基本例題 - Biglobe

Ex.3：等変分布荷重
Ex.2：等分布荷重
Ex.1：集中荷重
4kN
3kN/m
2kN/m
Ha
Ha
Ha
Va
Vb
6m
Ex.4：モーメント荷重
2m
反力------------------------------ ・a点におけるモーメントの総和=0
ΣMa =4kN×6m - VbkN×8m =0 → Vb =3kN
・x方向力の総和=0
ΣPx =Ha =0kN
・y方向力の総和=0
ΣPy =VakN + VbkN - 4kN =0 → Va =1kN
せん断力------------------------------ ■方程式を組み立てる方法
・a点より0∼6mの区間
Q0-6 =1kN
・a点より6∼8mの区間
Q6-8 =1kN - 4kN =-3kN
■ポイントを解いて補間する方法
・a点より0mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q0L =0kN , Q0R =1kN
・a点より6mの点
（集中荷重が作用しているので前後計算）
Q6L =1kN , Q6R =1kN - 4kN =-3kN
・a点より8mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q8L =1kN - 4kN =-3kN ,
Va
Vb
4m
2m
2m
せん断力------------------------------ ■方程式を組み立てる方法
・a点より0∼4mの区間
Q0-4 =1.5kN
・a点より4∼6mの区間
Q4-6 =1.5kN - 2kN/m×(x-4)m =9.5kN - (2×x )kN
・a点より6∼8mの区間
Q6-8 =1.5kN - 2kN/m×(6-4)m =-2.5kN
・Q=0kNの位置（Q4-6の区間内に存在）
Q4-6 =9.5kN - (2×x )kN =0 → x =4.75m
■ポイントを解いて補間する方法
・a点より0mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q0L =0kN , Q0R =1.5kN
・a点より4mの点
Q4 =1.5kN
・a点より6mの点
Q6 =1.5kN - (2kN/m×2m) =-2.5kN
・a点より8mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q8L =1.5kN - (2kN/m×2m) =-2.5kN ,
Q8R =1.5kN - (2kN/m×2m) + 2.5kN =0kN
・Q=0kNの位置（せん断力図上の図形より）
ym:2m = 1.5kN:4kN → y=0.75m
→ a点よりx=4.75m
Q8R =1kN - 4kN + 3kN =0kN
曲げモーメント------------------------------ ■方程式を組み立てる方法
・a点より0∼6mの区間
M0-6 =1kN×xm = xkNm
・a点より6∼8mの区間
M6-8 =1kN×xm - 4kN×(x-6)m =24kNm-(3×x)kNm
■ポイントを解いて補間する方法
・a点より0mの点
M0 =0kNm
・a点より6mの点
M6 =1kN×6m = 6kNm
・a点より8mの点
M8 =1kN×8m - 4kN×2m =0kNm
反力------------------------------ ・a点におけるモーメントの総和=0
ΣMa =(2kN/m×2m)×5m - VbkN×8m =0 → Vb =2.5kN
・x方向力の総和=0
ΣPx =Ha =0kN
・y方向力の総和=0
ΣPy =VakN + VbkN - 4kN =0 → Va =1.5kN
曲げモーメント------------------------------ ■方程式を組み立てる方法
・a点より0∼4mの区間
M0-4 =1.5kN×xm =1.5×x kNm
・a点より4∼6mの区間
M4-6 =1.5kN×xm - 2kN/m×(x-4)m×1/2×(x-4)m
=-x**2kNm + (9.5×x )kNm - 16kNm
・a点より4.75に極値あり...
M4-6(4.75) =1.5kN×4.75m
- 2kN/m×(4.75-4)m×1/2×(4.75-4)m
=6.5625kNm
・a点より6∼8mの区間
M6-8 =1.5kN×xm
- 2kN/m×2m×(x-5)m =(-2.5×x )kNm + 20kNm
■ポイントを解いて補間する方法
・a点より0mの点
M0 =0kNm
・a点より4mの点
M4 =1.5kN×4m = 6kNm
・a点より4.75mの点（極値）
M4.75 =1.5kN×4.75m - (2kN/m×0.75m)×0.375m
= 6.5625kNm
・a点より6mの点
M6 =1.5kN×6m - (2kN/m×2m)×1m =5kNm
・a点より8mの点
M8 =1.5kN×8m - (2kN/m×2m)×3m =0kNm
8kNm
Ha
Va
Vb
6m
反力------------------------------ ・a点におけるモーメントの総和=0
ΣMa =(3kN/m×6m×1/2)kN×4m - VbkN×6m =0
→ Vb =6kN
・x方向力の総和=0
ΣPx =Ha =0kN
・y方向力の総和=0
ΣPy =VakN + VbkN - (3kN/m×6m×1/2)kN =0
→ Va =3kN
せん断力------------------------------ ■方程式を組み立てる方法
・a点より0∼6mの区間
等辺分布荷重はL=6mに対しw=3kN/m
よってその変化率は 0.5kN/m/m
Q0-6 =3kN -(0.5×x )kN/m×xm×1/2
=3kN - (0.25×x**2)kN
・Q=0kNの位置
Q0-6 =3kN - (0.25×x**2)kN =0 → x =3.46m
■ポイントを解いて補間する方法
・a点より0mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q0L =0kN , Q0R =3kN
・a点より6mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q6L =3kN - (3kN/m×6m×1/2)kN =-6kN ,
Q6R =3kN - (3kN/m×6m×1/2)kN + 6kN =0kN
・Q=0kNの位置
せん断力図上の図形からは解けないので
方程式を組み立てる必要がある（同上）
曲げモーメント------------------------------ ■方程式を組み立てる方法
・a点より0∼6mの区間
M0-6 =3kN×xm
-(0.5×x )kN/m×xm×1/2×(1/3×x )m
=(3×x )kNm - (1/12×x**3)kNm
・a点より3.46mに極値あり...上記方程式に代入
M0-6(3.46) =6.928kNm
■ポイントを解いて補間する方法
・a点より0mの点
M0 =0kNm
・a点より3.46mの点（極値）
M3.46 =3kN×3.46m
-(0.5×3.46)kN/m×3.46m×1/2×(1/3×3.46)m
=6.928kNm
・a点より6mの点
M6 =3kN×6m - 3kN/m×6m×1/2×2m =0kNm
Va
Vb
6m
2m
反力------------------------------ ・a点におけるモーメントの総和=0
ΣMa =8kNm - VbkN×8m =0 → Vb =1kN
・x方向力の総和=0
ΣPx =Ha =0kN
・y方向力の総和=0
ΣPy =VakN + VbkN =0 → Va =-1kN
せん断力------------------------------ ■方程式を組み立てる方法
・a点より0∼8mの区間
(モーメント荷重位置はせん断力分布に影響しない)
Q0-8 =-1kN
■ポイントを解いて補間する方法
・a点より0mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q0L =0kN , Q0R =-1kN
・a点より8mの点
（集中荷重が作用しているので前後計算）
Q8L =-1kN , Q8R =-1kN + 1kN =0kN
曲げモーメント------------------------------ ■方程式を組み立てる方法
・a点より0∼6mの区間
M0-6 =-1kN×xm =-x kNm
・a点より6∼8mの区間
M6-8 =-1kN×xm + 8kNm =-x kNm + 8kNm
■ポイントを解いて補間する方法
・a点より0mの点
M0 =0kNm
・a点より6mの点
（モーメント荷重が作用しているので前後計算）
M6L =-1kN×6m =-6kNm
M6R =-1kN×6m + 8kNm =2kNm
・a点より8mの点
M8 =-1kN×8m + 8kNm =0kNm
Ex.5：複合荷重
解くときの注意
□ 力の計算（符号）とモーメントの計算（符号）は全く別なもの。
□ 応力の計算は計算位置より左側の要素について考える。
解く手順-1（方程式を組み立てる方法）
１支点反力を求める
1-A 支点反力の仮定
1-B 釣合条件式の計算より支点反力を求める
２せん断力を求める
2-A 荷重条件が一様な区間ごとに数式をたてる
2-B せん断力図（Q図）を描く
2-C せん断力が0になる位置を計算する
３曲げモーメントを求める
3-A 荷重条件が一様な区間ごとに数式をたてる
3-B せん断力が0になる位置では
曲げモーメントの極大極小値が存在
3-C 曲げモーメント図（M図）を描く
符号
力力のモーメントせん断力曲げモーメント
+Py
+Q
+M
+M
+Px
-Q
解く手順-2（ポイントを解いて補間する方法）
１支点反力を求める
1-A 支点反力の仮定
1-B 釣合条件式の計算より支点反力を求める
２せん断力を求める
2-A 荷重条件の変化点ごとにせん断力を求める
（集中荷重はQ図を段違いにするので
荷重のかかる前後で計算）
2-B せん断力図（Q図）を描く
（点ごとのせん断力の間を補間する*）
2-C せん断力が0になる位置を計算する
３曲げモーメントを求める
3-A 荷重条件の変化点ごとに曲げモーメントを求める
（モーメント荷重はM図を段違いにするので
荷重のかかる前後で計算）
3-B せん断力が0の点で曲げモーメントの極値が存在
するので曲げモーメントを求める
3-C 曲げモーメント図（M図）を描く
（点ごとの曲げモーメントの間を補間する*）
●解法-1：方程式を組み立てる方法
■曲げモーメント
・A点より0∼4mの区間
M0-4 =5kN×xm - 2kN/m×xm×1/2×xm
x =0mのとき M0 =0kNm 、
x =4mのとき M4 =4kNm
x =2.5mのとき極大点あり...M2.5 =6.25kNm
その間、M0-4の方程式が2次式なので
Mの値は放物線的変化する
・A点より4∼6mの区間
M4-6 =5kN×xm - 2kN/m×4m×(x-2)m
x =4mのとき M4 =4kNm 、
x =6mのとき M6 =-2kNm
その間、M4-6の方程式が1次式なので
Mの値は直線的に変化する
・A点より6∼8mの区間
M6-8 =5kN×xm - 2kN/m×4m×(x-2)m + 8kNm
x =6mのとき M6 =6kNm 、
x =8mのとき M8 =0kNm
その間、M6-8の方程式が1次式なので
Mの値は直線的に変化する
5kN
-M
計算値の補間（荷重分布と応力図の関係）
無荷重
等分布荷重
+
-
x
-3kN
等変分布荷重
M"＝Q'＝w
の関係にあるので
w
0
0次（一定）
1次（直線）
Q
0次（一定）
1次（直線）
2次（放物線）
Qxの傾き＝荷重分布w
M
1次（直線）
2次（放物線）
3次（曲線）
Mxの傾き=せん断力Qx
2.5m
-2kNm
M
+
6.25kNm
+
4kNm
2m
2m
●解法-2：ポイントを解いて補間する方法
■せん断力
・A点より0∼4mの区間
Q0-4 =5kN - 2kN/m×xm
x=0mのとき Q0=5kN 、
x=4mのとき Q4=-3kN
その間Q0-4の方程式が1次式なので,
Qの値は直線的に変化する
・A点より4∼8mの区間
（モーメント荷重の位置はせん断力には
影響しないので無視する）
Q4-8 =5kN - 2kN/m×4m =-3kN
・Q=0kNになる位置はA点より0∼4mの区間に存在する
Q0-4 =5kN - 2kN/m×xm =0
x=2.5m（A点より2.5mの位置でせん断力が0となる）
Q
荷重分布
4m
・y方向力の総和=0
ΣPy =VakN + VbkN - 2kN/m×4m =0
→ Va =5kN
6kNm
■せん断力
・A点より0mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q0L =0kN 、 Q0R =5kN
・A点より4mの点
Q4 =5kN - 2kN/m×4m =-3kN
・A点より6mの点にモーメント荷重があるが、
せん断力には影響しないので無視する
・A点より8mの点
（反力が集中して作用しているので前後計算）
Q8L =5kN - 2kN/m×4m =-3kN 、
Q8R =-3kN + -3kN =0kN
・Q図
Q0-4の区間：等分布荷重が作用しているので、
Qの値は直線的に変化する
Q4-8の区間：無荷重状態なのでQの値は一定のまま
Q=0kNの位置（曲げモーメント極値点）を求める...
x=2.5m（A点より2.5mの位置でせん断力が0となる）
5kN
基礎知識
1 力 P （単位：N or kN , x方向右向き+ , y方向上向き+ ）
2 力のモーメント M＝P×L （単位：Ncm or kNm 等 , 時計回り+ ）
3 力の釣合条件 ΣMo＝０、ΣP＝０
4 荷重の合成総荷重が荷重重心に合成される
5 応力−軸方向力ー引張力(+)/ 単位:N or kN
−圧縮力(-)/ 単位：N or kN
−せん断力 / 単位：N or kN
−曲げモーメント / 単位：Ncm or kNm 等
6 曲げモーメント、せん断力、力の関係式
M＝∫ Q dx＝∬ w dx 2 又は M"＝Q'＝w
8kNm
2kN/m
反力------------------------------ ・a点におけるモーメントの総和=0
ΣMa =2kN/m×4m×2m + 8kNm - VbkN×8m =0
→ Vb =3kN
8kN
単純支持梁解法のポイント
+
- -3kN
x
4m
■曲げモーメント
・A点より0mの点
M0 =0kNm
・A点より2.5mの点（曲げモーメントが極大になる点）
M2.5 =5kN×2.5m - 2kN/m×2.5m×1.25m =6.25kNm
・A点より4mの点
M4 =5kN×4m - 2kN/m×4m×2m =4kNm
・A点より6mの点
（モーメント荷重が集中して作用しているので前後計算）
M6L =5kN×6m - 2kN/m×4m×4m =-2kNm
M6R = -2kNm + 8kNm =6kNm
・A点より8mの点
M8 =5kN×8m - 2kN/m×4m×6m + 8kNm =0kNm
・M図
M0-4の区間：等分布荷重が作用しているので
Mの値は放物線的に変化する
M0-4の区間：M2.5の位置でMの極値がある
M4-8の区間：無荷重状態なのでMの値は直線的に変化
M4-8の区間：M6の位置でモーメント荷重により
Mの値が段違いになる

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