和算講座第 35 回 米光 丁 はじめに 今回も「精要算法」巻之下(藤田定資著)より問題を選んで解答してみます。皆様のご 指導、ご教示をお願いします。 問題 35.原文 - 1 - 問題.35 今図の如く、三角形内に全円及び大中小 円がが内接している。 小 大円径が 9 寸、中円径 4 寸、小円径 1 寸、 円 のとき全円の直径はいくらか。 答曰く 全円 11 寸 全 術曰 中径を置き小径を掛けて、之を開 円 平し寄位とする。中径と小径を併せ 大 て寄位 2 倍して加え、之に大径 中 円 を掛けて開平したものに寄位を加え 円 ると全円径に合問。 術 寄位= 中径×小径= 4×1=2 全径= (2×2+中径+小径)大径+寄位= (2×2+4+1)9+2=11 全径=11 寸 (和算家の解) A 小 小 全-大 2 較 O 大 小 大円の直径=大,全円の直径=全とすると 較 周知のとおり子= 大・全 である。 全 大 較 較 大 B 子 大較 中 中較 全円 大円 子 C B - 2 - C 全径=全, 大径=大, 中径=中, 小径=小、各辺と全円の接する距離を 図のようにそれぞれ大較、中較、小較とする 右図より子= 全・大 また比例により 全-大 全 : =子 : 大較 2 2 全 全・大 大較= 全-大 同様にして 全 全・中 中較= 全-中 , 全 全・小 小較= 全-小 △ABC の面積 S は 全 S= {(大較+中較)+(大較+小較)+(小較+中較)} 4 全 S= (大較+中較+小較)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1) 2 全 全 全・大 全 全・中 全 全・小 + + ) S= ( 全-大 全-中 全-小 2 またヘロンの公式より S= (大較+中較+小較)・大較・中較・小較・・・・・・・・・・・・・(2) (1)=(2)とすると 全 (大較+中較+小較)= (大較+中較+小較)・大較・中較・小較 2 両辺を平方して整理すると 全2 (大較+中較+小較)=大較・中較・小較 4 全 3( 全・大 全・中 全・小 全・大 全・中 全・小 + + )=4 全 3( ・ ・ ) 全-大 全-中 全-小 全-大 全-中 全-小 大 中 小 全 大・中・小 + + =4 全-大 全-中 全-小 (全-大)( 全-中)( 全-小) 分母を払って 大(全-中)(全-小)+ 中(全-大)(全-小)+ 小(全-大)(全-中) =4 全 大・中・小 全についてまとめると 全 2( 大+ 中+ 小)-全(4 大・中・小+ 大小+ 大中+ 中大+ 中小)+ 小 大中+ 大中小+ 中大小=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3) ここで - 3 - 大・ 中+ 大・ 小+ 中・ 小=甲 , 大+ 中+ 小=乙 , 大・中・小=丙 と置くと 甲・乙=( 大+ 中+ 小)( 大・ 中+ 大・ 小+ 中・ 小) =大 中+大 小+ 大・中・小+中 大+ 大・中・小+中 小 + 大・中・小+小 大+小 中 甲・丙= 大・中・小( 大・ 中+ 大・ 小+ 中・ 小) = 小大中+ 中大小+ 大中小 となるから (3)の式は 全 2 乙-(甲乙+丙)全+甲丙=0 となり因数分解すると (全乙-丙)(全-甲)=0 全=甲 乙 , 全= 丙 ここで問題の数値を代入すると 大径=9 寸 , 中径=4 寸, 小径=1 寸だから 乙= 大+ 中+ 小=3+2+1=6 寸 丙= 大・中・小=3×2×1=6 寸 乙 全= =1 寸(不適)となる。 丙 全=甲= 大・ 中+ 大・ 小+ 中・ 小=6+3+2=11 寸となる。 となり公式としても使用されていたようである。 答え全円の直径は 11 寸となる。 (参考) 『算法新書』千葉胤秀著 1830 年 26 『算法天生法指南の問題の解説』藤井康生著 1997 年 p.157 『滋賀の算額』桑原秀夫・山口正・吉田柳二著昭和 52 年 p.19 などに同じ問題がある。 自宅 〒856-0827 大村市水主町 1-978-90 Tel&Fax 0957-54-4507 E-mail [email protected] URL http://hyonemitsu.web.fc2.com - 4 -
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