ゲーム理論入門) 第 3 回演習第 3 回演習問題：次の追加問題 1,2

科学・技術と人間セミナー（ゲーム理論入門) 第 3 回演習
第 3 回演習問題：次の追加問題 1,2 を行え．(ヒント：下の例題 1,2 を参考にせよ)
追加問題 1：プリンターを製造販売しているシスターと言う企業がある．同社では販売促進費として年間 1000 万円の予算
があり, これを法人営業部と個人営業部に配分している．ただし，配分にあたり，年度末に両部から販促プランを提出させ，
シスターにとってより優れたプランに多くの販促費を配分している．法人営業部は A 案と B 案，個人営業部は C 案と D 案
の販促案を立案する．長年の経験から，それぞれ部の案の組み合わせに対して，両部に配分される販促費は次の様に予想さ
れている．この時, 法人営業部と個人営業部はどの案の販促プランを提出すれば良いだろうか？
```
```
``` 個人営業部
```
法人営業部
```
C案
D案
A案
(650, 350)
(550, 450)
B案
(750, 250)
(350, 650)
このゲームを定和 2 人ゲームとして,
(1) 純戦略による法人営業部の max-min 戦略と個人営業部の min-max 戦略を求めよ．
(2) (1) の結果を用いて，純戦略によるナッシュ均衡点が存在するか否かを調べ存在すれば求めよ.
追加問題 2：次のゼロ和 2 人ゲームについて, 純戦略による max-min 戦略と min-max 戦略を求め, 純戦略によるナッシュ均
衡点が存在するか否かを調べ存在すれば求めよ.
HH
HH 2 x2
HH
1
(1)
x1
7
y2
y1
8
3
H
HH
2
x2
HH
1
H
(2)
5
y2
z2
x1
5
3
1
y1
9
4
z1
2
1
HH
HH 2 x2
HH
1
(3)
y2
z2
x1
4
7
4
2
y1
3
5
2
2
z1
4
6
4
例題 1. テキスト p.43 のピザ店の顧客獲得競争ゲーム (2 店のシェア争い)
PP
PP
B店
PP
価格維持
P
A店
PP
価格維持
(5, 5)
値下げ
値下げ
(3, 7)
(7, 3)
(5, 5)
について，このゲームを定和 2 人ゲームとして,
(1) 純戦略による A 店の max-min 戦略と B 店の min-max 戦略を求めよ.
(2) (1) の結果を用いて，純戦略によるナッシュ均衡点が存在するか否かを調べ存在すれば求めよ.
[
]
5 3
の i 行 j 列の成分 aij で表す (A = [aij ]i,j=1,2 ).
(解) (1) A 店の利得行列 A =
7 5
純戦略による A 店の max-min 利得は
max min aij = max(min(5, 3), min(7, 5)) = max(3, 5) = 5 = a22
i
j
より, 純戦略による A 店の max-min 戦略は, 第 2 行の値下げ戦略である.
また, 純戦略による B 店の min-max 利得は
min max aij = min(max(5, 7), max(3, 5)) = min(7, 5) = 5 = a22
j
i
より, 純戦略による B 店の min-max 戦略は, 第 2 列の値下げ戦略である.
(2) 純戦略による A 店の max-min 利得と B 店の min-max 利得を比較すると
max min aij = 5 = a22 = min max aij
i
j
j
i
より, 純戦略によるナッシュ均衡点が存在する. 純戦略によるナッシュ均衡点は（第 2 行戦略, 第 2 列戦略）の（値下げ, 値
下げ）である.
1
例題 2. 次のゼロ和 2 人ゲームについて, 純戦略による max-min 戦略と min-max 戦略を求め, 純戦略によるナッシュ均衡点
が存在するか否かを調べ存在すれば求めよ.
HH
HH 2 x2
HH
1
(1)
x1
3
y2
y1
6
y2
9
H
HH
2
x2
HH
1
H
(2)
x1
5
7
y1
2
[
(解) (1) 行プレイヤー 1 の利得行列 A =
3 9
7
HH
HH 2 x2
HH
1
(3)
9
]
6 7
y2
z2
x1
8
3
2
y1
1
4
7
z1
7
5
5
の i 行 j 列の成分 aij で表す (A = [aij ]i,j=1,2 ).
純戦略による A 店の max-min 利得は
max min aij = max(min(3, 9), min(6, 7)) = max(3, 6) = 6 = a21
i
j
より, 純戦略による行プレイヤー 1 の max-min 戦略は, 第 2 行の y1 戦略である.
また, 純戦略による列プレイヤー 2 の min-max 利得は
min max aij = min(max(3, 6), max(9, 7)) = min(6, 9) = 6 = a21
j
i
より, 純戦略による列プレイヤー 2 の min-max 戦略は, 第 1 列の x2 戦略である.
純戦略による行プレイヤー 1 の max-min 利得と列プレイヤー 2 の min-max 利得を比較すると
max min aij = 6 = a21 = min max aij
i
j
j
i
より, 純戦略によるナッシュ均衡点が存在する
[
] . 純戦略によるナッシュ均衡点は（第 2 行戦略, 第 1 列戦略）の（y1 , x2 ）.
5 9
(2) 行プレイヤー 1 の利得行列 A =
の i 行 j 列の成分 aij で表す (A = [aij ]i,j=1,2 ).
7 2
純戦略による A 店の max-min 利得は
max min aij = max(min(5, 9), min(7, 2)) = max(5, 2) = 5 = a11
i
j
より, 純戦略による行プレイヤー 1 の max-min 戦略は, 第 1 行の x1 戦略である.
また, 純戦略による列プレイヤー 2 の min-max 利得は
min max aij = min(max(5, 7), max(9, 2)) = min(7, 9) = 7 = a21
j
i
より, 純戦略による列プレイヤー 2 の min-max 戦略は, 第 1 列の x2 戦略である.
純戦略による行プレイヤー 1 の max-min 利得と列プレイヤー 2 の min-max 利得を比較すると
max min aij = 5 6= 7 = min max aij
i
j
j
i
より, 純戦略によるナッシュ均衡点は存在しない.


8 3 2


(3) 行プレイヤー 1 の利得行列 A = 1 4 7 の i 行 j 列の成分 aij で表す (A = [aij ]i,j=1,2,3 ).
7 5
5
純戦略による A 店の max-min 利得は
max min aij = max(min(8, 3, 2), min(1, 4, 7), min(7, 5, 5)) = max(2, 1, 5) = 5 = a32 , a33
i
j
より, 純戦略による行プレイヤー 1 の max-min 戦略は, 第 3 行の z1 戦略である.
また, 純戦略による列プレイヤー 2 の min-max 利得は
min max aij = min(max(8, 1, 7), max(3, 4, 5), max(2, 7, 5)) = min(8, 5, 7) = 5 = a32
j
i
より, 純戦略による列プレイヤー 2 の min-max 戦略は, 第 2 列の y2 戦略である.
純戦略による行プレイヤー 1 の max-min 利得と列プレイヤー 2 の min-max 利得を比較すると
max min aij = 5 = a32 = min max aij
i
j
j
i
より, 純戦略によるナッシュ均衡点が存在する. 純戦略によるナッシュ均衡点は（第 3 行戦略, 第 2 列戦略）の（z1 , y2 ）.
2

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