第5回計算機実験1 自然情報学講座瀬戸繭美 [email protected] 前回まで数値積分 • リーマン和! • 台形則! • シンプソン則! • モンテカルロ積分今回モンテカルロ積分の続きと酔歩プログラムの作成課題 10 モンテカルロ法により以下の積分の近似値を求めよ。また真の値と定量的に比較せよ。 (1) x2 +y 2 1 1 (2) 1 3+ ⇥ 1 1 x2 z2 2 y 2 dxdy = 3 1 x2 +y 2 +z 2 1 dxdydz 2 z2 dz = 半径1の円をz軸の周りで半径3で回転させてできるトーラスの体積 ( x2 +y2 3)2 +z2 1 dxdydz ポイントメルセンヌ・ツイスタで[0, 1]の実数の乱数を発生させる関数genrand_real1()を用いて [-1, 1]の範囲で実数の乱数をどうやって発生させるか？酔歩問題 (ランダム・ウォーク) ある対象が一定の確率法則に従いランダムに運動し、その位置や値を決定する過程 • コイン投げ、サイコロの目の出方 • 分子のブラウン運動 • 株価確率変数と確率分布確率変数:! x1, x2, ..., xn の個の値をとる変数Xに対してX = xi になる確率pi が与えられているとき, Xを確率変数という。確率分布:! 確率変数Xとそれに対応する確率P(X = xi)との対応関係。例) コイン投げの場合 X: コインの表が出る回数 P: コインの表がi 回出る確率コイン投げの確率分布例) コイン投げの場合, 続き全ての投数nのうち表が出る確率がpで、裏が出る確率が q = 1 - pであるとする。この時表がi回分子出る確率は、二項分布 i (n i) P(X = i) = nCi p q n! i (n = pq i!(n i)! i) pi 0.30 n = 10 0.25 n = 15 0.20 pとqが等確率ならば n! 1 P(X = i) = i!(n i)! 2 0.15 n 0.10 0.05 0.00 0 2 4 6 8 10 12 14 i 課題 11 t ある分子が進行方向に時間ステップ毎に前進する際、1/2の確率で右に、1/2の確率で左に進むものとする。10000個の分 … 子に対して前進を100回繰り返 2 1 0 した後のxを求め、xの頻度分布と理論値を重ね合わせた図を作成せよ。 … -2 -1 0 1 2 … x 1次元ランダム・ウォークの確率分布全ての歩数nのうち右に移動する回数をn+、左に移動する回数をn - とすると、 n = n+ + n , x = n+ n n+x n x n+ = , n = 2 2 全歩数nにおいて分子の位置xが従う確率分布関数は、 n+x 2 1 P(X = x) = nC n+x 2 2 n! = n+x n x 2 ! 2 ! 1 2 1 2 n x 2 n Mathematicaでの頻度分布の描き方 SetDirectory[“データのあるディレクトリ名”] 頻度 data = ReadList[“data”,Real] (*注:データは一行に書き出しておくこと*) ! (*10000であることを確認*) Length[data] ! Histo = Histogram[data] 10 8 6 4 2 0 !40 50回シミュレーションした時の頻度分布 !20 0 x 20 40 Mathematicaでの二項分布の理論値の描き方 (*確率分布関数の定義*) prob[x_, n_] := n!/((n+x)/2)!/((n-‐x)/2)!/2^n ! (*xiが -‐50 から 50 までの理論値を計算し, xiとpiのセットを作る*) n = 100 numHead = Table[x,{x,-‐50,50}] probSeq = Map[prob[#,n]&,numHead] points = Transpose[{numHead,10000probSeq}] ! Binom = ListPlot[points,PlotJoined-‐>True] ! Show[Histo, Binom] 10 8 頻度! 期待値 50回シミュレーションした時の 6 4 頻度分布と理論値を重ねたもの 2 0 !40 !20 0 x 20 40 y ある分子が進行方向に時間ステップ毎に移動する際、前(y++)、後 … 課題 12 ろ (y--)、右 (x++)、左(x--)にそれ 2 1 0 -1 -2 ぞれ1/4の確率で移動するものとする。10000個の分子に対して移動を10, 50, 100回ずつ繰り返した後のx,yを求め、それぞれの結果 … についてxy平面上に分子の位置をプロットせよ。 … -2 -1 0 1 2 … x Mathematicaでのxy平面上プロットの描き方 SetDirectory[“データのあるディレクトリ名”] data = ReadList[“data”,{Real,Real}] (*注: データは一行につき一回のシミュレーション後の x y を書き出しておくこと*) ! (*シミュレーションの回数が表示されることを確認*) n=Length[data] ! ListoPlot[data,PlotRange-‐>{{-‐50,50},{-‐50,50}},AspectRatio-‐>1] レポート提出 11月28日 (金) 17:00 厳守 • 締め切りに遅れたものは受け取らない! • 数値微分、数値積分、並びに作成した全プログラムを全てホチキスでまとめ、提出! • 提出しない場合は0点。できたところだけでも必ず提出すること！