愛知工業大学研究報告
第 3 2号 A 平 成 9年
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discussing historically a
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緒面
I性を追究することが自然科学
現象解明の普遍的法員J
における成長学たる所以といえるのではないだろう
成長とは、端的に云えば人間としての個体が時を
経るごとにその変化を示す現象であり、その学問と
しての起源は発生学にその端を求めることができる。
近年における成長学 (Auxology) の意義は、
『生体が生まれてから成人に達するまでの時間的変
異を一連の現象として捉え、その現象を把握、解明
し、そこから一般的な法則性を究明しようとする学
問大系であると考えられる。』ちなみに、成人を経
て、死に至るまでの時間的変異を扱った学問として、
最近、注目されてきたのが老化学といえよう。した
がって、成長学へのアプローチとして、自然科学系
の立場を取るならば、次の 2つ方法が考えられる。
その 1つは成長現象の様相がどのようなものなのか
明確にすることであり、もう 1つは明確にされた現
象から一般的な法則性を見つけ出そうとするもので
ある。もちろんこの両者のアプローチの仕方はお互
いに影響を与えながら、その両者によって導かれた
か。しかしながら、今日までの成長学における一般
的法則性の成就は達成されていないと考えられる。
もちろんその模索は試みられてきたが、研究の主流
は専ら成長現象の実態解明 l
こ費やされてきた。この
点に関して、成長学は生物学、医学と共通な性格を
持つが、生物学、医学が明確な科学的基盤を備えて
いるのに対し、成長学は歴史的に浅い影響のためか、
科学的な要素が希薄である。その大きな要因は研究
の手法にあると考えられる。成長学は、元は医学者
である Tanner が
fAuxologyj として提
唱した学問体系であり、生物学、医学から派生した
学問分野であることは周知のことであろう。したが
って、研究の手法大系は生物学、医学における手法
理論を適用してきた経緯はある。しかし、成長学の
大きな特徴は人の時間的変異を扱うことであり、そ
のため時間の変化をどのように扱うかが研究の手法
理論に反映されることになる。古典的な成長研究で
4
2
愛知工業大学研究報告，
V0
1
.32-A. M ar
. 19 9 7
第 32号 A. 平 成 9年
有名な S
cammon1) は成長現象の実態解明の手法とし
うに歴史的背景の異なる中で発展してきた我国の成
て、多くの横断的集団データを扱う方法と個々によ
長研究であるが、今日になってようやく縦断的資料
る追跡、継続する方法があると述べている。これは
による研究の重要性が浸透してきたようである。縦
今日では横断的資料および縦断的資料を扱うことを
断的資料による研究の歴史は、 Gueneau de
a
n
n
e
r
2
)3) は自
示唆しているものである。そして、 T
Montbeillard(ゲノード、モンベヤー
ら縦断的資料に対して g
r
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p
h
i
c method を提唱し、
ル)が 1759年から 1777年まで自分の息子の
Auxologyに多大な貢献を果たしている。ま
身長について、 0歳から 18歳まで計測した記録を、
た、アロメトリー方式も考えられているが、しかし
その友人である G.L.Buffon(ビュッフォ
Naturelle (
イ
ながら、成長学の科学的基盤を成就するために普遍
ン);ò~Histoire
的法則性を導くための手法理論は未だに確立されて
ストワール、ナチュレル)誌に発表したことにその
いるとはいえない。ただ、その模索として成長曲線
端を発したことが最も古いとされている。 F
i
g 1は
に対して数学的関数を当てはめる試みは Auxol
Montbeillardの息子の 0歳から 18歳
ogyの歩みと共に存在してきた。今回、成長学の
までの身長の記録をプロットしたものであるが、 B
普遍的法則性へのアプローチを探る鍵として数学的
u f f 0 nはこの発表の中で、すでに身長発育の季
関数の当てはめの議論は、コンビュータ一社会にお
節変動、思春期の発育急増現象について報告してい
いて重要な意味を持つものと考えられる。そして、
る。このように成長研究は 18世紀の中頃からその
このような議論の延長上にウェーブレットとの接点
源があると考えられる。この研究の特徴は、唯一人
の個人の追跡、継続によって得られたデータ(縦断
を見るものである。
的データ)を解析するものであった。この手法が、
後に S
c
a
m
m
o
n1)が述べている seriatim研究の
成長学の歴史的意義
手法理論になるわけである。もちろんこの時期に彼
今回、我聞における成長研究の動向は、 S
c
a
m
皿o
n1)
も述べているように、この種の研究の流れと平行し
の云う個人についての追跡、継続的研究(ser i
て、横断的集団データを扱った研究
〈乳幼児を対
atim study) にその焦点が向けられてきた
象にした)も R
o
e
d
e
r
e
r4).D
i
e
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s5).
e
Iarke6)等に
ようである。つまり、縦断的資料による研究で、そ
よって行われていたが、その後の発展は見られなか
れまでは、横断的資料による集団の変化傾向を、平
った。
均化することによって論議する集団の傾向を分析し
19世紀に入ると、今日の成長研究に大きな影響
た研究が多かった。もちろんこれは、我国における
を与えている Q u e te 1e tの研究がある。彼の
学術研究の歴史的な背景により、成長研究がアメリ
カ、ヨーロッパ等に比べて遅れていた事実はある。
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n1)以前に、 B
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の成長研究が始まろうとしていた訳である。このよ
一一
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用であることを述べている。つまり、やっと我が国
J
の好成績を引用しながら、成長研究が国民衛生上有
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容が、菊池は Galton， F の人体測定実験室
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に「人体測定の話Jを示したと述べており、その内
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大麓が明治 19年 (
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述べている。我国ではこの頃、大津によれば、菊池
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々について克明に記録、分析できる長所があるため、
横断的資料以上に成長現象を解明できる点であると
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断的資料の必要性について、生体の時間的変異を個
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Worth等により説明されている。彼らの主張は、縦
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が 1892年にネイチャーで縦断的資料での研究の
必要性を強調し、その後、
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ウェーブレットによる成長学へのアプローチ
4
3
最も大きな影響を与えた知見は、『身長の分布は L
ですでに研究の遅れが生じている。ただ、我が国に
ap 1aceや Gaussによって確立された誤差
おいては、文部省による定期健康診断の結果(特に、
の分布と同様な分布に従う』という、身体的諸属性
身長、体重、胸囲、座高)が小学校 1年から高校 3
の分布は正規分布を示すということである。彼のこ
年まで、健康診断票として記載されることになって
の発見は、成長現象 l
こ対する確立分布の適応であり、
いるが、これらの資料もあまり効率良く活用されて
つまりは成長学における統計手法の確立として意義
いるとはいえない。
があるといえる。一方、彼は 50名の男女について
さらに、縦断的資料を扱ううえで重要なその分析
0歳から 20歳までの身長の縦断的記録を解析し、
手法については、まだ十分に確立されていないのが
B u f f 0 nの報告した思春期急増期については否
現状である。もちろん、分析手法の確立については、
定の立場を取り、むしろ発育速度は単調減少すると
様々な試みはなされている。先にも述べたように、
報告した。また、都会と田舎の子供の身長と体重の
T
a
n
n
e
r
2
)3
)の作図法もその 1つである。また、横断
差異を検討し、成長現象に対する環境要因の影響に
的集団データを解析するための統計手法として、因
ついての研究を手掛けた。さらに、彼の成長研究に
子分析、多変量解析、マルコフチェーン法等がある
とって重要な貢献は、身長の発育曲線に対して数学
が、これらの手法は縦断的データに対して直接的な
的関数の当てはめを試みたことである。残念ながら、
手法として扱えない欠点がある。アロメトリー方式
思春期急増現象を否定するという最大の誤ちを犯し
も提唱されたが、時間的変異を扱っているにもかか
ているため、この研究はその後あまり話題にされな
わらず、 2変量の変移点だけから成長現象を論じよ
かった。しかし、数学的関数の当てはめという、成
うとすることは、方法論からしでも無理がある。こ
長学における科学的基盤の確立への模索的な意義は
i
t
t
i
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のような中で、成長曲線に数学的関数を f
せる研究が、実は、 Q uete1et以後、今日ま
評価されるべきであろう。
その後、先にも述べたように、 B
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n
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で続いてきている。しかし、明確な理論的根拠を備
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えた数学的関数の確立はまだ成就されていない。コ
究の重要性が説かれ、近年では、 T
a
n
n
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2
)
3
)等の多
ンビュータ一社会を迎えた今日、早くその成就が待
くの研究者により成長研究の報告がなされている。
たれるところである。
特に、 T
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2
)3
)はこれらの報告の中で、縦断的資
g
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)
料の分析の手法として、作図法 (
成長学と数学的関数
を提唱している(この方法は、方眼紙上に生の観測
データ値をプロットし、滑らかな曲線を描くように
Q uete1etは成長研究において大きな誤ち
するわけだが、個々の特徴が種々であり、傾向分析
を犯しているが、成長学における科学的基盤の模索
としては非常に捉えにくい欠点がある。いわゆる臨
には大きな貢献を果たしたのではないだろうか。成
床的な少例研究には妥当な方法と考えられる)。我
長研究における統計手法の確立はもちろん、成長曲
1
)
1
2
)
1
3
)がこの手法により、身
が国でも、高石等 1
線に数学的関数を f
it
t
i
n
gさせる試みは、正に普遍
長、体重の縦断的資料を扱って、思春期の発育スパ
的法則性を求めようとする試みである。数学的関数
ートに関して分析を行っている。このように、縦断
を人の成長曲線に f i t t in g させる本格的な取
的資料による研究の必要性は、今日においては言う
り組みは、 1937年に J
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までもないことだが、しかし、それら資料を扱う分
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こC
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がそれぞれ基本的には出生から
析手法は、作図法だけではそれなりの短所も備えて
7、 8歳までに対して数学的関数を適用して解析し
おり不十分である。また、資料収集にも相当な困難
ている。ここで問題とされるのは、なぜ人の成長曲
が伴うことも事実である。
線に対し数学的関数を適用するのかという事である。
今後、
このような点を
解決しない限り、成長研究の発展性は望めないであ
ここに至る過程については、正に生物学と数学を結
ろう。特 l
こ、我が固においては、縦断的資料の収集
ぶ接点の議論が浮上してくるわけである。
が、アメリカのハーパートや英国の
Harpen
この議論の基礎的な核を成したのが、人口増加理
den Growth Studyのように組織的
論について幾何数列的に増加を示すとした M a 1 t
に研究資料として扱われていないために、このこと
husの法則である。彼の法則を数学的に説明すれ
4
4
愛知工業大学研究報告，
第
32号 A. 平 成 9年
Vol. 32-A. M ar. 1997
ば次のような微分方程式が導かれる。
かれる。この式こそ logistic方程式なので
N = N (t) (N=ある国の総人口、 t=ある時
ある。しかし、 Logistic方程式はその後し
点における時刻)とする時、( 1- 1 )式が成り立つ。
ばらくは世に公表されなかった。
(1-1)
結局、 Logistic 方程式が認められたのは、
dN
dt
一一一 = γ N
P
e
a
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la
n
dR
e
e
d16)17)がアメリカ合衆国の人口増加
に適用したことによるものである。しかしながら、
(1-1)式を解くと
1d N
(1 - 2 ) 一 一
N dt
=γ
人口論としての方程式としては僅か 20年しかその
と書き表され、 tで
予見性は保たれなかった。つまり、方程式の終末部
両辺を積分すると( 1-3)式となる。
が実際のデータ値とはかなり食い違ってくるのであ
r1 d N .
I
(1- 3) JNdt-J一 一 一 dt =Jrdt
J
る。彼らは人口増加への適用の他に、ラットの成長
過程に logistic 方程式を適用している。
したがって
(1-4)
F
i
g 2はそのラットの成長過程を雄、雌について I
f~ d N=γt+A
ogistic方程式で記述しているグラフである。
ここで適用されている式を示す前に、 10 g i s t
ここで A は積分定数であるから、放に( 1-5)
式
が導かれる。
(1-5)
1 C方程式を解く過程を数学的慣例にそって実際に
試みることにする。
l o g N = γt十 A
そこで、 t=0で N Noならば、 logNo=A
詰
であるから( 1-6)式が導かれる。
(1- 6) N
。
=Noert
Asymptot~
。
以上の過程から理解されるように、指数的増加を
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・
.
，
。
示すことになる。この数学的アイデアを一般的にマ
A ・t
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。
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の法則に至るまでに Grannt， J. Petty，
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.等の人口増加に関する先駆的な研究があった。
Malthusはこれらの先駆的研究の基に、彼の
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を発表することにより人口増加の基礎理論を確立し
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た。しかし、この段階ではまだ 10 g i s t i cモ
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その後、人口の増加率のアイデア、 dN/dtは
300
N の変化に対して逆に変化するとした密度依存が説
。
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かれた。つまり、人口密度が増えれば増加率は減る
。
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ルに至るのである。
つまり、人口の増加率が人口の関数になると考え
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ると、
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な微分方程式として、
(2-2)
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迎。
て、このアイデアが一般的な L 0 g i st icモデ
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.
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。
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身に依存するということが示されたのである。そし
2E
占ミ主主缶、町
とした、今日の生態学で云う、人口増加率が人口自
(2-1)
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5
ウェーブレットによる成長学へのアプローチ
dN
_
_ (K-N)
このように、人口予見の方程式としてはその価値
(3-1) :
:
;
:
= γN 一一一γ
d
t
K 一一
<
を減じていったが、生物の増殖モデルとしては、こ
•
先ず、( 3- 1)式を変数分離法を適用して、両辺
れ以後多くの研究者によって適用され、確かめられ
に N 、 t だけの関数がくるように方程式を書き直
ている。そして、このような生物学と数学を結ぶ歴
す。
史的背景から人の成長曲線に L 0 g is t ic関数
を当てはめる理論的根拠が構築されたと考えられる。
(3-2)k
d N = 7 dt
N(K-N)
ここで、生物学と数学を結ぶ接点の仮定を明確にし
左辺の式を分数の和 l
こ書き直す。
lements o
f
ておく必要があろう。それはロトカ CE
dN. d N
γ dt
N .K-N =
M
a
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t
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c
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l Biology( 1
9
2
4))の言を借りれば、
(3- 3 ) 一一一十一一一一
N > O、
『数学と生物学を結ぶ仮定として、人口または個体
N < K として、両辺を積分すると、
，
.
"
'N
I
(3-4) J
dN
dN
I
+1
1
γ dt
J 一一一一
(K-N =
J
I
数は本来不連続な整数値であるが、それが連続な値
をとるものと考えること、これを数学的記述のため
<
c
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fc
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u
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y
) といい、同時
の慣習 C
となり、
(3-5) lOgN-log(K-N)
=γ t+A
のように導かれる。
IOgJL=γ t+A
K-N
対数の定義、 l o g X = Y は
となり
Y である
X =e
から
.
r
'
i
となり、
N について解くと
CKe"'
=一一一一一
，
Ce '+l
T
C=eA
Count' s model
y = a + b t + c log Ct)
y
=α +bt- eC+
れ
以上の関数から、 C
o
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t1
5
) のモデルは線形モデル
そこで、 t が Oの時の Nの値を Noとすれば、これ
e
n
s
sa
n
dB
a
y
le
4
) のモデルは指数モデ
であり、 J
yl
ルである。これらのモデルは出生から 7、 8歳の身
は初期値である。つまり
CK
No= 一一ーが導かれ、これを Cで
C+l
こ適用しているため、 10 g is t i cモデルの
長l
アイデアはまだ構築されていない。一方、我が国で
は 1947年に福田、尾崎 18)が、 6- 1 0才におけ
解けば
(3-11)
の記述に適用されていくのである。
Jenss-Bayl ey' s model
が得られる。
( 3 - 10)
殖過程の記述、さらには人の成長過程(特に身長)
的関数は以下の通りである。
=e'('+A (K-N) と害き直して、
(3-9) N(t)
であると仮定することにあるわけである。したがっ
て、このような仮定の基に生物(特に微生物)の増
5)
J
e
n
s
sa
n
dB
a
y
le
4
)、 C
o
u
n
t1
の適用した数学
y1
N
…
(3-7) 一一一一= eT . T
K-N
(3- 8) N
続的なものと考えることにする。』このような説明
になり、つまり、記述するべき現象が数学的に連続
ここで A は積分定数と呼ばれ、対数の加法公式から
(3-6)
に時間も連続的に流れるので時間 tの関数として連
C = - E L のようになり、
K-N
。
がある。この研究で適用された数学的関数は、身長
に対しては線形モデルであり、体重に対しては 3次、
(3'9)式に代入すると
oKer
'
="lV二
.
(3- 1
2) N (t)
る人の成長曲線に数学的関数モデルを適用した試み
TT
M
4次多項式モデルを適用したものであるが、客観的
のよ
うに求める増殖過程に適用できる関数が導かれたわ
な理論的検証が希薄で、これについての検討はあま
り知られてはいない。 logisticモデ‘ルが人
6)はこの方式に基づいて、
けである。 P
e
a
r
la
n
dR
e
e
d1
の成長曲線に適用されてきたのは、
ラットの成長過程に以下のような関数を適用した。
N
e
l
d
e
r
1
9
)20)等の研究が良く知られている。しかし、
k
(4-1)Y=l+meα，
x+a2x2
+・. .a.x.
世界的には、
実は、我が固において、福田、尾崎 18)の継続研究と
して、尾崎 21)が思春期における人の成長曲線に 10
g i st icモデ、ルを構築している。彼は独自に以
下の微分方程式から logistic関数を導いて
4
6
第 32号 A， 平 成 9年
愛知工業大学研究報告，
いる。
Vo
1.32-A， M a r. 1997
点では明確な差は導かれなかった。つまり、両関数
(5-1)
立三
dt
とも初期値(下限の値)と上限の値によって f i t
=ky(l-y)
tin g の精度が変わる性質を備えているため、個
成長速度 (dy/dt) が yに比例すると共に最
々のデータの違いにより両者の関数の精度が左右さ
終 身 長 値 (1)に近づくにつれ減弱すると仮定す
れるためと考えられる。結局、この両関数は与えら
るものとする。
れたデータ点(観測されたデータ点)を通過する
これを解くと
Fjb
in g としての精度はあまり良くないと結論されて
↑
L、
る
。
L
一千
一
ム
此
l
一 nvu
一
一
一ρ
'
ν
一
ムi
l
引
Fν
(5- 2 )
ように構成されているわけではないため、 f i tt
このままの状況で 10 g is t icと Gompe
2
i の autocatalytic 式と同
上式は、 Rob巴r
tson2
r tz関数を入の成長曲線に fittingさせる
じであるが、 y を身長としているところが大きく異
8
lは
ことは精度上限界があるため、 Thissen e
ta
12
なる点である。このように尾崎
d 0 u b 1 e 1 0 g i s ti c関数を導いた。
21)は世界に先んじ
て人の身長に対して logisticモデルを適用
した。ところで、実際に 10 g i s t i cモデルを
3
lにムれば、以下の式が _
適用する場合、 H
a岬 i
e2
般的な 10 g is t ic関数となる。
上式における成長学的意味を示すと、 m
> 1、
o idと呼ばれる S字状曲線となる。ちなみに、 y
は成長の現量値、 t は時間(この場合は年齢を示す
)、 c は積分定数、 b は S字状曲線の広がり率を
2 、の場合、一般
的に成長学に適用されている 10 g i s ti c関数
となるわけである。
9)は
n gの精度を高めるために Bock and Thissen2
tr ip 1 e 10 g is t ic関数を導きだした。
そして、成長プロセスの全般にわたって f i t t
1n gの精度をたかめるために、 P
r巴e
c
ea
n
d Baines
3
0
)の開発した複合 10 g is t ic関数がある。ま
た、
出生からのプロセスに適用した J
olicoeur e
t
)
の JP P Sモデルも開発された。
a
131
このように、 Malthusの人口増加理論から
派生した微分方程式モデ、ルが 10 g i st i cモデ
-2)y=p+Eh t
l
十t
α -bt
4
lによ
1、の場合、 Gompertz2
って導き出された Gomp 巴 rtz関数となる。
(6- 3)
2(t-C2)
l+e-b
に、低年齢層や思春期以後のプロセス l
こf i tti
の場合、下限が 0 、上限が Kで漸近する S i g m
次に、特に、 m
+
この関数は思春期の成長プロセスの fit t in g
y=Kl
(十日園州百
示す定数である。そして、 m
ー
l+e-b，(t-C，
)
の精度を高めるために構築されたものであり、さら
ュ
(6-1)
日1
y -
P+
K
e
e
Y=
α
日
実は、この Gompertz関数は 10 g is t i
c関数よりも先に導き出されており、 1835年 l
こ
4
iにより構築されている。人の成
すでに Gompertz2
5)
d
e
r
1
9
l
2
0
lに先んじて、 Deming2
長曲線への適用も N巴l
ルとして構築され、生物の増殖過程の記述を経て、
成長曲線モデルの記述に適用される歴史的経緯を観
てきたが、実は、このような流れと平行して poly
n
o
m
i
a
l 系の関数も成長プロセスに適用された経緯は
ある。その歴史的経緯は 10gisticモデルほ
3)，
n
d Falkner3
Welch
ど古くはないが、 Vandenberga
5
i等によって人の
3
4
) Joossens a
n
d Brems-Heyns3
縦断的な身体的発育データ l
こ適用された研究がある。
y= b0十 b1t+ b2t2+・・・・・・・ bntn
上式が p
olynomial の一般型であるが、この関数の
が男子 24名、女子 24名の身長 l
こGompert
利点は 1 0 g i s ti c関数で記述できなかった成長
z関数を適用している。そしてその後、 1970年
プロセスの増減現象に対して適用できる点である。特
arubini26l27lにより 10 g is t ic関
に入り、 M
に、年間発育量としての速度曲線の記述には有効とさ
数と Gompertz関数の成長曲線に対する fi
れる。
t t in g の精度の比較を検討しているが、この時
もとろん、微分に対しでも自由度があり、発
育現量値の fitting曲線をそのまま微分して
速度曲線を得ることも可能である。
しかしながら、
ウェーブレットによる成長学へのアプローチ
3
iも指摘してい
関数の本質的な問題により Hauspie2
4
7
これまで述べてきたように、成長現象を記述するため
るように、 whipping 現象(鞭のしなるような現象)
の数学的関数に関しては、まだ多くの問題点が残され
がデータによっては生起するため、生物学的現象を
ているといえる。
それは、
成長現象の真の姿が見え
反映しない欠点がある。そこで、このような欠点を
ていないために、適用された数学的関数が何を示して
補うために spline 関数が導かれることになる。こ
いるのか、その点が明確にされないことではないだろ
の関数は基本的には local polynornial (区分多項式
うか。つまり、現在までのところ真の人の成長曲線は
)である。通常区分内においては、 cubic polynornial 不明である。したがって、従来まで試みられてきた数
(三次多項式)を適用するため cubic spline とも
学的関数の適用研究は、観測されたデ
タ点を結んだ
言われている。したがって、関数の本質上、発育現
生の曲線に対して旨く当てはまっているか(どの程度
量値に対する当てはめは、与えられたデータ点をす
f ittin gの精度がいいか)を検討してきたわけ
べて通るように構成されるため、 f i t t in gと
である。そして、そこには観測データ点で結んだ曲線
しての立場より補間としての立場を取る方が妥当と
が、成長現象のマクロ的な実態であることを前提とし
いえる。このアイデアは、実は、
た理論的背景を構築している。例えば、 1 0 g i st
Tanner 2
i3
)の
graphical r
n
e
t
h
o
d から派生されたといえる。つまり、
1 C モデルの適用に関しては、 S
c
a
r
n
r
n
o
n の発育モデル
成長曲線を滑らかに記述するということである。こ
にあるように、生の観測データによる曲線が S字状曲
の意味において、 spline 関数は 1 0 g i s t icモ
c
a
r
n
r
n
o
n
線であることがその適用背景にある。しかし、 S
デルや polynornial に比較して精度上には有効であ
の発育モデルの中には、 S字曲線を示さない曲線モデ
ると考えられる。しかし、微分による速度曲線を旨
ルもあり、このモデルに関しては関数の適用例はあま
く導くことができない欠点がある。この点では 10
り示されていない。また、別の角度から、標準発育モ
g i s t i c系の関数と共有している。 Gasser e
t
デルの作成にあたって、曲線の滑らかさを求めるため
a136)3
7
)は身長の年開発育量に対して s
p
line 関数を
に適用された polynornial 系の関数もある。いずれに
適用し、さらに最小二乗近似により平均的な発育速
しても、数学的関数適用の理論的背景は、観測データ
度モデルを記述することに成功している。しかし、
による生の曲線の概観から判断されているわけである。
個々の成長プロセスを記述するには、この手法では
数学的理論的根拠が極めて希薄である。
したがっ
そこで、もう一度成長現象に対して数学的関数を適
用する場合の仮定を考えてみると、成長現象は本質的
て、成長曲線を記述するため、これ以上の有効な手
には細胞の増殖によるものであり、本来は不連続な数
法を求めようとすれば、先ず、発育現量 f
直に対する
値となるが、それを連続な数値を取るものと仮定する
当てはめの精度は sp1i
ne 関数以上であること、そ
ところから数学的関数適用の条件が構築されるわけで
して、 polynornial系のように微分に自由度があるこ
ある。そして、成長は生まれてから常に増殖し続け、
と、この 2点に絞られると考えられる。このように
経験的には 20歳前後で停滞することになる。もちろ
考えると、 polynornial 系において、標本数(観測デ
ん、形質によっては異なるが、そのプロセスが
S 1g
(n- 1)次に取る
m 0 idと呼ばれる S字状曲線を形成することに、関
Chebyshev 補聞が考えられる。し
数(特に、 10 g i s ticモデル)適用の理論的根
かしながら、現在までの所、これらの補間法を成長
拠が見いだされるわけである。また、グラフィック的
曲線に適用した研究はない。数学的には、他の関数
に成長曲線の滑らかさを求めようとした根拠に対して
モデルを構築し、そのモデル関数を補間するという
は、 polynomial 系の関数適用が考えられた。しかしな
方法で両補間法の有効性を説明している。しかし、
がら、これら数学的関数の成長曲線に対する f i t t
ータ点) :n に対し、次数を
Lagrang巴補問、
実際に成長現象を記述するためには、与えるデータ
の問題点や生物学的現象への反映における問題など
があり、ただ次数を多く取るだけでは解決されない
問題があると考えられる。
in gの精度や、適用に対する理論的根拠の問題等、
充分に検討されているとは言えない。
東 郷 38)39)40)等は、身長を月 1回測定、 1日 1回測
定というように、測定間隔を狭めていった研究を行っ
た。通常は 1年に 1回か 2回程度の測定値を関数適用
数学的 fitting 関数の理論的背景とその妥当性
に使っている。東郷等のように測定間隔を狭めていく
と、成長曲線の概観が全く異なった様子を示すように
4
8
愛知工業大学研究報告，
第 32号 A. 平 成 9年
なる。つまり、波動現象を示すわけである。このよ
Vo1
. 32-A. Mar. 1997
び増減プロセスを記述するための polynomi
うに、測定間隔を狭めるという、成長現象を異なっ
a1系 (spline関数系)の構築の 2つに分け
た角度からアプローチすることにより、全く別の現
a
u
s
p
i
e2引は、前者を structura1
られる。 H
象が生起することになる。しかし、測定間隔が異な
モデル(概念構築モデル)、後者を nonstru
こ異なるとは考え
ることにより、成長現象が本質的 l
ctura1モデル(非概念構築モデル〉として、
られない。そこで、筆者は東郷等のアイデアをさら
これらの f i ttin g関数を概念規定している。
に発展させ、時間軸に沿って無限に分割していく測
この考え方の基本には、成長現象は生物の増殖と同
定点というものを考えた。その測定点に対し時間軸
様に微分方程式によって記述、説明されるものであ
を拡大、縮小することにより、その測定点を結ぶ曲
るという概念がある。しかし、東郷等 38)39)40;'の研
線は自己相似的な曲線を形成するのではないだろう
究以来、成長現象の局面が大きく変ってきている。
か。このように考えると、測定間隔の違いによる成
r
e
e
c
e
また、成長現象適用のための微分方程式も P
長の概観が理論的に説明がつく。ところが、逆にこ
a
n
dB
a
i
n
e
s30)モデルや J
P
P
S31)モデルのように極め
のような事情を説明できる数学的関数を構築するこ
て複雑化してきている。
とは難題である。このような成長現象に従来までの
生物学における増殖プロセスの記述を 1 0 g i s
数学的関数を適用することはすでに無意味といえる。
t icモデルに求めるのは、式の単純さの中の係数
このように、新たな成長現象に対する理論的背景の
から科学的法則性を論究するためであり、複雑化さ
構築を検討することが今後の課題といえるのではな
れれば係数の意味がぼやける欠点が生じる。したが
いだろうか。すでに筆者は、この理論的背景に対し
って、人の成長プロセスをただ記述するために、複
て独自のアイデアを展開し、そして、その理論的背
雑化された微分方程式で適用しようとするならば、
景を満足するための手法として W ave1巴 tの導
入を試みている。
spline関数系でも充分有効といえる。つまり、
両者の有効価値はそれほど変わらないと考えられる。
成長現象適用へのアイデアとして、筆者が W av
結局、これらの問題点を解決するためには、成長
e1 etを導入した背景 l
こは近年における数学系、
現象を生物学から切り離して、独自の概念構成から
工学系での爆発的ブームが影響されているが、その
得られた数学的関数の開発が必要とされる。このよ
理論的背景が実は以前から知られているものであり、
うな背景から筆者は独自に Waveletを提唱し
特に、現在かなりの話題を提供しているカオス、フ
ようとしているのである。しかしながら、今回は提
ラクラルと非常に密接に関係している点にある。こ
唱するまでの従来の数学的 f i ttin g関数の歴
れらカオス、フラクタル現象と Waveletがど
史的経緯とその理論的背景およびその妥当性につい
のように成長現象との接点を持つのか、このテーマ
て言及したまでであり、次回に Waveletと成
については次回で議論することにする。今回はこれ
長学との接点およびその理論的背景について検討す
までの成長現象適用への数学的関数における歴史的
るものである。
経緯とその理論的背景の妥当性について議論し、そ
の延長線上に Waveletを示唆したまでである。
総括
参考文献
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h
y
s
i
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a
l
成長学への科学的アプローチとして、人の成長曲
線への数学的関数の
f i ttin g に関する歴史的
経緯とその理論的背景について議論し、 W ave1
etの導入までの示唆を提示しようとした。ここで
A
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目
の議論の展開を 2つに大別すれば、人の成長曲線へ
M
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の数学的関数適用に関する理論的根拠を、生物の増
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殖プロセスである sigmoid曲線としての 10
g i s ti c モテεルの構築と成長曲線の平滑化およ
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