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平成 25 年度電気関係学会東北支部連合大会
2E16
2 次位相スペクトルの差を持つ信号間の位相限定相関関数について
○伊藤理人 † ，八巻俊輔 ‡ ，阿部正英 † ，川又政征 †
†
東北大学大学院工学研究科電子工学専攻
‡
東北大学国際高等研究教育機構学際科学フロンティア研究所
1.
はじめに
4.
位相限定相関 (Plase-Only Correlation: POC) 関数
は 2 つの信号の類似性を評価する関数であり，様々な
分野で応用されている．2 つの信号の位相スペクトルの
差が周波数インデックス k に対して一定または 1 次式
（線形）となる場合，POC 関数にピークが立つ．POC
関数の応用には，このピークの座標と大きさが利用さ
れる．
しかし，位相スペクトルの差が周波数インデックス
k の 2 次式となる場合の POC 関数の性質は解析されて
いない．本稿では，位相スペクトルの差が周波数イン
デックス k の 2 次式の場合の POC 関数の性質を定振
幅零自己相関系列を用いて解析する．また，その結果
から，POC 関数のピークを利用した応用の有効性の範
囲を考察する．
2.
位相限定相関関数
長さ N の 2 つの複素信号 x(n) と y(n) の位相スペク
トルをそれぞれ θk と φk とし，x(n) と y(n) の位相ス
ペクトルの差を αk = θk − φk とする．このとき，x(n)
と y(n) の POC 関数 r(m) は以下の式で定義される．
r(m)= IDFT[ejαk ], m = 0∼N − 1
(1)
次式の場合の POC 関数の解析
本稿では，N mod 2 = 1 かつ gcd(N, u) = 1 の場合
についてのみ解析する．しかし，N mod 2 6= 1 または
gcd(N, u) 6= 1 の場合も同様に解析できる．
位相スペクトルの差 αk が次の式の場合を考える．
αk = −τ2 ·
ejαk = xu (k)WN−τ2 k , k = 0∼N − 1
un(n+1)/2
xu (n) = WN
, n = 0∼N − 1
(2)
ここで，u は ZC 系列の番号を表す整数である．また，
WN = exp (−j2π/N ) は離散フーリエ変換の回転因子
を表す．ZC 系列は時間インデックス n に対して偶対称
である．
文献 [2] より，ZC 系列の離散フーリエ変換 Xu (k) は，
N mod 2 = 1 かつ gcd(N, u) = 1 のとき，以下のよう
に計算される．
(4)
(5)
となる．ここで，u = 2τ2 とおいている．式 (5) を式 (1)
に代入し，
h
i
r(m)= IDFT xu (k)WN−τ2 k , m = 0∼N − 1 (6)
と求められる．この場合の POC 関数は，ZC 系列の逆
離散フーリエ変換を τ2 だけ平行移動したものである．
式 (3) と ZC 系列の偶対称性を用いると，gcd(N, u) = 1
の場合，POC 関数 r(m) は以下のように求められる．
r(m)=
定振幅零自己相関（CAZAC）系列
CAZAC 系列は，時間インデックス n に対して振幅が
一定で，自己相関関数がデルタ関数の系列である [1]．本
稿では，CAZAC 系列の一つの Zadoff-Chu（ZC）系列を
用いて POC 関数の性質を解析する．本稿では，ZC 系列
のみを用いるが，他の CAZAC 系列（Wiener CAZAC，
P4 系列など）を用いても同様の結果が得られる．
長さ N が N mod 2 = 1 の場合の ZC 系列 xu (n) は
以下の式で定義される．
2π 2
k , k = 0∼N − 1
N
ここで，τ2 は定数である．ZC 系列を周波数領域の系列
として考え，位相因子 ejαk を ZC 系列を用いて表すと，
ここで，位相スペクトルの差 αk に対して ejαk を位相
因子と呼ぶ．
3.
位相スペクトルの差が周波数インデックス k の 2
¢
1 ∗ ¡ −1
x u (m − τ2 ) Xu (0),
N u
m = 0∼N − 1
(7)
したがって，
|r(m)|=
X(0)
, m = 0∼N − 1
N
(8)
となり，POC 関数の絶対値は m によらず一定値を持
つ．すなわち，従来の，ピークを利用した応用ができ
ない．
5.
まとめ
本稿では，2 つの信号の位相スペクトルの差が周波数
インデックス k の 2 次式となる場合の POC 関数の性
質を解析した．その結果，この場合の POC 関数の絶対
値 |r(m)| は m によらず一定値となると明らかにした．
すなわち，従来の，POC 関数のピークを利用した応用
ができないことを示した．
参考文献
(3)
[1] J. J. Benedetto, I. Konstantinidis and M. Rangaswamy, IEEE Signal Processing Magazine, Vol.
26, No. 1, pp. 22–31, 2009.
ここで，“∗”は複素共役を表し，u · u−1 mod N = 1 で
ある．
[2] S. Beyme and C. Leung, Electronic Letters, Vol.
45, No. 9, pp. 502–503, 2009.
Xu (k)= x∗u (u−1 k)Xu (0), k = 0∼N − 1

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