第６章流体の運動方程式の記述 - 161 - 第６章流体の運動方程式の記述すでに、第 5 章において流体は連続体であり、流体内の微小部分に無数に集まっている粒子の塊、すなわち微小な体積要素に注目して、体積要素内での質量保存の考え方を基礎として、連続の式の導出方法を学んだ。ここでは、微小な体積要素に作用する力のつりあいを考え、主としてニュートンの運動の第２法則を用いて、流体の運動方程式を記述する方法を学ぶ。 6.1 流体運動の記述方法流体の運動の記述にはつぎの２つの方法がある。１）ラグランジュ（Lagrange）の方法この方法は、特定の流体塊に注目し、その位置における、速度、圧力、温度などの変化を時々刻々追跡する方法である。例えば、時間 t  0 で、直交座標系 x, y, z  において x0 , y0 , z 0  にあった流体が時刻 t  t a において位置 xa , ya , z a  に移動した場合、 x a  f 1 ( x0 , y 0 , z 0 , t ) ； y a  f 2 ( x0 , y 0 , z 0 , t ) ； z a  f 3 ( x0 , y 0 , z 0 , t ) (6.1) として、 t  t a における新しい移動後の座標位置を求める方法である。質点の力学では多くの場合この方法が用いられる。２）オイラー(Euler)の方法空間内のすべての位置における速度、圧力、温度などを座標の関数として表す方法である。例えば、任意の時刻 t に任意の位置 x, y, z  にある流体塊の速度成分 u, v, w 、圧力 p 、温度 T および密度  を、それぞれつぎのように与える。 u  g1 ( x, y, z, t ) ； v  g 2 ( x, y, z, t ) ； w  g 3 ( x, y, z, t ) p  g 4 ( x, y, z, t ) ； T  g 5 ( x, y, z, t ) ；   g 6 ( x, y, z, t ) （6.2）熱流体の場合、特定の流体塊を追跡しながらその位置を確認するのは極めて困難であるから、一般的にオイラーの方法を用いることが多い。（第 5 章ではこの方法の一部を学んだ。） 6.2 運動する流体の加速度ここでは、運動方程式をたてるために必要となる加速度について考えることにする。 - 162 - 6.2.1 直交座標系における流体の加速度図 6.1 において、オイラーの方法に基づき、点 A を時刻 t に通過した流体塊の加速度を表現してみる。(以下、ベクトル量は斜体大文字または赤色で表す。）・点 A の速度ベクトルを VA =V x, y, z, t  VB Z VA B A y X 微小時間 dt 後、点 A の流体は点 B を通過した。そ図 6.1 のときの速度を VB =V x  dx, y  dy, z  dz, t  dt  流体の運動軌跡とする。ただし、 dx, dy, dz は時間 dt 経過後における x, y, z  方向への移動量。・移動量 dx, dy, dz について、 dt 時間後の移動量は、 x, y, z  方向の速度成分を u, v, w とすれば、 dx  udt ； dy  vdt ； dx  wdt （m ）である。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------注）ここで、つぎのようなテイラー展開公式を思い出す。すなわち関数 V (x) の dx 離れた位置における値 V ( x  dx) は、 V ( x  dx)  V ( x)  dV ( x) dx dx (以下高次の項は省略) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------したがって、その差 V ( x  dx)  V ( x) は、 V ( x  dx)  V ( x)  dV ( x) dV ( x) dx  udt dx dx すると、加速度α  x , y , z は、 V x  dx, y  dy, z  dz, t  dt   V x, y, z, t  dt dt  0   lim 1  V V V V    lim dt  dx  dy  dz  x y z  dt  0 dt  t V V V V  u v w t x y z - 163 - （6.3）となる。式（6.3）の右辺第１項は局所加速度（local acceleration）とよばれ、流れの非定常性による速度変化である。第２～第４項は対流加速度（convective acceleration)とよばれ、流体が移動したことによる速度変化分である。・実質加速度（substantive acceleration）実質加速度はつぎのように表記されることもある。 DV Dt ここで、式(6.4)中の D Dt は  （6.4） D      u v w Dt t x y z （6.5）を意味し、 D を実質微分（material derivative）といい、流体塊が保有する物 Dt 理量の時間変化率を表している。 ☆ 加速度α  x , y , z の各軸 ( x, y, z ) 方向成分はつぎのようになる． x  Du u u u u  u v w Dt t x y z （6.6） y  Dv v v v v  u v w Dt t x y z （6.7） z  Dw w w w w （6.8）  u v w Dt t x y z ｚ Vz Vθ 6.2.2 円筒座標系における流体の加速度１）円筒座標系について Vｒ　円筒座標系は、図 6.2 に示されるように、３つの座標 (r , , z ) が用いられる。一般的によく用いられる直交座標系 ( x, y, z ) と円筒座標系 (r , , z ) との関係はつぎのようにｙなる。 θ x  r cos  y  r sin  zz ｘｒ（6.9）図 6.2 ２）円筒座標系における流体の加速度 - 164 - 円筒座標系の速度円筒座標系において (r , , z ) 方向の単位ベクト θ ｚ e t  dt  ルを er , e , ez  とし、微小時間 dt 後に流体は座標 (r , , z ) から、 r  dr,  d , z  dz に移動した e  ez e (t ) とする。 から、  d への移動は単位ベクトル d e と e の変化を誘起することに注意する必要が r e t  dt  ある。すなわち、図 6.3 から明らかなように、d r d →０のとき d の方向は e の方向に一致し、e er (t ) er の方向は er の方向の反対向きに一致するようにｒなる。したがって、これらは近似的に、 er  er t  dt   er (t )  e d （6.10）図 6.3 単位ベクトルの変化 e  e (t  dt )  e (t )  er d （6.11） Z と表される。さらに、微小な位置の変位 dr , d , dz と微小時間 dt の関係は、つぎの V＋Δ V Vz+dVz ようになる。 dr  Vr dt rd  V dt Vθ +dVθ dz  Vz dt （6.12）ｄｚ Vr+dVr 以上のことを前準備として用いると、任意の時間 t における速度ベクトル V VZ V Vr ,V ,Vz  は、単位ベクトルを用いて表 z すと、図 6.4 に示されるように V  Vr er  V e  Vz ez Vθ Vr （6.13）となり、微小時間 dt 後の速度を V  V とすれば、 V は次式となる。ｄθ X θ ｒｙｒ＋ｄｒ V  Vr er  V e  Vz ez  Vr er  V e  Vz ez （6.14） - 165 - 6.4 円筒座標系における速度さらに、式（6.14）で示された r 、 方向の単位ベクトルは角速度 V r で方向が変化するので、 er  e d  V r e dt；e  er d   となる。つぎに、速度の微小変化 V Vi  V r e dt；e r z 0 （6.15） r, , z,t は、全微分をとることによって Vi V V V dt  i dr  i d  i dz t r  z （6.16）であり、添字 i は i  r , , z に適用される。さらに、dr  Vr dt , rd  V dt , dz  Vz dt であるから、式（6.16）はつぎのように書き表される。 V V Vi V   V Vi   i  Vr i    Vz i dt ただし、 i  r , , z r r  z   t （6.17） ☆結論以上から、結局、円筒座標系における加速度αは  V  V 2 V V V V   r  r z    V   V  ,  V   V  ,  V   V  （6.18） r  z  t r t r t   となる。ここで、 V    Vr  V     Vz r r  z (6.19) -------------------------------------------------------------------------------------------------------☆6.2.2 円筒座標系の研究課題１．円筒座標系 (r , , z ) において、 t 時間後の速度変化 V が (r , , z ) 方向の単位ベクトルを er , e , e z  とするとき、 V  Vr er  V e  Vz ez  Vr er  V e  Vz ez で表されることを証明せよ。２．円筒座標系における加速度 の各軸成分  r 、   および  z を次式  V  V 2 V V V V   r  r z    V   V  ,  V   V  ,  V   V  r  z  t r t r t   V    Vr  V     Vz r r  z - 166 - から求めよ。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------6.3 連続の式 6.3.1 直交座標系における連続の式この式はすでに第５章で質量保存の法則から導出した。結果のみを以下に要約して記述しておく。 ☆2 次元圧縮性非定常流の連続の式  u v (5.14)   0 t x y ☆３次元圧縮性非定常流の連続の式  u v w    0 t x y z (5.15) あるいは、流体の速度ベクトルV を用いて、   div ( V )  0 t と表される。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------☆コーヒーブレイク：ベクトル関数 A の発散とはベクトル関数を A x, y, z  とするとき、 divA は A Ay Az divA  x   x y z （6.20）で表され、 A の発散と言い、これを上式のように divA で表す。ここでは上式のベクトル A の成分が、 Ax  u ； Ay  v ； Az  w と考えればよい。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.3.2 円筒座標系における連続の式円筒座標系における軸対称流れで、 V  0 の場合、連続の式についてはすでに第５章で学び、その結果はつぎのようであった。  1 Vr r  Vz   0 t r r z (5.16) そこで、この節では、V ≠ 0 の一般的な場合について連続の式を導こう。図 6.5 に示したように、扇形の微小要素における質量の変化を考える。まず、 - 167 - ☆ r 方向の質量流量の変化は、入る質量流量： Vr rddz ( Vr )   r  dr ddz 出る質量流量：  Vr  r   差し引き（ r に関する高次の項を省略して)、  ( Vr ) rddz  Vr drddz r ( Vr r )  drddz r ｚ dθ (6.21) V z   ( V z ) dz z ｄｒ V  である。  ( V ) d  Vr ｄｚ ☆  方向の質量流量変化は入る質量流量： V drdz 出る質量流量： ( V )    V   d  drdz   V V z θ Vr   ( Vr ) dr r ｒ差し引き：  ( V ) drddz  (6.22) 図 6.5 円筒座標系の連続の式となる。 ☆ z 方向の質量流量変化は入る質量流量： Vz rdrd ( V )   z dz  rdrd 出る質量流量：  V  z  z   差し引き：  ( V z ) rdrddz z (6.23) となる。単位時間当たりの微小要素の質量変化は、時間を dt として、  rdrddz t (6.24) 結論として、円筒座標系の連続の式はこれらをまとめて  1 vr u  1 ( Vr r ) 1 ( V ) ( Vz )   0     0； t r r x t r r r  z - 168 - (6.25) （ V  0 ）（ V  0 ）となる。参考までに、軸対称流れの連続の式を右側に示した。 dy 6.4 流体に働く力熱流体の微小要素には流体要素に直接働く力(重力、遠心力、電気力、ローレンツ力など )として、質量力 (body z 密度ρ dz Fy force)と、隣り合う流体要素から面を通じて働く力（圧力、粘性力など）として面積力(surface force)が考えられる。この中で質量力としての圧力はすでに第 2 章で学んだ。ここでは圧力以外の質量力および面積力について学ぶ。 Fx dx Fz F(x,y,z) y x 図 6.6 質量力 6.4.1 質量力(体積力加速度) 図 6.6 に示すように、単位質量当たりに働く質量力を F x, y, z  とすれば、微小直方体 dxdydz に働く力はつぎのようになる。（6.26） Fdxdydz ちなみに、質量力 F の x, y, z 成分が  であれば、質量力は F (0,0, g ) zx  xx  zy  yz xz と書き表される。 6.4.2 面積力図 6.7 に示すような微小直方体の面に働く力を面積力といい、単位面積当たりの面積力を応力（stress）という。応力を各軸方向に成分表示  zz z Fx  0 ； Fy  0 ； Fz   g  xy  yx yy y x をする場合には、  などと表示す ij 図 6.7 面積力る。ここで、第１添字 i は応力が働いている面の方向、第２添字 j は力の方向を表すことに決める。すると、応力として図に示した９個の成分が考えられ、こ - 169 - れらを総称して応力テンソル（stress tensor）という。   xx    yx  zx   xy  xz    yy  yz   zy  zz  (6.27) 応力テンソルにおける対角要素  xx； yy； zz は垂直応力(normal stress)といい、面に垂直に働く応力を表し、その値は一般には異なった値をとる。流体中の微小要素では、それらの平均値が圧力 p となり、 p は(圧縮を正にとる)つぎのように定義される。 ( xx   yy   zz ) (6.28) p 3 応力テンソルにおける残った 6 個の要素は面に平行に働く応力であり、せん断応力（shearing stress）という。このせん断応力はモーメントのつり合いから、つぎの関係式が成り立つ。  xy   yx ,  yz   zy ,  zx   xz (6.29) このように、流体に働く面積力としては、圧力と粘性力を考えればよい。 6.4.3 粘性法則すでに、第 2 章においてニュートンの粘性法則からせん断応力が    (du dy) というように、速度勾配に比例して発生することを学んでいる。これらをまとめると、ニュートン流体では、応力とひずみ速度に関して以下の仮定が成り立つ。（１）静止流体には粘性による応力は働かない。（２）粘性による応力はひずみ速度と一次式で結ばれる。（３）特別な方向性はない。等方性。この仮定から、せん断応力 ( xy ,  yz ,  zx ) とひずみ速度の関係は、第２章で学んだせん断ひずみ速度を参照して、つぎのようになる。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------tan θ1  tan θ 2 v u ☆復習：せん断ひずみ速度h  (1 / s ) (2.14)   dt dx y --------------------------------------------------------------------------------------------------------- v u   w v   u w   xy   yx      ； yz   zy      ； zx   xz      (6.30)  z x   x y   y z  - 170 - 一方、非圧縮流体の場合、第２章伸びひずみ速度を参照して、流体要素が x 方向に伸び、 y 方向に縮むときの垂直応力  xx   yy は ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- u dxdt 2点間の伸び u  x   ☆復習： x方向伸びひずみ速度ａ 元の距離  時間 dxdt x v dydt 2点間の伸び v y y方向伸びひずみ速度b    元の距離  時間 dydt y (2.11) (2.12) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- u v   xx   yy      (6.31)  x y  と考えられ、この式(6.31)から  u v   xx   yy  2     x y  となり、これらを変形して整理すれば、垂直応力はそれぞれ  u v  u  xx  2      x  x y   yy  2  u v  v      y  x y  (6.32) (6.33) となる。さらに同様にして、  xx   zz はつぎのようになる。  u w     x z  このようにして得られた以上の各式の和をとれば  u v w  u  3 xx   xx   yy   zz   6  2    x  x y z   xx   zz  2  (6.34) (6.35) となる。ここで圧力 p が ( xx   yy   zz )  3 p であることを考慮すれば、各方向の垂直応力はそれぞれつぎのように与えられることがわかる。 u 2  u v w   xx   p  2       x 3  x y z  (6.36) v 2  u v w       y 3  x y z  (6.37)  yy   p  2 - 171 -  zz   p  2 w 2  u v w       z 3  x y z  (6.38) とくに、非圧縮性流体では上式の右辺第３項は連続の式( divV  0 )からゼロとなり、この場合には垂直応力 ( xx ,  yy ,  zz ) は最終的につぎのようになる。  v   u   w   ；  yy   p  2   ；  zz   p  2    x   z   y   xx   p  2  (6.39) 6.5 粘性流体の運動方程式 6.4 節で流体の加速度、流体に働く質量力、面積力および粘性力について述べてきた。ここではこれらの結果を使って粘性流体の運動方程式を導く。 6.5.1 ナビエ・ストークスの運動方程式図 6.8 に示されるように流れ場に想定した微小な直方体 dxdydz を考える。そして、運動方程式を組み立てるために、ニュートンの運動第２法則を微小要素に適用して、以下、順次考察して行く。 ☆面 x に働く x 方向の応力に基づく x 方向の力 dy z  zx   zx  yx  xx   xx  xx dz  yx   yx  zx dx y x 図 6.8 微小要素に働く各種応力 x  x における応力は   xx 、 x  dx の位置における応力は  xx   xx であり、応力に基づく力はつぎのようになる。  xx   xx    xx   xx  x dx  dydz  x dxdydz   (6.40) ☆面 y に働く y 方向の応力に基づく x 方向の力  yx   yx  dy  dxdz  dxdydz   yx   yx   y  y   ☆面 z に働く z 方向の応力に基づく x 方向の力  zx   zx    zx   zx  z dz  dxdy  z dxdydz   (6.41) (6.42) 以上の力を合計すると、 x 方向の面積力が求められる。ここで、単位質量あた - 172 - りの質量力（体積力加速度）の x 方向成分を X とすれば、ニュートンの運動の第２法則を適用することによって、 x 方向の運動方程式は次式となる。 dxdydz  yx  zx    Du dxdydz  Xdxdydz   xx   Dt y z   x (6.43) この式に先に求めた式（6.33）の（  xx 、  yx 、  zx ）を代入して整理すると、   2 u  2 u  2 u  1   u v w  Du 1 p    X    2  2  2       Dt  x y z  3 x  x y z   x (6.44) 同様にして、 y 方向および z 方向の質量力をそれぞれ Y 、 Z とすれば   2 v  2 v  2 v  1   u v w  Dv 1 p    Y    2  2  2       Dt  y y z  3 y  x y z   x (6.45)   2 w  2 w  2 w  1   u v w  Dw 1 p    Z    2  2  2       Dt  z y z  3 z  x y z   x (6.46) となる。ただし、動粘度は     、実質微分 D Dt は以下のように表される。 D      u v w Dt t x y z (6.5) これをナビエ・ストークス(Navier-Stokes)の式（以下、NS 方程式と記述）という。もう尐しこの NS 方程式を簡略化して表わすと Du 1 p (6.47)   X   2 u Dt  x Dv 1 p   Y   2 v Dt  y (6.48) Dw 1 p   Z   2 w Dt  z (6.49) となる。ここで、演算子  2 は、 2 2 2   2  2  2 x y z (6.50) 2 で与えられる。 6.5.2 円筒座標系における NS 方程式直交座標系と同様にして、円筒座標系における左辺の実質微分項は 6.2 節で - 173 - すでに求められており、その結果はつぎのように表された。  V  V 2 V V V V   r  r z    V   V  ,  V   V  ,  V   V  r  z  t r t r t   (6.18) ただし、  V   (6.19)   Vz r r  z さらに、 r , , z  方向の質量力を R, , Z  とすれば、円筒座標系における NS 方程 V    Vr 式はつぎのようになる。 V Vr V 1 p 2 V    V   Vr      R     2Vr  2r  2   t r  r r r    (6.51) V VV V 1 p 2 Vr    V   V  r          2V  2  2  t r   r r    (6.52) Vz 1 p  V   Vz    Z   2Vz t  z (6.53) 2 ここで、演算子  2 は、 2 1  1 2 2    (6.54) r 2 r r r 2  2 z 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------☆6.5.2 円筒座標系における NS 方程式の研究課題１．円筒座標系の NS 方程式(6.51)、(6.52)および(6.53)について、各軸成分 2  Vr ,V ,Vz  を用い、演算子を開放した形で記述せよ。２．直交座標系における NS 方程式(6.47)、(6.48)および(6.49)を円筒座標系に変換し、式(6.51)、(6.52)および(6.53)となることを導け。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.6 理想流体の運動方程式（オイラーの運動方程式） 6.6.1 直交座標理想流体は非圧縮、非粘性である。したがって、NS 方程式において、動粘度または粘性係数を  0 、   0 とおけばよい。 Du 1 p Dv 1 p Dw 1 p  X；  Z  Y ； Dt  x Dt  z Dt  y 実質微分の部分を書き換えれば、 x, y, z  方向運動方程式は、 - 174 - (6.55) u u u u 1 p u v w  X t x y z  x (6.56) v v v v 1 p u v w   Y t x y z  y (6.57) w w w w 1 p u v w  Z t x y z  z (6.58) 直交座標系におけるオイラーの運動方程式は、このように書き表される。 6.6.2 円筒座標円筒座標系の加速度はすでに、6.2.2 節において以下のように求められている。  V  V 2 V V V V   r  r z    V   V  ,  V   V  ,  V   V  (6.18) r  z  t r t r t   ただし、 V    Vr  V     Vz r r  z (6.19) したがって、この場合のオイラーの運動方程式は、単位質量あたりの質量力の r, , z 方向成分を R, , Z とすれば次式となる。 DVr V 1 p   R Dt r  r DV VrV 1 p    Dt r r  2 (6.59) (6.60) DVz 1 p  Z Dt  z (6.61) ここで実質微分は D   V     Vr   Vz Dt t r r  Z (6.62) で与えられる。実質微分を展開すればつぎのようになる。 Vr V V Vr V V 1 p  Vr r    Vz r     R t r r  z r  r 2 V V V V V V V 1 p  Vr     Vz   r     t r r  z r r  Vz Vz V Vz V 1 p  Vr   Vz z   Z t z r  z  z (6.63) (6.64) (6.65) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------第６章総合演習問題 - 175 - １．断面積が一定のまっすぐな水平管内を、非圧縮性の理想流体が加速度αで流れるとき、管軸 x 方向の圧力 p の分布式を求めよ。ただし、重力の影響は無視できるものとする。解答： p   x  const ２．鉛直軸(重力場)のまわりに、流体が一定角速度  で回転しているとき、流体内の圧力分布を求めよ。ただし、流体は非圧縮性で密度は  とする。   2r 2   gz   const 解答： p     2  ３．一定の水平軸まわりに、流体が一定の角速度  で回転している時、流体内の圧力分布を求めよ。ただし、流体は非圧縮性で密度は  とする。ヒント： u  0, v  z, w  y ； x  Y  0, Z   g   2r 2 2  y  z 2  gz   const 解答： p     2    ４．静止流体の基礎方程式を、NS 方程式またはオイラーの運動方程式から証明せよ。５．速度成分がそれぞれ、 u  Ax ； v   Ay で与えられるような非圧縮性２次元流れがある。 A は定数。流体の密度を  として、 x 軸上の圧力分布を求めよ。ただし、質量力、粘性の影響は無視できるものとし、原点 x  y  0 における圧力は p 0 とする。 1 解答： p   A 2 ( x 2  y 2 )  p0 2   ６．定常非圧縮性２次元流れで、 x 方向速度が u  Ay x 2  y 2 のとき、 y 方向速度 v を連続の式から求めよ。ただし、 y  0 のとき v   A x とする。  Ax 解答： v  2 x  y2 ７．定常非圧縮性２次元流れで、原点から流体がわき出しているとき、半径方向速度 Vr を連続の式から求めよ。ただし、 r  R で、速度 Vr  U とする。解答：Vr  UR r ８．図 6.9 に示した、間隔 H の平行平板間を、平板に平行な方向に非圧縮性ニュートン流体が層状に流れている。最大速度を u max として、速度分布を求めよ。ただし、流れの方向を x 軸、平板に垂直な方向を y 軸とし、外力は無 - 176 - 視できるものとする。 y u H u  u max x 図 6.9 平行平板間の流れ 9．直交座標系における非定常３次元完全流体の運動方程式（オイラーの運動方程式）を円筒座標 r , , z  で表せ。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 177 -