られています。
有意水準 1%の棄却域は χ2 ≥ 6.63 ですから， 観測値から計算した χ2 の値
10.67 はこの棄却域に入ります。したがって， 有意水準 1%で仮説 H0 が棄却
されて，予防注射の効果が認められるという結論を得ます。
注意 上の例は 2 × 2 分割表とよばれます。場合分けが多くなれば， 一般
に m × k の分割表が得られます。この場合には， 観測度数と期待度数から
計算される χ2 は， 自由度 (m − 1) × (k − 1) の χ2 − 分布に従うことが知ら
れています。検定の手続きは上と同様です。
類例
あるドラマが放映された後， それを観た n 人に感想 (非常に感動， や
や感動， 全然感動せず) を聞いた結果を得たとき， このドラマに対する感動
の度合いに， 男女差が認められるかを判断したい。
課題
外国の統計の本には，分割表の例題として「結婚生活と学歴との関連」
というテーマがありました。どのような分割表を作って，調査を行えばよい
144
かを考えなさい。
参考書
次の 2 冊は，文系の学生が統計的な推定・検定について最初に読む
ことを勧めたい参考書です。
水野恭之著： 看護学系の統計入門， 培風館，昭和 60 年
岡本・北山・脇本著： 文科の数学，共立出版，昭和 53 年
145

ビジネスコラム 第6回 骨格形状と運動特徴 人間の骨格は、遺伝と生活

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