ながれ 27（2008）387 − 396 387 ާ․㓸ި࡙࠾࡯ࠢߥࠕࠗ࠺ࠖࠕ߆ࠄᆎ߹ߞߚ㧘వ┵⎇ⓥᐕߩ߁ߨࠅ! ㆇേ⺰߳ߩ⺃޿ *੩ㇺᄢቇ Ꮏቇ⎇ⓥ⑼ ᯏ᪾ℂᎿቇኾ᡹࡮㜞╬⎇ⓥ㒮ᵹ૕ℂᎿቇ⎇ⓥㇱ㐷 ↰ ṑ̐ 㜟 ⚛ᧉߢන⚐ߥⴣ⓭ㆊ⒟ࠍߣ߽ߥ߁☸ሶ㓸࿅㧔☸ሶ᳇૕㧕ࠍ㗴᧚ߣߒߡ㧘ㆇേ⺰ᣇ⒟ᑼߦࠃࠆ⃻⽎ߩࡕ࠺࡞ ൻߦߟ޿ߡ⸃⺑ߔࠆ㧚☸ሶ᳇૕ࠍኻ⽎ߣߒߚㆇേ⺰ᣇ⒟ᑼࠍዉ޿ߚᓟ㧘ዉ಴ߒߚᣇ⒟ᑼ߇ᮡḰ⊛ߥၮᧄ⊛ ᕈ⾰㧔ⴣ⓭ߩਇᄌ㊂㧘ኻ⒓㑐ଥᑼ㧘ᐔⴧ⸃㧘H ቯℂ㧕ࠍᜬߟߎߣࠍ␜ߔ㧚߹ߚ㧘ߎࠇࠄߩᕈ⾰ࠍߟ߆ߞߡ㧘 ☸ሶ᳇૕ߩᵹ૕ജቇᭂ㒢ߦ߅ߌࠆᝄ⥰޿ࠍ⠨ኤߔࠆ㧚 Invitation to the Kinetic Theory Shigeru TAKATA, Department of Mechanical Engineering and Science, Kyoto University (KEY WORDS): Boltzmann equation, kinetic theory, H theorem, fluid-dynamic limit, Lorentz gas 1 はじめに 1994 年度の竜門賞をいただいてからいつの間にか 14 年もたちました．編集委員会からのお誘いを機会にその後のことを少し振り返ると，自分の身近で起こった学術上一番大きな出来事は，我々の分野で「幽霊効果」と呼ばれるようになった特異な流体力学極限の研究の進展だと思います．ただ，これについてはすでに本誌で紹介しています 1) ．最近，受賞論文の内容から発展的につながるテーマに取り組んでいますが，まだこの場で紹介する段階には至りません．積み上げる石が小さすぎるのか，積み上げたつもりの石がただ横に並んでいるだけなのか．時間は無慈悲に速くすぎてしまいます．自分自身の手でよりよく理解したいと思えば思うほど，時間ばかりかかってなかなか前に進みません．せっかく頂いたこの機会に，どのような話題を提供できるだろうかとしばらく迷っていました．自分の歩みの遅さはともかく，多少の経験や付き合いで視野が少しずつ広がると，半導体内の電子伝導，粉体流，交通流，微生物の化学走性，さらには数値流体力学における格子ボルツマン法など，いろいろな分野で気体分子運動論の考え方が使われていることに気づきます．これほど多様な分野の話題が同じ枠組みで取り扱われているのは，この枠組みが元来もつ自由度の高さと，素 ∗〒 606–8501 京都市左京区吉田本町 [email protected] † E-mail: 朴で解りやすい概念にあるのだろうと思います．本稿では，空間にランダムに配置された球体のまわりを流れる微小粒子群という，イメージをつかみやすい素朴な題材を対象として，運動論方程式によるモデル化の世界の一端を紹介しようと思います．運動論が関係する先端的話題では，多くの場合「流体力学方程式への縮約」の考え方が理論の中核を担っています．本稿でもこの考え方の一端を具体的手順を示しながら紹介します．関連の話題に興味をもつ読者に少しでも益するところがあれば幸いです． 2 考える模型と方程式の導出半径 rs の静止球体群がランダムに配置された空間を球形の粒子群が運動している状況を考えます．非常に大雑把なアナロジとして，空間をパチンコ台，静止球体を釘，粒子をパチンコ玉に見立ててパチンコ玉の流れを思い浮かべると，イメージがつかみ易いでしょうか．察しの早い読者のためにあらかじめ一言断っておくと，これから導出するモデルは Lorentz 気体 2–5) と呼ばれているものと同じです．さて，粒子の半径を rp とすると，粒子と球体の数密度が大きく違わなければ，粒子同士の衝突と粒子・球体間の衝突の頻度の比は，大略，衝突断面積の比 π(2rp )2 : π(rs + rp )2 と評価できます．そこで，議論を簡単にするために，粒子の大きさは球体よりも非常に小さく，粒子は空間に固定された球体とは衝突するが粒子同士が運動論への誘い 388 を記述する方程式を導きます．この粒子群集団を以下で 2.2 衝突の影響さて，これから粒子と球体との衝突を考えることには “粒子気体” とよびます．衝突に関する上記の仮定にします．衝突が起こると，粒子はそれまでとは異なる速衝突することはないとして，粒子群の集団的な振舞いついては付録 1 に補足説明を与えておきます．なお，こ度を得ます．その様子を図に示すと図 2 のようになりまこでは系に働く外力はないものとします．また，粒子はす．衝突がなければ一本の直線になるはずの代表点の軌球体と完全弾性衝突をする質点として扱います．跡が，衝突時刻の位置 X において不連続な 2 本の直線時刻 t に位置 X ∼ X + dX にあり，速度 ξ ∼ ξ + dξ に変わるのです．注1）ここで大事なことは，衝突によるをもつ粒子の個数を f (t, X, ξ)dXdξ と表し，この f を速度分布関数と呼びます．f は X と ξ が張る相空間内の粒子の数密度です．「粒子群の集団的振舞いを記述する方程式」とは f の振舞いを記述する方程式（運動論方程式，kinetic equation）のことを指します． 2.1 無衝突過程の記述まず仮に粒子が球体とも衝突しないとします．すると各粒子は Newton の運動方程式 dX = ξ, dt 図2 衝突を経験する粒子の代表点の軌跡の分類➀ 〜➃ ．この速度の跳びは，大抵の場合，dξ の幅を悠々と超えてしまうということです．したがって衝突の影響によっ dξ =0 dt (1) て，dXdξ にあった粒子の一部は時刻 t に dX dξ には到達せずに違うところに行ってしまいます．逆に，時にしたがって運動します．この運動を図に示すと，相刻 t に dXdξ になかった粒子の一部が，衝突の影響で，空間内の “X 面に平行な” 直線になります（図 1）．時刻 t = t + dt に dX dξ にやって来ることもありまいま式 (1) にしたがって時刻 t に相空間内の微小領域す．このようにして式 (2) の左辺 2 項のバランスは崩れ，右辺はゼロでなくなります．そこで，衝突の結果，時刻 t = t + dt に dX dξ にある粒子の数が時刻 t に dXdξ にある粒子数に比べて増えた量を ∆fcoll と表して， f (t , X , ξ )dX dξ − f (t, X, ξ)dXdξ = ∆fcoll 図1 式 (1) にしたがって相空間内を移動・変形する微小体 (5) のように，式 (2) に衝突の影響を組み込みます．ところで微小時間 dt の間に球体と衝突する粒子は次積と衝突のない粒子の代表点の軌跡の模式図．の 4 種類に分けられます（図 2 参照）： (X, ξ) ∼ (X + dX, ξ + dξ) にある粒子の代表点が時刻 ➀ 時刻 t において dXdξ にあり，時刻 t (= t + dt) で t に (X , ξ ) ∼ (X + dX , ξ + dξ ) に移ったとすると， dX dξ には到達しないもの；粒子は生成も消滅もしないので ➁ 時刻 t において dXdξ にないが，時刻 t で dX dξ に到達するもの； f (t , X , ξ )dX dξ − f (t, X, ξ)dXdξ = 0 (2) ➂ 時刻 t において dXdξ にあり，時刻 t でも dX dξ が成り立ちます（粒子数の保存）．一方，図からも明らかなように dXdξ = dX dξ に到達するもの； ➃ 時刻 t において dXdξ になく，時刻 t でも dX dξ にも到達しないもの． (3) です．したがって，とくに t = t + dt とし，式 (1) を解いて得られる X = X + ξdt，ξ = ξ とあわせてこの分類を利用すると ∆fcoll は ∆fcoll = (➁ の粒子数) − (➀ の粒子数) (6) f (t , X , ξ ) に代入し，f (t, X, ξ) のまわりで Taylor 展と書けますが，右辺の各項はどちらも衝突前後の状態の開して dt の高次の微小量を無視すると，式 (2) から両方が制約された粒子の数え上げになるので計算が困 ∂ ∂ f (t, X, ξ) = 0 f (t, X, ξ) + ξi ∂t ∂Xi 難です．そこで上の➂の粒子に注目して式 (6) の右辺を (4) が得られます．これは粒子と球体との衝突がない場合の f の振舞いを記述する輸送方程式（移流方程式）です． (➁ と➂ の総粒子数) − (➀ と➂ の総粒子数) 注1）微小な時間経過を考えるので，一つの粒子はその間に高々1 か衝突しないと仮定します．回し a田滋と書き直して，これを ∆fgain − ∆floss と表します： ∆fcoll = ∆fgain − ∆floss . (7) この書き直しでは ∆fgain 内の➂ の寄与と ∆floss 内の➂ の寄与が相殺され，式 (6) の右辺が回復されていることに注意してください．式 (7) の右辺の各項の意味は次のとおりです． ∆fgain （➁ と➂ の総粒子数）：微小時間 dt の間に球体と衝突し，時刻 t に dX dξ に到達する粒子の総数； 389 ここで β は ξ の方向の単位ベクトルです．式 (8)，(9) は Sh ∂F ∂F 1 = C(F ), + βi ∂τ ∂xi κ 1 |β · α|(F∗ − F )dΩ(α), C(F ) = 2π β ∗ = β − 2(β · α)α (10) (11) (12) に簡単化されます．ここで C(F ) の定義式 (11) の右辺では，慣例にならって F = F (τ, x, β)，F∗ = F (τ, x, β ∗ ) ∆floss （➀ と➂ の総粒子数）：時刻 t に dXdξ にあり，という省略表記を使っています．誤解を生む恐れがないその後，微小時間 dt の間に球体と衝突する粒子の総数．限り，今後もこの省略表記を使います．C(F ) あるいはこうして決めた ∆fgain ，∆floss は個別に計算することができ，その計算から ∆fcoll の具体形が求められます．この計算の詳細は付録 2 にゆずり，結果だけを示すと ∆fcoll ns rs2 |ξ · α|[f (t, X, ξ ∗ ) − f (t, X, ξ)]dΩ(α) = dXdξdt 2 となります．ここで ξ ∗ = ξ − 2(ξ · α)α，dΩ(α) は α の方向の立体角素，また積分範囲は α の全方向です．式 (5) は，式 (2) から式 (4) を導いたのと同じ過程をへて ∂ ∂ ∆fcoll f (t, X, ξ) = f (t, X, ξ) + ξi ∂t ∂Xi dXdξdt と書き直せるので，以上をまとめると，結局，f の振舞いを記述するつぎの運動論方程式が得られました： ∂ ∂ f (t, X, ξ) f (t, X, ξ) + ξi ∂t ∂Xi ns rs2 |ξ · α|[f (t, X, ξ ∗ ) − f (t, X, ξ)]dΩ(α), = 2 ξ ∗ = ξ − 2(ξ · α)α. 式 (10) の右辺を衝突積分と呼びます．式 (10) に含まれる Sh，κ は，それぞれ Strouhal 数， Knudsen 数と呼ばれるつぎの無次元パラメータです： Sh = L , tref |ξ| κ= 1 = . πrs2 ns L L ここで = (πrs2 ns )−1 は粒子の平均自由行程といわれる量ですが，その説明は付録 1 にゆずります．ここで後の議論のために単位ベクトルの関数 g のモーメントを表すのに次の記号を導入しておきます： 3 g(β)dΩ(β). g = 4π F のこのようなモーメントは粒子群の速度空間に関する統計量であって，本稿では慣例にならって巨視量とよびます．粒子 1 個の質量を m，粒子気体の密度，流速， (8) (9) さて，この段階で，出来上がった方程式を少し観察しておきましょう．まず式 (9) から |ξ ∗ | = |ξ| ですから，速さが違う粒子群の間には相互作用がなく，互いに独立に振舞うことがわかります．これは粒子同士の衝応力を m nref ρ，|ξ|v ，m nref |ξ|2 pij と表すと， ρ = F , ρv = βF , pij = (βi − vi )(βj − vj )F (13) となります．誤解の恐れがない限り，以後は無次元量 ρ， v ，pij を単に密度，流速，応力と呼びます． 3 運動論方程式の基本的な性質突がなく，粒子は球体の表面で鏡面的に反射されるとこの節では，2 節で導出した運動論方程式をあれこれした付録 2 の取扱いを反映したもので，直感的にも理といじって，どんな性質が現れてくるか検討します．運解できる性質です．このことに注意すると，式 (8) には f (t, X, ξ) = f˜(|ξ|t, X, ξ/|ξ|) という形の相似な解が適動論の議論に慣れると，この作業は面白く感じられます．合することがわかります．そこで，これから先は粒子の速さ |ξ| が揃っている（速さについて “単色”）として話を進めます．ここで，方程式の無次元化も含めて，式 (8) を一気に簡単化しておきましょう．代表時間を tref ，代表長を L，粒子の代表数密度を nref と表して，つぎの無次元量 τ ， x，β ，F を導入します： t = tref τ, X = L x, 3 3.1 衝突積分 3.1.1 衝突における不変量式 (12) をみると，単位ベクトル β を球体に衝突する前の粒子速度とすると，β ∗ はその粒子の衝突後の速度であることがわかります．そこで衝突の前後で不変に保たれる量，つまり，任意の単位ベクトル α に対して ψ(β ∗ ) = ψ(β) ξ = |ξ| β, f (t, X, ξ) = (nref |ξ| ) F (τ, x, β). (14) をみたす量 ψ を衝突の不変量とよびます．式 (12) で定まる 3 つの単位ベクトル β ∗ ，β ，α は同一平面内にあ運動論への誘い 390 ところで，C(g) = 0 ⇒ gC(g) = 0 ですから，性質 5 によって g は衝突の不変量です．したがって性質 2 をもっと強い次の主張に換えることができます：性質 2 . C(g) = 0 ⇔ g は定数（衝突の不変量）．つまり，正味の衝突の影響がなければ粒子の分布は “速度”β について等方的であり，逆に粒子の分布が等方的図3 単位ベクトル β ，α，β ∗ の位置関係．り，その位置関係は図 3 に示すとおりです．β を固定して α をあらゆる方向にとると，それに応じて β ∗ はあらゆる方向を（2 重に）指し尽しますから，式 (14) は ψ が任意の単位ベクトルに対して同じ値を与える，つまり定数であることを意味します：注2）性質 1. 衝突の不変量は（粒子速度に関して）定数に限られる．また，式 (11) から次のことがわかります：性質 2. ψ が衝突の不変量ならば C(ψ) = 0． 3.1.2 対称関係式とそれから導かれる性質単位ベクトルの任意の関数 g ，h に対して次の積分 3 g(β)C(h)dΩ(β) (15) gC(h) = 4π を考えます．このとき次の等式が成り立ちます： 3 |β · α|[g(β ∗ ) − g(β)] gC(h) = − (4π)2 × [h(β ∗ ) − h(β)]dΩ(α)dΩ(β). (16) ならば衝突の影響は正味ないということです． 3.2 保存方程式と運動量バランス粒子が球体によって鏡面的に反射されるという描像から直感的に明らかですが，いま考えている粒子気体系では質量が保存されるはずです［注2）参照］．このことは 3.1 節の性質 1 に集約されているのですが，ここでは巨視量を用いた保存式の表現を導きます．まず予備事項として，3.1 節の性質 1–3 から C(g) = 1C(g) = gC(1) = 0 (18) であることに注意します．式 (10) を（3/4π を乗じて） β について積分すると，右辺の寄与はないので Sh ∂ ∂ βi F = 0, F + ∂τ ∂xi つまり Sh ∂ρ ∂ρvi =0 + ∂τ ∂xi (19) という，流体力学でなじみの連続の式が得られます．一方，球体との衝突で粒子の運動量は変化するので，粒子気体の運動量が保存されることはないはずです．こここで積分の範囲は単位ベクトル α，β の全方向です．のことは，式 (10) に (3/4π)βj を乗じて β の全方向につ式 (16) は非常に大切な関係式なので証明を付録 3 に示いて積分すると，右辺の衝突積分が運動量の生成項としします．式 (16) から直ちに次のことがわかります． gC(h) = hC(g)．性質 4.（非正値性） gC(g) ≤ 0．性質 3.（対称性）性質 4 は gC(g) が式 (16) の特別な場合として 3 |β · α|(g∗ − g)2 dΩ(α)dΩ(β) (17) gC(g) = − (4π)2 と書けることからわかります．もちろん性質 4 で等号がて残るという形で反映されます： Sh βi βj F は式 (13) に注意すると βi βj F = (βi − vi )(βj − vj )F + vi (βj − vj )F + βi F vj = pij + ρvi vj と書き直せるので，式 (20) はならば式 (17) の右辺はゼロになりますから，結局性質 5. gC(g) = 0 ⇔ g は定数（衝突の不変量）．となります． (20) 性質 3 から βj C(F ) は F C(βj ) に等しく，また成立するのは右辺の被積分関数がゼロ，つまり g が衝突の不変量の場合に限られます．逆に g が衝突の不変量 ∂ ∂ 1 βi βj F = βj C(F ). βj F + ∂τ ∂xi κ Sh ∂ρvj 1 ∂ (ρvi vj + pij ) = F C(βj ) + ∂τ ∂xi κ (21) となります．この式は後で再び議論します．注2）粒子が球体表面で鏡面的に反射されるので，直感的には粒子の質量とエネルギーが保たれると理解できます．ここでは “単色” の粒子速度を考えているので，エネルギーの保存が縮退して，質量に対応する定数だけが出てきています． 3.3 平衡解と平衡分布衝突積分を構成する 2 つの項が釣り合って C(F ) = 0 となる分布を（局所）平衡分布とよんで Feq で表しま a田滋 391 す．性質 2 によって平衡分布は β に関する定数ですが，で定義される H 関数の流れ速度です．式 (24) により式 (13) から，この定数は密度 ρ そのものです： (ii) 境界 ∂D において jiH ni = 0 ならば D H(τ, x)dx は Feq = ρ = Feq . (22) 決して増大しない．ということがわかります．この場合も定常状態に達すまたこの分布は流速ゼロ（v = 0），非対角成分をもたるとまず D F C(F )dx = 0 から F C(F ) = 0 が要請 1 ない等方的な応力（pij = 3 ρδij ）を与えます．平衡分され，これから F が平衡分布であることがわかります．布は一般に時間 τ と位置 x の関数です．ところがこの平衡分布は同時に式 (10) の解でなければ平衡分布でとくに式 (10) を満たすものを平衡解とよならないので，平衡解，つまり空間的にも状態が一様でびます．式 (22) の形を式 (10) に代入すればあるということになります．こうして，系はやはり時間 ∂ρ 1 ∂ρ とともに平衡解へ近づくことがわかります． =0 + βi ∂τ 3 ∂xi 以上の主張 (i)，(ii) を H 定理とよびます．注3）となりますから，この式およびこの式に βj を乗じたものを β について積分すると，ρ が時間 τ と位置 x によ 3.5 衝突積分の性質と運動量の式の再考らない定数ということがわかります．つまり式 (10) の 3.2 節で運動量の式 (21) を導きました：平衡解は τ ，x，β によらない定数です． Sh 3.4 H 定理式 (10) の両辺に (3/4π)F を乗じて β で積分すると ∂ 1 ∂ 1 1 Sh F 2 + βi F 2 = F C(F ) ≤ 0 ∂τ 2 ∂xi 2 κ (23) ∂ρvj 1 ∂ (ρvi vj + pij ) = F C(βj ). + ∂τ ∂xi κ 右辺は衝突積分による運動量の生成項です．これは粒子と球体の衝突によるものですから，直感的には粒子速度に比例するダンパとして表されてもよさそうです．そこで C(βi ) を調べてみると，定義式 (11)，(12) から，果たが得られます．最後の不等式は性質 4 によるものです．して次のように簡単に計算することができます：左辺の第 2 項は発散形ですから，大雑把に言えば，式 1 |β · α|(β∗i − βi )dΩ(α) C(βi ) = 1 2 (23) は外部と切り離された系では 2 F が時間的に単 2π 1 調に減少するということ，つまり系の振舞いに方向性が |β · α|(β · α)αi dΩ(α) =− π あることを示しています．慣例にならい，今後は，この 1 量を H と書いて H 関数と呼びます： |β · α|(β · α)2 βi dΩ(α) =− π 1 3 F 2 dΩ(β)(≥ 0). H(τ, x) = F 2 = = − βi . (25) 2 8π 上で述べたことをもう少し正確に述べます．まず F 成分とそれに垂直なベクトル α⊥ とに分解して［αi = が空間一様な場合を考えます．このとき式 (23) は Sh (β · α)βi + α⊥i ］，α⊥ を含む項を被積分関数の奇関数 dH(τ ) 1 = F C(F ) ≤ 0 dτ κ 性によって落としました．この計算の結果から運動量の生成項はとなりますから， (i) ここで 2 行目から 3 行目の変形では，α を β 方向の状態が空間一様ならば H は決して増大しない．ということがわかります．また定常状態に達すると F C(F ) = 0 になりますから，系は時間とともに平衡解へ近づくことがわかります．つぎに状態が空間的に一様でない場合を考えます．適当な x の領域 D で式 (23) を積分し Gauss の発散定理を用いると d Sh Hdx − H jiH ni dS dτ D ∂D 1 F C(F )dx ≤ 0. = κ D 線ベクトル，j は 1 1 jiH = βi F 2 / F 2 2 2 となりますから，運動量バランスの式 (21) は Sh ∂ρvj 1 ∂ (ρvi vj + pij ) = − ρvj + ∂τ ∂xi κ 注3）式 (26) (10) の両辺に (3/4π)(1 + ln F ) を乗じて β で積分すると Sh ∂ ∂ 1 F ln F + βi F ln F = C(F ) ln F ∂τ ∂xi κ を得ますが，この右辺は非正値で，F が平衡分布のときに限ってゼロ (24) ここで n は D の内部を向いた D の境界 ∂D の単位法 H F C(βi ) = −βi F = −ρvi になります．これは (F∗ − F ) ln(F∗ /F ) ≥ 0（等号成立は F∗ = F のときに限る）であるためです．したがって F ln F をもとに H 定理を構成することもできます．むしろその構成のほうが熱力学や（平衡）熱統計力学のエントロピー，Shannon のエントロピーとの対応が素直にとれるので，標準的といえるかもしれません．あとの議論に差し支えないので，ここでは形が単純なものを選びました．運動論への誘い 392 となります．この方程式の解を κ のべき展開という，予想したとおりの式になりました．連続の式 (19) と運動量の式 (26) がそろうと，これらの 2 式だけで粒子気体の振舞いが調べられると早合点するかもしれませんが，そうはいきません．応力 pij は流速や密度とは独立で，連続の式と運動量の式は閉じた F = F (0) + F (1) κ + · · · によって求めます．この展開形を式 (27) に代入すると，展開の最低次は系を構成していないのです．これが流体力学の方程式系との違いです．そもそも，連続の式 (19) と運動量の式 ∂τ F (0) = C(F (0) ) (26) はもとの運動論方程式 (10) の適当な射影をとったものにすぎません．“影” にうつった情報だけから “影” を満たすことがわかります．この解を解析的に求められの次の動きを完全に把握できると考えるのはどうも虫合の式 (10) と同じなので，3.5 節の最後の議論が使えてがよすぎるわけです．しかし状態が空間一様な場合には，連続の式 (19) と運動量の式 (26) だけから，粒子気体の振舞いについて式 (19) から dρ/dτ = 0．すなわち密度 ρ は時間によらない定数である． 2. F (0) = Finitial , βi F (0) = βi Finitial e−τ , さらに空間一様の場合の H 定理の導出過程をなぞって次の重要な情報が得られます． 1. るかどうかわかりませんが，方程式の形は空間一様の場 Sh d(ρvj )/dτ = −(1/κ)ρvj ．すなわち vj (τ ) = vj (0) exp(−τ /κ Sh)．球体ダンパの作用によって粒子気体の流速は指数関数的にゼロに減衰する． ∂ 1 (0) 2 (F ) = F (0) C(F (0) ) ≤ 0 ∂τ 2 となります．したがって τ → ∞ で定常状態に達すると， F (0) は平衡分布に達します： F (0) → F (0) = Finitial as τ → ∞. 4 運動論方程式から流体力学方程式へこの平衡分布は初期状態の粒子気体の密度分布に応じ 3 節で運動論方程式 (10) の基本的な性質を大体見極めました．そこで運動論方程式から流体力学方程式への縮て x に依存します．約という，少し踏み込んだ内容を最後に取り上げます． 4.2 Sh = O(1) の場合 4.1 節の時間スケールで十分に時間がたつと，F は平式 (10) には 2 つのパラメータ Sh と κ が含まれていますが，Knudsen 数 κ が小さいとき（κ 1）の粒子気体衡分布に近づくので C(F ) の値は小さくなり，式 (10) のの振舞いを調べるのです．これは考えている空間スケー右辺の大きさは O(1) に収まるようになります．したがっルで粒子と球体との衝突が頻繁に起こる状況です．パラて，左右両辺の釣り合いから，F の時間変化も O(1) にメータはもうひとつある（Strouhal 数 Sh）ので，その収まらないといけません．そこで Sh = 1 としてこの先大小に応じて粒子気体の振舞いは大分違ってきますここでは議論を初期値問題に限定します． 6, 7) ．の振舞いを調べます．再び Sh の定義に戻って考えると，これは代表時間を tref = L/|ξ|，つまり粒子が代表長さ 4.1 ごく初期の振舞い：Sh = O(1/κ) 初期時刻に F の適当な分布が与えられているとします［F (τ = 0, x, β) = Finitial (x, β)］．Finitial (≥ 0) の選択にとくに制限はありません．F が平衡分布でなければ衝突積分 C(F ) は O(1) の量ですから，式 (10) の左辺と右辺が釣り合うには Sh∂F/∂τ = O(1/κ) でなければなりません［空間微分項は O(1) です］．そこで Sh = 1/κ となる時間スケールを考えます．Sh は定義によって Sh = L/tref |ξ| ですから，これは代表時間 tref を tref = κL/|ξ| = /|ξ| に選んだことにあたります．これは粒子の平均自由時間です．新しいスケールの下で式 (10) を改めて書くと ∂F ∂F 1 = C(F ) + βi ∂τ ∂xi κ (28) となります．この方程式の解を再び κ のべき展開 F = F (0) + F (1) κ + · · · によって求めましょう．4.1 節と同じ記号 τ や F を使って書いていますが，そこのものとは全く別物ですので注意してください．4.1 節の時刻無限大（τ → ∞）は新しい時間の尺度では（κ → 0 で）初期時刻 τ = 0 でそこで式 (10) を改めて書くと 1 ∂F ∂F 1 = C(F ) + βi κ ∂τ ∂xi κ を進むのに要する時間に選んだということです．す．したがって，この節の議論では，初期状態は 4.1 節 (27) の Finitial を使って F (τ = 0, x, β) = Finitial (x) a田滋で与えられます．注4）でなければなりません．注6） F の展開形を式 (28) に代入すると， C(F (0) ) = 0, 結局，粒子気体の初期状態が式 (33) の第 1 式を満た (29) ∂F (0) ∂F (0) C(F ) = , + βi ∂τ ∂xi ∂F (1) ∂F (1) , + βi C(F (2) ) = ∂τ ∂xi (1) そうでなければ，時間に比例して解が成長するということになります． (31) 4.3 Sh = O(κ) の場合粒子気体の初期状態が式 (33) を満たさないとき，時間とともに解が成長すると述べました．しかし，これはという，最低次から順次解いていける一連の方程式が得られます．式 (29) から F (0) は平衡分布でなければなりません．このことは初期条件と矛盾していません．F (0) は平衡分布なので F (0) = F (0) ，βi F (0) = 0 です．つぎに式 (30) を解いて F (1) を得ることを考えます．このとき，左辺の衝突積分は式 (18) の性質をもつので，式 (30) がこれに矛盾すると解はありえません．そこで矛盾しない条件を調べると注5）時間の経過とともに解が発散するということですから到底満足できる描像ではありません．このとき本当はいったい何が起こるのでしょう? それを観るためにもっと長い尺度の時間変化を考えます．注7）そこで Sh = κ とします．Sh の定義に再び戻って考えると，これは代表時間 tref を tref = (L/κ)/|ξ| に選んだことにあたります．粒子が直線距離で L だけ進む間にたどるジグザクの軌跡の総距離は大略 L/κ なので，注8）新しい代表時間はそれに要する時間ということができます． ∂ 0= F (0) ∂τ 新しいスケールで式 (10) を書くと，こんどはを得ます．ここで βi F (0) = 0 を考慮しました．つまりF すならば F (0) = Finitial の状態が持続するけれども， (30) ··· (0) 393 = Finitial であり，いまの時間尺度では何も起こらないことを意味します．さて，この条件のもとで， ∂ 式 (30) は C(F (1) ) = βi ∂x Finitial になります．そこで i κ ∂F ∂F 1 = C(F ) + βi ∂τ ∂xi κ になります．初期条件は F (τ = 0, x, β) = Finitial (x) です［注4）参照］．この方程式の解を再び κ のべき展開 F = F (0) + F (1) κ + · · · 式 (25) を利用してこれを解けば（付録 4） F (1) = F (1) − βi ∂ Finitial ∂xi (32) で求めます．同じ記号を使いますが，4.1 節，4.2 節のものと混同しないように注意してください．ということがわかります．さらに先の F (2) は式 (31) を解いて求められます．しかしそのためには F (1) を得た場合と同様で，式 (31) が式 (18) と矛盾していてはいけません．これが矛盾しない条件は［注5）参照］ 0= ∂F (1) ∂βi F (1) + ∂τ ∂xi F の展開形を式 (34) に代入すると， C(F (0) ) = 0, (35) (0) ∂F , ∂xi ∂F (1) ∂F (0) , C(F (2) ) = + βi ∂τ ∂xi C(F (1) ) =βi (36) (37) ··· ですが，すでに得た F (1) の具体形を代入して整理するが得られます．式 (35) から F (0) は平衡分布で，初期条件と，これは 0= がこれに矛盾しないこと，F (0) = F (0) ，βi F (0) = 0 ∂ 1 ∂2 Finitial F (1) − ∂τ 3 ∂x2i ら，1 次の解 F (1) が時間とともに発散しないためには ∂2 Finitial = 0, ∂x2i ∂ F (1) = 0 ∂τ (33) O(κ) の誤差を含みます．高次の影響まできちんと議論する場合は F (0) (τ = 0, x, β) = Finitial (x) と書くべきです．注5）具体的には式 F (2) を具体的に出す手前で止めています．は時間によりませんでした．このことから，空間注6）議論に不要なのでと書けます．右辺の第 2 項は時間に関する定数項ですか注4）これは (34) (30) の両辺を β で積分するだけです．なお，式注7）4.2 節で F (0) 微分の項 βi ∂F/∂xi と衝突積分の項 (1/κ)C(F ) がほぼ釣り合い，時間微分の項が κ の高次の量になるという構図が浮かびます．これが新しい時間尺度を考える 1 つの動機です．もっと直感的に表現すると， 4.2 節の時間尺度では定常に見えて捕捉できなかった程度の，ゆっくりとした現象の可能性を検討するということです．注8）衝突による粒子の散乱に方向性がなければ，N 粒子が進む直線距離は √ c 回の衝突を経て Nc と見積れます．したがって粒子が直線 (29)，(30) 等の展開後の式を β で積分することは，保存式 (19) を展距離 L を進む間に経験する衝突数 NL は NL = (L/)2 ，この間に開したものを κ のべき毎にみるのと同じことです．粒子が移動する総距離は NL = L(L/) = L/κ となります．運動論への誘い 394 であることは 4.2 節と変わりません．式 (36)，式 (37) は (0) 与えられた初期分布から，まず平均自由時間の尺度で平 = 衡分布への緩和が起こる．この緩和過程では空間の各位 F を考慮すると，式 (36) は式 (18) と矛盾がなく簡単に解けて（付録 4 参照）置での粒子密度は一定に保たれる．そして平衡分布へ緩 4.2 節の対応するものと時間微分の項が違います．F (0) F (1) = F (1) − βi た尺度で拡散が起こる． ∂ F (0) ∂xi 4 節の議論は流体力学極限とよばれるトピックの一例を得ます．そこでこれを式 (37) に代入すると ∂F (1) ∂ 2 F (1) ∂F (0) C(F (2) ) = − βi βj + βi ∂τ ∂xi ∂xi ∂xj になりますが，これが式 (18) と矛盾しない条件を調べて整理すると［注5）参照］ 0= I.C. 2 (0) 1∂ ρ , 3 ∂x2i (0) ρ た，本稿では積極的な意味を持たなかった 4.2 節の時間域は “Euler 領域” あるいは “非粘性領域” とよばれます． 5 おわりにモデル化の方法を具体的に紹介しました．読み物として結局，初期条件とあわせて，粒子気体の振舞いは = 域は “拡散領域” あるいは “粘性領域” とよばれます．まを流れる微小粒子群を題材として，運動論方程式によるにそって粒子気体が振舞うときにみられるのです． ∂ρ ∂τ で，4.1 節の初期緩和時間域は “初期層”，4.3 節の時間本稿では，空間にランダムに配置された球体のまわり ∂F (0) 1 ∂ 2 F (0) − ∂τ 3 ∂x2i が得られます．つまり，本節で想定した状況はこの条件 (0) 和した後，平均自由時間の κ−2 倍程度のゆっくりとしの取りつきの良さを考慮して，煩雑な部分の詳細は本文から除きましたが，付録として与えて議論や導出の過程での跳びがほとんどないように努めたつもりです．本稿で提供した題材は，じつは出張先での気楽な遊びに端を発しています．希薄気体に対する Boltzmann 方 (τ = 0, x) = ρinitial (x) 程式からややこしいところを出来るだけ排除して，大学院生の入門用の題材になり得るような，手頃で簡単で記述されることがわかりました．ここで ρ(0) = F (0) ，な運動論方程式を作ってみたいというのが元々の動機で ρinitial = Finitial と表しています．つまり平衡分布へした．出来上がったモデルは，結局，Lorentz 気体 2–5) 移行した後，粒子気体は拡散するわけです．注9）注10）と呼ばれているものに他なりません．Lorentz 気体とは， 4.4 まとめ 4 節の内容をまとめると次の描像が得られました： Lorentz が 1905 年に提案した運動論モデルで，元々は Drude による金属の電気伝導論 2, 8) に理論的裏付けを与えるために導かれたのだそうです．気軽にはじめた遊び注9）都合の悪い 4.2 節の結果を無視して 4.1 節と無理矢理つないでいるわけではありません．4.2 節の時間を τ1 と書くと，τ = κτ1 ですから F (τ, x, β) = F (0, x, β) + κτ1 ∂τ F (0, x, β) + · · · （τ 1）となり，ごく初期の時間帯では O(κ) において 4.2 節の時間尺度で τ1 に比例する項が現れます．導かれた拡散方程式の形から，この項の成長率 ∂τ F (0, x, β) は 1 ∆Finitial 3 であり，4.2 節の解が本節の解で表されていることがわかります．から “由緒正しい” モデルに行き着きました．少しの寄り道が良い素材との出会いにつながり，筆者にとって楽しい経験になりました．謝辞：大阪大学矢野猛教授には，草稿を読んだ上で，おもに対象読者とそれに応じた原稿構成について助言を (18)，つまり連続の式がもっぱら頂きました．京都大学青木一生教授からいただいた指に考慮されるのは，これが線形積分方程式の可解条件にあたるからで摘によって，4.2 節の位置づけを適正にすることができす．希薄気体に対する Boltzmann 方程式とは違い，本稿の模型ではました．京都大学稲室隆二教授からも助言をいただき，運動量の式 (26) は可解条件ではなく，方程式を解く議論の過程に入 4 節の補足説明を充実することができました．注10）拡散方程式に至る議論で，条件り込む余地はありません．とはいえ，流体屋としては，運動量の式がどんな意味を持つのか気になるところです．そこで Sh = κ とした運動量の式 (26) に F = F (0) + F (1) κ + · · · を代入してみます．す ∂ρ(0) ∂xj 1 (0) (0) v (1) = ρ δ ， ρ ij j 3 (1) ると最低次の O(κ0 ) において ρ(0) vj (0) ここで pij = βi βj F (0) = = − 13 が得られます．付録 1 運動論方程式の誘導についての補足事項この付録では，運動論方程式 (8) の誘導において前提とした物理的状況の設定を整理しておきます． βj F (1) を用粒子の速度分布関数や球体の数密度 ns を導入したので，微いました．Sh = κ とした連続の式 (19) は最低次の O(κ) において小体積 dX 内に粒子や球体は無数になければなりません（粒 ∂ρ(0) ∂τ 子の数密度を np と書くと np dX 1，ns dX 1）．これ + (1) ∂ ρ(0) vi ∂xi = 0 を与えますから，これに上の表現を代入すれば 4.3 節の拡散方程式が回復されます．こうして運動量の式は密度勾配によって誘起される質量流速の表現を与え，これが構成式となって連続の式を拡散方程式として閉じさせるという構図が得られます．は話の大前提です．まず，2 節の冒頭で触れた，粒子間衝突が無視できることから説明します．粒子が進む方向の単位長さを考えると，その進 a田滋 395 路には大略 π(rp + rs )2 ns 個の球体と π(2rp )2 np 個の粒子とがと表すと，微小時間 dt の間に微小表面 rs2 dΩ(α) に衝突するこあります．これらの数はそのまま粒子の衝突機会を与えます．のような粒子は，体積 |ξ · α|dt × rs2 dΩ(α) の柱状領域の中にいま，粒子は球体よりも非常に小さい（rp rs ）ので，粒子ありますが (図 4)，その数は rs2 |ξ · α|dΩ(α)dt × f (t, X, ξ)dξ と球体の数密度が同程度（np ∼ ns ）であれば，粒子・球体間の衝突機会は粒子間の衝突機会のおおよそ (rs /rp )2 倍となり，粒子間の衝突を（粒子・球体間の衝突に比べて）無視することができます．注11）また，この試算から粒子が球体に衝突することなく進む平均的な距離は [π(rp + rs )2 ns ]−1 ∼ (πrs2 ns )−1 となります．これが 2.2 節で導入した平均自由行程です．さて，球体が関わる微視的な長さには，球体の半径 rs ，球 −1/3 体間の平均距離 ds = ns ，平均自由行程 = (πrs2 ns )−1 微小時間 dt 間に面積要素 rs2 dΩ(α) で球体に衝突するの 3 つがあります．これらの長さの比は rs /ds = (ns rs3 )1/3 ，図4 ds / = (ns rs3 )2/3 のように，球体の占有体積率 (ns rs3 ) だけで粒子がある柱状領域．表されます．筆者のような気体屋が想定するのは，この体積になります．注13）したがって，ξ · α < 0 を満たす，すべての占有率が非常に小さい場合です： ns rs3 方向の α についてこの数を積算すると，微小時間 dt の間に 1. (38) 1 つの球体に衝突する速度 ξ ∼ ξ + dξ をもつ粒子の総数が得られます：式 (38) のもとでは，3 つの長さは rs ds のように階 rs2 注12）層化されます．また，球体と衝突している粒子の割合は np × ns rs3 dX/np dX = ns rs3 1 ですから，粒子はほとんど衝突せず自由に運動しています．式 (38) に対応する数学的極限（ns → ∞，rs → 0，ns rs3 → 0）で ns rs2（平均自由行程の逆数）の値にとくに制限をつけないと，対応する Knudsen 数 κ は 0 < κ < ∞ の範囲の任意の値を取りえます．運動論方程式 (10) はこのような状況下での粒子気体の振舞いを記述すると考えられます（Grad 極限）4, 9) ．本稿では，衝突の影響 ∆fcoll を具体的に計算できるように， ξ·α<0 |ξ · α|f (t, X, ξ)dΩ(α) dξdt. 一様と仮定した球体の数密度を ns と表すと，微小体積 dX 内に球体は ns dX 個あるので，∆floss は結局 ∆floss |ξ · α|f (t, X, ξ)dΩ(α) =ns rs2 dXdξdt α·ξ<0 ns rs2 = |ξ · α|f (t, X, ξ)dΩ(α) 2 (39) となります．最後の積分の積分範囲は α の全方向です．対象の模型を思い切って簡単にしました．この部分が複雑だったり，“衝突” のメカニズム自体が不明の場合，ここを（ある意味で気楽に）大胆に仮定してしまうことがよく行われます．付録 2.2 ∆fgain の部分 2 節の導入部で仮定したように，粒子は球体と完全弾性衝この許容性が運動論の適用範囲の広さにつながっているので突する質点として扱います．球体は空間に固定されているのすが，十分よく練った ansatz を導入しないと，いかにも不自で，粒子は球体表面で鏡面的に反射されます．つまり，球体然な結果を導く，できの悪い方程式しか得られません．当たの中心から α の方向で表面に衝突する粒子の速度が ζ ∗ からり前のことですが，ここが一番難しいところです． ζ に変化したとすると付録 2 ζ = ζ ∗ − 2(ζ ∗ · α)α 衝突の計算の詳細付録 1 に与えた補足事項を念頭において，衝突積分の誘導が成り立ちます．これを念頭において ∆fgain を調べましょう．微小体積 dX 内の 1 つの球体に注目します．時刻 t からの詳細をこの付録で与えます．付録 2.1 (40) みて，過去 dt 時間の間にこの球体に表面 rs2 dΩ(α) で衝突す ∆floss の部分粒子を質点として扱っているので，粒子と球体との衝突は，粒子が球体の表面（中心から半径 rs の位置）に来たときに起こります．まず考えやすい ∆floss から扱います．る速度 ζ ∗ ∼ ζ ∗ + dζ ∗ の粒子の総数は rs2 ζ ∗ ·α<0 |ζ ∗ · α|f (t , X , ζ ∗ )dΩ(α) dζ ∗ dt 微小体積 dX 内の 1 つの球体に注目します．この球体の中心からみて単位ベクトル α の方向の表面に衝突する衝突する速度 ξ ∼ ξ + dξ の粒子を考えます．α 方向の立体角素を dΩ(α) 注11）粒子間衝突が無視できるために np ∼ ns は必須ではありません． )2 注13）この柱状領域の大きさは f を定義するときに考えた微小領域 dX よりもずっと小さいものです．このような計算では dX 内で f は統計的に一様であると仮定しています．本稿で導く運動論方程式には ns /np (rp /rs が満たされていれば十分です．注12）このように球体間の距離よりもずっと長い距離を衝突せずに進め 3.4 節の H 定理が示す時間の方向性がありますが，これは球体の配置るのは，一言でいえば，標的の球体が小さいためです．処理とから生じたと考えています．の詳細に無頓着な統計情報 ns をすぐ後で使うことと，ここでの統計運動論への誘い 396 ですが，この中には衝突後の速度 ζ がどんな場合も含まれてこれを記号 β で表すといます．いま注目するのは，このうち，衝突後の速度が ξ ∼ ξ + dξ の範囲にある粒子の数です．それは rs2 |ζ ∗ · α|f (t , X , ζ ∗ )dΩ(α)dζ ∗ dt (41) 1 2π g(β − 2(β · α)α)|β · α| × [h(β) − h(β − 2(β · α)α)]dΩ(α)dΩ(β) ζ ∗ ·α<0, ζ ∗ ∈D で与えられます．ここで D は衝突後の速度 ζ が ξ ∼ ξ + dξ になるような ζ ∗ の領域を表します．ζ は α の反転に対して不変なので，領域 D も α を反転しても変わりません．このことを使うと式 (41) は 2 rs 2 ζ ∗ ∈D |ζ ∗ · α|f (t , X , ζ ∗ )dΩ(α)dζ ∗ dt 1 2π g∗ |β · α| (h − h∗ ) dΩ(α) dΩ(β) (45) 最後に式 (44) と式 (45) の和をとり 2 で割れば式 (16) が得 (42) 変換します．この変換のヤコビアンは 1 であり，ζ ∗ ·α = −ζ ·α の関係に注意すると，式 (42) はられます．付録 4 まず ∂ C(F (1) ) = βi ∂x Finitial の解き方 i ∂ Finitial ∂xi が β の定数であることに注意します．C は線形なので，式 (25) から ζ∈(ξ ,ξ +dξ ) I(g, h) = という新しい表現が得られました．に書き換えられます．ここで積分変数を (α, ζ ∗ ) から (α, ζ) へ rs2 2 となります．β − 2(β · α)α は定義により β ∗ ですから，結局 |ζ · α| × f (t , X , ζ − 2(ζ · α)α)dΩ(α)dζ dt r2 |ξ · α|f (t , X , ξ − 2(ξ · α)α)dΩ(α) dξ dt = s 2 C(F (1) + βi ∂ ∂ Finitial ) = C(F (1) ) + C(βi ) Finitial ∂xi ∂xi ∂ ∂ Finitial − βi Finitial = 0 = βi ∂xi ∂xi を得ます．したがって 3.1.2 節の性質 2 から F (1) + と変形できます．最後の表現を得るのに ζ の積分を実行しま ∂ Finitial は β に関する定数です．この定数は F (1) に βi ∂x i した．微小体積 dX に球体は ns dX 個あるので，∆fgain は定まります：結局 ∆fgain = ns rs2 2 F (1) + βi |ξ · α| × f (t , X , ξ − 2(ξ · α)α)dΩ(α) dX dξ dt と求められます．さらに dt の高次の誤差を無視すれば，これは結局 ∆fgain ns rs2 = dXdξdt 2 |ξ · α|f (t, X, ξ∗ )dΩ(α) (43) 対称関係式 (16) の証明式 (15) の定義から 1 I(g, h) = g |β · α| (h∗ − h) dΩ(α) dΩ(β) 2π 引用文献 1) 㜟田滋：流体力学極限についての分子気体力学による最近の研究，ながれ 19 (2000) 226–236；正誤表：ながれ 20 (2001) 255. 2) Pottier, N.: Physique statistique hors d’équilibre (EDP Press, 1995) Sec. 10.5. 4) Gallavotti, G.: Statistical mechanics (Springer, 1999) (44) です．積分変数を (β, α) から (β ∗ , α) の組へ変換します．β ∗ の定義式 β ∗ = β − 2(β · α)α は，β ∗ · α = −β · α に注意すると β = β ∗ − 2(β ∗ · α)α と書き直せるので，この変換のヤコビアンの絶対値は 1 です．したがって式 (44) の右辺は 1 2π これが式 (32) です． Sciences/CNRS Éditions, 2007) Complément 5.A. 3) Chapman, S., Cowling, T. G.: The mathematical theory of non-uniform gases (Cambridge University になります．ここで ξ∗ = ξ − 2(ξ · α)α と表しました．付録 3 ∂ Finitial = F (1) . ∂xi g(β ∗ − 2(β ∗ · α)α)|β ∗ · α| × [h(β ∗ ) − h(β ∗ − 2(β ∗ · α)α)]dΩ(α)dΩ(β ∗ ) と書き直せます．この表現では β ∗ はただの積分変数だから， Appendix 1.A2. 5) 鈴木増雄他訳：統計物理学ハンドブック（朝倉書店，2007）8.2 節． 6) Sone, Y.: Molecular gas dynamics (Birkhäuser, 2007) Sec. 3.7. 7) Nicolis, G.: Introduction to nonlinear science (Cambridge University Press, 1995) Secs. 5.1–5.3. 8) Singleton, J.: Band theory and electronic properties of solids (Oxford University Press, 2001) Chap. 1. 9) 曾根良夫，青木一生: 分子気体力学 (朝倉書店, 1994) 1.1 節.