1.1 アナログ画像情報の3次元表示 画像の実態は光である。光の強弱、波長の違いが人 間の網膜上の視神経を刺激し、脳の中で、「イメージ」 として認識される。自ら発光している被写体や、被写 体の表面で反射した光が画像情報を形成する。光の 強弱は、画像の明暗濃度（輝度濃度）となり、光の波 長の違いは、色として検知される。これを画像信号処 理では、明暗度や色情報の強度分布が、2次元平面 上に展開された情報信号と解釈する。 Fig1及びFig2は、明暗濃度の変化のみで構成された 白黒画像と、その強度分布の3次元グラフへの表示で ある。2次元空間に展開されたアナログ信号分布とし て考えると、空間座標のX軸方向に水平座標点ｘ、y軸 方向に垂直座標ｙの2つの変数を持つ、2変数関数ｆ (x,y)と定義することができる。関数f(x,y)の出力yが 画像の強度を表す情報となる。 変数x,yと関数出力ｙの3変数が連続である画像を、 アナログ画像という。実際のディジタル信号処理におい ては、このアナログ画像情報（光）を電気信号に変換し て（光電変換）して、前述した3変数が離散的な値にな るように、ディジタル化する。画像のディジタル化は次 の2つの観点で行われる。 ＊画像の標本化(Sampling) 座標(x,y)を離散的な値に変換する空間的離散化。 生成された離散的データ点を画素（Pixel）という。 ＊画像の量子化(Quantization) 強度yを離散的な値に変換する振幅方向の離散化。 離散化された画像は、ディジタル画像として、コンピュー タ上で処理され、さまざまな画像処理が施される。 Mfile：Img3D Fig1 画像の2次元及び3次元表示<事例1> a a b Fig2 画像の2次元及び3次元表示<事例2> b Mfile：IMSS0 1.2 画像情報の標本化 連続なアナログ信号を、離散的なディジタル信号に変換する処理が、標 本化（Sampling）である。Fig1が連続時間の1次元信号の標本化処理で ある。時間の経過と共に、振幅が連続的に変化する信号Fig1aを、時間 間隔T秒毎に存在する単位インパルス関数σ(nT) Fig1bで抜き出すこと で、連続信号Fig1aは、離散時間信号Fig1cとなる。数学的には、連続信 号Fig1aと単位インパルス関数列Fig1bを乗算する。単位インパルス関数 はデラックのデルタ関数ともいわれ、サンプリング点で1（大きさが無限大、 幅が無限小、面積が1）、それ以外で0の値を持つ関数である。サンプリン グ間隔Tの逆数1/Tがサンプリング周波数fsである。 a 画像信号の標本化処理は、2次元空間に 連続的に変化する画像強度の変化を2次 元空間にサンプリング間隔T毎に配置され た2次元単位インパルス関数で標本化する。 Fig2が実際の画像の標本化処理である。 b 連続的な強度変化を持つ2次元画像信号 Fig2aを、2次元平面上に等間隔に並んだ 単位インパルス関数列δ(Px,Py)Fig2bに よって構成されたN×Mの方形標本格子で、 3次元局面をうちむく、これにより水平N画 c 素、垂直M個の画素で構成されたディジタ ル画像が生成される。空間サンプリング間 隔Tの逆数1/Tが画像の空間サンプリング 周波数fsとなる。 Fig1 1次元信号の標本化処理 Fig2 2次元画像の標本化処理 a b c 2.1 移動平均フィルタによる平滑化処理 Mfile：FAVEmex / FAVEm(N) Fig1 NxN移動平均フィルタマトリクス 注目画素を中心とする近傍領域の画素の平均値を、 その画素の代表値（移動平均値）として算出する処 理が移動平均平滑化処理である。 Fig1に示すように、移動平均平滑化を行う領域の 画素に乗算される重み係数は、平均化であるため、 均一であり、水平N画素、垂直N画素の場合、1/K＝ 1/(NxN)である。 例えば、3x3の場合は1/9を、9x9の場合は1/81 を重み係数として指定された領域の画素に乗算し、 総和を取ることで注目画素の値を算出する。 Fig2の原画像aを移動平均マトリクスの次数N＝3， 5，9と増加した場合の平滑化処理の結果をb,c,dに 示す。次数の増加に従い、画像の高周波成分は平 滑化され、細かい繰り返し模様や、エッジ成分が「ぼ けた」画像になっている。ガウスノイズのような、高周 波成分にエネルギーが集中しているノイズの除去な どの効果はあるが、演算の次数が上がる程、平均処 理によって本来の画像の高周波情報まで失ってしま う。 １/K Fig2 １/K １/K K= N x N 注目画素を中心とした NxNの画素領域の画 素値の平均を求める。 １/K １/K １/K １/K １/K １/K 移動平均フィルタによる平滑化処理画像 a 原画像 b c d 2.2 加重平均フィルタによる平滑化処理 加重平均フィルタは、移動平均フィルタのように、 処理を行う領域の画素にすべて同じ重み係数を 掛けるのではなく、注目する画素の重み係数が大 きく、周辺画素の重み係数が、これより小さく設 定されたマトリクスを用いて演算を行う。注目画 素に対して、周辺画素の関与が少ない平滑化処 理が実現できる。 Fig1が加重平均マトリクスの重み係数の設定手 法である。注目画素の係数Ａ0に対して、周辺画 素のA1〜A8の重み係数は、独立に設定でき、 A0を他の係数より大きくする程、平滑化処理の 近傍画素の影響が小さくなってくる。A0〜A8の 総和Ｋで計算値を割ることで、直流成分の変動を 抑える。 Fig2は3種類の加重平均マトリクスによる平滑 化処理した画像である。h1のマトリクスは注目画 素に対して、水平：垂直方向の近傍画素に対して 処理を行うもので、斜め方向の成分に関しては、 平滑化処理を行わない。h2、h3は、注目画素の 重み係数が一番大きく、近傍画素の影響を抑え て処理が実現できる。 Mfile：FAVEpex Fig1 NxN 加重平均フィルタマトリクス A1/K A2/K A4/K A0/K A5/K A6/K A7/K A8/K Fig2 1/5 1/5 1/5 K：A0〜A8の総和 注目画素の係数Ａ0 に対して、周辺画素 のA1〜A8の重み係 数は、独立に設定 加重平均フィルタによる平滑化処理画像 マトリクス h1 0 1/5 0 A3/K 0 1/5 0 マトリクス h2 マトリクス h3 1/16 2/16 1/16 2/16 4/16 2/16 1/16 1/16 1/16 1/10 1/10 1/10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10 1/10 Mfile：sinmix / cosmix 5.1 フーリエ級数 周期性のある信号は、どんなに複雑な波形でも、単純な周 期関数の総和で表すことができる。Fig1は、この元になる周 期関数にSIN関数を用いて、任意の周期信号を合成した事 例である。合成するSIN関数の周波数のうち、最も低い周波 数のSIN波を、「基本波」といい、これ以上の周波数を持つ SIN波を「高調波」という。 この基本波の奇数倍の周期を、持つSIN波で合成した波形 が、Fig1(a)であり、方形波となっている。Fig1(b)は、基本 波の偶数倍のSIN波で合成したもので、三角波となっている。 Fig2(a)、(b)は、COS波で同様の合成を行った事例である。 周期関数の合成にとって最も重要なことは、合成される信号 の周期性を維持するために、高調波の周波数は、基本波の 整数倍である必要がある。(基本波がゼロになるところで高 調波成分もゼロになる必要がある。) 周期的な信号は、SIN 波、CIS波を基本波とし、この整数倍の高調波を組み合わせ て、総和をとることで必ず合成できる。周期関数合成に使用 したSIN、COS成分の係数列を称して、「フーリエ級数」という。 Fig3は、周期信号f(t)のフーリエ級数式であり、a0は信号 f(t)の１周期における平均値、すなわち直流成分である。 Fig3 周期信号f(t)のフーリエ級数式 ∞ f(t) = a 0 + ∑(ancos 2Tπn t + bnsin 2Tπn t) n =1 Fig1 SIN波3次高調波までの合成波形 a b Fig2 COS波3次高調波までの合成波形 a b Mfile：sinsin / sincos / coscos / cossin 5.2 直交基底 信号の周波数解析は、ターゲットとなる信号に、解析のもと になる評価信号が、どの程度含まれているかを求めることで ある。この評価信号となる関数のことを、「基底関数」といい、 抽出された成分を、「基底成分」という。 フーリエ級数における基底関数は、SINとCOSの三角関数で ある。FIg1は、各周波数成分におけるフーリエ級数を求める 式であり、基底関数であるSIN,COS関数と信号x(t)を周期Ｔ の区間の畳込み積分で算出される。 Fig2 SIN波基底同士の内積 Fig1 フーリエ級数の係数算出式 an = T1 ∫ x (t)cos 2Tnπ tdt bn = T1 ∫ x (t)sin 2Tnπ tdt T T 0 0 最適な基底関数に成りえる条件としては、基底関数同士が 互いに影響し合わないことが重要である。基底関数をベクト ルと考えると、他の基底関数とのベクトルの内積がゼロであり、 かつ、それ自身の内積が１になるような関数を選ぶことで、精 度の高い解析が実現できる。内積がゼロの2つのベクトルのな す角度は90°であることから、この基底関数群を「直交基底」 という。 SIN6πtの基底関数に、同一周波数のCOS基底及び周波 数の異なるSIN、COS基底の内積をとった結果を、Fig2、Fig3 に示す。SIN6πt以外との内積の結果は、すべてゼロになって いる。SIN、COS基底は、直交基底である。 Fig3 SIN波基底とCOS基底の内積 6.18 ウェーブレットファミリー(１)：マザーウェーブレット関数 Mfile： WGausPlot / WMorlPlot / WMhatPlot ウェーブレット変換において、マザーウェーブレットとして選択される関数になるためには、観測信号を個々の ウェーブレットに分解でき、且つ分解された個々のウェーブレットを合成して、再び元の観測信号に再構成でき るような基底関数の元となる波動関数でなければならない。 Fig１ 連続ウェーブレット変換のみ可能なマザーウェーブレット ＜マザーウェーブレット関数の必要条件＞ (1)マザーウェーブレット関数の無限区間での積分値が ゼロであること（アドミシッブ条件の成立）。 (2)関数が連続であること（1次微分）。 (3)時間軸上で無限方向に進むに連れて、急速にゼロ に収束するか、ある決められた有限区間以外はゼロで あること。 *ある決められた有限区間のみ波形が存在することを、 「コンパクトサポートを持つ」という。 但し、この条件のみでは、連像ウェーブレットt変換は 可能であるが、離散ウェーブレット変換は不可能である。 離散ウェーブレットのマザーウェーブレットとなるために は、後述する「直交ウェーブレット」としての性質が条件 として追加される。Fig１に連続ウェーブレット変換のみ 可能な代表的なマザーウェーブレット関数を示す。 スケーリング関数 Mfile WGausPlot Gaussian WMorlPlot Meyer WMhatPlot Mexican hat 6.19 ウェーブレットファミリー(2)：直交ウェーブレット 直交ウェーブレット関数には、ウェーブレット 関数と対になるスケーリング関数が存在して おり、この双方の関数をペアにして、観測信 号をレベル毎に分解することで、離散ウェー ブレット変換を可能にしている。 Mfile：WHaarPlot / WMeyerPlot(2) / WDbPlot(2) / WSymPlot(2) / WCoifPlot(2) Fig1 直交性を持つマザーウェーブレット（直交ウェーブレット） スケーリング関数 ウェーブレット関数 Mfile WHaarPlot ＜直交Waveletの条件＞ (1)変換前の観測信号の離散値はスケーリ ング関数を基底関数として表現できる。 (2)ウェーブレット関数とスケーリング関数は、 直交する。両関数の内積がゼロ：干渉しない。 (3)両関数の無限区間での積分値 ウェーブレット関数=0 スケーリング関数=1 (4)トゥースケール関係が成立 伸張されたスケーリング関数、ウェーブレッ ト関数は、分解レベルによらず決まっている 分解数列で補間することで、伸張前のスケー リング関数を復元することができる。言い換 えるなら、伸張前のスケーリング関数を基底 関数として、伸張後のウェーブレット関数、ス ケーリング関数が生成される。 Haar WMeyerPlot(2) Meyer WDbPlot(2) Daubechies WSymPlot(2) Symets WCoifPlot(2) Coifets 6.20 ウェーブレットファミリー(３)：双直交ウェーブレット Mfile： WBiorPlot(3.9) スケーリング関数とウェーブレット関数の整数トランスレート同士は直交していないが、それと対をなし直交 関係にある「共役ウェーブレット関数」「共役スケーリング関数」が存在し、この双対関係にある関数にて、離 散ウェーブレット変換を行う。 ＜双直交ウェーブレットの条件＞ (1)双対な関係にある「スケーリング関数」と「共 役スケーリング関数」同士は直交する。 (２)双対な関係にある「ウェーブレット関数」と「共 役ウェーブレット関数」同士は直交する。 (3)線形位相の性質を持つ。 Fig1 双直交ウェーブレット Biorthogonal3.9 分解用スケーリング関数 分解用ウェーブレット関数 故に分解用、再構成用それぞれのスケーリング関 数及びウェーブレット関数が存在する。 再構成用スケーリング関数 再構成用ウェーブレット関数
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