行列ができる回路演習：アナログ 回路を紙と鉛筆で考えよう［ ］ ──アナログ回路のポートパラメータ── Pencil and paper Exercise on Analog Circuits ； Proficient Matrix Manipulation［ ］： Port Parameters to Characterize Analog Circuit Networks 大平 1 は じ め に 孝 や新しい機能の可能性探求にはアナログ信号特に高周波 帯における振舞いについて，先見力・洞察力・経験力な 近年の通信や計測分野におけるハードウェアとして， ど「磨き上げられた技術者ならでは」の独創性が求めら ディジタル回路がますます高速化されるとともにアナロ れる．基本に立ち戻って，アナログ回路図からその特性 グ回路も高周波化かつ広帯域化が要求されつつある．こ を直感する練習の必要性を改めて痛感する． れらの需要にこたえる回路開発手法として，数値解析シ 本連載では，アナログ回路をブラックボックス的に特 ミュレータと回路レイアウトエディタを組み合わせた 徴付ける「ポートパラメータ」に着目し，その基本から CAD （コンピュータ支援設計）ソフトウェアが現在主 変幻自在な使い方までを習得する．信号入出力ポートを 流となっている．企業の第一線エンジニアはもちろんの 複数備える回路においてはポートパラメータが「行列」 こと，大学においてもシミュレータソフトウェアの使い で表現される．基本的な 1 個の回路素子について理解し 方の練習を研究指導項目に組み入れている教室もある． ている定理や法則はパラメータをスカラ量から行列量に シミュレータは複雑な構成の回路の特性を数値的に解析 次元拡張することにより複数ポート回路網においても成 するのに威力を発揮する．コンピュータの高性能化とソ 立する．大学教養課程の線形代数の授業で学んだときに フトウェアの高機能化で線形回路のみならず非線形回路 はその工学的使途を余り意識しなかったベクトル演算や までも周波数領域で解析できるようになってきた．すな 行列の公式がここにきて見事に役立つことを実感する． わち，シミュレータの進展によりアナログ回路エンジニ この連載の見出し語「行列ができる」にはこのような深 アは伝達関数やインピーダンス整合などの複雑な計算を い期待が込められている． 自分で行う必要性がなくなった．言い換えると，エンジ 本稿は内容的に学生教養レベルであるが，お話的な読 ニアは自分の脳をフルに活用しなくなったのではないだ み物ではない．文と数式を単に目で追う読み方をしても ろうか． ほとんど役立たないし感動もない．毎回出題される演習 今やシミュレータは回路設計に不可欠なツールである 問題に読者の方々には文字どおり紙と鉛筆を手にして立 ことは間違いない．しかしここで脚下照顧してみよう． ち向かわれたい．これにより回路解析と設計のための基 シミュレータの限界を超えて，新しいトポロジーの発見 本テクニックが自然に身に付く．回路の物理的特性を行 列計算で導く方法が見えてくるとともに，数学的手段と しての行列という量が技として操れるようになる．例え 目 次 ［ ］ アナログ回路のポートパラメータ（1 月号） ［ ］ スカラから行列へ次元拡張（2 月号） ［ ］ 能動受動アナログ機能回路の設計（3 月号） ［ 完］ 多ポート高周波回路網へアタック（4 月号） ば，仕様として与えられた S パラメータを見ればそれを 満たす回路トポロジーがまぶたの裏に浮かぶようになる だろう．連載後半では抵抗・キャパシタ・インダクタな どの受動回路網並びにトランジスタを含む増幅や発振な どのアナログ機能回路の設計課題にアタックし，前半で 習得した技の腕試しをする．更に最終回ではバランや 大平 孝 正員 豊橋技術科学大学情報工学系 E mail ohir a＠tut jp Takashi OHIRA Member （Depar tment of Infor mation and Computer Science Toyohashi Univer sity of Technology Toyahashi shi 441 8580 Japan） ． 電子情報通信学会誌 Vol 93 No 1 pp 67 72 2010 年 1 月 ラットレース回路といった一見複雑に見えるマルチポー ト回路の例題にチャレンジし，手計算による回路設計の 神髄を究める． 電子情報通信学会 2010 講座 行列ができる回路演習：アナログ回路を紙と鉛筆で考えよう［ ］──アナログ回路のポートパラメータ── 2 アナログ回路の解析と設計 アナログ回路とは時間とともに連続的に変化する信号 y ＋y z ＋z y ＋y z ＋z すなわち電圧や電流を発生し，加工し，伝達し，あるい は出力する機能を果たす回路である．このような機能を となる．明らかに アナログ信号処理と呼ぶ．通常アナログ回路にはこれら で は単位行列である． という関係がある．ここ 信号を外部とやり取りするための「ポート」が少なくと 基本的な 2 ポート回路のイミタンス行列を表 1 に示 も 1 個備わっている．回路のユーザから見て実用的に意 す．この表をきちんと把握しておくと，より複雑な回路 味があるのは回路内部のパラメータではなく，信号を観 もこれら基本の組合せとしてイミタンス行列を求めるこ 測するポートを指定して定義される種々の量である． とができる．組合せの二つの構成方法を図 2 に示す．直 ポートにおける電圧や電流から計算できるアドミタン ス，インピーダンス，反射係数，伝達係数などをここで 列接続された回路全体のインピーダンス行列は個々のイ ンピーダンス行列の和，すなわち は総称して「ポートパラメータ」と呼び，回路内部パラ メータとは区別する．回路の内部構造すなわち回路図と 内部パラメータからポートパラメータを算出することが 回路解析である．その逆に，仕様として与えられたポー a＋ b （２） 表 1 基本 2 ポート回路のイミタンス行列 トパラメータ目標値を満たす回路構成と内部パラメータ を決めることを回路設計という．このような解析と設計 が回路エンジニアの主たるミッションである． 3 イミタンス行列 最初のポートパラメータとしてイミタンス行列を導入 する．信号ポートを 2 個備えるアナログ回路を考える． 図 1 に示すように内部構造は表示せず単にブラックボッ クスで表す．信号ポートに番号＃1，＃2 を付与する． 各ポートは 2 個の端子からなり，上側をホット端子，下 側をコールド端子と呼ぶ．ポート＃1 と＃2 のコールド 端子は内部で共通となっている場合にこれを接地端子と 呼ぶことがある．各ポートにおける信号電圧と電流を要 ［ 素とする二元列ベクトル ］T ， ［ T ］ を 定義する．上付添字T は行ベクトルを列ベクトルに転置 することを意味する．これらベクトルから （１） を満たす 2×2 正方行列 ， が定義できるときこれら をアドミタンス行列，インピーダンス行列，まとめてイ ミタンス行列と呼ぶ．式 （１） を成分別に表示すると 図 1 2 ポート回路における電圧と電流 図 2 二つの 2 ポート回路を接続する二つの方法 電子情報通信学会誌 Vol No Za Z ＋ Za b となる．同じ操作を Zb で行うと 図 3 逆 回路 これを基本回路（ア） （ウ）の組合せで表す方 法は複数ある．行列が計算しやすい組合せを選ぶことが正解への 道． Za Zb Zb＋Za となる．一方，並列接続の場合はアドミタンス行列が和 となる．加算は順序を交換してもよいので分母を入れ替 なので，インピーダンス行列で表すと逆行列の和の逆行 えて 列，すなわち a＋ b ∴ （ a ＋ b ） となる． Za Zb Za ＋Zb Z （３） を得る．元の式と比べると割り算が 3 回から 1 回に減ら ここで，基本回路の組合せの簡単な例を最初の演習課 せた．これで式変形成功．課題に答えるには，この一連 題とする．紙と鉛筆を用意しよう．解答（文末にある） の操作を行列の世界でトレースすればよい．すなわち， を見ないで考え，手を動かすことに意味がある． z ， ，加算 行列の和，乗算 行列の積，割り 算 逆行列，とする．ただし行列乗算は順序に注意が必 課 題 図 3 に示す逆 L 回路を表 1 に示す基本回路の 要． 組合せで表し，接続の公式 （２） または （３） を用 いて 4 行列を計算せよ． 散 乱 行 列 図 1 に示した 2 ポート回路に外部から正弦波信号を入 答案ができたら章末記載の解答と照合する． 2 分以内 力しその反応を見てみよう．そのために図 4 に示すよう でこれが解けた読者は既に回路設計のセンスがある．で に回路を測定系に挿入する．一般に測定系とは基準信号 きなかった方もこれから力を身につけるために，正解の を発生し被測定回路からの出力信号を計測する装置であ 巧みさを見て感受性を高めることがポイント．そして， るが，ここでは簡単のため回路に接続される入出力線路 新たな気持ちで課題 2 へ進む．再び紙と鉛筆を用意しよ の部分だけを考える．この線路の特性インピーダンスを う．もちろんこれも解答を見ないで考えることに意味が zoと書く． zoがポート番号や被測定回路に無関係な実数 ある． の定数（例えば ）であるとすると，測定系から回 路へ供給される電圧と電流は 並列接続のインピーダンス公式 （３） は逆行列演 課 題 算が３回必要である．これを逆行列演算 回と in ＃ ＃ zo in ， ＃ in zo ＃ in なるように式変形せよ． の関係がある．同様に，回路から出力された電圧と電流 見事正解にたどり着いた方はその結果の美しさに感動 は測定系において しよう．普段から数式変形が不得手な方も下記のヒント を注意深くたどれば必ず道が開ける． out ＃ zo out ＃ ， out ＃ zo ＃ out ヒント： 1 ポート回路の並列インピーダンス計算で慣 れ親しんだ逆数和の公式 の観点で測定される． ここで四つのベクトル Z Za ＋ Zb から出発する．右辺に Za を掛けて同じ Za で割ると 講座 in in ［ ［ in in ＃ ＃ ， in＃ ］T ， in＃ ］T out out ［ out ＃ ， out ＃ ］T T ［ out ＃ ， out ＃ ］ を定義すると，上記関係はベクトル表記で簡単に 行列ができる回路演習：アナログ回路を紙と鉛筆で考えよう［ ］──アナログ回路のポートパラメータ── 図 4 2 ポート回路における入力と出力／電圧と電流 in zo in ， out zo （４） out と書ける．これらベクトルを用いて in ， out out を満たす 2×2 正方行列 （５） in が定義できるとき，これを 散乱行列あるいは S パラメータと呼ぶ． は単位信号 図 5 電圧／電流ベクトルとポートパラメータの相関チャート 入力電圧に対する回路固有の出力電圧を意味している． 上記第 2 式は電圧の代わりに電流で説明しても同じ が使えることを示している． となる．ここで注意すべきことは，電流は信号が伝わる 例えば，この 2 ポート回路が増幅器の場合を考える． 向きと平行であるため， が入力と出力で逆向きに重畳 されることである．上記第 2 式の負号に着目． ＃1 を入力ポート，＃2 を出力ポートとすると ポートパラメータを取り巻くベクトルが 6 個も登場 s s s s で関係している．電圧／電流， し，これらは式 （１）（４） 入力／出力，＃1 ＃2 という三次元の組合せなのでわず らわしく感じる．そこで，これらのつながりをチャート 式に図 5 に示した．図中の○印ノードは電圧あるいは電 の各要素の物理的意味は 流ベクトルであり，ノード間を結ぶ矢印は演算である． 例えば，ベクトル in に行列 を乗じるとベクトル out s ：入力反射係数，s ：逆方向利得 が得られる，すなわちこの矢印は式 （３）の第 1 式を表し s ：順方向利得，s ：出力反射係数 ている．このチャートにより，本章で登場したポートパ ラメータの相関の全貌を一覧で掌握できる． となる．この章の最初で述べたとおり入力信号は正弦波 ポートパラメータの特徴をまとめると としており，一般に，回路の反応は入力信号の周波数に よって変化する．また，反射係数や利得は位相回転を含 Yパラメータ／Zパラメータ の各要素は複素数となる．増幅器の設 ◇電圧と電流の関係を表す 計においては，多くの場合，所望の入力周波数帯域にお ◇測定系に対して値が不変 ける s ◇低周波／集中定数回路に適す んでいるので を大きく，残りの 3 要素を零に近づけること S パラメータ が規範となる． S パラメータを測定する系はネットワークアナライザ ◇入力信号と出力信号の関係を表す と呼ばれており，入力信号と出力信号を分離して測定す ◇測定系の特性インピーダンスによって値が変わる る機能がある．一方，被測定回路自身は各ポートにおい ◇高周波／分布定数回路に適す てこれらを分離できない．つまり，図 4 中の矢印で示す ように，入力電圧と出力電圧が重畳した電圧が とし て見える．これをベクトル表記すると となる． は互いに補完し合う役割を果たすので， これらパラメータ間の換算が行列演算を用いてスムーズ にできるようになると回路設計の自在力が高まる．その in ＋ out ， in out （６） 力を蓄えるために演習課題 3 にトライする． 電子情報通信学会誌 Vol No 5 課 題 2 ポート回路における 行列を 行列へ換算 する式を導出せよ． む す び アナログ回路を記述するポートパラメータとその変換 方法を身に付けた．これらを状況に応じてうまく使いこ なせるようになると回路構想が飛躍的に楽しくなる．次 回以降の演習課題を紙と鉛筆でこつこつ取り組むことで ヒント：式（１） ， （４）（６） を総動員し，これらから電 のみその達成感を満喫できる． 圧ベクトルと電流ベクトルを逐次消去すればよい．途中 で単位行列 も現れる．行列を成分に分解する必要はな い． 【課題 1 1 正解】 ， zb 表 1 のセパレート形において za 得られた換算式はきれいに清書して見やすいところに る．次に，シャント形において z とす とする．これら 大きく掲示しておくこと．効能の御利益大である．次号 を図 6 のように縦積みにし，直列接続の公式（２）を使 以降の設計演習に頻繁に用いる．なお，同様の操作によ うと，逆 回路の り， と 行列が の変換式 ０ ０ ＋ ０ ３ z（ （ ） o ＋ ） zo （ （ ） ＋zo ） も導ける．これは 1 ポート回路の反射係数（スミスチャー １ １ １ １ ５ ５ ５ ８ と求まる． ト）の式 z zo z＋zo 【課題 1 2 正解】 式（３） の右辺に左から単位行列 a a を乗じると の次元拡張になっているので覚えやすい．これらの変換 式はポート数が 3 以上になっても成立する． 3 ポート／ a a（ a ＋ b ） 4 ポート回路は連載の最終号でアタックする． 行列の乗算は掛ける順番を入れ替えると結果が変わる 場合があり要注意である．しかし幸運にも，ここで導い と な る． 第 2 因 子 第 3 因 子 に 逆 行 列 公 式 （ ） を適用すると た変換式の場合は常に交換可能である．理由は次の演習 課題で明らかになる． 課 題 a（ a ＋ （ a ＋ b 恒等式（ ＋ ） （ ） （ ）（ ＋ ）を証明 せよ．ただし， は単位行列， は正方行列， ≠ とする． ここまでの課題で習得した行列操作の腕を試すチャン ）a ） a b となる．同じ操作を右から で行うと b b （ a ＋ b a） b （ a b ＋ b a） （ a b＋ a） b b b スである．この課題はあえてヒントなし， 1 か月間かけ てじっくり味わう宿題とする．証明問題なので複数のア プローチがある．あれこれ考えて自分なりの解答を探ろ う．エレガントである必要はない．正解は次号に掲載． 上記と同様の要領で パラメータの多様な表現 zo ） （ （ ＋zo ） zo ） （ ＋zo ）（ （ zo （ ） ＋zo ） （ ＋zo ）（ zo ） がすべて証明できる． 図 6 逆 L トポロジーの縦積み分解 講座 行列ができる回路演習：アナログ回路を紙と鉛筆で考えよう［ ］──アナログ回路のポートパラメータ── zo （ ＋ ） となる．行列は加算の順序を交換してもよいので第 2 因 子を入れ替えると となる． は単位行列である． （ a a＋ b） ， について解くと， それぞれ b を得る．これで逆行列演算を 1 回とすることができた． zo （ （ ＋ ） ） （ ＋zo ）（ 【課題 1 3 正解】 zo ） 式 （１）の第 1 式に式 （４） を代入すると を得る．上付添字 は逆行列演算を表す． in out （ in ＋ out ） である．両辺に zo を乗じて，左辺に式 （２） を適用すると in out zo （ in ＋ out ） となる．これに式（３） を代入すると in in zo （ となる．これが任意の in ＋ in in ） （平成 21 年 6 月 2 日受付） 大平 孝 （正員） 1983 阪大大学院博士課程了． NTT にて衛星 搭載 GaAsMMIC の設計を担当． ATR にてエ スパアンテナの研究に従事．現在．豊橋技術科 学大教授．1985 年度本会篠原記念学術奨励賞， 1998 Japan Microwave Prize， 2004 年度本会エ レクトロニクス賞各受賞．電気学会ミリ波調査 専門委員長． URSI Commission C Chair IEEE MTT S Kansai Chapter 創 設 者． 工 博． IEEE Fellow． について成立すべきなので International Symposium on Wireless Personal Multimedia Communications（WPMC2009） 主 催： NICT， YRP， IEICE， ITE 10 日（4 日間） 日 時： 2009 年 9 月 7 会 場：ホテルメトロポリンタン仙台 （宮城県仙台市） 参加者： 327 名 主要参加国：日本，フィンランド，中国，インドほか 35 か国 セッション数及び論文数： 77 セッション， 190 件 展 示：なし Pr oceedings 発行所： NICT 日本における報告会：なし 主たるトピックス： “Open Door to Real Wir eless Media” を 全 体 テー マ と し て， WPMC2009 が開催された．会議開催にあたり，景気悪化及び新型 インフルエンザの影響が心配されていたが，最終的には 36 か国か ら 243 件の投稿， 35 か国から 327 名の参加があり，盛況な状況で の開催となった． 全体的な発表の傾向としては，無線伝搬のセッションが多数用意 されており，ネットワーク層以上のセッションは例年より少なめで あった．無線伝搬関連では，Relay and Cooper ative Communication， MIMO， OFDM といったテーマについて，活発な議論が行われて いた．そのほかとしては， Cognitive Radio， Per for mance Analysis といったテーマについての発表が多数あった．また，招待論文を中 心とした Special Session が会期中を通して設定され， Gr een Com munication， LTE Advanced， Cooper ative Multi Cell Tr ansmission Technologies，Medical ICT，Space Communication，Cognitive Radio， FUTON というテーマに関する発表が行われた．特に，最近話題と なっている Gr een Communication では， CO 削減や省電力等につ いて，デバイス，システム実装，社会的環境などの多数の視点から の発表が行われ，興味深いものであった． 14 日まで， Recife（ブラジル）で開 次回は， 2010 年 10 月 11 催され，投稿締切は 2010 年 3 月 15 日である． （執筆者 新保宏之 正員 （株）KDDI 研究所モバイルネットワークグループ） 電子情報通信学会誌 Vol No
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