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台形公式・シンプソンの公式

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「数値的に」積分する�
•  求めたい定積分の範囲を分割し、それぞ
れの範囲において近似的な値を「数値的」
に求める�
数値積分
例えば台形と近似するとこの台形
の面積を数値で求めることが!
できる(台形公式)�
y= x2
台形公式!
シンプソンの公式�
区間幅�!x!
数値積分とは?
y
数値積分の考え方�
求めたい全体の面積を小さな短冊に!
分けて考える�
y
F ( x) =
" f ( x )dx
y=f(x)
S=
S
0
"
b
a
f ( x ) dx
y1
y0
y0 = f ( x0 )
y=f(x) yn
y2 ....yn! 1
y1 = f (x1 )
= F(a) # F(b)
x
a!
b!
F(x )が簡易に求められない時、
あるいは実験値や実測値でyが与えられていて、
!
f(x) を関数で 表せない時、
��➡こういう場合に「数値積分」を行う
S2
S1
x0
x1
......
x2
....x n!1
Sn
xn
x
S = S1 + S2 + ..... + Sn
台形公式2"
ー(複合)台形公式ー
台形公式�
[a, b] をn 等分して幅 h の
各区間の曲線 (y=f(x) )を直
線で近似する
これによりn個の台形を作る
各台形の面積は・・・・
全面積は�
S = S1 + S2 + ..... + Sn
h=
b !a
n
h
( y0 + y1 )
2
h
S2 = ( y1 + y2 )
2
S1 =
........
Si =
h
(y + y )
2 i !1 i
S = S1 + S2 + S3 +........ + Sn
h
= {(y0 + y1 ) + (y1 + y2 ) + ..... + (yn!1 + y n)}
2
h
= {y0 + yn + 2(y1 + y2 + ..... + yn!1 )}
2
h
S = [ f (x0 ) + f (xn ) + 2{ f(x1) + f(x 2 ) +..... + f (xn !1 )}]
2
シンプソンの公式�
シンプソンの公式�
Pi
放物線�
放物線
y
Pi+1
y=f(x)
y = px 2 + qx +r
Pi!1
y
S1
i
S
yi+1
y i!1
h
0
x
a
0
x
1
x2
x i!1 x
i
x
i+1
x n !2 x n !1 x
n
h
x
b
[a,b]をn等分(nは偶数)し、
曲線の各分点の3点を通る2次曲線で近似する。
xi!1
xi -h
xi
xi+1
x i +h
x
任意の相隣る分点 x , x , x
を考える
i-1 i
i+1 S ="
xi +1
x i!1
( px
2
+ qx + r)dx
xi +1
=
# px 3 qx 2
&
+
+ rx
%$ 3
('
2
x
i! 1
p
3
q
2
= ( xi + h) + ( x i + h) + r (x i + h)
3
2
p
q
3
2
! ( x i ! h ) + ( x i ! h ) + r ( xi ! h )
3
2
h
= (6px i2 + 6qxi + 2ph 2 + 6r ).......................(1)
3
一方この放物線は、3点 Pi-1,Pi,Pi+1を通るから
p(x i + h)2 + q(xi + h) + r = yi +1 ..........(2)
2
pxi
シンプソンの公式
+ r = yi .............(3)
p(x i ! h)2 + q(x i ! h) + r = yi !1 ...........(4)
(2)+(3)!4 +(4)を計算すると
p(x i2 + 2xi h + h 2 ) + q(xi + h) + r = yi +1
4 pxi 2
+ 4q(xi )
+ 4r = 4yi
+) p(x i2 ! 2xi h + h 2 ) + q(xi ! h) + r
6px i2
(1)と比較して
h
S = ( yi !1 + 4yi + yi +1)
3
+ qxi
= yi!1
+ 2ph 2 + 6qxi + 6r = yi +1 + 4yi + yi !1
複合シンプソン公式�
Si +1 =
2
h
(yi !1 + 4yi + yi+1 ) (i =1,3,5......,n ! 1)
3
S = S1 + S2 + ............ + Sn
2
注)(1)全区間は必ず偶数の等分割でなければならない
(2)互いに隣接する放物線同志は一般に異なる関数
(不連続)
n
n
#
2
2
&
h
= % y0 + yn + 4" y2 k !1 + 2 " y2k ! 2(
3$
k =1
k=2
'
3次曲線の方程式を
3/8則公式
y = px 3 + qx2 + rx + s
y
3次
P1
P2
P0
P3
S1 = !
y=f(x)
y1
0
( px
3
+ qx2 + rx + s)dx
x +3h
0
p
q
r 2
= " x4 + x 3 +
x + sx$
#4
3
2
%x 0
S1
y
x0 +3 h
x0
h
y2
h
.
.
.
y3
h
x
(複合)3/8則の公式
シンプソン公式の時と同様 次の式が得られる
S1 =
3
h( y0 + 3 y1 + 3y2 + y3 )
8
3
S2 = h( y3 + 3y4 + 3y5 + y6 )
8
Sn3 =
3
h(yn !3 + 3yn ! 2 + 3yn !1 + yn )
8
3/8則の公式
S = S1 + S2 + ........... + Sn
3
n
3
3
= ! h(y3k " 3 + 3y3k" 2 + 3y3 k "1 + y3 k )
k =1 8
n
n
n
3
3
3
&
3 #
= h $y0 + yn + 3! y3k " 2 + 3! y3k " 1 + 2 ! y3 k "3 '
8 %
k =1
k=1
k=2
(
m!
1!
2!
3!
4!
5!
6!
……!
……!
近似曲線� 1次式!
(直線)!
2次式!
3次式�
(放物線)!
4次式�
5次式�
6次式�
ai!
a0=1!
a1=4!
a2=1!
a0=7!
a1=32!
a2=12!
a3=32!
a4=7!
a0=19!
a1=75!
a2=50!
a3=50!
a4=75!
a5=19!
a0=41!
a1=216!
a2=27!
a3=272!
a4=27!
a5=216!
a6=41!
2/45!
5/288!
1/140!
a0=1!
a1=1!
a0=1!
a1=3!
a2=3!
a3=1!
k!
1/2!
1/3!
通称�
台形公式�
シンプソ 3/8則
ンの公式� 公式�
備考�
分割数n
が偶数�
3/8!
演習問題�
区間[0, 1]を4つに分割し、!
(1)  台形公式で!
(2)  シンプソンの公式で!
次の定積分の値を求めよ。�
……!
S=
……!
この変形に ……!
ウエッドルの
公式がある�
分割数 (それぞれ左記と同様の注意が必要である)�
nが3の
倍数�
!
1
dx
" 1+ x
0
2
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